(共85张PPT)
2.3 圆及其方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
探究点一 两圆位置关系的判断及应用
探究点二 两圆公共弦问题的解决
探究点三 圆系方程问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解圆与圆的位置关系的种类;
2.掌握圆与圆的位置关系的判定方法,能够判定两圆的位置关系;
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题.
知识点 圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系主要包括:______、______、______、______和
______.
2.两圆的位置关系的判断：
外离
外切
相交
内切
内含
（1）代数法：设两圆的一般方程为
，
，联立方程
得 消元后得到一元二次方程
（若得到的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断），计
算判别式 的值，按下表中标准进行判断.
（2）几何法：两圆的半径分别为，，计算两圆的圆心距 ，按
下表中标准进行判断.
（3）判断标准：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 ______________________________ _________________________ _________________ ______________________ _______________________
公共点 个数 0 1 2 1 0
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
_______ ______ ________ _______ _______ _______ ____________ _______
_______
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）联立两圆方程,若方程组有两个解,则两圆相交.( )
√
[解析] 由两圆相交的概念知结论正确.
（2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( )
×
[解析] 若两个圆没有公共点，则两圆可能外离也可能内含，故结论
不正确.
（3）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点；反之也成立.( )
×
[解析] 两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，该结论正确；但反之
不成立，即若两圆有且只有一个公共点，则两圆可能外切也可能内切.
（4）若两个圆相交，则两个圆的圆心所在的直线垂直平分两个圆的
公共弦.( )
√
2.当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离，是否外离
解：当两圆的方程组成的方程组无解,即两圆无公共点时，两圆一定
相离，但既可能外离也可能内含，因此不一定是外离.
探究点一 两圆位置关系的判断及应用
例1 已知两圆 ,
.当两圆有如下位置关系时:
解：将两圆的方程化为标准方程，得 ，
，则圆的圆心为 ,半径
,圆的圆心为,半径 ，
则两圆的圆心距 .
当两圆外切时,,即,解得 .
试确定上述条件下 的取值范围.（1）外切;
试确定上述条件下 的取值范围.（2）内切;
解： 当两圆内切时,,即,解得 .
试确定上述条件下 的取值范围.（3）相交;
解： 当两圆相交时, ,即
,解得 .
例1 已知两圆 ,
.当两圆有如下位置关系时:
试确定上述条件下 的取值范围.（4）内含;
解： 当两圆内含时,,即,解得 .
试确定上述条件下 的取值范围.（5）外离.
解： 当两圆外离时,,即,解得 ，
又，所以的取值范围为 .
例1 已知两圆 ,
.当两圆有如下位置关系时:
变式（1）［2025`广东中山高二期末］ 圆
和圆 的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内含
[解析] 圆的圆心为 ，半径为3，圆
的圆心为 ，半径为2，两圆的圆心距为
，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，所以
两圆外切.故选C.
√
（2）若圆 与圆
相切，则 _______.
9或49
[解析] 由题知，圆的圆心为,半径,圆 的圆心为
,半径，则两圆的圆心距 ，
因为圆与圆相切，所以或，解得
或 .
［素养小结］
（1）判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围
有以下几个步骤：
①将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆的圆心距；
③通过，，的关系来判断两圆的位置关系或求参数
的取值范围，必要时可借助图形，数形结合求解.
（2）应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的取值范围比较简单
清晰，关键要理清圆心距与两圆半径的关系.
探究点二 两圆公共弦问题的解决
例2 已知圆 ，圆
.
（1）求两个圆公共弦所在直线的方程；
解：圆 ,圆
,两圆的方程相减，得圆和圆 的公
共弦所在直线的方程为 .
（2）求两个圆公共弦的长.
解：方法一：圆的圆心为 ,
半径,圆心到直线 的距离
,故两圆的公共弦长为 .
方法二：设两圆相交于点，，则， 两点满足方程组
解得或 所以
，即公共弦长为 .
例2 已知圆 ，圆
.
变式（1）［2025·重庆育才中学高二期中］已知圆
与圆
的公共弦所在直线与直线垂直，则 的值为( )
A.2 B. C.8 D.
[解析] 把圆与圆的方程相减得，即圆与圆
的公共弦所在直线的方程为 .
由直线与直线垂直，得，解得 .故选A.
√
（2）过点作圆 的两条切线，切点分别
为，，则 _ _____.
[解析] 圆的标准方程为 ，
所以圆的圆心为，半径为2，
因为 ，所以点在圆外，
易得线段的中点坐标为 ，
，则以线段 为直径的圆的方程为
，即 .
由， 两式相减并化简得
，又点到直线 的距离为
，所以 .
［素养小结］
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得
两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项
系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.
（2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再
用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用
半径、弦心距和弦长的一半构成直角三角形的三边长求解.
探究点三 圆系方程问题
例3（1）过两圆 和
的交点，且圆心在直线 上
的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设所求圆的方程为
，
即 ，
则所求圆的圆心坐标为，代入，解得 ，
故所求圆的方程为 ，即
.故选A.
