滚动习题(二) [范围1.2]
1.A [解析] 因为l⊥α,所以a∥m,所以==,解得k=2.故选A.
2.A [解析] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),所以=(0,2,1),=(-1,0,2),设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),则即令z=2,得m=(4,-1,2).因为平面AEF的任意两个法向量都平行,所以A选项符合题意.故选A.
3.C [解析] 因为(1,2,0)·(2,-1,0)=1×2-2×1+0×0=0,所以两个平面的法向量垂直,所以平面α和平面β的位置关系为垂直.故选C.
4.B [解析] 以D为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,2),D1(0,0,2),设P(1,1,a)(0
5.B [解析] 以点D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,2,0),E(2,0,1),F(1,0,2),D1(0,0,2),设P(a,b,0),a,b∈[0,2],则=(0,-2,1),=(-1,0,1),=(a,b,-2).设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=2,可得m=(2,1,2).由题意可知,D1P∥平面BEF,所以·m=2a+b-4=0,令b=0,可得a=2,令b=2,可得a=1,所以点P的轨迹为线段,且交AD于点A(2,0,0),交BC于点M(1,2,0),所以点P的轨迹长度为AM===.故选B.
6.A [解析] 设外接球的半径为R,则AD=2R,因为AD为三棱锥D-ABC的外接球的直径,所以AB⊥BD,AC⊥CD,又AB⊥BC,AB=,BC=1,所以AC=2,所以BD=,CD=,所以BC2+CD2=BD2,所以BC⊥CD,所以·=·(-)=·-·=||·||·cos∠CBD=||·||·=1.设AC与BD所成的角为θ,则cos θ===,整理得R2=2,所以该外接球的表面积为4πR2=8π.故选A.
7.ABD [解析] 如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,0,0),F(2,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0),B1(2,2,2).对于A,由正方体性质知当点P在点C处时,线段A1P的长度取得最大值2,此时=(-2,2,-2),又=(1,2,1),·=-2+4-2=0,所以⊥,故存在点P,使得A1P=2,故A正确;对于B,设P(x,y,z),则=(x-2,y,z-2),=(2,0,0),若A1P⊥平面ADF,则即显然P(2,1,0)满足题意,故存在点P,使得A1P⊥平面ADF,故B正确;对于C,取正方形BB1C1C的中心M,连接DM,MF,易知MF∥DE,MF=DE,所以四边形DMFE为平行四边形,所以DM∥EF,故P运动到M处时,DP∥EF,此时P(1,2,1),则=(-1,2,-1),因为·=-1+4-1=2≠0,所以A1P与EF不垂直,故不存在点P,使得DP∥EF,故C错误;对于D,若存在点P,使得B1P=DP,则
化简可得即显然P(0,1,2)满足题意,故存在点P,使得B1P=DP,故D正确.故选ABD.
8.ACD [解析] 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1),D1(0,0,2),F(1,0,2λ),所以=(-1,0,1),=(1,0,2λ-2),=(-1,1,1),=(0,-1,2λ),=(-1,-1,2).对于A,若直线BE与D1F异面,则≠,得λ≠,故A正确;对于B,若AE⊥BF,则·=0,即-1+2λ=0,解得λ=,故B错误;对于C,=(0,1,0),=(1,0,-2),设平面ABC1D1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则即令z1=1,得n=(2,0,1),设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,故C正确;对于D,设平面BFD1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则即令z2=1,得m=(2-2λ,2λ,1),若直线AE∥平面BFD1,则·m=2λ-2+2λ+1=0,解得λ=,故D正确.故选ACD.
9. [解析] 以点E为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,,0),B(0,,0),P(0,0,1),D(1,0,0),所以=(-1,-,0),=(0,,-1),=(1,0,-1).设向量n=(x,y,z)同时垂直于, , 则令y=1,则n=(-,1,),所以异面直线PB与AD之间的距离d===.
10. [解析] 连接AC,在△ABC中,由余弦定理得AC===2,则AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC.以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),D(-1,1,0),所以=(-1,1,0),=(0,2,-2),=(-2,0,2),=(2,0,0),因为=λ=λ(-2,0,2)=(-2λ,0,2λ),0≤λ≤1,所以=+=(2-2λ,0,2λ).设平面EAD的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=λ,得m=(λ,λ,λ-1),所以sin 60°=|cos|=
==,解得λ=.
11. [解析] 设AC的中点为O,连接OB,OD,则AC⊥OB,AC⊥OD,所以∠BOD即为二面角D-AC-B的平面角,所以∠BOD=θ.以O为坐标原点,,,过点O垂直于平面ABC且向上的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,cos θ,sin θ),所以=(-,,0),=(,cos θ,sin θ),所以cos α=|cos<,>|===,因为θ∈,所以cos θ∈,所以cos α∈.
