(共108张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
探究点一 空间中两点之间的距离
探究点二 点到直线的距离
探究点三 点到平面的距离
探究点四 线面距离与面面距离
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握向量长度的计算公式;
2.会用空间向量的方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线与平
面之间的距离和面与面之间的距离.
知识点一 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的________，可借助向量
构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解.
线段长
知识点二 点到直线的距离
给定空间中一条直线及外一点，过 可以
作直线 的一条________，这条垂线段的____
称为点到直线 的距离，点到直线的距离也
是这个点与直线上点的______连线的长度.
垂线段
长
最短
例如，如图所示，点是直线外一点，若是直线 的垂线段，则
的长度就是点到直线的距离，这一距离也等于 .
直线外一点到直线的距离 .
知识点三 点到平面的距离
给定空间中一个平面 及 外一点，过 可以
作平面 的一条________，这条垂线段的____
称为点到平面 的距离，点到平面的距离也
是这个点与平面内点的______连线的长度.
垂线段
长
最短
如图，为平面 外一点，是平面 内一点，是平面 的一个法
向量，则点到平面 的距离 .
知识点四 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面
之间的距离
（1）当直线与平面平行时，直线上______________________称为这
条直线与这个平面之间的距离.如果直线与平面 平行，是平面
的一个法向量，，分别是上和 内的点，则直线与平面 之间
的距离 .
任意一点到平面的距离
（2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点________________
_____称为这两个平行平面之间的距离.
如果平面 与平面 平行，是平面 的一个法向量，和 分别是
平面 和平面 内的点，则平面 和平面 之间的距离为
_ ___________.
到另一个平面的距离
（3）与两个平行平面同时______的直线，称为这两个平面的______
___，________夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的________
___，__________的长即为两个平行平面之间的距离.
垂直
公垂线
公垂线
公垂线段
公垂线段
（4）直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成
点到平面的距离.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）平面 外一点到平面 的距离就是点与平面内一点 所成向
量 的长度.( )
×
（2）若直线平面 ，则直线到平面 的距离就是直线 上的点
到平面 的距离.( )
√
（3）若平面平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内
某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距
离.( )
√
探究点一 空间中两点之间的距离
例1 如图所示，在 的二面角 中， ，
且，，垂足分别为， ，已知
，试求线段 的长.
解：，，，，
二面角 的平面角为 ，， ，
，
.
变式 如图所示，正方形，的边长都是1，平面
平面，点在线段上移动，点在线段 上移动，若
.
（1）求的长（用 表示）.
解：因为平面 平面， ，所以
平面，则，故,, 两两垂直，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，且四边形，
为正方形，所以， ，所以
，所以 .
（2）为何值时， 的长最小？
解：由（1）知，所以当时， 的长最小，
最小值为 .
变式 如图所示，正方形，的边长都是1，平面
平面，点在线段上移动，点在线段 上移动，
若 .
［素养小结］
计算两点间的距离的两种方法：
（1）利用
，通过向量运算求
，如求
，
两点间的距
离，一般用
求解.
（2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），当求解的图形适宜
建立空间直角坐标系时适用此法.
探究点二 点到直线的距离
例2 ［2024·安徽芜湖师大附中高二期中］如图，在正
三棱柱中， ，点是棱
的中点，则点到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，取的中点，取的中点 ，连接
，则，所以 平面 ，连接，
因为 是等边三角形，所以，因为
， 平面 ，所以，，两两垂直.
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，， ，，
所以，所以 ，，
所以 , ，
所以点到直线 的距离 .
故选A.
变式 如图，在四棱锥中， 平面
，，，则点 到
直线 的距离为( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 因为 平面， 平面 ，
平面，所以， ，又
，所以,,两两垂直，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，所以
，，则 ，
在上的投影的数量为 ，
所以点到直线的距离为 .故选A.
［素养小结］
用向量法求点到直线的距离的一般步骤：
方法一：利用空间向量找垂线段，再求向量的模即可.
方法二：（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量；
（3）求所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的单位方向向量
的数量积；
（4）利用勾股定理求点到直线的距离.
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
探究点三 点到平面的距离
例3 ［2024·福建厦门高二期末］在棱长为2的正方体
中，，，分别是棱，， 的中点，
过作平面 ，使得平面 ，则点到平面 的距离是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直
角坐标系，则,, ,
, ，所以 ,
, .
设平面 的一个法向量为
，则
令，得，所以点到平面 的距
离 .故选D.
变式（1）已知，是平面 的一个法向量，且
是平面 内的一点，则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，则点到平面 的距离
为 .故选D.
√
（2）［2024·石家庄高二期末］在如图所示的直
四棱柱中，底面 是正方
形，,,是棱的中点，是棱
上的一个动点，则点到平面 的距离的最小
值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 由题意知，该几何体为长方体，以 为坐标
原点建立空间直角坐标系，如图所示，则 ,
,，所以 ，
设,则．
设平面 的一个法向量为 ，则
令，得 ,
因为，所以点到平面 的距离为
，又,所以当时，
点 到平面 的距离取得最小值，最小值为
．故选D.
