本章总结提升
【知识辨析】
1.× 2.√ 3.√ 4.√
【素养提升】
题型一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)=+=-=+-=+-.故选C.
(2)对于A,因为2a+b+a-b-c=3a-c,所以2a+b,a-b-c,3a-c共面;对于B,因为a-2b-(a+b+c)=-3b-c,所以a-2b,a+b+c,-3b-c共面;对于D,因为2(a-2b)+a+b+c=3a-3b+c,所以a-2b,a+b+c,3a-3b+c共面;对于C,假设存在实数x,y满足x(2a+b)+y(a-c)=3a+b-2c,所以(2x+y)a+xb-yc=3a+b-2c,即该方程组没有实数解,所以不存在实数x,y满足x(2a+b)+y(a-c)=3a+b-2c,故2a+b,a-c,3a+b-2c不共面.故选C.
变式 (1)C (2)A [解析] (1)因为P,A,B,C四点共面,所以存在m,n∈R,使得=m+n,则-=m(-)+n(-),所以=(1-m-n)+m+n=++t,即解得t=.故选C.
(2)根据题意知=(+)=-+=-b+,因为=+=-+-=a+c-2b,所以=-b+(a+c-2b)=a-b+c.故选A.
题型二
例2 (1)- (2){x|x<-4} [解析] (1)由题得=(+)=(-+-)=+-,=+=-.因为∠BAD=∠BAC=∠CAD=,||=||=||=1,所以·=·=·=,所以·=·=||2-||2-·-·+·=-.
(2)易知a,b不共线,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,由a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),可得3x+2(2-x)<0,解得x<-4,所以实数x的取值范围是{x|x<-4}.
变式 (1)C (2)D [解析] (1)由题意可得即可得n=m=p=,所以cos<,>=n2=,又<,>∈[0,π],所以<,>=.故选C.
(2)因为AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠DAA1=∠BAA1=,所以|a|=|b|=|c|=1,且a·b=,a·c=,b·c=.对于A,由空间向量的运算法则,可得=-=(+)-=-(a+b)=-a-b+c,故A不正确;对于B,由=a+b+c,=-a-b+c,可得·=(a+b+c)·=-a2-a·b+a·c-a·b-b2+b·c-a·c-b·c+c2=--×+-×-+-×-×+1=0,所以<,>=,故B不正确;对于C,因为=++=-++=-a+b+c,所以=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=2,所以||=,故C不正确;对于D,由=a+b,=-a-b+c,可得·=(a+b)·=-a2-a·b+a·c-a·b-b2+b·c=--×+-×-+=-,故D正确.故选D.
题型三
例3 解:由题知AD,AB,AP两两垂直,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),设D(a,0,0)(a>0),则C(a,1,0).
(1)∵E为BC的中点,F为BP的中点,∴E,F,∴=,=(0,0,1),=(a,1,0).设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),
则即
取x=1,得n=(1,-a,0),∴·n=0,∴⊥n.
又EF 平面PAC,∴EF∥平面PAC.
(2)证明:∵点E在棱BC上,∴可设E(m,1,0),0≤m≤a,
∴=(m,1,-1),又=,∴·=0,
∴PE⊥AF,∴无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF.
变式 证明:如图,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系.
设DC=a(a>0),PD=b(b>0),则D(0,0,0),A(0,a,0),C(a,0,0),B(a,a,0),P(0,0,b),E.
(1)=(a,0,-b),=,=(a,a,0).
设平面EBD的一个法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,得n=.因为·n=(a,0,-b)·=0,
所以⊥n,又PC 平面EBD,所以PC∥平面EBD.
(2)由题意得平面PDC的一个法向量为=(0,a,0),=(a,a,-b),=(a,0,-b),设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则即
令x1=1,得m=.因为·m=(0,a,0)·=0,所以⊥m,所以平面PBC⊥平面PCD.
题型四
例4 解:(1)证明:在△AEF中,AE=AD=2,AF=AB=4,∠EAF=30°,
∴cos∠EAF===,∴EF=2.
∵EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,得PE⊥EF,DE⊥EF,
又PE∩DE=E,PE,DE 平面PDE,∴EF⊥平面PDE,
又∵PD 平面PDE,∴EF⊥PD.
(2)连接CE,∵DE=5-2=3,CD=3,∠CDE=90°,∴CE2=36,得CE=6.
