(共90张PPT)
2.3 圆及其方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
探究点一 直线与圆的位置关系的判断
探究点二 圆的切线方程及切线长
探究点三 直线与圆的相交问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离;
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系;
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
知识点一 直线与圆的位置关系
直线 与圆
的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ___ ___ ___
判断 方法 代数法：由方程组 消元得到一元二次方程的判别式 ___0 ___0 ___0
2
1
0
>
=
<
位置关系 相交 相切 相离
判断 方法 几何法：求圆心到直线的 距离 ___ ___ ___
图形 ________________________ _________________________ _______________________
<
=
>
续表
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )
×
[解析] 若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切,故不正确.
（2）若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次
方程必有解.( )
√
[解析] 直线与圆相交,则必有公共点,方程必有解,故正确.
（3）若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得
到的一元二次方程无解.( )
√
[解析] 圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程一定无解,
故正确.
（4）已知一条直线过一个定点，若该定点在圆内，则直线与圆必相
交.( )
√
知识点二 直线与圆相切、相交的性质
1.直线与圆相切
如图①，直线与圆相切，切点为，半径为 .
①
结论：（1） ；
（2）点到直线的距离 ___；
（3）切点在直线 上，也在圆上.
②
2.直线与圆相交
如图②，直线与圆相交于，两点，圆
的半径为，弦的中点为 .
结论：（1）点到直线的距离 ，称
为弦心距；
（2） ；
（3）， .
探究点一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程为 ，圆的方程为
.当 为何值时，直线与圆：（1）有两个
公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点？
解：方法一：由消去 得
，则
.
（1）当，即或 时，直线与圆相交，此时直线与
圆有两个公共点.
（2）当，即或 时，直线与圆相切，此时直线与
圆只有一个公共点.
（3）当，即 时，直线与圆相离，此时直线与圆没
有公共点.
方法二：圆的方程可化为 ，则圆心坐标为
，半径.圆心到直线 的距离
.
（1）当，即或 时，直线与圆相交，此时直线与
圆有两个公共点.
（2）当，即或 时，直线与圆相切，此时直线与
圆只有一个公共点.
（3）当，即 时，直线与圆相离，此时直线与圆没
有公共点.
变式（1）［2025·浙江宁波高二期中］已知动直线
，圆，则直线 与圆
的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
[解析] 直线 可化为
.由解得即直线 经过定点，
因为，所以点 在圆的内部，
故直线与圆 相交.故选A.
√
（2）（多选题）已知直线，圆 ，圆
，， ，则下列说法正确的是
( )
A.若圆心在圆内，则圆心在圆 内
B.若圆心在圆内，则直线与圆 相离
C.若直线与圆相切，则直线与圆 相切
D.若直线与圆相切，则圆心在直线 上
√
√
√
[解析] 圆的圆心为，半径 ，圆
的圆心为，半径 .
对于A，若圆心在圆内，则 ，所以
，因此圆心在圆 内，故A正确；
对于B，若圆心在圆内，则，所以点到直线 的
距离，因此直线与圆 相离，故B正确；
对于C，D，若直线与圆相切，则，所以点到直线 的
距离为，则圆心在直线上，因此直线与圆 相交，
故C错误，D正确.故选 .
［素养小结］
直线与圆的位置关系的判断方法：
（1）几何法：由圆心到直线的距离
与圆的半径
的大小关系判断.
（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
（3）直线系法：若直线恒过定点，则可通过判断点与圆的位置关系
来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的
直线系.
探究点二 圆的切线方程及切线长
例2（1）求圆的切线方程,使得它经过点 .
解：因为点的坐标满足圆的方程,所以点在圆 上.
由题可知圆心为,则直线的斜率 ,
所以所求切线的斜率.
故经过点的切线方程为 ,即 .
（2）过点作圆的切线,求切线 的方程.
解：因为,所以点 在圆外.
当直线的斜率不存在时,的方程是,不满足题意.当直线 的斜
率存在时，设直线的斜率为,则的方程为 ,即
.
方法一：圆心到切线的距离,解得 或
,因此切线的方程为或 .
方法二:因为直线与圆相切,所以方程组
只有一个实数解，消去,得到关于 的一元二次方程
,
则 ,
整理得,解得或,
因此切线的方程为 或 .
变式（1）已知直线 是圆
的对称轴，过点作圆 的两条
切线，切点分别为和，则 ( )
A.7 B. C. D.
√
[解析] 圆 的标准方程为
，所以圆心，半径 ,
又直线是圆的对称轴，所以直线过圆心 ，
所以，解得，即 ,因此
，所以切线长
,
又 ，所以四边形的面积为 ，
可得 .故选D.
（2）设过点且与圆 相切的两条直线
的夹角为 ，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 圆 的标准方程为
，则该圆的圆心为 ,半径为1.
易知过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，则 ，
解得或，所以两条直线的方程为或 ，
则，又 ，所以 .故选A.
√
［素养小结］
1.求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定
切线的条数.
（1）若点
在圆上：
①先求切点与圆心连线的斜率
，再由垂直关系得切线的斜率为
，
由点斜式可得切线方程；
②如果斜率
为零或不存在，则由图形可直接求得切线方程为
或
.