[技巧点拨] 应用空间向量求解最值(取值范围)问题,一般都是将坐标设为含有三角函数的形式或变量,应用三角函数的知识或函数思想进而求解最值(取值范围)问题.
12.解:(1)证明:因为在Rt△ABC中,∠C=90°,DE∥BC,且BC⊥CD,
所以DE⊥CD,DE⊥AD,所以折叠后,DE⊥A1D,
又A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1CD,所以DE⊥平面A1CD,
又A1C 平面A1CD,所以DE⊥A1C,
又A1C⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE 平面BCDE,
所以A1C⊥平面BCDE.
(2)以C为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由几何关系可知,CD=4,A1D=8,A1C=4,DE=4,
则C(0,0,0),E(4,4,0),A1(0,0,4),M(2,0,2),
所以=(2,0,2),=(0,0,4),=(4,4,0).
设平面A1CE的一个法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,可得n=(1,-1,0).
设CM与平面A1CE所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|===,
所以cos θ==,所以CM与平面A1CE所成角的余弦值为.
13.解:(1)证明:以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,0,1),
所以=(0,2,-1).易知平面PDC的一个法向量为a=(1,0,0),
因为·a=0,所以⊥a,又QB 平面PDC,所以QB∥平面PDC.
(2)由(1)知=(2,2,-2),=(0,2,-2),=(2,0,-1).
设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则取y1=1,得m=(0,1,1).
设平面PBQ的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
则取x2=1,得n=(1,1,2).
因为cos===,所以平面CPB与平面PBQ所成的角的大小为.
(3)设H(0,0,z),0≤z≤2,则=(-2,0,z),
所以|cos<,>|===,解得z=或z=(舍去),所以DH=.
14.解:(1)证明:如图,作DE⊥AC交AB于点E,以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(2,1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),∴=(2,1,-),=(0,3,),
∵·=0+3-3=0,∴A1B⊥AC1.
(2)易知平面A1B1C1的一个法向量为m=(0,0,1),
∵=(2,1,-),∴·m=-,||==2,∴cos<,m>==-,
设直线A1B与平面A1B1C1所成角的大小为α,则sin α=|cos<,m>|=.
(3)∵C(0,1,0),∴=(0,1,),=(0,1,-),设=λ=(0,λ,λ)(0≤λ≤1),
则==(2,2,0),=+=(0,λ+1,λ-).
设平面A1B1M的一个法向量为n=(x,y,z),
则取x=1,得n=.
若存在点M,使得平面A1B1M与平面A1B1C1所成角的大小为90°,
则m·n==0,解得λ=-1,
又0≤λ≤1,∴不存在点M满足要求.滚动习题(二) [范围1.2]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.直线l的一个方向向量为a=(1,2,-1),平面α的一个法向量为m=(-2,-4,k),若l⊥α,则k=( )
A.2 B.-10
C.-2 D.10
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是 ( )
A.(-4,1,-2) B.(1,-2,4)
C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)
3.已知平面α的一个法向量为(1,2,0),平面β的一个法向量为(2,-1,0),则平面α与平面β的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不能确定
4.[2025·河南周口高二期末] 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,P为棱BB1上的动点(不包含端点),则AC1与D1P所成角的余弦值的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
5.[2025·山西太原高二期中] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,点P为底面ABCD内(包括边界)的一个动点,若直线D1P与平面BEF无公共点,则点P的轨迹长度为 ( )
A. B.
C.2 D.
6.[2025·浙江台州高二期中] 在三棱锥D-ABC中,AB⊥BC,AB=,BC=1,若AD为三棱锥D-ABC的外接球直径,且AC与BD所成角的余弦值为,则该外接球的表面积为 ( )
A.8π B.6π
C.5π D.16π
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为棱AD,BB1的中点.点P为正方体表面上的动点,满足A1P⊥EF.给出下列四个结论,其中正确的是 ( )
A.存在点P,使得A1P=2
B.存在点P,使得A1P⊥平面ADF
C.存在点P,使得DP∥EF
D.存在点P,使得B1P=DP
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC=2,点E,F满足=λ(0<λ<1),=,则下列结论正确的有 ( )
A.若直线BE与D1F异面,则λ≠
B.若AE⊥BF,则λ=
C.直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为
D.若直线AE∥平面BFD1,则λ=
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.如图,在四棱锥P-ABED中,DE∥AB,BE⊥DE,AB=2DE=2PE=2,BE=,PE⊥平面ABED,则异面直线PB与AD之间的距离为 .
