单元素养测评卷(一)
1.A [解析] 连接AM,AC,如图,因为=+=a+b,===b,所以=+=-++=-(a+b)+c+b=-a-b+c.故选A.
2.C [解析] 向量a在向量b上的投影向量为·b=(-2,1,1)=,故选C.
3.A [解析] A,B,C,M四点共面的充要条件是=x+y,即-=x(-)+y(-),整理可得(1-x-y)=-x-y,即=--.由=2λ++,得得λ=.故选A.
4.C [解析] 由空间向量数量积的坐标运算可得a·b=x+4=6,解得x=2,所以b=(2,2,2),所以cos
===.故选C.
5.B [解析] 因为=(2,2,-2),=(1,0,-2),所以·=6,故A中说法正确;与夹角的余弦值为cos<,>===,故B中说法错误;因为=(3,2,-4),所以=+,故A,B,C,D四点共面,故C中说法正确;因为=(-1,0,0),所以=-,所以点O到直线AB的距离是==,故D中说法正确.故选B.
6.C [解析] 如图,以D1为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则B(1,1,1),D(0,0,1).设点P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,则=(1-x,1-y,1),=(-x,-y,1),所以·=x2-x+y2-y+1=++,当x=0或1,y=0或1时,·取得最大值1.故选C.
7.B [解析] 如图所示,以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.设SD=t(t>0),则B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,1,0),F,所以=(-2,1,0),=.因为异面直线EC与BF所成角的余弦值为,所以|cos<,>|===,可得t=4,即SD=4.故选B.
8.C [解析] 由平面α的方程为x-y+z-7=0,得平面α的一个法向量为m=(1,-1,),由直线l的方程为==,得直线l的一个方向向量为n=(-3,5,).设直线l与平面α所成的角为α,则sin α=|cos|==,所以α=30°,故选C.
9.BC [解析] 对于A,若与共线,则存在λ∈R使=λ,则无解,故,不共线,故A错误;对于B,与同向的单位向量是=,故B正确;对于C,=-=(-3,1,1),故cos<,>===-,故C正确;对于D,设m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则令y=2,则m=(-1,2,-5),m与n不共线,故D错误.故选BC.
10.BC [解析] 如图,以D为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),所以=(0,1,0),=(1,1,1).设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则m=(1,0,-1).设Q(1,0,t)(0≤t≤1),则=(0,-1,t),若BQ与平面B1CD垂直,则与m共线,则存在唯一的实数λ,使=λm,则(0,-1,t)=λ(1,0,-1),等式不可能成立,所以与m不共线,所以不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直,故A错误,B正确.=(1,0,t-1),若D1Q与平面B1CD垂直,则与m共线,则存在唯一的实数μ,使=μm,则(1,0,t-1)=μ(1,0,-1),得μ=1,t=0,所以当Q的坐标为(1,0,0)时,与m共线,此时D1Q与平面B1CD垂直,故C正确,D错误.故选BC.
11.ACD [解析] 由题意知,m,n,AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,不妨设图中正方体的棱长为1,故AC=1,AB=,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.以C为原点,建立空间直角坐标系,则D(1,0,0),A(0,0,1),设直线m的单位方向向量为m=(0,1,0),|m|=1,直线n的单位方向向量为n=(1,0,0),|n|=1.设点B在运动过程中B'的坐标为(cos θ,sin θ,0),其中θ为B'C与CD的夹角,θ∈[0,2π),则=(cos θ,sin θ,-1),||=.设AB'与m所成的角为α,α∈,则cos α===|sin θ|∈,∴α∈,故A正确,B错误.设AB'与n所成的角为β,β∈,则cos β===|cos θ|,当AB'与m所成的角为,即α=时,|sin θ|=cos α=cos=,∵cos2θ+sin2θ=1,∴|cos θ|=,∴cos β=|cos θ|=,∵β∈,∴β=,此时AB'与n所成的角为,故C正确.当AB'与m所成的角为,即α=时,|sin θ|=cos α=0,∵cos2θ+sin2θ=1,∴|cos θ|=1,∴cos β=|cos θ|=,∵β∈,∴β=,此时AB'与n所成的角为,故D正确.故选ACD.
12.(2,-1,-3) [解析] 点M(2,1,-3)关于zOx平面的对称点的坐标为(2,-1,-3).