又PE=AE=2,PC=4,∴PE2+CE2=PC2,∴PE⊥CE.
又PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CE 平面DEC,
∴PE⊥平面DEC,∴PE⊥ED,即EF,ED,EP两两垂直.
以E为原点,EF,ED,EP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),D(0,3,0),F(2,0,0),A(0,-2,0),C(3,3,0),由F为AB的中点,得B(4,2,0),得=(0,3,-2),=(-3,0,0),=(4,2,-2),=(-2,-2,0).
设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则∴
令y1=2,则n1=(0,2,3).
设平面PBF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则∴
令x2=,则n2=(,-1,1).
设平面PCD与平面PBF所成的二面角为α,
∵cos==,
∴sin α==.
变式 解:(1)证明:如图①,设AC交BD于点F,连接EF,由圆锥的性质可知PO⊥底面ABD,
因为AC 平面ABD,所以PO⊥AC,
因为△ABD是底面圆的内接正三角形,且AB=3,
所以AF=,AC==2,
又AE=3,CE=,所以AC2=AE2+CE2,所以AE⊥PC.
在Rt△AEC中,cos∠EAC===,
在△AEF中,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AF·cos∠EAF=9+-2×3××=,
所以EF2+AF2=AE2,所以EF⊥AC.
因为PO⊥底面ABD,PO 平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABD,又EF 平面PAC,平面PAC∩平面ABD=AC,EF⊥AC,所以EF⊥平面ABD.
又EF 平面BED,所以平面BED⊥平面ABD.
(2)易知PO=2EF=3,以点F为坐标原点,建立如图②所示的空间直角坐标系,则A,B,E,P,O,所以=,=,=(0,0,3).
设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,则n=(1,,).设直线PO与平面ABE所成的角为θ,
则sin θ=|cos|===,
所以直线PO与平面ABE所成的角的正弦值为.
(3)D,=,=(-,0,0),设=λ(0≤λ≤1),可得=+=(-,0,3λ).
设平面MAB与平面ADE的一个法向量分别为α=(a,b,c),β=(m,p,q),
则
令a=m=,则α=,β=(,-3,3).
设平面MAB与平面ADE所成的角为φ,则cos φ=|cos< α,β>|===,
整理得6λ=1,即λ=,则OM=×3=,
故线段OP上存在符合题意的点M,且OM=.
题型五
例5 解:(1)证明:以A为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则F(0,1,0),G(0,2,1),C1(2,2,2),A(0,0,0),B1(0,2,2),E(2,0,1),
所以=(0,1,1),=(2,1,2),=(0,2,2),=(2,0,1),
设平面FGC1的一个法向量为m=(x,y,z),
则令z=2,得m=(-1,-2,2).
设平面AB1E的一个法向量为n=(x',y',z'),
则令z'=2,得n=(-1,-2,2).
因为m=n,所以平面FGC1∥平面AB1E.
(2)由(1)得=(2,0,1),=(2,0,1),
所以∥,即GC1∥AE,所以点C1到直线AE的距离即为直线GC1到直线AE的距离.又=(2,2,2),所以==,||=2,
所以直线GC1到直线AE的距离为=.
(3)因为平面FGC1∥平面AB1E,GC1 平面FGC1,所以GC1∥平面AB1E,所以直线GC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离.
因为=(-2,0,0),平面AB1E的一个法向量为n=(-1,-2,2),所以点C1到平面AB1E的距离为==,所以直线GC1到平面AB1E的距离为.
变式 (1) (2) [解析] (1)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,1,0),E,F,所以=(-1,1,0),=,=.设平面BDF的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=-3,则n=(2,2,-3),所以点E到平面BDF的距离d===.
(2)如图,连接OO1,根据题意,OO1⊥底面ABC,以O为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系.∵AO1∥OC1,OB∥O1B1,AO1∩O1B1=O1,OC1∩OB=O,
∴平面AB1O1∥平面BC1O,∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.
∵O(0,0,0),B(,0,0),C1(0,1,2),O1(0,0,2),
∴=(,0,0),=(0,1,2),=(0,0,2).