（2）若点 在圆外：
①几何法：设切线方程为 ，由圆心到直线的距离
等于半径建立方程，可求得 ，即可求得切线方程；
②代数法：设切线方程为 ，与圆的方程联立，消
去后得到关于的一元二次方程，由求出 ，即可求得切线方程.
当用上述方法只求出一个方程时，另一个方程应为 ，因为在
上面解法中不包括斜率不存在的情况.
提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况.
2.切线长公式：从圆外一点 引圆
的切线，则切线长
.
拓展 已知圆与直线 ，
过上任意一点向圆引切线，切点为，，若线段 长度的最小
值为，则实数 的值为_ ___.
[解析] 圆的标准方程为，则圆的圆心为 ，
半径.设，则 ，
因为，所以，又，所以 ，
又，所以，即，又 ，
所以 .
探究点三 直线与圆的相交问题
例3 ［2025·四川遂宁高二期中］已知 ，直线
与圆交于,两点，则 的最
小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
√
[解析] 由，得 ，代入直线方
程得 ，即
，
由 解得故直线恒过点.
设 ，由题得圆的标准方程为，
设圆心为，则 ，,，如图，由图可知，
当时， 最小，故 .
故选C.
变式（1）直线与圆 相
交于，两点，则 的最小值为( )
A. B.2 C. D.4
[解析] 因为直线方程可化为 ，所以直线过定点,
又圆的方程可化为 ,所以圆的圆心为
,半径,所以,
当 时，最小，此时
,故选C.
√
（2）与圆相交所得的弦长为2，且在 轴上的截距
为 的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 将圆的方程化为 ，得圆心
坐标为,半径为 所求直线与圆相交所得弦长为2，半径为2，
弦心距为 .
由题意可知所求直线的斜率存在，设直线方程为，
即，则弦心距 ,解得，
故所求直线的方程为 .故选A.
√
［素养小结］
与圆的弦长有关问题的两种解法：
（1）半径长
、弦心距
、弦长
的一半构成直角三角形，利用勾股
定理
求解，这是常用解法.
（2）联立直线与圆的方程，消元得到关于
（或
）的一元二次方程，
利用根与系数的关系得到两交点横坐标（或纵坐标）之间的关系，
代入两点间距离公式求解，此解法很繁琐，一般不用.
拓展 圆上到直线 的距离为
1的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 圆 的圆心坐标
为 ,半径为2.由圆心到直线
的距离 ,
如图所示，结合图形可知，圆上有，， 三
个点到直线 的距离为1.故选C.
√
1.直线与圆 的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.相离或相切
[解析] 圆心到直线的距离为 ，因此直线
与圆 相离，故选C.
√
2.直线被圆 所截得的弦长为
( )
A. B. C. D.4
[解析] 圆的方程可化为 ，则圆心坐标为
，半径为，则圆心到直线的距离 ，
故直线被圆 所截得的弦长
等于圆的直径 ，故选C.
√
3.［2025·北京第一六一中学高二期中］过点的直线 与圆
有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知圆的半径为，圆心为原点.当直线 的斜率不存在，即直线
的倾斜角为时，直线的方程为此时直线 与圆相切,满足题意；
当直线的斜率存在时，不妨设直线 的方程为，
则圆心到直线的距离 ，解得，
所以直线的倾斜角的取值范围为.
综上，直线 的倾斜角的取值范围为 .故选A.
4.［2025·广东湛江高二期末］已知圆 ，直线
上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为 ，
，若 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心为，半径 .由，
得 ，又 ，所以，
又直线上存在点 ，满足 ，
所以点到该直线的距离 ，解得，
所以的取值范围是 .故选C.
√
5.过点作圆 的切线，则该切线的方程为_________
___________________.
或
[解析] 圆的圆心为 ，因为
，所以点 在圆外.当切线的斜率不存在时，
直线与圆相切，则切线的方程为 ；
当切线的斜率存在时，设所求切线方程为 ，
即，则圆心到切线的距离 ，
解得，所以切线的方程为 .
综上，所求切线的方程为或 .
关于圆的切线方程的常见结论
（1）过圆上一点的切线的方程为 .
（2）过圆上一点 的切线的方程为
.
（3）过圆 上一点
的切线的方程为 .
（4）过圆外一点作圆 的切线，
设切点分别为，,则直线 的方程为
.
（5）过圆外一点可以作圆 的两条
切线，且这两条切线段长度相等，切线段的长度
.
1.直线与圆的位置关系的判定方法
（1）代数法,将圆的方程和直线的方程组成方程组,并消去一个未知
数得到一个一元二次方程,利用该一元二次方程根的判别式判断.
（2）几何法,依据圆心到直线的距离与半径 的大小关系进行判断.
例1 ［2025·广东广州华南师范大学附中高二月考］已知 为坐标原
点，点和直线，点是点关于直线 的对称
点，且点满足 .
（1）求点的坐标及点 的轨迹方程；
解：设，则解得故 .
设，则，整理得 ，
故点的轨迹方程为 .
（2）若点的轨迹与直线有公共点，求 的取值范围.
解：若圆与直线 有公共点，则圆心
到直线的距离小于等于圆的半径 ，即
，解得或，故的取值范围是 或
.
