滚动习题(一) [范围1.1]
1.C [解析] 因为a=(0,1,0),b=(2,0,-2),所以a+b=(2,1,-2),所以(a+b)·a=0+1+0=1.故选C.
2.C [解析] 因为a⊥b,所以a·b=0,所以(-3)×1+2x+7×(-1)=2x-10=0,解得x=5.故选C.
3.A [解析] 因为A,B,C,D四点共面,所以向量,,共面,即存在实数λ,μ使得=λ+μ,又=(1,2,3),=(2,-1,-1),=(9,-2,x),所以(9,-2,x)=λ(1,2,3)+μ(2,-1,-1),所以解得故选A.
4.A [解析] 由题得=+=+=(-)+=-+=a-b+c.故选A.
5.C [解析] 若·(+)=(+)·(+)=·+·+·+=2×2×cos+
2×2×cos+2×2×cos∠ACB+22=8+4cos∠ACB>10,则cos∠ACB>,因为∠ACB∈(0,π),所以0<∠ACB<,必要性成立.若0<∠ACB<,则cos∠ACB>,则8+4cos∠ACB>10,即·(+)>10,充分性成立.所以“0<∠ACB<”是“·(+)>10”的充要条件.故选C.
6.D [解析] 以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图,设P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,
A1(0,0,1),C(1,1,0),则·=(-x,-y,1)·(1-x,1-y,0)=x2-x+y2-y=+-,因为0≤x≤1,0≤y≤1,所以当x=,y=时,·取得最小值-,当x=0或1,y=0或 1时,·取得最大值0.故选D.
[技巧点拨] 求解空间向量中的范围问题时,常用的方法是建立空间直角坐标系引入变量,即将范围问题转化为关于某一变量的函数问题,借助代数方法求解最值.
7.AC [解析] 对于A选项,因为a,b,c是非零向量,且满足a∥b,b∥c,所以存在实数λ,μ使得a=λb,b=μc,故a=λμc,所以a∥c,故A选项正确;对于B选项,因为a,c不一定共线且向量数量积为实数,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,故B选项错误;对于C选项,因为{,,}是空间向量的一组基底,所以A,B,C三点不共线,若=+-,则-=+,即=+,所以A,B,C,D 四点共面,故C选项正确;对于D选项,当a与b共线且反向时,有b=λa(λ<0),即解得此时
=180°,故D选项错误.故选AC.
8.AC [解析] ∵空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,∴∠AOC=∠BOC=,||=,∵·=||·||·cos∠AOC=,且·=m+n,∴m+n=,又为单位向量,∴m2+n2=1,由解得或∴cos∠AOB=n2=.故选AC.
9. [解析] 因为a=(2,1,0),b=(-1,0,2),所以a+kb=(2-k,1,2k),2a+3b=(1,2,6),当(a+kb)∥(2a+3b)时,==,解得k=.因为向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,所以(a+kb)·(2a+3b)=2-k+2+12k=11k+4>0,解得k>-,所以实数k的取值范围是.
[易错点] 明确a·b>0 a与b夹角为锐角或a与b同向共线,此类试题容易因为忘记排除夹角为0时参数满足的条件而致误.
10. [解析] 由题得=(-1,1,0),=(1,2,-4).因为M在直线AB上,所以=λ=(-λ,λ,0),λ∈R,则=-=(-λ-1,λ-2,4),又CM⊥AB,所以⊥,所以(-λ-1)×(-1)+(λ-2)×1+4×0=2λ-1=0,解得λ=,则=,故M.
11. [解析] 以C1为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
设点P的纵坐标为m(0≤m≤1),则C1(0,0,0),D1(,0,0),P(0,m,-m),则·=(0,m,-m)·(-,m,-m)=m2+(-m)2=4m2-6m+3=4+,由于0≤m≤1,所以当m=时,4+取得最小值,当m=0时,4+取得最大值3,即·的取值范围为.
12.解:(1)由题知=(2,1,-2),则c=λ=(2λ,λ,-2λ),
则|c|==3|λ|=6,解得λ=2或λ=-2,
所以c=(4,2,-4)或c=(-4,-2,4).
