人教版九年级下 第27章 相似 单元测试（含答案）

人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．若两个相似三角形的对应角平分线的比为3：2，则它们的面积比为（　　）
A．6：4 B．9：4 C．2：3 D．3：2
2．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：OA′=1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：9
3．如果，则=（　　）
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm,下身长约96cm,为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为（精确到1cm）（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
5．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB=36cm,A′B′=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A′B′的距离为（　　）cm.
A．10 B．20 C．30 D．40
6．（2025 顺德区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若AE=3，DE=3BE，则AD的长为（　　）
A．5 B．6 C．6 D．9
7．如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上一点，且DE=3EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为3，则△ABF的面积为（　　）
A．4 B． C．16 D．
8．如图，衣夹简化的示意图中夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM=BN=15mm,CM=DN=20mm,MN=8mm.当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　）
A． B．16mm C．14mm D．
9．如图，在矩形ABCD内放置5个大小相同的正方形，且E，F，G，H四个点分别在矩形的四条边上．要求AD-AB的值，只要知道下面哪条线段的长？（　　）
A．CG B．AH C．FH D．BE
10．为研究黄帝文化，某数学小组来到黄台山公园，设计用手电筒来测量轩辕阁的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到轩辕阁CD顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=1.5米，BP=2米，PD=72米，那么轩辕阁的高度约为（　　）
A．54米 B．60米 C．96米 D．144米
11．如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm,蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm,该凸透镜的焦距OF为10cm,AE∥OF，则像CD的高为（　　）
A．13.5cm B．14.4cm C．15.5cm D．12.9cm
12．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=BC，连接GM．有如下结论：①DE=AF；②AN=AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB=1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．如果=，那么=______．
14．如图，D，E是△ABC边上的两个点，要使△ABC∽△AED，添加一个条件是 ______（只写一个）．
15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 ______．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为 ______．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，连接BD并延长至点E，使得BD=DE，连接AE，恰好有AE⊥DE．若，则=______．
三．解答题（共5小题）
18．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AB的中点，连接CE、DE，过点D作DF⊥DE交线段AB的延长线于点F．
（1）求证：FD2=FB FA；
（2）若BF=2，DF=4，求BC的长．
19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD=4，CE=3，求DE的长．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连结OE，OE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED为平行四边形；
（2）求的值．
21．如图，△ABC中边BC=50，高AD=40，点E、F在AB、AC上，且EF∥BC交中线AM和高AD于点N和点G．
（1）若点N是△ABC的重心，求△EDF的面积；
（2）求当EF长度为多少时，△EDF的面积最大．
22．如图，菱形ABCD，AC为对角线，过A、B、C三个顶点作⊙O，边AD与⊙O相切于A，直径AE交BC于G，延长BE、DC交于F，连接OF交BC于M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）求的值．
人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、C 4、A 5、B 6、B 7、B 8、A 9、A 10、A 11、A 12、C
二．填空题（共5小题）
13、； 14、∠ADE=∠C或∠AED=∠B或=； 15、a； 16、； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD，∠CAD=∠BAD，
∵点E是线段AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠BAD，
∵AD⊥BC，DF⊥DE，
∴∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴∠BDF=∠BAD，
又∠F=∠F，
∴△BDF∽△DAF，
∴=，
∴FD2=FB FA；
（2）解：∵BF=2，DF=4，FD2=FB FA，
∴FA=8，
∴AB=FA-BF=6，
∵△BDF∽△DAF，
∴===，
∴AD=2BD，
∵AD2+BD2=AB2=62=36，
∴4BD2+BD2=36，
∴BD=或BD=-（舍去），
∴BC=2BD=．
19、（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDE=∠FED=90°，
∴∠GDB=∠FEC=90°，
∴∠C+∠B=∠EFC+∠C=90°，
∴∠B=∠EFC，
∴△DBG∽△EFC；
（2））解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=DE=EF，
∵△DBG∽△EFC，
∴=，
∴=，
∵BD=4，CE=3，
∴=，
∴DE=2或DE=-2（舍去），
∴DE=2．
20、（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，
又∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，四边形ACED为平行四边形，
∴CO=AO=AC=DE，即，，
又∵AC∥DE，
∴△OFC∽△EFD，
∴，
∴，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD=CD，
∴．
21、解：（1）∵N是三角形的重心，
∴．
∵EF∥BC，
∴，．
∴EF==，=．
∴△EDF的面积==．
（2）设EF=x.
∵EF∥BC，
∴，即．
∴AG=．
∴GD=40-AG=40-．
∴==．
∴x=-==25．
∴当EF=25时，△EDF的面积最大．
22、（1）证明：如图，连接OC，
∵边AD与⊙O相切于A，
∴∠OAD=90°，
即∠OAC+∠CAD=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠ACD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
即∠OCD=90°，
∵OC为半径，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵边AD与⊙O相切于A，
∴∠OAD=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AB∥DF，AB=BC，
∴∠AGC=90°，
即AE⊥BC，
∵AE为直径，
∴BG=CG，
∴△ABG≌△ACG（SAS），
∴AC=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABG=60°，
∵∠ABE=90°，
∴∠CBF=∠ABE-∠ABG=30°，
∵AB∥DF，
∵∠BFC=90°，
∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=60°，
∵OC⊥DF，
∴∠OCG=∠OCF-∠BCF=30°，
∴△BGE≌△CGO（ASA），△BMF∽△CMO，
∴OC=BE，=，
设OC=BE=2k,
∵∠BGE=90°，∠CBF=30°，
∴EG=k,BG=k,
∵∠BFC=90°，∠CBF=30°，
∴BC=2k,CF=k,BF=3k,
∴===．