例1 ［2025·广东广州华南师范大学附中高二月考］已知 为坐标原
点，点和直线，点是点关于直线 的对称
点，且点满足 .
2.求圆的切线方程的常用方法
（1）待定系数法,设出切点坐标或切线的斜率,由题意列出方程
（组）,解得切点坐标或斜率,写出切线的点斜式方程,最后将点斜式化
为一般式.
（2）定义法,根据切线方程的定义求出切线方程.
（3）直接法,应用常见结论,直接写出切线方程.
例2（1）［2025·江苏无锡高二期中］经过圆 上
的点的 的切线方程为________________.
[解析] 圆的圆心为，又切点为 ，所以
，所以切线斜率为 ，
则切线方程为，化简得 .
（2）［2025·山东泰安高二期中］已知圆 ，
则过点的圆 的切线方程为( )
A. B.或
C. D.或
√
[解析] 圆的圆心坐标为 ，半径为
2.由，可知点 在圆外.当切线斜率
不存在时，切线方程为 ，符合题意;
当切线斜率存在时，设切线方程为，
即，则 ，解得，
此时直线方程为 ，即.
综上所述，切线方程为 或 .故选D.
（3）［2025·福建福州高二期中］已知实数, 满足
，则 的最大值是( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 由 得
， 点 的轨迹是以
为圆心，3为半径的圆， 的几何意义为该
圆上的点与点 连线的斜率.
当过点的直线斜率不存在，即直线方程为 时，
显然直线与圆不相切；
设过点的圆的切线方程为 ，
即， 圆心到切线的距离，
解得， .故的最大值为 .故选C.
3.已知弦长,求弦所在直线的方程或求圆的方程,往往结合相关直角三
角形直角三角形三边长分别是圆的半径、弦长的一半、弦心距 ,
并利用待定系数法求解.
例3 设圆上的点关于直线 的对称点仍在圆上,且圆
截直线所得的弦长为 ,求圆的方程.
解：设圆的方程为 .
由题意可知,直线 过圆心,则 .
点在圆上, ,
又圆截直线所得的弦长为 ,
.
解由①②③所组成的方程组得或
故所求圆的方程为 或
.
4.与切线长有关的最值问题
切线长最小，则圆外一点到圆心的距离最小，所以解决与切线长有
关的最值问题，关键是解决圆心到圆外一点的距离的最值问题.
例4 已知圆，点是直线 上的动点，
过作圆的两条切线，切点分别为，，则 的最小值为____.
[解析] 圆，即 ，
其圆心为，半径，
因为，分别切圆于点， ，所以，，
，所以，
因为 ，所以，
由圆的性质知 ，所以，
所以，当 最小时，最小，
点到直线的距离即为 的最小值，所以，
所以的最小值为 .
例5 已知是直线上一动点，过点 作圆
的两条切线，切点分别为， ，则四边形
的面积的最小值为___.
2
[解析] 圆的圆心坐标为 ，半径为2，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆 相离，故四
边形 的面积，
所以当 最小时，四边形的面积最小，的最小值即为圆心
到直线的距离，即 ，所以，
故四边形 的面积的最小值为2.
练习册
一、选择题
1.直线与圆 的位置关系是
( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
[解析] 圆的圆心为 ，半径为3，圆
心到直线的距离为，所以直线与圆 相交.故选C.
√
2.过点作圆 的切线，则切线方程为
( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心为，将 的坐标
代入圆的方程，得，则点 在圆上，
又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1，所以过点
的切线方程为，即 .故选D.
√
3.若直线与圆交于 ，
两点，且，则 的值为( )
A.5或 B. C. 或15 D.15
[解析] 由题意得圆的标准方程为，则圆
的圆心为，半径为.
由得，圆心 到直线的距离
，所以 ，解得或 .故选C.
√
4.［2025·山东青岛高二期中］为直线上一点，过 总能
作圆的切线，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，直线与圆 相切或相离，
则圆心到直线的距离，解得，所以 的
最小值为 .故选D.
√
5.已知圆，弦过定点，则 不可能的取值
是( )
A. B. C.4 D.
[解析] 圆的半径.
当弦 过圆心时，；
当 时，.
所以 .故选D.
√
★6.一条光线从点射出，经过 轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
[解析] 点关于轴的对称点为 ，故可设反射光线
所在直线的方程为，即，
反射光线与圆相切， 圆心 到直线
的距离，解得或 .故选A.
√
［技巧点拨］ 直线与圆相切一定满足圆心到直线的距离等于半径，
一般地要先设出直线方程，整理成一般式，然后利用点到直线的距
离公式求解即可.
7.［2025·河南濮阳高二期中］已知直线经过点 ，且与圆
相交于，两点，若，则直线
的方程为( )
A.或
B.或
C.或
D.或
√
[解析] 由已知得圆的圆心为，半径 .根据垂径定理知
圆心到直线的距离.
当直线 的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到
直线 的距离为，不满足条件.
当直线 的斜率存在时，设直线的方程为，
即 .
由圆心到直线的距离 ，可得
，解得或.
当时，直线 的方程为，即；
当时，直线 的方程为，即 .
故选A.