（2）经过两圆 与
的两个交点且半径最小的圆的方程为
__________________________.
[解析] 设圆和圆的两个交点为， .由
，得直线 的方程为 .
设所求圆的方程为 ，化简得
,则半径最小时，圆心
在直线上，此时 ，故所求圆的方程
为 .
变式 ［2025·福建厦门湖滨中学高二月考］ 已知圆
和圆 .
（1）求证：两圆相交；
证明：圆 的标准方程为
，则圆的圆心为 ，半径为2；
圆的标准方程为，则圆 的圆心
为，半径为1.
所以两圆的圆心距 ， ，故两圆相交.
（2）求过点 且过两圆交点的圆的方程.
解：设过两圆交点的圆的方程为
，
把 代入，解得 .
故所求圆的方程为 ，
即 .
变式 ［2025·福建厦门湖滨中学高二月考］ 已知圆
和圆 .
［素养小结］
一般地，过圆
与圆交点的
圆的方程可设为，然后再由其他条件求出 ，即可得圆的方程.
1.圆与圆 的位置关系为
( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
圆的圆心为，半径 ，
两圆的圆心距，
因为， ， ，所以两圆相交.故选B.
√
2.半径为5且与圆 相切于原点的圆的方程为
( )
A.
B.
C.
D.或
√
[解析] 由已知得圆 的圆心为 ，半径为5，
由所求圆的半径也为5且两圆相切于原点知，所求圆的圆心与已知圆
的圆心关于原点对称，即为 ，故所求圆的方程为
，故选B.
3.已知为圆上任意一点，为圆
上任意一点，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知圆的圆心为原点，半径 .
圆的标准方程为 ，
故其圆心为，半径 .
两圆的圆心距
，所以两圆相交，如图所示，
则 .故选B.
√
4.已知圆，圆 ，
若圆平分圆的周长，则 ( )
A.20 B. C.10 D.
[解析] 圆 的标准方程为
，所以圆的圆心为，半径为 .
因为圆平分圆的周长，所以圆的圆心在圆与圆 的公共弦上.
由 得，两圆公共弦
所在直线方程为 ，则
，整理得 .故选B.
√
5.［2025·河南驻马店高二期中］若圆 与圆
交于，两点，则 _____.
[解析] 圆的圆心为，半径 .
圆的圆心为，半径 .
两圆方程相减可得 ，
化简得，此为公共弦所在直线的方程，则圆心到
直线 的距离，则 .
1.公切线的相关结论：
（1） 两个圆外离 两个圆有四条公切线.
（2） 两个圆外切 两个圆有三条公切线.
（3） 两个圆相交 两个圆有两条公切线.
（4） 两个圆内切 两个圆有一条公切线.
（5） 两个圆内含 两个圆无公切线.
2.圆系方程
（1）过两已知圆 与
的交点的圆系方程为 ．
当时，变为 表示过两
圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相
交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的
公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆圆心连线垂直的直线.
（2）过直线与圆交点的圆系方程
设直线与圆 相交，
则方程表示过直线 与
圆 的两个交点的圆系方程.
1.根据两圆的位置关系,利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小
关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两
种情况.
例1 著名数学家笛卡儿曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为
,,的三个圆两两外切，同时又都与半径为 的圆外切，则
.已知
，,，若圆,,两两外切，且都与圆 外
切，其中圆,的半径相等，则圆 的标准方程为_________________.
[解析] 设圆,,,的半径分别为,,, ，由题意可得
解得
又因为 ，
所以，可得 ，
由，可知点在线段的中垂线上，即 轴上，
设 ，由题意可得解得 ，
则圆的圆心为，半径，所以圆 的方程为
.
例2 已知圆 ,圆
,求当 为何值时,
（1）圆与圆 外切;
解：对于圆,圆的方程,经配方后得 ,
.
若与外切,则有 ,
所以,解得或 .
所以当或时,与 外切.
（2）圆与圆 内含.
解： 若与内含,则有 ,
所以,解得 .
故当时,与 内含.
例2 已知圆 ,圆
,求当 为何值时,
2.解两圆的公共弦问题的常用步骤是:（1）将两圆的方程作差,求出
公共弦所在直线的方程;（2）求出其中一个圆的圆心到公共弦的距
离;（3）利用勾股定理求出公共弦长.
例3（1）过点作圆 的两条切线，切点分别
为，，则 的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆的圆心为，则，半径 .
过点作圆的两条切线，切点分别为， ，
所以，，，四点在以为直径的圆上，设为，
故 的方程为，即 .
由可得 ，则直线
，所以点到直线 的距离
为，点到直线的距离为 ，
所以，解得，所以 的面积为
.故选B.
（2）［2025·江苏南京高二期中］过点的动直线 与圆
交于,两点，过点,分别作圆 的
切线,，若与交于点，则 的最小值为_ ___.
[解析] 设.由题得圆的圆心为，半径为 .
则以线段为直径的圆 的方程为
，即
.