［素养小结］
用向量法求点面距的步骤:
（1）建系:建立恰当的空间直角坐标系;
（2）求点坐标:写出（求出）相关点的坐标;
（3）求向量:求出相关向量的坐标;
（4）利用公式即可求得点到平面的距离.
探究点四 线面距离与面面距离
例4（1）在空间直角坐标系中，，， ，
，其中 ， ， ， ，已知平面
平面 ，则平面 与平面 间的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由已知得，， ，
设向量与向量，都垂直，则
即取，得，
因为平面平面 ，
所以平面 与平面 间的距离 .
故选A.
（2）如图，在棱长为1的正方体
中，,分别是, 的中
点，则直线到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
如图，则,,, ，
所以, ,
,
设平面 的一个法向 量为，
则 令，则.
因为 ， 平面， 平面
，所以平面，所以直线 到平面的距离即
为点到平面 的距离，所以直线到平面 的距离
.故选D.
变式 已知正方体的棱长为1，求平面 与平面
之间的距离.
解：以为坐标原点，,, 的方向分别为
, , 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，
， ，
，.
设平面 的一个法向量为，
则即
令，得，
点到平面 的距离.
易知平面 平面，
平面与平面 之间的距离等于点到平面的距离，
平面 与平面之间的距离为 .
［素养小结］
求直线与平面之间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个
点要适当选取，以求解最简单为准则，求直线与平面之间的距离的题
目不多，因为直线与平面之间的距离可以用点到平面的距离求解，但
在求点到平面的距离时有时用直线与平面之间的距离进行过渡.
1.［2024·湖北武汉高二期末］已知空间向量 ，
，则点到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以在 上的投影
的数量为，所以点到直线 的距离为
.故选A.
√
2.［2025·安徽合肥一中高二期中］已知异面直线， 所成的角为
，，在直线上，，在直线上，， ，
，，，则， 间的距离为( )
A.或 B.4 C. D. 或4
√
[解析] 由题知，，，， ，
，,或，则 , .
当,时， ，
所以；
当, 时，，
所以 .故选D.
3.在三棱锥中， 底面， ，
， ，则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，以为坐标原点，，，
的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系，则， ，
，，所以 ，
，.
设平面 的一个法向量为，则
取，得，所以点到平面 的距离
.故选B.
4.如图，在长方体中，， ，
点，分别是，的中点，则点到直线 的距离为_ ___.
[解析] 连接，以为坐标原点， ，
，的方向分别为轴、轴、 轴的正
方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，所以
， ，
所以，，所以点 到直线的距离为
.
5.如图，在棱长为2的正方体中，直线 到平面
的距离为____.
[解析] ， 平面，
平面,平面, 直线 到平面
的距离即为点到平面的距离.
以 为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正
方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则, ,
,, ,, .
设平面的一个法向量为 ，
则
取 ，得， 点到平面 的距离，故直线到平面 的距离为 .
求解点到直线 距离的方法：
过作直线的垂线，垂足为，则 的长度即为所求距离.设
，用 表示出点的坐标，再由，解出参数 ，
进而求距离.
1.求解空间两点间的距离问题,先选择以两点为端点的向量，将此向
量表示为几个向量和（或差）的形式，求出这几个已知向量的两两
之间的夹角以及它们的模，利用公式 求解即可.
例1 在三棱锥中，，， ，
，若为的中点，为的中点，则 ___.
2
[解析] 连接，因为 ，所以
.
由已知得 ，，，
，所以 ，
所以，即 .
2.求点到直线的距离，一般先计算所求点与直线上某一点所构成的向
量与直线的单位方向向量的数量积，再利用勾股定理求解.
例2 ［2025·辽宁沈阳高二期中］如图，在直三棱
柱中，， ，
，，点是棱的中点，点 在棱
上运动，则点到直线 的距离的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为坐标原点，，， 所在直线分别
为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
连接，则，，设 ，其中
，所以， ，
则点到直线 的距离
.
设，因为 ，所以 ，则
，所以点到直线 的距离的最小值为 .故选A.
3.空间中的线面、面面距离问题一般转化为点面距离问题解决.若点
为平面 外一点,点为平面 内任一点,平面 的一个法向量为 ,则
点到平面 的距离 .
例3 ［2025·四川南充高二期中］若, 为平面上两个定点，则满足
为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点 的
轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点,,, 为
空间中四个定点，，且,, 两两的
夹角都是 ，若动点满足，动点满足 ，
则 的最小值是_______.
[解析] 如图，由，得当与 共线
时，，即，此时的点 记作点
，则，
所以动点的轨迹是过 的终点且与垂直的平面 ，
动点的轨迹是以线段 为直径的球 ，
的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径
， .
,
练习册
一、选择题
1.已知,,，则点到直线 的距离为( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 由,,,得, ,
则,,
又, ，所以,,所以点到直线的距离
为 , .故选A.
2.平面 的一个法向量为，点在平面 内，
则点到平面 的距离为( )
A. B.3 C. D.
[解析] 因为点,,所以,
因为平面 的一个法向量为,所以点到平面 的距离
.故选A.
√
3.［2025·黑龙江哈尔滨高二期末］如图，圆柱的轴
截面是正方形，点是底面圆周上异于, 的
一点，若，当三棱锥 的体积最大时，
点到平面 的距离为( )
A.2 B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为三棱锥 的高即为圆
柱的高，所以当三棱锥 的体积最大时，
的面积最大，当为弧 的中点时，
的面积最大.