8.（多选题）［2024·北京理工大学附中高二期中］ 已知直线
，圆 ，下列说法正确的是
( )
A.对任意实数，直线与圆 有两个不同的公共点
B.当且仅当时，直线被圆所截弦长为
C.对任意实数，圆不关于直线 对称
D.存在实数，使得直线与圆 相切
√
√
√
[解析] 直线的方程可整理得，由
解得即直线过定点，
又圆的半径 ，，所以点在
圆 内，对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点，A正确，D错误；
直线 不过圆的圆心，因此对任意实数，圆不关于直线 对称,C正确；
直线的斜率，当时，直线的斜率为 ，
因此直线，此时直线被圆所截弦是过点 的最短弦，最短弦长
为，因此当且仅当时，直线被圆 所截
弦长为，B正确.故选 .
★9.（多选题）在平面直角坐标系中， ，圆
与轴的正半轴交于点 ，则下列说法正确的有
( )
A.点到圆上的点的距离的最大值为
B.过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长为
C.过点与圆相切的直线方程为
D.过点的直线与圆交于不同的两点，，则直线， 的斜率
之和为定值
√
√
√
[解析] 由题知，点在圆外，，圆的半径 .对于A，点
与圆 上的点的距离的最大值为，
故A正确；
对于B，过点 且斜率为1的直线方程为，即，
圆心 到直线的距离，故所求弦长为 ，
故B正确；
对于C，当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为 ，易
知直线与圆相切，故C错误；对于D，易知过点与圆 有两
个交点的直线的斜率存在且不为0，设斜率为，, ，
则直线方程为，即 ，
由消去 得
，
所以，，
又， ， 所以
，将 ，代入并化简得，
故D正确.故选 .
［技巧点拨］ 当解决直线与圆相交弦或弦长问题时，可以设出直线
方程及交点坐标，将直线方程与圆的方程联立，消元后得到关于 或
的一元二次方程，依据根与系数的关系求解有关的问题.
二、填空题
10.若为圆的弦的中点，则直线 的
方程是_____________.
[解析] 设圆心为，则，由圆的性质知，易知直线
的斜率，所以直线的斜率为1，又直线 过点
，所以直线的方程为，即 .
11.［2025·北京海淀区高二月考］在平面直角坐标系中，圆 经
过点，且圆心在直线 上，若直线
被圆截得的弦长为，则正实数 的值为____.
[解析] 设，圆的半径为 ，则有
可得即圆 的方程为
.
由直线被圆截得的弦长为 ，得，
即，解得，又 为正实数，所以 .
12.［2025·福建泉州高二期中］若直线 与曲线
至少有一个公共点，则实数 的取值范围是
______.
[解析] 直线过定点 ，
由 ，得到
，
所以曲线 表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线 右侧的 半圆（包括点，），如图所示.
当直线 经过点时，与曲线有一个交点，此时；
当 与半圆相切时，由，解得 .
由图可知，当时，与曲线 至少有一个公共点.
三、解答题
13.（13分）已知圆的圆心坐标为，直线被圆 截
得的弦长为 .
（1）求圆 的方程；
解：设圆的标准方程为 ，
由已知得圆心到直线的距离 ，
则 ，
所以圆的标准方程为 .
（2）从圆外一点 向圆引切线，求切线的方程.
解：当切线的斜率不存在时,切线的方程为 ，此时满足直线与圆相切.
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，
即，则圆心到直线 的
距离为，解得 ，所以切线的方程为 .
综上，切线的方程为或 .
13.（13分）已知圆的圆心坐标为，直线被圆 截
得的弦长为 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，圆 的方程为
，设直线的方程为 .
（1）若过点的直线与圆 相切，求切线的方程.
解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为 ，符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为 ，即
，
因为圆心到切线的距离 ，
所以，即，所以 ，
则切线的方程为 .
综上，切线的方程为或 .
（2）已知直线与圆相交于，两点.若是线段 的中点，求直
线 的方程.
解：设，则 ，
由解得 或
即或 ，则直线的斜率 ，
故直线的方程为 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，圆 的方程为
，设直线的方程为 .
（3）当时，点在直线上，过作圆的切线，切点为 ，
则经过,, 的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标.
解：当时，的方程为 .
设，由于过作圆的切线，切点为，
因此 , 所以过，，的圆即为以 为直径的圆，
14.（15分）在平面直角坐标系中，圆 的方程为
，设直线的方程为 .
该圆的方程为 ，
即 .
由解得或
故经过,,的圆过定点， .
15.［2025·江苏南京高二期中］如图，已知圆
分别与， 轴的正半轴交于
，两点，为圆上的动点.若线段 上有一
点，满足，则点 的轨迹方程为
_______________________.
[解析] 根据题意得，， .
设，，则 ，
.
由于 ，所以 ，
得将其代入 ，
，故点的轨迹方程为 .
16.（15分）在平面直角坐标系中，直线交 轴
于点，以为圆心的圆与直线 相切.
（1）求圆 的方程.
解：由题意得，原点到直线的距离 ，
故圆的方程为 .
（2）是否存在定点，使得对于经过点的直线，当与圆交于 ,
两点时，恒有 若存在，求点 的坐标；若不存在，
请说明理由.