把圆和圆 的方程相减得直线 的方程为
，在直线 上，
， 点在直线上，则 的最小值
为圆心到直线的距离，故 .
练习册
一、选择题
1.［2024·浙江金华十校高二期末］圆
与圆 的位置关
系不可能为( )
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
[解析] 由题可得圆，则其圆心为 ，
半径为；圆的圆心为，半径为 .
则两圆圆心距为 ，故两圆可能内含、内切、相交，不可能外切、
外离.故选D.
√
2.已知点,分别在圆 与圆
上,则, 间的最短距离是( )
A. B.2 C. D.
[解析] 可化为 ,则
圆心坐标为,半径为. 可化为
,则圆心坐标为,半径为 ，所以两圆
的圆心距为,所以两圆上的点的最短距离是 .
√
3.已知圆与圆 ，则两圆的公共弦长
为( )
A. B. C.2 D.1
[解析] 圆的方程与圆 的方程相减可
得公共弦所在直线的方程为，
由于圆 的圆心到直线的距离为1，且圆
的半径为2，因此公共弦的长为 ，故选B.
√
4.［2025·江苏镇江高二期中］在平面直角坐标系 中，若圆
上存在点，且点关于轴的对称点
在圆上，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知，圆关于轴的对称圆 与
圆有交点.圆和圆的圆心分别为,，半径分别为 和2，
所以圆心距 .
因为两圆有交点，所以有，即 ，
所以 .故选A.
5.［2025·辽宁大连高二期中］已知圆 ，圆
.若圆上存在点，过点作圆 的两
条切线，切点为，，使得 ，则实数 的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，由题得圆的半径为1.因为圆 上
存在点，过点作圆的两条切线，切点为, ，
使得 ，所以 .
在中，，又圆 的半径等于1，
圆心为，所以 ，
，
又， 所以
，解得，
则实数 的取值范围为 .故选D.
6.［2025·山西晋中高二期中］已知圆 和
点,，若点在圆上，且 ，则实
数 的最小值是( )
A. B.6 C. D.
[解析] 设，由 ，得
，化简得 .
若，则不存在满足题意的，舍去；
若，则 的坐标为，但点不在圆
上，故不满足题意，舍去；
√
若，则点 在圆 上，圆心为，
半径 .圆的圆心为，半径，
又点在圆上，所以圆与圆 有公共点，所以
，解得或
，故的最小值为 .故选D.
★7.过直线上一点向圆引两条切线，，
为切点，则圆上的动点到直线 的距离
的最大值为( )
A. B.6 C.8 D.
[解析] 设，则，由切线的性质得点，在以 为
直径的圆上，以 为直径的圆的方程是，
与圆的方程 联立，可得直线的方程为.
因为，所以 ，
√
代入直线的方程，得 ，即
，故直线过定点，则动点 到直线
的距离的最大值即为，之间的距离加上圆 的半径1，
因为，所以圆上的动点
到直线的距离的最大值为 .
［技巧点拨］ 过圆外点作圆的切线，则两个切点所在的直线问题可
以转化为两个圆的公共弦问题，即以圆外点和已知圆的圆心为直径
的圆与已知圆的公共弦，应用此种转化方法可以简化计算.
8.（多选题）［2025·贵州铜仁高二期末］ 圆 ，
圆，则圆与 ( )
A.相交
B.有3条公切线
C.公共弦所在直线方程为
D.关于直线 对称
[解析] A选项中，圆的圆心为 ，半径为
，圆的圆心为，半径为 ，
√
√
故圆心距为，由于 ,
，因此 ，故两圆相交，A正确；
B选项中，由A选项知，两圆相交，故两圆有2条公切线，B错误；
C选项中，圆的方程与圆 的方程
相减整理得 ，故公共弦所在直线的方程为 ，C正确；
D选项中，两圆的半径相等，故两圆关于公共弦所在直线对称,
又两圆关于直线 对称，，所以的方程为
，即 ，D错误.故选 .
9.（多选题）已知圆 ,圆
，则下列说法中正确的有( )
A.若点在圆内，则
B.当时，圆与圆 共有两条公切线
C.若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在直线过定点
D.存在，使得圆与圆公共弦所在直线的斜率为
√
√
√
[解析] 由已知得圆的标准方程为 ,
圆的标准方程为，则圆 的圆心为
,半径,圆的圆心为 ，半径，
则.由点在圆 内，可得即,
故A正确；
当 时，,,, ，所以
，所以两圆相交，共有两条公切线，故B正确；
两圆方程相减得 ，即公
共弦所在直线的方程为 ，
令解得所以直线过定点 ,故C正确；
公共弦所在直线的斜率为，令，则 无解，故D错误.
故选 .
二、填空题
10.［2025·安徽芜湖高二期中］已知圆 与圆
相交，则 的取值范围为_______
___.
[解析] 因为圆的圆心为 ，半径为2，
圆的圆心为，半径为 ，
所以两圆的圆心距为5，又两圆相交，所以 ，解得
.
★11.已知圆心在直线 上，且过两圆
与 的交点的
圆的一般方程为__________________________.