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
当为弧 的中点时，,,, ，所以
,,.
设 为平面 的一个法向量，则
即
令 ，则，
所以点到平面 的距离 .故选D.
方法二：因为三棱锥 的高即为圆柱的高，
所以当三棱锥的体积最大时， 的
面积最大，当是弧的中点时， 的面积最
大，此时， .
如图，连接交于点，易知为 的中点，所以
点到平面的距离等于点到平面的距离.
过点作 ，交于点，因为平面，平面，
所以 ，
又，，，平面，
所以 平面，又平面，所以，
又， ，平面，所以平面，
所以点 到平面 的距离即为 .故选D.
方法三：因为三棱锥 的高即为圆柱的高，
所以当三棱锥的体积最大时， 的
面积最大，当是弧的中点时， 的面积最
大，此时 ， ，
.
如图，连接交于点 ，易知为的中点，
所以点到平面的距离等于点到平面 的距离，
设点到平面的距离为.因为平面， 平 面，
所以，
又 ，，，平面，
所以 平面，又平面，
所以 ，又 ，
所以 ，
由，解得 .
故选D.
4.如图，在正四棱柱 中，
，点和分别是线段和 上的动
点，则， 间的最小距离为( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 因为点和分别是线段和 上的动点，
所以，间的最小距离即为异面直线与 间的距离，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
,,, ，所以
,， .
设与异面 直线与都垂直的一个向量为
，则
取 ，得，则异面直线间的距离
为 ，即，间的最小距离为 .故选C.
5.在长方体中，，过，， 三点
的平面截去长方体的一个角后，得到几何体 ，且这
个几何体的体积为10，则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 设 ，则
，所以，解得，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，，， ，
√
所以，，
设 是平面 的一个法向量，则
令，则 .
因为，所以点到平面 的距离为
.故选C.
6.如图，在长方体 中，
，，则直线 与平面
之间的距离是( )
A.5 B.8 C. D.
[解析] 以为坐标原点，，， 的方向
分别为，， 轴的正方向,建立如图所示的空
间直角坐标系，则， .
设，则 ，
√
的一个法向量为，
由， ，得，
，所以 ，，
可取.因为，
所以点 到平面 的距离.
易知平面 ，
所以直线与平面之间的距离为 .故选C.
7.如图，在长方体 中，
，，点在侧面 上.
若点到直线和的距离相等，则 的最小
值是( )
A. B. C.2 D.
[解析] 以为坐标原点，,, 的方向分别为
,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,，设 ，其中
,，所以， .
√
点到直线的距离为，点到直线
的距离为 ，所以.
因为 ，所以
，
因为，所以当, 时，
取得最小值，最小值为 .故选B.
8.（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩
形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马
中， 平面，若，， 分别
为棱， 的中点，则( )
A. 平面
B.平面
C.点到直线的距离为
D.与平面所成的角的正弦值为
√
√
[解析] 对于A，连接，易知,因为，
分别为，的中点，所以,因为 平
面，平面，所以 ,
又,,平面，所以 平面
，又，所以平面 ，故A正确；
对于B，因为平面，,平面，所以 ,
,又,所以以为坐标原点，,, 的方向分别为
,,轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则 ，
，，，,
，，
设平面 的一个法向量为，
则 令，则，
因为 ，所以与平面 不平行，
故B错误；
对于C，设点到直线的距离为，
因为 ， ，
所以，所以 ，故C正确；
设与平面所成的角为，因为 ,
所以 ，故D错误.
故选 .
9.（多选题）已知正方体的棱长为1，点， 分别
是，的中点， 在正方体内部且满足
，则下列说法正确的是( )
A.点到直线的距离为
B.点到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为
D.点到直线的距离为
√
√
[解析] 如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则，，， ，
，，， ,
所以，.
设 ，则 ，所以
，则点到直线 的距离 ，故A错误.
，易知平面的一个法
向量为，则点到平面 的距
离 ，故B正确.
，，,设平面 的一个法向量为 ，则即 令，得，所以点到平面 的距离.
因为 ，所以，又平面，平面，所以平面，
同理平面，所以平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面 间的 距离为 ，故C正确.
因为，所以 ，
又，所以，所以点到 的
距离 ，
故D错误.故选 .
二、填空题
10.［2025·广东东莞五校高二期中］已知平面 的一个法向量为
，点在平面 内，若点到平面
的距离，则 _________.
或
[解析] 由题知，所以 ，即
，解得或 .
11.如图，正方体的棱长为4,,,,分别为 ,
,,的中点,则平面与平面 之间的距离为__.
[解析] 如图所示,以 为坐标原点，建立空间直
角坐标系,则,, ,
,,， ,
,, ,
,,, ,
又,，平面 平 面.
设是平面 的一个法向量,
则取 ,得.
平面与平面 之间的距离即为点到平面
的距离，
, 平面与平面 之间的
距离 .
12.我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面，若棱长为1的
正方体被某平面截得的多边形为正六边形，则以该正六边形为底，
此正方体的顶点为顶点的棱锥的体积的最大值是__.