解：存在定点，使得 恒成立.
理由如下：当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
设直线与圆的交点为， .
16.（15分）在平面直角坐标系中，直线交 轴
于点，以为圆心的圆与直线 相切.
由消去得 ，
所以
在直线的方程中，令,得 ，所以 ,
由，得 ,
即，可得 ，则
，化简得 ，
此时直线的方程为 ，
易知直线恒过点 .
当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知，直线过点 时也
满足 .
故存在定点，使得 恒成立.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 2 1 0 > = < < = >
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 知识点二 1.
课中探究
例1 略 变式（1）A （2）ABD
例2（1）
（2）或
变式（1）D （2）A 拓展
例3 C 变式 （1）C （2）A 拓展 C
课堂评价 1.C 2.C 3.A 4.C 5.
或
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.A 8.ABC 9.ABD
二、填空题
10.
11.
12.
三、解答题
13.（1）
（2）或
14.（1）
或
（2）
（3）经过
,
,
的圆过定点
，
思维探索 15.
16.（1） （2）存在定点，使得恒成立2.3.3 直线与圆的位置关系
【课前预习】
知识点一
2 1 0 > = < < = >
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切,故不正确.
(2)直线与圆相交,则必有公共点,方程必有解,故正确.
(3)圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程一定无解,故正确.
知识点二
1.(2)r
【课中探究】
探究点一
例1 解:方法一:由消去y得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,此时直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-方法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心坐标为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==.
(1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,此时直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2,即-变式 (1)A (2)ABD [解析] (1)直线l:(m+1)x+(m-1)y+2m=0可化为m(x+y+2)+x-y=0.由解得即直线l经过定点(-1,-1),因为(-1)2+(-1)2<3,所以点(-1,-1)在圆O:x2+y2=3的内部,故直线l与圆O相交.故选A.
(2)圆O1:x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径r1=1,圆O2:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心为O2(a,b),半径r2=1.对于A,若圆心O2在圆O1内,则01,因此直线l与圆O1相离,故B正确;对于C,D,若直线l与圆O1相切,则=1,所以点O2到直线l的距离为=0,则圆心O2在直线l上,因此直线l与圆O2相交,故C错误,D正确.故选ABD.
探究点二
例2 解:(1)因为点M的坐标满足圆的方程,所以点M在圆x2+y2=10上.由题可知圆心为C(0,0),则直线CM的斜率kCM=,所以所求切线的斜率k=-.故经过点M的切线方程为y-=-(x-2),即2x+y-10=0.
(2)因为(-1-2)2+(4-3)2=10>1,所以点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时,l的方程是x=-1,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+4+k=0.
方法一:圆心(2,3)到切线l的距离d==1,解得k=0或k=-,因此切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.
方法二:因为直线l与圆相切,所以方程组
只有一个实数解,消去y,得到关于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+2k-4)x+k2+2k+4=0,则Δ=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)(k2+2k+4)=0,整理得4k2+3k=0,解得k=0或k=-,因此切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.
变式 (1)D (2)A [解析] (1)圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=9,所以圆心C(3,1),半径r=3,又直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆的对称轴,所以直线l过圆心C(3,1),所以3+a-1=0,解得a=-2,即P(-4,-2),因此|PC|==,所以切线长|PB|=|PA|===7,又PC⊥AB,所以四边形PACB的面积为|PC||AB|=2S△PAC=|PA|r,可得|AB|===.故选D.
(2)圆x2+y2-4x-2y+4=0的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1,则该圆的圆心为(2,1),半径为1.易知过点(0,0)的圆的切线斜率存在,设切线方程为y=kx,则=1,解得k=或k=0,所以两条直线的方程为y=x或y=0,则tan α=,又0°≤α≤90°,所以cos α=.故选A.
拓展 [解析] 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,则圆C的圆心为C(1,0),半径r=1.设∠ACP=θ,则|AB|=2sin θ,因为|AB|min=,所以(sin θ)min=,又0<θ<,所以≤θ<,又|CP|=,所以|CP|min==2,即=2,又m>0,所以m=.
探究点三
例3 C [解析] 由2b=a+c,得c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,由解得故直线恒过点(1,-2).设P(1,-2),由题得圆的标准方程为x2+(y+2)2=5,设圆心为C,则C(0,-2),|PC|=1,|AC|=,如图,由图可知,当PC⊥AB时,|AB|最小,故|AB|min=2=2=4.故选C.
变式 (1)C (2)A [解析] (1)因为直线方程可化为x-1+my=0,所以直线过定点D(1,0),又圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,所以圆的圆心为M(2,-1),半径r=,所以|MD|==,当MD⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2=2×=2,故选C.
(2)将圆的方程x2+y2-4y=0化为x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为(0,2),半径为2.∵所求直线与圆相交所得弦长为2,半径为2,∴弦心距为.由题意可知所求直线的斜率存在,设直线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则弦心距d==,解得k=±,故所求直线的方程为±x-y-1=0.故选A.
拓展 C [解析] 圆(x+1)2+(y-1)2=4的圆心坐标为(-1,1),半径为2.由圆心到直线l:x+y+=0的距离d==1<2,如图所示,结合图形可知,圆上有A,B,C三个点到直线l的距离为1.故选C.