[解析] 方法一：由 可得两圆交点的坐
标分别为，.设所求圆的圆心坐标为，半径为 ，
则，解得， ，
故所求圆的标准方程为 ，一般方程为
.
方法二：同方法一，得两圆的交点坐标为， ，设所求圆
的一般方程为 ，则
解得 故所求圆的一般方程为
.
方法三：设所求圆的方程为
，
即，因为这个圆的圆心在直线 上，所以
，解得 ，故所求圆的一般方程为
.
［技巧点拨］ 涉及求解过两个圆交点、直线与圆交点、相同圆心等
圆的方程时，可以设圆系方程，通过解方程的方法求解.
12.与直线和圆 都相切的
半径最小的圆的标准方程是______________________.
[解析] 圆的方程可化为
，其圆心 到
直线的距离 .
过点且垂直于直线 的直线方
程为，即 ，所以所求的最
小圆的圆心在直线 上，如图所示.
圆 心到直线 的距离为
，则圆的半径为.
设圆心 的坐标为，则 ，
，解得或 （舍去），
所以圆心的坐标为 ，所以所求圆的标准
方程为 .
三、解答题
13.（13分）［2024·内蒙古鄂尔多斯高二期中］ 已知圆
.
（1）求证：圆 过一定点；
证明：圆 的方程可整理为
，
由解得
所以圆过定点 .
（2）若圆与圆相切，求 的值.
解：圆的标准方程为 .
由题得圆的圆心为，半径为2,圆的圆心为 ,
半径为,则 .
①当两圆外切时，，可得 ；
②当两圆内切时，，可得 .
综上所述， .
13.（13分）［2024·内蒙古鄂尔多斯高二期中］ 已知圆
.
14.（15分）［2025·河北承德高二期中］ 已知 ，圆
.
（1）若圆与圆外切，求实数 的值；
解：圆 的标准
方程为 ，
所以圆的圆心为，半径 .
圆的圆心为 ，半径为1.
因为圆与圆外切，所以 ，
解得或 .
（2）求圆心 的轨迹方程；
解：由（1）得，即消去 得
，所以圆心的轨迹方程为 .
14.（15分）［2025·河北承德高二期中］ 已知 ，圆
.
15.已知是圆的一条弦， ，是 的
中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点, ，
使得为钝角，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知圆的圆心为，半径 .
因为 ，所以，易知点 的轨迹是以
为圆心，半径的圆，其方程为.
设线段 的中点为，因为为钝角，所以圆在以
为直径的圆内，可得，则.
因为 到直线的距离，所以
，所以，
所以 ，所以的取值范围是 .
故选D.
16.（15分）［2025·山东威海高二期中］ 在平面直角坐标系中，已
知,,, .
（1）证明：,,, 四点共圆.
证明：设经过,, 三点的圆的方程为
，
则解得
所以圆的方程为
或 ，
又点在圆 上，
所以,,,四点在圆 上.
（2）过点 作（1）中圆的切线，求切线方程.
解：当直线斜率不存在时，直线方程为 ，该直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ，则，可得 ，
所以切线方程为 .
故所求切线方程为或 .
16.（15分）［2025·山东威海高二期中］ 在平面直角坐标系中，已
知,,, .
（3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点 ，满足
？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由.
16.（15分）［2025·山东威海高二期中］ 在平面直角坐标系中，已
知,,, .
解：不存在满足题意的点.理由如下：
设的坐标为 ，
依题意可得 ，
化简可得的轨迹方程为 ，
因为两圆的圆心距 ，
所以两圆的位置关系为内含，所以不存在满足题意的点 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.外离 外切 相交 内切 内含
2.
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√ 2.略
课堂评价 1.B 2.B 3.B 4.B 5.
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.A 5.D 6.D 7.A 8.AC 9.ABC
二、填空题
10. 11. 12.
三、解答题
13.（1）证明略（2） 14.（1）或（2）
思维探索 15.D
16.（1）证明略（2）或（3）不存在满足题意的点.理由略2.3.4 圆与圆的位置关系
【课前预习】
知识点
1.外离 外切 相交 内切 内含
2.(3)d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|d=|r1-r2| d<|r1-r2|
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)由两圆相交的概念知结论正确.
(2)若两个圆没有公共点,则两圆可能外离也可能内含,故结论不正确.
(3)两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,该结论正确;但反之不成立,即若两圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切.
2.解:当两圆的方程组成的方程组无解,即两圆无公共点时,两圆一定相离,但既可能外离也可能内含,因此不一定是外离.
【课中探究】
探究点一
例1 解:将两圆的方程化为标准方程,得C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k,则圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=,则两圆的圆心距d==5.
(1)当两圆外切时,d=r1+r2,即1+=5,解得k=34.
(2)当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-|=5,解得k=14.
(3)当两圆相交时,|r1-r2|(4)当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-|>5,解得k<14.