13.0 [解析] 令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
14. [解析] 如图所示,以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,由题意,A1(2,0,6),F(1,1,0),E(2,2,3),则=(1,-1,6),=(1,1,3).设平面A1FE的一个法向量为n=(x,y,z),则得令x=1,得y=-,z=-,则平面A1FE的一个法向量为n=.因为DD1⊥平面ABCD,所以m==(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.设平面A1FE与平面ABCD所成角为θ,则cos θ===,故平面A1FE与平面ABCD所成角的余弦值为.
15.解:(1)=(2,-1,2),设D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2).∵点D(异于点A,C)在直线AC上,∴∥,即==,∴x=-2y+1,z=-2y+4,∴D(-2y+1,y,-2y+4),∴=(-2y+2,y-2,-2y).∵⊥,∴(-2y+2)×2-(y-2)-4y=0,解得y=,∴D.
(2)由(1)知=,||==2,||==3,∴S△ABC=×2×3=3.
16.解:(1)由题意得a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),由(ka+b)·(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8<0,解得-∵当k=0时,两向量的夹角为π,∴k的取值范围是∪(0,2).
(2)设直线PN的单位方向向量为u,则u==,∵=a=(1,1,0),∴a·u=-,|a|2=2,∴点M到直线PN的距离d==.
17.解:(1)证明:取AC的中点D,连接MD,PD,
∵M为AB的中点,∴MD∥BC,又AC⊥BC,∴MD⊥AC,
又△PAC为等腰直角三角形,PA⊥PC,∴PD⊥AC,
∵MD∩PD=D,MD,PD 平面PMD,∴AC⊥平面PMD,
又PM 平面PMD,∴AC⊥PM.
(2)∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
由(1)知PD⊥AC,且PD 平面PAC,∴PD⊥平面ABC.
以D为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(-1,4,0),C(-1,0,0),P(0,0,1),M(0,2,0),D(0,0,0),
∴=(-1,0,1),=(1,-4,1).
设n=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量,则
令z=1,则x=1,y=,故n=为平面PAB的一个法向量,
又=(0,2,0)为平面CPA的一个法向量,
∴|cos<,n>|===,
∴平面CPA与平面PAB所成角的余弦值为.
(3)假设在棱PB上存在点N使得平面CMN⊥平面PAB,且=λ,0≤λ≤1,
由(2)知N(-λ,4λ,1-λ),则=(1-λ,4λ,1-λ),=(1,2,0).
设m=(a,b,c)是平面CNM的一个法向量,
则令b=1,则a=-2,c=,
∴m=为平面CNM的一个法向量,
∴m·n=-2++=0,解得λ=,
∴在棱PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB,此时=.
18.解:(1)证明:在图①中,过B作BF⊥CD,垂足为F,所以CF=1,又∠DCB=60°,所以BC=2,所以△BCE是等边三角形,连接AE,可得△ABE也是等边三角形.
在图②中取BE的中点O,连接C1O,AO,易知C1O⊥OB,AO⊥OB,因为C1O=AO=,AC1=,所以C1O2+AO2=A,所以C1O⊥AO,
又OA∩OB=O,OA 平面ABED,OB 平面ABED,所以C1O⊥平面ABED,因为C1O 平面BC1E,所以平面BC1E⊥平面ABED.
(2)由(1)知C1O,OB,OA两两垂直.以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D,C1(0,0,),E(0,-1,0),B(0,1,0),所以=,=(0,-2,0).
设=λ,0≤λ≤1,所以P,所以=.
设平面PBE的一个法向量为m=(x,y,z),
则即
令x=2λ,得m=(2λ,0,λ-1).易知平面ABE的一个法向量为n=(0,0,1).
若锐二面角P-BE-A的大小为45°,则|cos|==,整理得3λ2+2λ-1=0,解得λ=或λ=-1(舍去).所以m=,又=(0,-1,),所以点C1到平面PBE的距离d==.
19.解:(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,所以PD⊥BC,
由底面ABCD为长方形,得BC⊥CD,
因为PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,所以BC⊥平面PCD,
因为DE 平面PCD,所以BC⊥DE.
因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC,
因为PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以DE⊥平面PBC.
(2)由(1)可知DE⊥平面PBC,又PB 平面PBC,所以PB⊥DE.
又PB⊥EF,DE∩EF=E,DE,EF 平面DEF,所以PB⊥平面DEF.
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.