【课堂评价】
1.C [解析] 圆心(0,0)到直线的距离为=5>3,因此直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9相离,故选C.
2.C [解析] 圆的方程可化为(x+2)2+(y-2)2=2,则圆心坐标为(-2,2),半径为,则圆心到直线的距离d==0,故直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0所截得的弦长等于圆的直径2,故选C.
3.A [解析] 易知圆的半径为,圆心为原点.当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角为时,直线l的方程为x=-,此时直线l与圆相切,满足题意;当直线l的斜率存在时,不妨设直线l的方程为y=k+,则圆心到直线l的距离d=≤,解得k≤-,所以直线l的倾斜角的取值范围为.综上,直线l的倾斜角的取值范围为.故选A.
4.C [解析] 圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1.由∠APB=60°,得∠APO=30°,又OA⊥PA,所以|OP|=2|OA|=2r=2,又直线x-y+a=0上存在点P,满足∠APB=60°,所以点O到该直线的距离d=≤2,解得-2≤a≤2,所以a的取值范围是[-2,2].故选C.
5.5x+12y-26=0或x+2=0 [解析] 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),因为=>2,所以点(-2,3)在圆外.当切线的斜率不存在时,直线x=-2与圆相切,则切线的方程为x+2=0;当切线的斜率存在时,设所求切线方程为y-3=k(x+2),即kx-y+3+2k=0,则圆心到切线的距离d==2,解得k=-,所以切线的方程为5x+12y-26=0.综上,所求切线的方程为5x+12y-26=0或x+2=0.2.3.3 直线与圆的位置关系
1.C [解析] 圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的圆心为C(1,2),半径为3,圆心到直线的距离为=<3,所以直线l与圆C相交.故选C.
2.D [解析] 圆E:x2+y2-4y+2=0的圆心为E(0,2),将P(1,1)的坐标代入圆的方程,得12+12-4×1+2=0,则点P在圆上,又kPE==-1,所以过点P与圆相切的直线的斜率为1,所以过点P的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.故选D.
3.C [解析] 由题意得圆M的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=15,则圆M的圆心为M(1,-2),半径为.由|AB|=2得,圆心M到直线x+3y+C=0的距离 d==,所以=,解得C=15或-5.故选C.
4.D [解析] 由题意可得,直线y=kx-2与圆x2+y2=1相切或相离,则圆心到直线的距离d=≥1,解得-≤k≤,所以k的最小值为-.故选D.
5.D [解析] 圆O:x2+y2=4的半径r=2.当弦AB过圆心时,|AB|max=2r=4;当OP⊥AB时,|AB|min=2=2=2.所以|AB|∈[2,4].故选D.
6.A [解析] 点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A'(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,∵反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴圆心(-3,2)到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.故选A.
[技巧点拨] 直线与圆相切一定满足圆心到直线的距离等于半径,一般地要先设出直线方程,整理成一般式,然后利用点到直线的距离公式求解即可.
7.A [解析] 由已知得圆C的圆心为C(-1,2),半径r=3.根据垂径定理知圆心到直线的距离d===2.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时圆心C(-1,2)到直线x=2的距离为2-(-1)=3≠2,不满足条件.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.由圆心C(-1,2)到直线kx-y-2k+1=0的距离d=2,可得=2,解得k=1或k=-7.当k=1时,直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;当k=-7时,直线l的方程为y-1=-7(x-2),即7x+y-15=0.故选A.
8.ABC [解析] 直线l的方程可整理得a(x+y)+y+2=0,由解得即直线l过定点A(2,-2),又圆O的半径r=4,|OA|==2<4,所以点A(2,-2)在圆O内,对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点,A正确,D错误;直线l不过圆O的圆心,因此对任意实数a,圆O不关于直线l对称,C正确;直线OA的斜率k=-1,当a=-时,直线l的斜率为-=1,因此直线l⊥OA,此时直线l被圆O所截弦是过点A的最短弦,最短弦长为2=4,因此当且仅当a=-时,直线l被圆O所截弦长为4,B正确.故选ABC.
9.ABD [解析] 由题知,点P在圆O外,Q(3,0),圆O的半径r=3.对于A,点P与圆O上的点的距离的最大值为|OP|+r=+3=3+3,故A正确;对于B,过点P且斜率为1的直线方程为y-6=x-3,即x-y+3=0,圆心O到直线的距离d==,故所求弦长为2×=3,故B正确;对于C,当过点P的直线斜率不存在时,直线的方程为x=3,易知直线x=3与圆O相切,故C错误;对于D,易知过点P与圆O有两个交点的直线的斜率存在且不为0,设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线方程为y-6=k(x-3),即y=kx-3k+6,由消去y得(k2+1)x2-(6k2-12k)x+(9k2-36k+27)=0,所以x1+x2=,x1x2=,又kQA=,kQB=,所以kQA+kQB=+= =,将x1+x2=,x1x2=代入并化简得kQA+kQB=-1,故D正确.故选ABD.
[技巧点拨] 当解决直线与圆相交弦或弦长问题时,可以设出直线方程及交点坐标,将直线方程与圆的方程联立,消元后得到关于x或y的一元二次方程,依据根与系数的关系求解有关的问题.