(5)当两圆外离时,d>r1+r2,即1+<5,解得k>34,又k<50,所以k的取值范围为34变式 (1)C (2)9或49 [解析] (1)圆(x-4)2+y2=9的圆心为(4,0),半径为3,圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3),半径为2,两圆的圆心距为=5=2+3,即两圆的圆心距等于两圆的半径之和,所以两圆外切.故选C.
(2)由题知,圆C1的圆心为C1(-1,-1),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(2,3),半径r2=,则两圆的圆心距d==5,因为圆C1与圆C2相切,所以d=+2或d=-2,解得m=9或m=49.
探究点二
例2 解:(1)圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,两圆的方程相减,得圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程为x+2y-1=0.
(2)方法一:圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0的圆心为C1(-1,-4),半径r=5,圆心C1(-1,-4)到直线x+2y-1=0的距离d==2,故两圆的公共弦长为2×=2.
方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组解得或所以|AB|==2,即公共弦长为2.
变式 (1)A (2) [解析] (1)把圆C1与圆C2的方程相减得mx+4y-7=0,即圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为mx+4y-7=0.由直线mx+4y-7=0与直线l垂直,得2m-4=0,解得m=2.故选A.
(2)圆C:x2+y2+2x-3=0的标准方程为(x+1)2+y2=4,所以圆C的圆心为C(-1,0),半径为2,因为(2+1)2+22=13>4,所以点P在圆C外,易得线段PC的中点坐标为,|PC|==,则以线段PC为直径的圆的方程为+(y-1)2=,即x2+y2-x-2y-2=0.由x2+y2+2x-3=0,x2+y2-x-2y-2=0两式相减并化简得3x+2y-1=0,又点C(-1,0)到直线3x+2y-1=0的距离为=,所以|AB|=2=.
探究点三
例3 (1)A (2)x2+y2+x+y+1=0 [解析] (1)设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y-4+λ(x2+y2-4x+2y+2)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2-4λ)x-(4-2λ)y-4+2λ=0,则所求圆的圆心坐标为,代入x+2y+2=0,解得λ=-,故所求圆的方程为-x2-y2+12x-9y-9=0,即x2+y2-8x+6y+6=0.故选A.
(2)设圆C1和圆C2的两个交点为A,B.由x2+y2+4x+y+1-(x2+y2+2x+2y+1)=0,得直线AB的方程为2x-y=0.设所求圆的方程为x2+y2+4x+y+1+λ(2x-y)=0,化简得x2+y2+(4+2λ)x+(1-λ)y+1=0,则半径最小时,圆心在直线2x-y=0上,此时λ=-,故所求圆的方程为x2+y2+x+y+1=0.
变式 解:(1)证明:圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4,则圆C1的圆心为C1(-2,2),半径为2;圆C2:x2+y2+2x=0的标准方程为(x+1)2+y2=1,则圆C2的圆心为C2(-1,0),半径为1.所以两圆的圆心距|C1C2|==,1<<3,故两圆相交.
(2)设过两圆交点的圆的方程为x2+y2+4x-4y+4+λ(x2+y2+2x)=0,把(-2,3)代入,解得λ=.
故所求圆的方程为x2+y2+4x-4y+4+(x2+y2+2x)=0,即x2+y2+x-3y+3=0.
【课堂评价】
1.B [解析] 圆(x+2)2+y2=4的圆心为(-2,0),半径r=2,圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心为(2,1),半径R=3,两圆的圆心距d==,因为R+r=5,R-r=1,R+r>d>R-r,所以两圆相交.故选B.
2.B [解析] 由已知得圆x2+y2-6x+8y=0的圆心为(3,-4),半径为5,由所求圆的半径也为5且两圆相切于原点知,所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称,即为(-3,4),故所求圆的方程为x2+y2+6x-8y=0,故选B.
3.B [解析] 易知圆x2+y2=4的圆心为原点(0,0),半径r1=2.圆x2+y2-4x-4y=0的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8,故其圆心为(2,2),半径r2=2.两圆的圆心距d==2∈(2-2,2+2),所以两圆相交,如图所示,则|AB|max=d+r1+r2=4+2.故选B.
4.B [解析] 圆C1:x2+y2-2x-6y=0的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=10,所以圆C1的圆心为C1(1,3),半径为.因为圆C2平分圆C1的周长,所以圆C1的圆心在圆C2与圆C1的公共弦上.由x2+y2+mx+ny-(x2+y2-2x-6y)=0得,两圆公共弦所在直线方程为(m+2)x+(n+6)y=0,则(m+2)×1+(n+6)×3=0,整理得m+3n=-20.故选B.
5.2 [解析] 圆O1:x2+y2+2x-3=0的圆心为O1(-1,0),半径r1=2.圆O2:x2+y2-2y-1=0的圆心为O2(0,1),半径r2=.两圆方程相减可得(x2+y2+2x-3)-(x2+y2-2y-1)=0,化简得x+y-1=0,此为公共弦AB所在直线的方程,则圆心O1到直线AB的距离d==,则|AB|=2×=2.2.3.4 圆与圆的位置关系
1.D [解析] 由题可得圆C:(x-1)2+(y+2)2=r2,则其圆心为(1,-2),半径为r;圆D:x2+y2=6的圆心为(0,0),半径为.则两圆圆心距为<,故两圆可能内含、内切、相交,不可能外切、外离.故选D.