(3)如图,以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
设PD=DC=2,则CB=CP=2,则D(0,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),由题意可知,二面角F-DG-B即为平面DEF与平面ABCD所成的角.
设F(x,y,z),=λ(0≤λ≤1),则(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),所以即F(2λ,2λ,-2λ+2),
则=(0,1,1),=(2λ,2λ,-2λ+2).
设平面FDG的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则
令z1=λ,则y1=-λ,x1=2λ-1,所以n1=(2λ-1,-λ,λ).
易知平面BDG的一个法向量为n2=(0,0,1),
因此,cos==,整理得=,解得λ=,所以=.单元素养测评卷(一)
第一章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M为A1D1的中点,则等于( )
A.-a-b+c B.a+b+c
C.-a+b-c D.-a-b+c
2.[2025·浙江湖州高二期末] 已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量a在向量b上的投影向量为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若=2λ++,则A,B,C,M四点共面的充要条件是 ( )
A.λ= B.λ=
C.λ=- D.λ=-
4.已知向量a=(1,0,2),b=(x,2,2),且a·b=6,则向量a与b的夹角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),D(2,2,-4),则下列说法中错误的是 ( )
A.·=6
B.与夹角的余弦值为
C.A,B,C,D四点共面
D.点O到直线AB的距离是
6.已知点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则·的最大值为 ( )
A. B. C.1 D.
7.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,棱AB,SC的中点分别为E,F,若异面直线EC与BF所成角的余弦值为,则SD= ( )
A. B.4 C.2 D.3
8.在空间直角坐标系Oxyz中,经过点P(x0,y0,z0),且法向量为m=(A,B,C)的平面的方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(μ,v,ω)(μvω≠0)的直线l的方程为==.根据上面的材料解决下面的问题:现给出平面α的方程为x-y+z-7=0,经过点(0,0,0)的直线l的方程为==,则直线l与平面α所成的角为( )
A.60° B.120°
C.30° D.45°
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知向量=(2,1,0),=(-1,2,1),则下列说法中正确的是 ( )
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.和的夹角的余弦值是-
D.平面ABC的一个法向量是n=(1,2,5)
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q为AA1上一动点,则 ( )
A.存在点Q,使得BQ与平面B1CD垂直
B.不存在点Q,使得BQ与平面B1CD垂直
C.存在点Q,使得D1Q与平面B1CD垂直
D.不存在点Q,使得D1Q与平面B1CD垂直
11.已知m,n为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与m,n都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则 ( )
A.直线AB与m所成角的最小值为
B.直线AB与m所成角的最大值为
C.当直线AB与m所成的角为时,AB与n所成的角为
D.当直线AB与m所成的角为时,AB与n所成的角为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于zOx平面的对称点的坐标为 .
13.在空间四面体ABCD中,·+·+·= .
14.[2025·河北张家口高二期末] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=6,点F为BD的中点,点E为棱BB1的中点,则平面A1FE与平面ABCD所成角的余弦值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知空间中三点A(-1,1,2),B(-1,2,4),C(1,0,4).
(1)若点D(异于点A,C)在直线AC上,且⊥,求点D的坐标;
(2)求△ABC的面积.
16.(15分)已知空间中的三点P(-2,0,2),M(-1,1,2),N(-3,0,4),=a,=b.
(1)当ka+b与ka-2b的夹角为钝角时,求k的取值范围;
(2)求点M到直线PN的距离.
17.(15分)[2025·广东广州高二期中] 如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC为等腰直角三角形,PA⊥PC,AC⊥BC,BC=2AC=4,M为AB的中点.
(1)求证:AC⊥PM.
(2)求平面CPA与平面PAB所成角的余弦值.
(3)在棱PB上是否存在点N使得平面CMN⊥平面PAB 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
18.(17分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AB=2,CD=3,∠DCB=60°,E在线段CD上,且CE=2ED,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达C1的位置,且AC1=,如图②.
(1)求证:平面BC1E⊥平面ABED;
(2)在棱DC1上存在点P,使得锐二面角P-BE-A的大小为45°,求C1到平面PBE的距离.
②
19.(17分)[2025·黑龙江哈尔滨高二期末] 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,CB=CP,E为棱PC的中点,F为棱PB上一点,FP(1)求证:DE⊥平面PBC;
(2)若EF⊥PB,连接BE,判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角;若不是,写出其不是直角三角形的面;
(3)延长FE,BC交于点G,连接DG,若二面角F-DG-B的大小为,求.