[解析] 如图，在棱长为1的正方体
中，取，，， ，，
的中点分别为，，，，， ，顺次连接，
由正方体的几何性质可知，六边形为正六边形，
且其边长为 ，
所以正六 边形的面积.
以 为坐标原点，，，的方向分别为 ，
， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，
，，所以 ，
，， .
因为 ， ，
所以 ，，
因为，， 平面，
所以平面 ，
当棱锥的顶点为点或 时，棱锥的高最大，
则该棱锥的高的最大值为 ，
所以该棱锥的体积的最大值是 .
三、解答题
13.（13分）［2025·贵州黔东南高二期中］如
图， 平面,, ,
,,分别为线段, 的中
点，,为线段上的点，且直线 与
平面所成角的正弦值为 .
（1）证明：平面 ；
证明：因为平面,, 平面
，所以,.以 为坐标原
点，,,的方向分别为,, 轴的正方向建
立空间直角坐标系，如图所示.
因为，,, ,
,，,，所以 ,
, .
设平面的一个法向量为 ，
则
令，得 .
因为，所以 ，
又 平面，所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
13.（13分）［2025·贵州黔东南高二期中］ 如
图， 平面,, ,
,,分别为线段, 的中
点，,为线段上的点，且直线 与
平面所成角的正弦值为 .
解：由（1）知，， ，
设平面的一个法向量为 ，
则令，得.
设,
因为, ，
所以 .
根据题意可得 , ,
整理得 ,解得或 （舍去），
所以 .
因为平面的一个法向量为 ，所以
点到平面的距离 .
14.（15分）如图所示，在所有棱长均为4的正三棱柱
中，为棱 的中点.
（1）求点到平面 的距离.
解：在正三棱柱 中，为棱的中点， ，
又平面 平面，平面 平面，
平面， 平面 .
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,,,,
连接 ,,,
.设平面的一个法向量为 ，
则
取 ，得 ，
则点到平面的距离为 .
（2）线段上是否存在一点，使得平面 平面 ？若存
在，请指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
14.（15分）如图所示，在所有棱长均为4的正三棱柱
中，为棱 的中点.
解：假设线段上存在一点，使得平面 平面，
设,， ,
, .
设平面的一个法向量为 ，
则
取 ， 得 ，
，解得 .
故存在点，且为棱的中点时，平面 平面 .
15.已知正方体的棱长为2，为棱的中点，
为棱上一动点（包括端点），则点到直线 的距离的最小值为
____.
[解析] 以为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则有,,设 .
设于点，因为，点在直线 上，所以设
,所以，因为 ，所以
，即，可得 ，
所以
，
当，即时，取得最小值，此时,故点 到
直线的距离的最小值为 .
16.（15分）［2025·福建福州十八中高二期中］ 如图，在直四棱柱
中，底面四边形为梯形， ，
，， .
（1）证明： ；
证明：因为， ，
所以 ，所以，
因为 为直四棱柱，
所以平面 ，
又平面，所以 ，
又，，平面 ，
所以平面，又平面 ，
所以，又 ，所以 .
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求直线 到平
面 的距离.
16.（15分）［2025·福建福州十八中高二期中］ 如图，在直四棱柱
中，底面四边形为梯形， ，
，， .
解：以为坐标原点，，， 的方向分别为
，， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，
则,,, , ，
所以,, .
设为平面 的一个法向量，
则即 令，则 .
设直线与平面所成的角为 ，
因为直线与平面所成角的正弦值为 ，
所以 ,，
可得 ，所以 .
直线到平面的距离可转化为点 到平面
的距离，因为 ，
所以直线到平面 的距离为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 线段长 知识点二 垂线段 长 最短
知识点三 垂线段 长 最短 知识点四（1）任意一点到平面的距离
（2）到另一个平面的距离
（3）垂直 公垂线 公垂线 公垂线段
公垂线段 【诊断分析】（1）× （2）√ （3）√
课中探究 例1 变式（1）
（2）当
时，
的长最小，最小值为
例2 A 变式 A 例3 D 变式（1）D （2）D 例4（1）A （2）D 变式 >
课堂评价 1.A 2.D 3.B 4.
5.
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.B 8.AC 9.BC
二、填空题
10.
或
11.
12.
三、解答题
13.（1）证明略（2）
14.（1） （2）存在点
，且为棱
的中点时，平面
平面
思维探索 15. 16.（1）证明略 （2） 1.2.5 空间中的距离
【课前预习】
知识点一
线段长
知识点二
垂线段 长 最短
知识点三
垂线段 长 最短
知识点四
(1)任意一点到平面的距离 (2)到另一个平面的距离
d= (3)垂直 公垂线 公垂线 公垂线段
公垂线段
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴·=0,·=0,∵二面角α-AB-β的平面角为120°,∴<,>=60°,
∴CD2=||2=(++)2=+++2(·+·+·)=3×62+2×62·cos 60°=144,∴CD=12.
变式 解:(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,BC⊥AB,所以BC⊥平面ABEF,则BC⊥BE,故BA,BE,BC两两垂直,以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为CM=BN=a(0
所以M,N,所以=,
所以MN=||=.