10.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AP=2,BC=2AD=2,∠ABC=45°,E为棱PB上一个动点,且=λ,0≤λ≤1,若PC与平面EAD所成的角为60°,则λ= .
★11.把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线AC折起,设二面角D-AC-B的大小为θ,异面直线AB与CD所成的角为α,当θ∈时,cos α的取值范围是 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)如图①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=12,D,E分别是AC,AB上的点,满足DE∥BC且D点是AC上靠近C点的三等分点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,M是A1D的中点,如图②所示.
(1)求证:A1C⊥平面BCDE;
(2)求CM与平面A1CE所成角的余弦值.
13.(15分)[2025·天津和平区高二期中] 如图所示,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,AQ∥DP,AD=2,DP=2,AQ=1.
(1)证明:QB∥平面PDC;
(2)求平面CPB与平面PBQ所成的角的大小;
(3)已知点H在棱PD上,且异面直线AH与PB所成角的余弦值为,求线段DH的长.
14.(15分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2,点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且A1D=.
(1)求证:A1B⊥AC1.
(2)求直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值.
(3)在棱CC1上是否存在点M(包括端点),使得平面A1B1M与平面A1B1C1所成角的大小为90° 若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.(共43张PPT)
滚动习题（二）
范围1.2
（时间:45分钟 分值:100分）
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为
，若 ，则 ( )
A.2 B. C. D.10
[解析] 因为，所以，所以，解得 .故选A.
√
2.如图，在正方体中，以
为原点建立空间直角坐标系，为 的中
点，为 的中点，则下列向量中，能作
为平面 的法向量的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设正方体 的棱长为2，
则，， ，所以
，，
设平面 的一个法向量为 ，则
即令 ，得 .
因为平面 的任意两个法向量都平行，所以A选项符合题意.故选A.
3.已知平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为
，则平面 与平面 的位置关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定
[解析] 因为 ，所以两
个平面的法向量垂直，所以平面和平面 的位置关系为垂直.故选C.
√
4.［2025·河南周口高二期末］在正四棱柱 中，
,为棱上的动点（不包含端点），则与 所
成角的余弦值的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 以为坐标原点，以,， 的方向分别为
轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系，则,, ，
设，则 ,
.
√
设与所成的角为 ，
则 ，
所以，
令,则 ，所以，
所以 .故选B.
5.［2025·山西太原高二期中］如图，已知正方体
的棱长为2,,分别是棱,的中点，点为底面 内
（包括边界）的一个动点，若直线与平面无公共点，则点
的轨迹长度为( )
A. B. C.2 D.
√
[解析] 以点为坐标原点，,, 的方向分别
为,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,, ，
设，,，则 ,
,.
设平面 的一个法向量为，则
取，可得.由题意可知，平面 ，
所以，
令，可得 ，令，可得，
所以点 的轨迹为线段，且交于点，
交于点，所以点 的轨迹长度为
.
故选B.
6.［2025·浙江台州高二期中］在三棱锥中， ,
,，若为三棱锥的外接球直径，且 与
所成角的余弦值为 ，则该外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设外接球的半径为，则，因为 为三棱锥
的外接球的直径，所以,，
又 , ,，所以，
所以 ,，
√
所以，所以，所以.
设与所成的角为 ，则 ，
整理得 ，所以该外接球的表面积为 .故选A.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.如图，在棱长为2的正方体中，点, 分别为棱
,的中点.点为正方体表面上的动点，满足 .给出下列
四个结论，其中正确的是( )
A.存在点，使得
B.存在点，使得 平面
C.存在点，使得
D.存在点，使得
√
√
√
[解析] 如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，, ,
,, .
对于A，由正方体性质知当点在点处时，线段
的长度取得最大值，此时,
又 ，，所以，
故存在点 ，使得，故A正确；
对于B,设， 则，，
若平面 ，则
即显然满足题意，故存在点 ，
使得平面 ，故B正确；
对于C，取正方形的中心，连接,，易知 ,
，所以四边形 为平行四边形，所以，故运动到处时，
，此时，则 ，因为
， 所以与 不垂直，故不存在点使得 ,故C错误；
对于D，若存在点，使得 ，则
化简可得即 显然
满足题意，故存在点，使得 ，
故D正确.故选 .
8.在长方体中，，点, 满
足， ，则下列结论正确的有
( )
A.若直线与异面，则
B.若，则
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.若直线平面，则
√
√
√
[解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，则,,, ，
,所以, ，
,, .
对于A，若直线与异面，则，得 ，
故A正确；
对于B，若,则即 ,解得
故B错误；
对于C，, ，
设平面 的一 个法向量为，
则 即令，得，
设直线 与平面所成的角为，
则 , ，故C正确；
对于D，设平面的一个法向量为 ，
则 即
令 ，得，
若直线平面 ，
则，解得 ，
故D正确.故选 .