设n=(x,y,z)为平面BC1O的一个法向量,
则即
令y=2,得n=(0,2,-1),
∴点O1到平面BC1O的距离d===,
∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为.本章总结提升
判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
1.在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD的中点,则-+=3. ( )
2.两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是[0,π]. ( )
3.已知向量a,b,c能组成空间向量的一组基底,则向量a+b,a-b,c也能组成空间向量的一组基底. ( )
4.若P,A,B,C为空间四点,且=α+β,则“α+β=1”是“A,B,C三点共线”的充要条件.( )
◆ 题型一 空间向量的线性运算
[类型总述] (1)空间向量的加减运算、数乘运算;(2)空间向量基本定理.
例1 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点F为CC1的中点,则= ( )
A.-+
B.-++
C.+-
D.--
(2)已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,则下列向量不共面的是 ( )
A.2a+b,a-b-c,3a-c
B.a-2b,a+b+c,-3b-c
C.2a+b,a-c,3a+b-2c
D.a-2b,a+b+c,3a-3b+c
变式 (1)已知O,A,B,C为空间中不共面的四点,且=++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t的值是 ( )
A. B.-
C. D.-
(2)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则= ( )
A.a-b+c B.a+b+c
C.-a-+c D.a-b-c
◆ 题型二 空间向量数量积的应用
[类型总述] (1)数量积计算;(2)应用数量积求长度;(3)应用数量积求角.
例2 (1)在四面体ABCD中,所有棱长都是1,P,Q分别为棱BC,AB的中点,则·= .
(2)已知向量a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 .
变式 (1)设空间中两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角的余弦值均为,则<,>= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·黑龙江大庆实验中学高二期末] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠DAA1=∠BAA1=,M为A1C1与B1D1的交点,若=a,=b,=c,则下列说法正确的是 ( )
A.=-a+b+c
B.<,>=
C.||=
D.·=-
◆ 题型三 用空间向量证明空间位置关系
[类型总述] (1)证明线、面垂直关系;(2)证明线、面平行关系.
例3 如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在棱BC上移动(包含端点).
(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)证明:无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF.
变式 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,E是PA的中点,求证:
(1)PC∥平面EBD;
(2)平面PBC⊥平面PCD.
◆ 题型四 用空间向量求空间角
[类型总述] (1)求线线所成的角;(2)求线面所成的角;(3)求面面所成的角.
例4 [2024·新课标Ⅱ卷] 如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足=,=,将△AEF沿EF对折至△PEF,使得PC=4.
(1)证明:EF⊥PD;
(2)求平面 PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
变式 [2025·辽宁大连高二期中] 如图,P为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AC为底面圆的直径,△ABD为底面圆O的内接正三角形,点E在母线PC上,且AB=AE=3,CE=.
(1)求证:平面BED⊥平面ABD.
(2)求直线PO与平面ABE所成角的正弦值.
(3)在线段OP上是否存在一点M,使得平面MAB与平面ADE所成角的余弦值为 若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
◆ 题型五 用空间向量求距离
[类型总述] (1)求两点间的距离;(2)求点到线的距离;(3)求点到面的距离;(4)求线与线之间的距离;(5)求线与面之间的距离;(6)求面与面之间的距离.
例5 [2025·河南郑州高二期中] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱DD1,AB,BB1的中点.
(1)求证:平面FGC1∥平面AB1E;
(2)求直线GC1到直线AE的距离;
(3)求直线GC1到平面AB1E的距离.
变式 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,AA1=2,E为A1D的中点,F为CC1上靠近点C的三等分点,则点E到平面BDF的距离为 .
(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,且侧棱AA1⊥底面ABC,底面边长与侧棱长都等于2,O,O1分别为AC,A1C1的中点,则平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为 . (共54张PPT)
本章总结提升
题型一 空间向量的线性运算
题型二 空间向量数量积的应用
题型三 用空间向量证明空间位置关系
题型四 用空间向量求空间角
题型五 用空间向量求距离
答案核查
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
1.在空间四边形中,,分别是, 的中点,则
.( )
×
2.两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是 ,二
面角的范围是 .( )
√
3.已知向量,,能组成空间向量的一组基底，则向量,,
也能组成空间向量的一组基底.( )
√
4.若,,,为空间四点,且,则“”是“,,
三点共线”的充要条件.( )
√
题型一 空间向量的线性运算
［类型总述］（1）空间向量的加减运算、数乘运算;（2）空间向量
基本定理.
例1（1）在平行六面体中，点为 的中点，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] .故选C.