(2)由(1)知MN=,所以当a=时,MN的长最小,最小值为.
探究点二
例2 A [解析] 如图,取AC的中点O,取A1C1的中点E,连接OE,则A1A∥OE,所以OE⊥平面ABC,连接OB,因为△ABC是等边三角形,所以OB⊥AC,因为OB,AC 平面ABC,所以OB,AC,OE两两垂直.以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示
则A1(0,-2,2),B(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),所以D(,1,0),所以=(-,-3,2),=(-,1,2),所以cos<,>===,所以点C1到直线A1D的距离d==.故选A.
变式 A [解析] 因为PB⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PB⊥AB,PB⊥BC,又AB⊥BC,所以BA,BC,BP两两垂直,以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(1,0,0),A(0,2,0),P(0,0,2),所以=(1,0,-2),=(0,2,-2),则·=4,在上的投影的数量为==,所以点C到直线PA的距离为=.故选A.
探究点三
例3 D [解析] 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,2,0),F(2,2,1),G(0,0,1),所以=(1,-2,2),=(2,2,0),=(-2,0,1).设平面α的一个法向量为n=(x,y,z),则
令z=3,得n=(-2,2,3),所以点A到平面α的距离d===.故选D.
变式 (1)D (2)D [解析] (1)由题知=(-2,2,1),则点A到平面α的距离为==.故选D.
(2)由题意知,该几何体为长方体,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),M(1,2,0),A1(2,0,3),所以=(-1,2,0),设N(0,2,t)(0≤t≤3),则=(-1,0,t).设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=t,得n=(2t,t,2),因为=(0,0,3),所以点A1到平面AMN的距离为=,又0≤t≤3,所以当t=3时,点A1到平面AMN的距离取得最小值,最小值为=.故选D.
探究点四
例4 (1)A (2)D [解析] (1)由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)与向量,都垂直,则即取x=1,得n=(1,3,-4),因为平面α∥平面β,所以平面α与平面β间的距离d===.故选A.
(2)以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,则B(1,1,0),E,B1(1,1,1),D1(0,0,1),所以=,=(-1,-1,0),=,设平面EFD1B1的一个法向量为n=(x,y,z),则
令z=1,则n=(-2,2,1).因为BD∥B1D1,BD 平面EFD1B1,B1D1 平面EFD1B1,所以BD∥平面EFD1B1,所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离,所以直线BD到平面EFD1B1的距离d=== .故选D.
变式 解:以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),∴=(0,1,-1),=(-1,0,-1),=(-1,0,0).设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则即
令z=1,得n=(-1,1,1),∴点D1到平面A1BD的距离d===.易知平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,∴平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为.
【课堂评价】
1.A [解析] 因为=(0,1,0),=(-1,1,-1),所以在上的投影的数量为==,所以点B到直线AC的距离为==.故选A.
2.D [解析] 由题知,||=1,||=3,||=2,⊥,⊥,<,>=或,则==++-2||||cos<,>.当<,>=时,||2=12+32+22-2×1×2×=12,所以||=2;当<,>=时,=12+32+22-2×1×2×=16,所以||=4.故选D.
3.B [解析] 根据题意,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,4,0),P(0,4,4),A(0,0,0),B(4,0,0),所以=(0,4,0),=(4,0,0),=(0,4,4).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则取z=1,得n=(0,-,1),所以点C到平面PAB的距离d===.故选B.
4. [解析] 连接D1G,以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),所以=(1,-1,-1),=(0,-2,1),所以=,||=,所以点D1到直线GF的距离为=.
5. [解析] ∵AC∥A1C1,A1C1 平面A1BC1,AC 平面A1BC1,∴AC∥平面A1BC1,∴直线AC到平面A1BC1的距离即为点C到平面A1BC1的距离.以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),C(0,2,0),∴=(0,2,-2),=(-2,0,2),=(0,0,2).设平面A1BC1的一个法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,1,1),∴点C到平面A1BC1的距离d==,故直线AC到平面A1BC1的距离为.1.2.5 空间中的距离
1.A [解析] 由A(0,0,0),B(1,1,1),M,得=(1,1,1),=,则cos<,>===,又0≤<,>≤π,所以sin<,>=,所以点M到直线AB的距离为||sin<,>=×=.故选A.
2.A [解析] 因为点A(-1,3,0),P(-2,1,4),所以=(1,2,-4),因为平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到平面α的距离d===.故选A.
3.D [解析] 方法一:因为三棱锥D-ABE的高即为圆柱的高,所以当三棱锥D-ABE的体积最大时,Rt△ABE的面积最大,当E为弧AB的中点时,△ABE的面积最大.以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,当E为弧AB的中点时,E(2,2,0),B(0,4,0),D(0,0,4),C(0,4,4),所以=(0,4,-4),=(2,2,-4),=(0,0,4).设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则即令y=1,则n=(1,1,1),所以点C到平面BDE的距离h===.故选D.