三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.如图，在四棱锥中，， ，
，， 平面 ，则异面直线
与 之间的距离为_ ____.
[解析] 以点为坐标原点，,, 的方向分别
为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系，则,, ,
,所以 ， ，.
设向量同时垂直于 , ，
则令 ，则，
所以异面直线与 之间的距离 .
10.如图，四棱锥的底面 是梯形，
平面， ，，
， ，为棱 上
一个动点，且,，若与平面
所成的角为 ，则 __.
[解析] 连接，在 中，由余弦定理得
向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
，，，所以 ，，
， ，
，则
，所以.
以 为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方
因为 ， ，
所以.
设平面 的一个法向量为 ，
则
令 ，得，
所以 , ，
解得 .
★11.把边长为2的正方形纸片沿对角线 折起，设二面角
的大小为 ，异面直线与所成的角为 ，当
时， 的取值范围是______.
[解析] 设的中点为，连接，，则， ，
所以即为二面角的平面角，所以 .
以 为坐标原点，，，过点垂直于平面 且向上的方向分别
为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，
，， ，
所以 ，，0），， ， ，
所以， ，
因为，所以，所以 .
［技巧点拨］ 应用空间向量求解最值（取值范围）问题，一般都是
将坐标设为含有三角函数的形式或变量，应用三角函数的知识或函
数思想进而求解最值（取值范围）问题.
四、解答题：本大题共3小题,共43分.
12.（13分）如图①所示，在中， ， ，
，，分别是，上的点，满足且点是 上
靠近点的三等分点，将沿折起到 的位置，使
，是 的中点，如图②所示.
（1）求证： 平面 ；
证明：因为在中， ，
，且 ，所以，
，所以折叠后， ，
又，， 平面，
所以 平面 ，又 平面，
所以 ，又，，
, 平面 ，所以 平面 .
（2）求与平面 所成角的余弦值.
12.（13分）如图①所示，在中， ， ，
，，分别是，上的点，满足且点是 上
靠近点的三等分点，将沿折起到 的位置，使
，是 的中点，如图②所示.
解：以为坐标原点，，， 的方向分别
为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系.
由几何关系可知, , ，
则，，， ，
所以，， .
设平面的一个法向量为 ，
则
令，可得 .
设与平面所成的角为 ，
则, ，
所以，
所以 与平面所成角的余弦值为 .
13.（15分）［2025·天津和平区高二期中］ 如图所示，四边形
为正方形， 平面，，，， .
（1）证明：平面 ；
证明：以为坐标原点，,, 的方向分
别为,, 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则,,,, ，
所以.
易知平面 的一个法向量为 ，
因为，所以，又 平面 ，所以平面 .
（2）求平面与平面 所成的角的大小；
解：由（1）知, ,
.
设平面的一个法向量为 ，
则 取，得 .
13.（15分）［2025·天津和平区高二期中］ 如图所示，四边形
为正方形， 平面，，，， .
设平面的一个法向量为 ，
则
取 ，得 .
因为, ，
所以平面与平面所成的角的大小为 .
（3）已知点在棱上，且异面直线与 所成
角的余弦值为，求线段 的长.
解：设，，则 ，
所以,，
解得或 （舍去），所以 .
13.（15分）［2025·天津和平区高二期中］ 如图所示，四边形
为正方形， 平面，，，， .
14.（15分）如图，在斜三棱柱
中，，，点 在底
面上的射影恰为的中点 ，且 .
（1）求证： .
证明：如图，作交于点，以为坐标
原点， ,, 的方向分别为,, 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则,,,
, , ，
， .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：易知平面的一个法向量为 ，
， ,
，
, ，
设直线与平面所成角的大小为 ，
则, .
14.（15分）如图，在斜三棱柱 中，，
，点 在底面上的射影恰为的中点 ，且 .
（3）在棱上是否存在点 （包括端点）,使得平面与平面
所成角的大小为 ？若存在，确定点 的位置;若不存在，请说明理由.
解：,, ，
设 ，
则,
.
14.（15分）如图，在斜三棱柱 中，，
，点 在底面上的射影恰为的中点 ，且 .
设平面的一个法向量为 ，
则
取，得 .
若存在点，使得平面与平面
所成角的大小为 ，
则，解得 ，
又， 不存在点 满足要求.
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.C 4.B 5.B 6.A 7.ABD 8.ACD
9. 10. 11.
12.（1）证明略（2）.
13.（1）证明略（2） （3）
14.（1）证明略 （2） （3）不存在点满足要求，理由略