10.x-y-3=0 [解析] 设圆心为C,则C(1,0),由圆的性质知PC⊥AB,易知直线PC的斜率k1==-1,所以直线AB的斜率为1,又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
11. [解析] 设C(m,2m+2),圆C的半径为r,则有可得即圆C的方程为(x+1)2+y2=4.由直线x=ay+1被圆C截得的弦长为2,得=,即=2,解得a=±,又a为正实数,所以a=.
12. [解析] 直线l:kx-y-2=0过定点(0,-2),由=x-1,得到(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),所以曲线C表示以点(1,1)为圆心,半径为1,且位于直线x=1右侧的半圆(包括点(1,2),(1,0)),如图所示.当直线l经过点(1,2)时,l与曲线C有一个交点,此时k=4;当l与半圆相切时,由=1,解得k=.由图可知,当≤k≤4时,l与曲线C至少有一个公共点.
13.解:(1)设圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0),
由已知得圆心C(1,1)到直线x+y-1=0的距离d==,
则r2=d2+=+=1,
所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
(2)当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=2,此时满足直线与圆相切.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-3=k(x-2),
即kx-y-2k+3=0,则圆心C(1,1)到直线kx-y-2k+3=0的距离为=1,解得k=,
所以切线的方程为3x-4y+6=0.
综上,切线的方程为x=2或3x-4y+6=0.
14.解:(1)当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=1,符合题意;
当切线的斜率存在时,设切线的方程为y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0,
因为圆心(0,2)到切线的距离d=1,
所以=1,即|k-2|=,所以k=,
则切线的方程为3x-4y+13=0.
综上,切线的方程为x=1或3x-4y+13=0.
(2)设D(x0,y0),则B(2x0,2y0),
由解得
或 即D或D,
则直线l的斜率k=±=±,
故直线l的方程为y=±x.
(3)当k=时,l的方程为y=x.
设P(2m,m),由于过P作圆C的切线PM,切点为M,因此PM⊥CM,所以过P,M,C的圆即为以CP为直径的圆,该圆的方程为x(x-2m)+(y-m)(y-2)=0,
即x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0.
由解得或
故经过P,M,C的圆过定点(0,2),.
15.x2+y2-x-=0 [解析] 根据题意得,A(4,0),B(0,4).设Q(x,y),P(x1,y1),则=(x-4,y),=(x1-x,y1-y).由于=2,所以(x-4,y)=2(x1-x,y1-y),得将其代入x2+y2=16,得x2+y2-x-=0,故点Q的轨迹方程为x2+y2-x-=0.
16.解:(1)由题意得,原点O到直线l:x-y-4=0的距离d==2,
故圆O的方程为x2+y2=4.
(2)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.
理由如下:当直线L的斜率存在时,设直线L的方程为y=kx+m,设直线L与圆O的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,
所以在直线l的方程中,令y=0,得x=4,所以M(4,0),
由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0,
即+=0,可得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,则2k×+(m-4k)-8m=0,化简得m=-k,
此时直线L的方程为y=kx-k,
易知直线L恒过点S(1,0).
当直线L的斜率不存在时,由圆的对称性知,直线L过点S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO.
故存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.2.3.3 直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离;
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系;
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
◆ 知识点一 直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
判断方法 代数法:由方程组 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
几何法:求圆心到直线的距离d= d r d r d r
图形
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( )
(4)已知一条直线过一个定点,若该定点在圆内,则直线与圆必相交. ( )
◆ 知识点二 直线与圆相切、相交的性质
1.直线与圆相切
如图①,直线l与圆C相切,切点为P,半径为r.
结论:(1)CP⊥l;
(2)点C到直线l的距离d=|CP|= ;
(3)切点P在直线l上,也在圆上.
②
2.直线与圆相交
如图②,直线l与圆C相交于A,B两点,圆C的半径为r,弦AB的中点为D.
结论:(1)点C到直线l的距离d=|CD|,称为弦心距;
(2)CD⊥l;
(3)|AD|2+d2=r2,|AB|=2.
◆ 探究点一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程为mx-y-m-1=0,圆的方程为x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆:(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点
变式 (1)[2025·浙江宁波高二期中] 已知动直线l:(m+1)x+(m-1)y+2m=0,圆O:x2+y2=3,则直线l与圆O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
(2)(多选题)已知直线l:ax+by=1,圆O1:x2+y2=1,圆O2:(x-a)2+(y-b)2=1,a,b∈R,则下列说法正确的是 ( )
A.若圆心O2在圆O1内,则圆心O1在圆O2内
B.若圆心O2在圆O1内,则直线l与圆O1相离
C.若直线l与圆O1相切,则直线l与圆O2相切
D.若直线l与圆O1相切,则圆心O2在直线l上
[素养小结]
直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
◆ 探究点二 圆的切线方程及切线长
例2 (1)求圆C:x2+y2=10的切线方程,使得它经过点M(2,).
(2)过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.
变式 (1)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,过点P(-4,a)作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则|AB|= ( )
A.7 B.
C.2 D.