方法二:因为三棱锥D-ABE的高即为圆柱的高,所以当三棱锥D-ABE的体积最大时,Rt△ABE的面积最大,当E是弧AB的中点时,△ABE的面积最大,此时AE=2,DE==2.如图,连接AC交BD于点O,易知O为AC的中点,所以点C到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离.过点A作AF⊥DE,交DE于点F,因为AD⊥平面ABE,BE 平面ABE,所以AD⊥BE,又AE⊥BE,AD∩AE=A,AD,AE 平面ADE,所以BE⊥平面ADE,又AF 平面ADE,所以AF⊥BE,又DE∩BE=E,DE,BE 平面BDE,所以AF⊥平面BDE,所以点A到平面BDE的距离即为AF==.故选D.
方法三:因为三棱锥D-ABE的高即为圆柱的高,所以当三棱锥D-ABE的体积最大时,Rt△ABE的面积最大,当E是弧AB的中点时,△ABE的面积最大,此时AE=BE=2,S△ABE=×2×2=4,VD-ABE=S△ABE·AD=×4×4=.如图,连接AC交BD于点O,易知O为AC的中点,所以点C到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离,设点A到平面BDE的距离为h.因为AD⊥平面ABE,BE 平面ABE,所以AD⊥BE,又AE⊥BE,AD∩AE=A,AD,AE 平面ADE,所以BE⊥平面ADE,又DE 平面ADE,所以BE⊥DE,又DE==2,所以S△BDE=×2×2=4,由VD-ABE=VA-BDE=S△BDE·h=,解得h=.故选D.
4.C [解析] 因为点E和F分别是线段AC1和BD上的动点,所以E,F间的最小距离即为异面直线AC1与BD间的距离,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),A(1,0,0),C1(0,1,2),所以=(1,1,0),=(-1,1,2),=(0,1,0).设与异面直线AC1与BD都垂直的一个向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,-1,1),则异面直线间的距离为==,即E,F间的最小距离为.故选C.
5.C [解析] 设AA1=h,则=-=10,所以4h-h××4=10,解得h=3,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),A1(2,0,3),B(2,2,0),C1(0,2,3),所以=(0,2,-3),=(2,0,-3),设m=(x,y,z)是平面A1BC1的一个法向量,则令z=2,则m=(3,3,2).因为=(2,2,0),所以点D到平面A1BC1的距离为==.故选C.
6.C [解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0)(x>0),则B1(x,12,5),设平面A1BCD1的一个法向量为n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=c,可取n=(0,5,12).因为=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离d==.易知B1C1∥平面A1BCD1,所以直线B1C1与平面A1BCD1之间的距离为.故选C.
7.B [解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,2),D(0,0,0),C(0,2,0),设P(1,m,n),其中m,n∈[0,2],所以=(1,m,n),=(0,-2,0).点P到直线AA1的距离为m,点P(1,m,n)到直线CD的距离为==,所以m=.因为=(0,m,n-2),所以A1P===,因为n∈[0,2],所以当n=1,m=时,A1P取得最小值,最小值为.故选B.
8.AC [解析] 对于A,连接BD,易知BD⊥AC,因为E,F分别为PD,PB的中点,所以EF∥BD,因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又EF∥BD,所以EF⊥平面PAC,故A正确;对于B,因为PA⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,所以以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,1),所以=(1,-1,0),=(2,1,-1),=(2,0,0),设平面EFC的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则m=(1,1,3),因为·m=2≠0,所以AB与平面EFC不平行,故B错误;对于C,设点F到直线CD的距离为h,因为=(-1,-2,1),=-=(-2,0,0),所以h2=-=5,所以h=,故C正确;设AC与平面EFC所成的角为θ,因为=(2,2,0),所以sin θ===,故D错误.故选AC.
9.BC [解析] 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O,所以=(-1,0,0),=.设∠ABE=θ,则cos θ==,所以sin θ==,则点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误.=,易知平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确.=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3===.因为=,所以D1C∥A1B,又D1C 平面A1BD,A1B 平面A1BD,所以D1C∥平面A1BD,同理B1C∥平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.因为=++,所以=,又=(1,0,0),所以=,所以点P到AB的距离d===,故D错误.故选BC.
10.-3或-9 [解析] 由题知=(x+2,2,-4),所以d==2,即=2,解得x=-3或x=-9.
11. [解析] 如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),∴=,=,∴EF∥MN,BF∥AM,又EF∩BF=F,MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量,则取z=1,得n=(2,-2,1).平面AMN与平面EFBD之间的距离即为点B到平面AMN的距离,∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD之间的距离d==.
12. [解析] 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取BC,CD,DD1,D1A1,A1B1,B1B的中点分别为E,F,G,H,M,N,顺次连接,由正方体的几何性质可知,六边形EFGHMN为正六边形,且其边长为,所以正六边形EFGHMN的面积S=6××=.以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C1(1,1,1),E,F,G,所以=(1,1,1),=,=,=.因为·=-+=0,·=-+=0,所以AC1⊥EF,AC1⊥FG,因为EF∩FG=F,EF,FG 平面EFGHMN,所以AC1⊥平面EFGHMN,当棱锥的顶点为点A或C1时,棱锥的高最大,则该棱锥的高的最大值为==,所以该棱锥的体积的最大值是××=.
13.解:(1)证明:因为EA⊥平面ABC,AC,AB 平面ABC,所以EA⊥AC,EA⊥AB.以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
因为A(0,0,0),E(0,0,2),C(0,2,0),D(0,1,2),B(2,0,0),F,G(0,1,0),H(1,0,1),所以=,=(0,2,-2),=(-1,1,-1).