2.A [解析] x2+y2+2x-4y+3=0可化为(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心坐标为(-1,2),半径为.x2+y2-4x+2y+3=0可化为(x-2)2+(y+1)2=2,则圆心坐标为(2,-1),半径为,所以两圆的圆心距为3,所以两圆上的点的最短距离是.
3.B [解析] 圆x2+y2=4的方程与圆x2+y2-2y-6=0的方程相减可得公共弦所在直线的方程为y=-1,由于圆x2+y2=4的圆心到直线y=-1的距离为1,且圆x2+y2=4的半径为2,因此公共弦的长为2×=2,故选B.
4.A [解析] 由题意可知,圆C1关于x轴的对称圆C:x2+(y+1)2=r2与圆C2有交点.圆C和圆C2的圆心分别为(0,-1),(2,0),半径分别为r和2,所以圆心距d==.因为两圆有交点,所以有|r-2|≤d≤r+2,即|r-2|≤≤r+2,所以-2≤r≤+2.故选A.
5.D [解析] 如图,由题得圆O的半径为1.因为圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,所以∠APO=30°.在Rt△PAO中,|PO|=2,又圆M的半径等于1,圆心为M(a,a-4),所以|PO|min=|MO|-1,|PO|max=|MO|+1,又|MO|=,所以-1≤2≤+1,解得2-≤a≤2+,则实数a的取值范围为.故选D.
6.D [解析] 设M(x,y),由|AM|2+|BM|2=m2,得x2+(y+4)2+x2+(y-2)2=m2,化简得x2+(y+1)2=.若m2<18,则不存在满足题意的M(x,y),舍去;若m2=18,则M的坐标为(0,-1),但点(0,-1)不在圆C:(x+6)2+(y-7)2=49上,故不满足题意,舍去;若m2>18,则点M在圆N:x2+(y+1)2=上,圆心为N(0,-1),半径r1=.圆C的圆心为C(-6,7),半径r2=7,又点M在圆C上,所以圆C与圆N有公共点,所以≤≤+7,解得-2≤m≤-6或6≤m≤2,故m的最小值为-2.故选D.
7.A [解析] 设M(a,b),则a+b=4,由切线的性质得点A,B在以OM为直径的圆上,以OM为直径的圆的方程是+=(a2+b2),与圆O的方程x2+y2=4联立,可得直线AB的方程为ax+by-4=0.因为a+b=4,所以b=4-a,代入直线AB的方程,得ax+(4-a)y-4=0,即a(x-y)+4y-4=0,故直线AB过定点N(1,1),则动点P到直线AB的距离的最大值即为C(-3,3),N(1,1)之间的距离加上圆C的半径1,因为|CN|==2,所以圆C上的动点P到直线AB的距离的最大值为2+1.
[技巧点拨] 过圆外点作圆的切线,则两个切点所在的直线问题可以转化为两个圆的公共弦问题,即以圆外点和已知圆的圆心为直径的圆与已知圆的公共弦,应用此种转化方法可以简化计算.
8.AC [解析] A选项中,圆C1:(x-1)2+y2=1的圆心为C1(1,0),半径为r1=1,圆C2:x2+y2-2y=0的圆心为C2(0,1),半径为r2=1,故圆心距为|C1C2|==,由于r1-r2=0,r1+r2=2,因此r1-r2<|C1C2|9.ABC [解析] 由已知得圆O1的标准方程为(x-m)2+(y+1)2=m2+1,圆O2的标准方程为(x-1)2+(y-2m)2=4m2,则圆O1的圆心为O1(m,-1),半径r1=,圆O2的圆心为O2(1,2m),半径r2=2|m|,则m≠0.由点(1,-1)在圆O1内,可得12+(-1)2-2m-2<0,即m>0,故A正确;当m=1时,O1(1,-1),r1=,O2(1,2),r2=2,所以|O1O2|=3∈(2-,2+),所以两圆相交,共有两条公切线,故B正确;两圆方程相减得(-2m+2)x+(2+4m)y-1=0,即公共弦所在直线的方程为m(-2x+4y)+(2x+2y-1)=0,令解得所以直线过定点,故C正确;公共弦所在直线的斜率为,令=,则m无解,故D错误.故选ABC.
10.30)的圆心为(3,4),半径为r,所以两圆的圆心距为5,又两圆相交,所以|r-2|<511.x2+y2+6x-6y+8=0 [解析] 方法一:由可得两圆交点的坐标分别为(0,2),(-4,0).设所求圆的圆心坐标为(a,-a),半径为r,则==r,解得a=-3,r=,故所求圆的标准方程为(x+3)2+(y-3)2=10,一般方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
方法二:同方法一,得两圆的交点坐标为(0,2),(-4,0),设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得故所求圆的一般方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
方法三:设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0(λ≠-1),因为这个圆的圆心在直线x+y=0上,所以--=0,解得λ=-2,故所求圆的一般方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
[技巧点拨] 涉及求解过两个圆交点、直线与圆交点、相同圆心等圆的方程时,可以设圆系方程,通过解方程的方法求解.