(2)由题意得a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=-1,|a|=,|b|=,
所以cos===-,所以sin=,
所以以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=2×|a|·|b|sin=3.
13.解:连接BD和AC交于点O,
过点O作直线OH垂直于平面ABCD.
如图,以O为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则A(,0,0),C(-,0,0),B(0,1,0),P(,0,2),F,G.
设=λ=(2λ,0,2λ),则Q(2λ-,0,2λ),故=(2λ-2,0,2λ).
依题意可得向量与,共面,=,=,
所以存在实数m,n,使得=m+n=,
则解得m=n=λ=,
则Q,故=,所以||=.
又=(-,1,0),所以cos<,>==.
14.解:(1)由D(0,0,0),=(4,3,2),得B1(4,3,2),
所以A(4,0,0),B(4,3,0),A1(4,0,2),C1(0,3,2),所以=(-4,3,2).
(2)由题意,设P(a,3,0)且0≤a≤4,
由题知M,N(2,0,2),连接MN,MP,PN,则=,
故||=,而=,=(a-2,3,-2),
所以||=∈,||=∈[,],显然||≠||.
当||=||时,(a-4)2=8,可得a=4-2,此时P(4-2,3,0);当||=||时,(a-4)2+=(a-2)2+13,解得a=,此时P.滚动习题(一) [范围1.1]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知向量a=(0,1,0),b=(2,0,-2),则(a+b)·a= ( )
A.0 B.2
C.1 D.-1
2.已知向量a=(-3,2,7),b=(1,x,-1),且a⊥b,则x的值为 ( )
A.4 B.-4
C.5 D.-5
3.已知空间向量=(1,2,3),=(2,-1,-1),=(9,-2,x),若A,B,C,D四点共面,则实数x的值为( )
A.-1 B.0
C. D.2
4.[2025·四川德阳高二期中] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则= ( )
A.a-b+c B.a+b-c
C.-a+b+c D.-a-b+c
5.在如图所示的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=2,∠BCC1=∠ACC1=,则“0<∠ACB<”是“·(+)>10”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
★6.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上一点,则·的取值范围是 ( )
A. B.
C.[-1,0] D.
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.下列关于空间向量的说法中正确的是 ( )
A.若非零向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c
B.任意向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c)
C.若{,,}为空间向量的一组基底,且=+-,则A,B,C,D四点共面
D.已知向量a=(1,1,x),b=(-3,x,9),若x<,则为钝角
8.[2024·江苏常州高二期中] 设空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,则cos∠AOB的值可能为 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
★9.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是 .
10.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为 .
11.[2025·广东东莞高二期中] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1=C1D1=,C1B1=1,点P为线段B1C上一点,则·的取值范围为 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=,b=.
(1)若|c|=6,且c=λ,求c的坐标;
(2)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积.
13.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面是边长为2的菱形,PA=2,∠DAB=60°,点F,G分别为PD,PB的中点,设直线PC与平面AFG的交点为Q,求cos<,>.
14.(15分)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,M是AB的中点,N是A1D1的中点.已知=(4,3,2).
(1)分别写出点B,点A1和的坐标.
(2)若点P是棱BC上一个动点,是否存在点P使得△MNP为一个等腰三角形 如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.(共30张PPT)
滚动习题（一）
范围1.1
（时间:45分钟 分值:100分）
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.已知向量，，则 ( )
A.0 B.2 C.1 D.
[解析] 因为，，所以 ，所
以 .故选C.
√
2.已知向量，，且，则 的值为
( )
A.4 B. C.5 D.
[解析] 因为，所以 ，所以
，解得 .故选C.
√
3.已知空间向量，， ，
若,,,四点共面，则实数 的值为( )
A. B.0 C. D.2
[解析] 因为,,,四点共面，所以向量,, 共面，即存在实
数 , 使得，
又， ，，
所以 ，所以
解得 故选A.
√
4.［2025·四川德阳高二期中］如图，在平行六
面体中，为和 的交点，
若，，，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题得 .故选A.
√
5.在如图所示的斜三棱柱 中，
， ，
则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若 ， 则，
因为 ，所以 ，必要性成立.