设平面EFC的一个法向量为m=(x,y,z),则
令y=1,得m=(0,1,1).因为·m=1-1=0,所以⊥m,
又HG 平面EFC,所以HG∥平面EFC.
(2)由(1)知,=(0,1,0),=(2,0,-2),
设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c),
则令a=1,得n=(1,0,1).
设=λ(0≤λ≤1),因为=(0,-1,2),=(0,2,0),所以=+λ=(0,2-λ,2λ).
根据题意可得|cos|===,整理得2λ2+λ-1=0,
解得λ=或λ=-1(舍去),所以==.
因为平面EFC的一个法向量为m=(0,1,1),所以点P到平面EFC的距离d===.
14.解:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵D为棱BC的中点,∴AD⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AD 平面ABC,∴AD⊥平面BCC1B1.
以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(2,0,4),A(2,0,0),C1(0,-2,4),D(0,0,0),连接DA1,
∴=(0,-2,4),=(2,0,0),=(2,0,4).
设平面AC1D的一个法向量为n=(x,y,z),
则取y=2,得n=(0,2,1),
则点A1到平面AC1D的距离为==.
(2)假设线段BB1上存在一点P,使得平面ACP⊥平面ADC1,设P(0,2,p),0≤p≤4,∵C(0,-2,0),
∴=(-2,-2,0),=(-2,2,p).
设平面ACP的一个法向量为m=(x0,y0,z0),
则取x0=p,得m=(p,-3p,12),∴m·n=(p,-3p,12)·(0,2,1)=-6p+12=0,解得p=2.
故存在点P,且为棱BB1的中点时,平面ACP⊥平面ADC1.
15. [解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则有E(1,2,2),D(0,0,0),设F(x,2,0)(0≤x≤2).设FO⊥DE于点O,因为=(1,2,2),点O在直线DE上,所以设O(λ,2λ,2λ),所以=(λ-x,2λ-2,2λ),因为⊥,所以·=0,即λ-x+2(2λ-2)+2×2λ=0,可得x=9λ-4,所以||===,当6λ-3=0,即λ=时,||取得最小值,此时x=,故点F到直线DE的距离的最小值为.
16.解:(1)证明:因为AB=AD=2,BD=2,所以BD2=AB2+AD2,
所以AB⊥AD,因为ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以AA1⊥平面ABCD,
又AB 平面ABCD,所以AA1⊥AB,又AA1∩AD=A,AA1,AD 平面ADD1A1,
所以AB⊥平面ADD1A1,又AD1 平面ADD1A1,
所以AB⊥AD1,又A1B1∥AB,所以A1B1⊥AD1.
(2)以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设A1A=a(a>0),则A(0,0,0),B(2,0,0),D1(0,2,a),B1(2,0,a),C(2,4,0),
所以=(2,0,0),=(2,2,-a),=(0,4,-a).
设n=(x,y,z)为平面B1CD1的一个法向量,
则即
令y=1,则n=.
设直线AB与平面B1CD1所成的角为θ,
因为直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为,
所以sin θ=|cos<,n>|===,可得a=2,所以n=(1,1,2).
直线BD到平面B1CD1的距离可转化为点B到平面B1CD1的距离,因为=(0,0,-2),
所以直线BD到平面B1CD1的距离为==.1.2.5 空间中的距离
【学习目标】
1.掌握向量长度的计算公式;
2.会用空间向量的方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线与平面之间的距离和面与面之间的距离.
◆ 知识点一 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的 ,可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解.
◆ 知识点二 点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A,过A可以作直线l的一条 ,这条垂线段的 称为点A到直线l的距离,点到直线的距离也是这个点与直线上点的 连线的长度.
例如,如图所示,点A是直线l外一点,若AB是直线l的垂线段,则AB的长度就是点A到直线l的距离,这一距离也等于||.
直线CD外一点A到直线CD的距离d= .
◆ 知识点三 点到平面的距离
给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条 ,这条垂线段的 称为点A到平面α的距离,点到平面的距离也是这个点与平面内点的 连线的长度.
如图,A为平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离d=.
◆ 知识点四 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时,直线上 称为这条直线与这个平面之间的距离.如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离d=.
(2)当平面与平面平行时,一个平面内任意一点 称为这两个平行平面之间的距离.
如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量,A和B分别是平面α和平面β内的点,则平面α和平面β之间的距离为 .
(3)与两个平行平面同时 的直线,称为这两个平面的 , 夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的 , 的长即为两个平行平面之间的距离.
(4)直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面α外一点A到平面α的距离就是点A与平面内一点B所成向量的长度.( )
(2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.( )
(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. ( )
◆ 探究点一 空间中两点之间的距离
例1 如图所示,在120°的二面角α-AB-β中,AC α,BD β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=BD=6,试求线段CD的长.
变式 如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,平面ABCD⊥平面ABEF,点M在线段AC上移动,点N在线段BF上移动,若CM=BN=a(0(1)求MN的长(用a表示).
(2)a为何值时,MN的长最小
[素养小结]
计算两点间的距离的两种方法:
(1)利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|,如求A,B两点间的距离,一般用AB==求解.