12.(x-2)2+(y-2)2=2[解析] 圆的方程可化为(x-6)2+(y-6)2=18,其圆心C1(6,6)到直线x+y-2=0的距离d==5.过点C1且垂直于直线x+y-2=0的直线方程为y-6=x-6,即y=x,所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上,如图所示.圆心C2到直线x+y-2=0的距离为=,则圆C2的半径为.设圆心C2的坐标为(x0,y0),则=,y0=x0,解得x0=2或x0=0(舍去),所以圆心C2的坐标为(2,2),所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
13.解:(1)证明:圆C的方程可整理为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0(a≠2),
由解得所以圆C过定点(4,-2).
(2)圆C的标准方程为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).由题得圆O的圆心为O(0,0),半径为2,圆C的圆心为C(2a,-a),半径为(a≠2),则|OC|=.
①当两圆外切时,=2+,可得a=1+;
②当两圆内切时,=|-2|,可得a=1-.综上所述,a=1±.
14.解:(1)圆C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0的标准方程为(x+k)2+(y+2k+5)2=42,
所以圆C的圆心为C(-k,-2k-5),半径r=4.
圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1.
因为圆C与圆x2+y2=1外切,所以=4+1=5,解得k=0或k=-4.
(2)由(1)得C(-k,-2k-5),即消去k得y=2x-5,所以圆心C的轨迹方程为y=2x-5.
15.D [解析] 由题意可知圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径R=2.因为∠MON=60°,所以|OP|=Rcos 30°=,易知点P的轨迹是以O(0,0)为圆心,半径r=的圆,其方程为x2+y2=3.设线段AB的中点为E,因为∠APB为钝角,所以圆x2+y2=3在以AB为直径的圆E内,可得|OE|<|AB|-,则|AB|>2|OE|+2.因为O(0,0)到直线l:x-y-4=0的距离d==2,所以|OE|≥d=2,所以|AB|>2|OE|+2≥4+2,所以|AB|>4+2,所以|AB|的取值范围是(4+2,+∞).故选D.
16.解:(1)证明:设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则解得
所以圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0(或(x+3)2+(y-1)2=25),
又点D(-3,-4)在圆x2+y2+6x-2y-15=0上,
所以A,B,C,D四点在圆x2+y2+6x-2y-15=0上.
(2)当直线斜率不存在时,直线方程为x=2,该直线与圆相切;
当直线斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,
则=5,可得k=,所以切线方程为21x-20y-62=0.
故所求切线方程为x=2或21x-20y-62=0.
(3)不存在满足题意的点P.理由如下:设P的坐标为(x,y),依题意可得=2,
化简可得P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4,因为两圆的圆心距d=<3=5-2,
所以两圆的位置关系为内含,所以不存在满足题意的点P.2.3.4 圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.理解圆与圆的位置关系的种类;
2.掌握圆与圆的位置关系的判定方法,能够判定两圆的位置关系;
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题.
◆ 知识点 圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系主要包括: 、 、 、 和 .
2.两圆的位置关系的判断:
(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),联立方程得消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下表中标准进行判断.
(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆的圆心距d,按下表中标准进行判断.
(3)判断标准:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点 个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0
d与r1,r2 的关系
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)联立两圆方程,若方程组有两个解,则两圆相交. ( )
(2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( )
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. ( )
(4)若两个圆相交,则两个圆的圆心所在的直线垂直平分两个圆的公共弦. ( )
2.当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆是否一定相离,是否外离
◆ 探究点一 两圆位置关系的判断及应用
例1 已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:
(1)外切;(2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离.
试确定上述条件下k的取值范围.
变式 (1)[2025·广东中山高二期末] 圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的位置关系是( )
A.外离 B.相交
C.外切 D.内含
(2)若圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4与圆C2:(x-2)2+(y-3)2=m(m>0)相切,则m= .
[素养小结]
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤:
①将圆的方程化成标准方程,写出圆心和半径;
②计算两圆的圆心距d;
③通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围,必要时可借助图形,数形结合求解.
(2)应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的取值范围比较简单清晰,关键要理清圆心距与两圆半径的关系.
◆ 探究点二 两圆公共弦问题的解决
例2 已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0.
(1)求两个圆公共弦所在直线的方程;
(2)求两个圆公共弦的长.
变式 (1)[2025·重庆育才中学高二期中] 已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2+mx+4y-11=0(m∈R)的公共弦所在直线与直线l:2x-y+1=0垂直,则m的值为( )
A.2 B.-2
C.8 D.-8
(2)过点P(2,2)作圆C:x2+y2+2x-3=0的两条切线,切点分别为A,B,则|AB|= .
[素养小结]
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
(2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径、弦心距和弦长的一半构成直角三角形的三边长求解.