若，则，则 ，
即 ，充分性成立.
所以“”是“ ”的充要条件.故选C.
★6.点是棱长为1的正方体的底面 上一点，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如
图，设，,, ,
时，取得最小值，
当或1,或 1时， 取得最大值0.故选D.
,则 ，
因为,,所以当,
［技巧点拨］ 求解空间向量中的范围问题时，常用的方法是建立空间
直角坐标系引入变量，即将范围问题转化为关于某一变量的函数问题，
借助代数方法求解最值.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.若非零向量,,满足,，则
B.任意向量,,满足
C.若,, }为空间向量的一组基底，且
，则,,, 四点共面
D.已知向量,，若，则, 为钝角
√
√
[解析] 对于A选项，因为，，是非零向量，且满足， ，
所以存在实数 , 使得,，故，所以 ，故
A选项正确；
对于B选项，因为， 不一定共线且向量数量积为实数，所以
不一定成立，故B选项错误；
对于C选项，因为，，}是空间向量的一组基底，所以,, 三点
不共线，若 ，则
,即 ,所以,,,四点共面，故C选项正确；
对于D选项，当与 共线且反向时，有，即
解得此时, ，故D选项错误.故选 .
8.［2024·江苏常州高二期中］设空间两个单位向量 ,
与向量的夹角都等于，则 的值
可能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 空间两个单位向量， 与向量
的夹角都等于，， ，
，且 ，
，又为单位向量，，由
解得或.故选 .
三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.
★9.已知向量,，若向量与 的
夹角为锐角，则实数 的取值范围是___________________.
[解析] 因为,，所以 ，
，当时， ，解得.
因为向量与 的夹角为锐角，所以
，解得
，所以实数的取值范围是 .
［易错点］ 明确与夹角为锐角或与 同向共线，此
类试题容易因为忘记排除夹角为0时参数满足的条件而致误.
10.已知空间三点，，，若直线 上一
点，满足，则点 的坐标为__________.
[解析] 由题得，.
因为在直线 上，所以， ，则
，
又，所以 ，所以
，解得，则，故 .
11.［2025·广东东莞高二期中］如图，在长方体
中，，，点为线段 上一点，则
的取值范围为______.
[解析] 以为坐标原点，以,, 的方向分别为
,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设点的纵坐标为，则, ,
，则
，
由于，所以当时， 取得最小值，
当时， 取得最大值3，即的取值范围为 .
四、解答题：本大题共3小题,共43分.
12.（13分）已知点，，, ,
.
（1）若，且，求 的坐标；
解：由题知,则 ，
则 ，
解得或 ，
所以或 .
（2）求以线段, 为邻边的平行四边形的面积.
解：由题意得,,所以， ,
,所以, ，所以, ，
所以以线段， 为邻边的平行四边形的面积
, .
12.（13分）已知点，，, ,
.
13.（15分）如图，在四棱锥中， 平面 ，底面
是边长为2的菱形，， ，点,分别为, 的
中点，设直线与平面的交点为，求, .
解：连接和交于点 ，过点作直线垂直于
平面 .如图，以为坐标原点，以,, 的方向
分别为，， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则,,, ,, .
设 ，
则，故 .
依题意可得向量与, 共面，, ，
所以存在实数， ，使得
，
则 ，
则，故 ,
所以 .又 ，
所以, .
14.（15分）如图，以长方体的
顶点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，是
的中点， 是的中点.已知 .
（1）分别写出点，点和 的坐标.
解：由，，得 ，
所以，，， ，
所以 .
（2）若点是棱上一个动点，是否存在点使得 为一个等
腰三角形？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
14.（15分）如图，以长方体的顶点 为坐标原点，
建立空间直角坐标系，是的中点， 是的中点.
已知 .
解：由题意，设且 ，
由题知，，连接 ,
, ,则 ，故 ，
而， ，
所以 ，
，显然 .
当时， ，可得
，此时 ；
当 时， ，
解得，此时 .
快速核答案（练习册）
1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D 7.AC 8.AC
9. 10. 11.
12.（1）或（2）
13. ,
14.（1），，