(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离),当求解的图形适宜建立空间直角坐标系时适用此法.
◆ 探究点二 点到直线的距离
例2 [2024·安徽芜湖师大附中高二期中] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2BB1=4,点D是棱BC的中点,则点C1到直线A1D的距离为 ( )
A. B.2
C.5 D.10
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,AB⊥BC,PB=AB=2BC=2,则点C到直线PA的距离为 ( )
A. B.
C. D.2
[素养小结]
用向量法求点到直线的距离的一般步骤:
方法一:利用空间向量找垂线段,再求向量的模即可.
方法二:(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量;
(3)求所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的单位方向向量的数量积;
(4)利用勾股定理求点到直线的距离.
另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
◆ 探究点三 点到平面的距离
例3 [2024·福建厦门高二期末] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BC,BB1,DD1的中点,过FG作平面α,使得A1E∥平面α,则点A到平面α的距离是 ( )
A. B.
C. D.
变式 (1)已知A(1,0,1),n=(1,0,1)是平面α的一个法向量,且B(-1,2,2)是平面α内的一点,则点A到平面α的距离为 ( )
A. B. C. D.
(2)[2024·石家庄高二期末] 在如图所示的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,M是棱BC的中点,N是棱CC1上的一个动点,则点A1到平面AMN的距离的最小值为 ( )
A.1 B.
C. D.
[素养小结]
用向量法求点面距的步骤:
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系;
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标;
(3)求向量:求出相关向量的坐标;
(4)利用公式即可求得点到平面的距离.
◆ 探究点四 线面距离与面面距离
例4 (1)在空间直角坐标系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为 ( )
A. B.
C. D.
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则直线BD到平面EFD1B1的距离为( )
A. B.
C. D.
变式 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1之间的距离.
[素养小结]
求直线与平面之间的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以求解最简单为准则,求直线与平面之间的距离的题目不多,因为直线与平面之间的距离可以用点到平面的距离求解,但在求点到平面的距离时有时用直线与平面之间的距离进行过渡.
1.[2024·湖北武汉高二期末] 已知空间向量=(0,1,0),=(-1,1,-1),则点B到直线AC的距离为 ( )
A. B. C. D.
2.[2025·安徽合肥一中高二期中] 已知异面直线m,n所成的角为,M,N在直线m上,G,H在直线n上,HN⊥m,HN⊥n,MN=1,NH=3,GH=2,则G,M间的距离为 ( )
A.2或2 B.4
C.2 D.2或4
3.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,则点C到平面PAB的距离为 ( )
A. B.
C. D.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为 .
5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC到平面A1BC1的距离为 . 1.2.5 空间中的距离
一、选择题
1.已知A(0,0,0),B(1,1,1),M,则点M到直线AB的距离为 ( )
A. B. C.1 D.
2.平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为 ( )
A. B.3 C. D.
3.[2025·黑龙江哈尔滨高二期末] 如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E是底面圆周上异于A,B的一点,若AB=4,当三棱锥D-ABE的体积最大时,点C到平面BDE的距离为( )
A.2 B.2 C. D.
4.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,点E和F分别是线段AC1和BD上的动点,则E,F间的最小距离为 ( )
A. B.1 C. D.
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则点D到平面A1BC1的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1与平面A1BCD1之间的距离是 ( )
A.5 B.8 C. D.
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上.若点P到直线AA1和CD的距离相等,则A1P的最小值是 ( )
A. B. C.2 D.
8.(多选题)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,若PA=AB=AD=2,E,F分别为棱PD,PB的中点,则 ( )
A.EF⊥平面PAC
B.AB∥平面EFC
C.点F到直线CD的距离为
D.AC与平面EFC所成的角的正弦值为
9.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 ( )
A.点A到直线BE的距离为
B.点O到平面ABC1D1的距离为
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
二、填空题
10.[2025·广东东莞五校高二期中] 已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,若点P(-2,1,4)到平面α的距离d=2,则x= .
11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为 .
12.我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面,若棱长为1的正方体被某平面截得的多边形为正六边形,则以该正六边形为底,此正方体的顶点为顶点的棱锥的体积的最大值是 .
三、解答题
13.(13分)[2025·贵州黔东南高二期中] 如图,EA⊥平面ABC,AB⊥AC,=2,AC=AE=AB=2,H,G分别为线段BE,AC的中点,=3,P为线段CD上的点,且直线AP与平面BDE所成角的正弦值为.
(1)证明:HG∥平面EFC;
(2)求点P到平面EFC的距离.
14.(15分)如图所示,在所有棱长均为4的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱BC的中点.
(1)求点A1到平面AC1D的距离.
(2)线段BB1上是否存在一点P,使得平面ACP⊥平面ADC1 若存在,请指出点P的位置;若不存在,请说明理由.
15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱B1C1的中点,F为棱BC上一动点(包括端点),则点F到直线DE的距离的最小值为 .
16.(15分)[2025·福建福州十八中高二期中] 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为梯形,AD∥BC,AB=AD=2,BD=2,BC=4.
(1)证明:A1B1⊥AD1;
(2)若直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为,求直线BD到平面B1CD1的距离.