√
（2）已知{,, }是空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是
( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
[解析] 对于A,因为,所以 ,
,共面；
对于B,因为 , 所以,,
共面；
√
对于D,因为，所以, ,
共面；
对于C,假设存在实数, 满足 ，所以
,即 该方程组没有实数解，
所以不存在实数,满足 ，
故,, 不共面.故选C.
变式（1）已知，，， 为空间中不共面的四点，且
，若，，，四点共面，则实数 的值是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，，，四点共面，所以存在， ，使得
，则 ，
所以 ，
即解得 .故选C.
（2）在四棱锥中，底面是正方形，为 的中点，
若，，，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意知
，
因为 ,
所以 .故选A.
√
题型二 空间向量数量积的应用
［类型总述］（1）数量积计算；（2）应用数量积求长度；（3）应
用数量积求角.
例2（1）在四面体中，所有棱长都是1，，分别为棱 ，
的中点，则 ____.
[解析] 由题得
，.
因为 ，，
所以 ,
所以 .
（2）已知向量，，且与 的夹角为钝
角，则实数 的取值范围是___________.
[解析] 易知，不共线，因为与的夹角为钝角，所以 ，
由，，可得 ，解得
，所以实数的取值范围是 .
变式（1）设空间中两个单位向量, 与向
量的夹角的余弦值均为，则, ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得即 可得
，所以,，
又, ，所以, .故选C.
（2）［2025·黑龙江大庆实验中学高二期末］如图，在平行六面体
中， ，
，为与 的交点，若，， ，
则下列说法正确的是( )
A.
B.,
C.
D.
√
[解析] 因为 ，
，所以
，且, , .
对于A，由空间向量的运算法则，可得 ，故A不正确；
对于B，由， ，
可 得
，所以, ，故B不正确；
对于C，因为 ，所以 ，
所以，故C不正确；
对于D，由 ，，
可得
，故D正确.故选D.
题型三 用空间向量证明空间位置关系
［类型总述］（1）证明线、面垂直关系;（2）证明线、面平行关系.
例3 如图, 平面,四边形 是矩形,
,点是的中点,点在棱 上移动
（包含端点）.
（1）当点为的中点时,试判断与平面 的
位置关系,并说明理由;
解：由题知,，两两垂直，以 为坐标原点,
,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐
标系,则,,,设,则 .
为的中点,为的中点, ,
,, ,
.
设平面的一个法向量为 ,
则即
取,得,, .
又 平面,平面 .
（2）证明:无论点在棱上的何处,都有 .
证明: 点在棱上, 可设, ,
,又, ,
, 无论点在棱 上的何处,都有 .
例3 如图, 平面,四边形 是矩形,
,点是的中点,点在棱 上移动
（包含端点）.
变式 在四棱锥中， 平面，底面 是正方
形，是 的中点，求证：
证明：如图，以为坐标原点，分别以 ，
，的方向为轴、轴、 轴正方向，建立
空间直角坐标系.
设， ，则
，，， ，
， . ， ， .
（1）平面 ；
设平面的一个法向量为 ，
则即
令，得 .
因为 ，
所以，又 平面，所以 平面 .
（2）平面 平面 .
证明： 由题意得平面的一个法向量为 ，
，，
设平面 的一个法向量为 ，
则即 令，得.
因为 ，所以，
所以平面 平面 .
变式 在四棱锥中， 平面，底面 是正方
形，是 的中点，求证：
题型四 用空间向量求空间角
［类型总述］（1）求线线所成的角；（2）求线面所成的角；（3）
求面面所成的角.
例4 新课标Ⅱ卷］ 如图，平面四边形
中，,, ,
, ,点， 满足
,，将沿 对折至
，使得 .
（1）证明： ;
证明：在中， ，
， ，
， .
，，得， ，
又,, 平面， 平面 ，
又 平面， .
（2）求平面与平面 所成的二面角的正弦值.
例4 新课标Ⅱ卷］ 如图，平面四边形
中，,, ,
, ,点， 满足
,，将沿 对折
至，使得 .
解：连接， ，
， ,,得 .
又, ， ,
.又，,, 平面 ，
平面，，即，， 两两垂直.
以为原点，，，所在直线分别为,, 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,
,,， ,
由为的中点,得，得 ,
, , .
设平面的法向量为 ,
则
令,则 .
设平面的法向量为 ，
则
令,则 .