◆探究点三 圆系方程问题
例3 (1)过两圆x2+y2+2x-4y-4=0和x2+y2-4x+2y+2=0的交点,且圆心在直线x+2y+2=0上的圆的方程为 ( )
A.x2+y2-8x+6y+6=0
B.x2+y2-4x+4y+6=0
C.x2+y2-8x+6y-6=0
D.x2+y2-4x+4y-6=0
(2)经过两圆C1:x2+y2+4x+y+1=0与C2:x2+y2+2x+2y+1=0的两个交点且半径最小的圆的方程为 .
变式 [2025·福建厦门湖滨中学高二月考] 已知圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0和圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)求证:两圆相交;
(2)求过点(-2,3)且过两圆交点的圆的方程.
[素养小结]
一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后再由其他条件求出λ,即可得圆的方程.
1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
2.半径为5且与圆x2+y2-6x+8y=0相切于原点的圆的方程为 ( )
A.x2+y2-6x-8y=0
B.x2+y2+6x-8y=0
C.x2+y2+6x+8y=0
D.x2+y2-6x-8y=0或x2+y2-6x+8y=0
3.已知A为圆x2+y2=4上任意一点,B为圆x2+y2-4x-4y=0上任意一点,则|AB|的最大值为 ( )
A.2+2 B.2+4
C.4 D.2
4.已知圆C1:x2+y2-2x-6y=0,圆C2:x2+y2+mx+ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则m+3n=( )
A.20 B.-20
C.10 D.-10
5.[2025·河南驻马店高二期中] 若圆O1:x2+y2+2x-3=0与圆O2:x2+y2-2y-1=0交于A,B两点,则|AB|= . 2.3.4 圆与圆的位置关系
一、选择题
1.[2024·浙江金华十校高二期末] 圆C:x2+y2-2x+4y=r2-5(r>0)与圆D:x2+y2=6的位置关系不可能为 ( )
A.内含 B.内切
C.相交 D.外切
2.已知点P,Q分别在圆x2+y2+2x-4y+3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0上,则P,Q间的最短距离是( )
A. B.2
C.2 D.3
3.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为 ( )
A. B.2 C.2 D.1
4.[2025·江苏镇江高二期中] 在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于x轴的对称点Q在圆C2:(x-2)2+y2=4上,则r的取值范围是 ( )
A.[-2,+2]
B.[3,7]
C.(-2,+2)
D.(3,7)
5.[2025·辽宁大连高二期中] 已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.[2025·山西晋中高二期中] 已知圆C:(x+6)2+(y-7)2=49和点A(0,-4),B(0,2),若点M在圆C上,且|AM|2+|BM|2=m2,则实数m的最小值是 ( )
A.2 B.6
C.-6 D.-2
★7.过直线x+y=4上一点M向圆O:x2+y2=4引两条切线,A,B为切点,则圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上的动点P到直线AB的距离的最大值为 ( )
A.2+1 B.6
C.8 D.2+1
8.(多选题)[2025·贵州铜仁高二期末] 圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:x2+y2-2y=0,则圆C1与C2( )
A.相交
B.有3条公切线
C.公共弦所在直线方程为x-y=0
D.关于直线x+y+1=0对称
9.(多选题)已知圆O1:x2+y2-2mx+2y=0,圆O2:x2+y2-2x-4my+1=0,则下列说法中正确的有( )
A.若点(1,-1)在圆O1内,则m>0
B.当m=1时,圆O1与圆O2共有两条公切线
C.若圆O1与圆O2存在公共弦,则公共弦所在直线过定点
D.存在m∈R,使得圆O1与圆O2公共弦所在直线的斜率为
二、填空题
10.[2025·安徽芜湖高二期中] 已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)相交,则r的取值范围为 .
★11.已知圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0与x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的一般方程为 .
12.与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
三、解答题
13.(13分)[2024·内蒙古鄂尔多斯高二期中] 已知圆C:x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0(a≠2).
(1)求证:圆C过一定点;
(2)若圆C与圆O:x2+y2=4相切,求a的值.
14.(15分)[2025·河北承德高二期中] 已知k∈R,圆C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0.
(1)若圆C与圆x2+y2=1外切,求实数k的值;
(2)求圆心C的轨迹方程;
15.已知MN是圆O:x2+y2=4的一条弦,∠MON=60°,P是MN的中点.当弦MN在圆O上运动时,直线l:y=x-4上总存在两点A,B,使得∠APB为钝角,则|AB|的取值范围是 ( )
A.(0,4-2)
B.(4-2,+∞)
C.(0,4+2)
D.(4+2,+∞)
16.(15分)[2025·山东威海高二期中] 在平面直角坐标系中,已知A(0,5),B(1,-2),C(0,-3),D(-3,-4).
(1)证明:A,B,C,D四点共圆.
(2)过点P(2,-1)作(1)中圆的切线,求切线方程.
(3)坐标原点O,点E(3,0),请问(1)中圆上是否存在点P,满足|PE|=2|PO| 若存在,求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