(2)设过点(0,0)且与圆 x2+y2-4x-2y+4=0相切的两条直线的夹角为 α,则 cos α=( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
1.求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系,以确定切线的条数.
(1)若点(x0,y0)在圆上:
①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程;
②如果斜率k为零或不存在,则由图形可直接求得切线方程为y=y0或x=x0.
(2)若点(x0,y0)在圆外:
①几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即可求得切线方程;
②代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,即可求得切线方程.
当用上述方法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.
2.切线长公式:从圆外一点P(x0,y0)引圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的切线,则切线长l=.
拓展 已知圆C:x2+y2-2x=0与直线l:mx-y+2m=0(m>0),过l上任意一点P向圆C引切线,切点为A,B,若线段AB长度的最小值为,则实数m的值为 .
◆ 探究点三 直线与圆的相交问题
例3 [2025·四川遂宁高二期中] 已知2b=a+c,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.2
变式 (1)直线x+my-1=0(m∈R)与圆x2+y2-4x+2y=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
(2)与圆x2+y2-4y=0相交所得的弦长为2,且在y轴上的截距为-1的直线的方程是( )
A.±x-y-1=0
B.x-y-1=0
C.±x-y-1=0
D.x-y-1=0
[素养小结]
与圆的弦长有关问题的两种解法:
(1)半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,利用勾股定理d2+=r2求解,这是常用解法.
(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间距离公式求解,此解法很繁琐,一般不用.
拓展 圆(x+1)2+(y-1)2=4上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为 ( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.相离或相切
2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0所截得的弦长为 ( )
A. B.
C.2 D.4
3.[2025·北京第一六一中学高二期中] 过点P的直线l与圆x2+y2=有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·广东湛江高二期末] 已知圆O:x2+y2=1,直线x-y+a=0上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,若∠APB=60°,则a的取值范围为 ( )
A.[-2,2] B.(-∞,2]
C.[-2,2] D.[-2,+∞)
5.过点(-2,3)作圆x2+y2=4的切线,则该切线的方程为 . 2.3.3 直线与圆的位置关系
一、选择题
1.直线l:x-2y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法判断
2.过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4y+2=0的切线,则切线方程为 ( )
A.x-y+1=0 B.x+y=0
C.x+y+1=0 D.x-y=0
3.若直线x+3y+C=0与圆M:x2-2x+y2+4y-10=0交于A,B两点,且|AB|=2,则C的值为( )
A.5或-15 B.-5
C.-5或15 D.15
4.[2025·山东青岛高二期中] P为直线y=kx-2上一点,过P总能作圆x2+y2=1的切线,则k的最小值为 ( )
A.- B.-2
C.- D.-
5.已知圆O:x2+y2=4,弦AB过定点P(1,1),则|AB|不可能的取值是 ( )
A.2 B.2
C.4 D.2
★6.一条光线从点(-2,-3)射出,经过y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
7.[2025·河南濮阳高二期中] 已知直线l经过点P(2,1),且与圆C:(x+1)2+(y-2)2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为 ( )
A.x-y-1=0或7x+y-15=0
B.x-2y=0或7x+y-15=0
C.4x+3y-11=0或3x+4y-10=0
D.4x-3y-5=0或3x-4y-2=0
8.(多选题)[2024·北京理工大学附中高二期中] 已知直线l:ax+(a+1)y+2=0,圆O:x2+y2=16,下列说法正确的是 ( )
A.对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点
B.当且仅当a=-时,直线l被圆O所截弦长为4
C.对任意实数a,圆O不关于直线l对称
D.存在实数a,使得直线l与圆O相切
★9.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,P(3,6),圆O:x2+y2=9与x轴的正半轴交于点Q,则下列说法正确的有 ( )
A.点P到圆O上的点的距离的最大值为3+3
B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为3
C.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+15=0
D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B,则直线QA,QB的斜率之和为定值-1
二、填空题
10.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 .
11.[2025·北京海淀区高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点A(1,0),B(-1,2)且圆心在直线2x-y+2=0上,若直线x=ay+1被圆C截得的弦长为2,则正实数a的值为 .
12.[2025·福建泉州高二期中] 若直线l:kx-y-2=0与曲线C:=x-1至少有一个公共点,则实数k的取值范围是 .
三、解答题
13.(13分)已知圆C的圆心坐标为(1,1),直线l:x+y=1被圆C截得的弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)从圆C外一点P(2,3)向圆引切线,求切线的方程.
14.(15分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-2)2=1,设直线l的方程为y=kx.
(1)若过点A(1,4)的直线与圆C相切,求切线的方程.
(2)已知直线l与圆C相交于D,B两点.若D是线段OB的中点,求直线l的方程.
(3)当k=时,点P在直线l上,过P作圆C的切线PM,切点为M,则经过P,M,C的圆是否过定点 如果过定点,求出所有定点的坐标.
15.[2025·江苏南京高二期中] 如图,已知圆O:x2+y2=16分别与x,y轴的正半轴交于A,B两点,P为圆O上的动点.若线段AP上有一点Q,满足=2,则点Q的轨迹方程为 .
16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x-y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程.
(2)是否存在定点S,使得对于经过点S的直线L,当L与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO 若存在,求点S的坐标;若不存在,请说明理由.