设平面与平面所成的二面角为 ，
, ，
.
变式 ［2025·辽宁大连高二期中］ 如图，为圆锥的顶点， 是圆锥
底面的圆心，为底面圆的直径，为底面圆 的内接正三角
形，点在母线上，且， .
（1）求证：平面 平面 .
证明：如图①，设交于点，连接 ，
由圆锥的性质可知 底面 ，
因为 平面，所以 ，
因为是底面圆的内接正三角形，且 ，
所以， ，
又，，所以，所以 .
在中， ，
，
所以，所以 .
因为 底面， 平面 ，所以平面 平面，
又 平面，平面 平面，，
所以 平面 .又 平面，所以平面 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
变式 ［2025·辽宁大连高二期中］ 如图，为圆锥的顶点， 是圆锥
底面的圆心，为底面圆的直径，为底面圆 的内接正三角
形，点在母线上，且， .
解：易知，以点 为坐标原点，建立
如图②所示的空间直角坐标系，则 ，
，，， ，
所以， ， .
设平面的一个法向量为 ，
则令，则 ,,.
设直线与平面所成的角为 ，
则, ，
所以直线与平面所成的角的正弦值为 .
（3）在线段上是否存在一点，使得平面与
平面 所成角的余弦值为？若存在，确定点 的
位置；若不存在，请说明理由.
变式 ［2025·辽宁大连高二期中］ 如图，为圆锥的顶点， 是圆锥
底面的圆心，为底面圆的直径，为底面圆 的内接正三角
形，点在母线上，且， .
解：， ，
，设 ，
可得 .
设平面与平面 的一个法向量分别为
， ，
则
令，则， .
设平面与平面所成的角为 ，则
, ，
整理得，即，则 ，
故线段上存在符合题意的点，且 .
题型五 用空间向量求距离
［类型总述］（1）求两点间的距离；（2）求点到线的距离；（3）
求点到面的距离；（4）求线与线之间的距离；（5）求线与面之间
的距离；（6）求面与面之间的距离.
例5 ［2025·河南郑州高二期中］如图，在棱长为2的正方体
中，，， 分别是棱，， 的中点.
（1）求证：平面平面 ；
证明：以为坐标原点，以，， 的方向分
别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系，则，，，
，， ，
所以，，， ，
设平面的一个法向量为 ，
则令 ，得 .
设平面的一个法向量为 ，
则
令 ，得 .
因为，所以平面平面 .
（2）求直线到直线 的距离；
解：由（1）得， ，
所以，即，所以点到直线
的距离即为直线到直线 的距离.
又 ，所以， ，
所以直线到直线 的距离为 .
例5 ［2025·河南郑州高二期中］如图，在棱长为2的正方体
中，，， 分别是棱，， 的中点.
（3）求直线到平面 的距离.
解：因为平面平面， 平面，
所以平面，所以直线 到平面的
距离等于点到平面 的距离.
因为，平面 的一个法向量为 ，
所以点到平面 的距离为 ，
所以直线到平面的距离为 .
例5 ［2025·河南郑州高二期中］如图，在棱长为2的正方体
中，，， 分别是棱，， 的中点.
变式（1）在长方体 中，底面是边长为1的正方
形，,为的中点，为上靠近点 的三等分点，则点
到平面 的距离为_____.
[解析] 以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,, ，所以
，, .
设平面的一个法向量为，
则 即 令，则，所以点 到平面的距离 .
（2）如图，在三棱柱 中，底面
为正三角形，且侧棱 底面 ，底面
边长与侧棱长都等于2，，分别为，
的中点，则平面与平面 之间的距离为
____.
[解析] 如图，连接，根据题意， 底面
，以为坐标原点，以，， 的方向分
别为轴、轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系.
，， ，
，
平面平面， 平面 与平面
之间的距离即为点到平面 的距离.
，，， ，
，， .
设为平面 的一个法向量，
则即
令，得 ，
点到平面的距离 ，
平面与平面之间的距离为 .
快速核答案（导学案）
知识辨析
1.× 2.√ 3.√ 4.√
素养提升
例1（1）C （2）C 变式（1）C （2）A
例2（1） （2） 变式（1）C （2）D
例3 略 变式 略 例4（1）证明略（2）
变式（1）证明略（2）> （3）线段上存在符合题意的点，且
例5（1）证明略 （2） （3） 变式（1） （2）
