(共78张PPT)
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
探究点一 椭圆的定义及应用
探究点二 椭圆的标准方程
探究点三 求与椭圆有关的轨迹方程
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解椭圆的实际背景;
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简
过程;
3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
知识点一 椭圆的定义
1.椭圆的定义
（1）定义：如果，是平面内的两个定点， 是一个常数，且
，则平面内满足__________________的动点 的轨迹称为
椭圆.
（2）相关概念：两个定点， 称为椭圆的______，两个焦点之间
的距离 称为椭圆的______.
焦点
焦距
2.焦距常用____表示.
椭圆定义的数学表达式:__________________________.
3.椭圆定义的三个要点：
（1）在平面内，， 是两个定点；
（2） 为定长；
（3）定长 .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知，，平面内到， 两点的距离之和等于
2的点的轨迹是椭圆.( )
×
[解析] ，故动点轨迹不存在.
（2）已知，，平面内到， 两点的距离之和等于
4的点的轨迹是椭圆.( )
×
[解析] ，故动点轨迹是线段 .
（3）已知，，平面内到， 两点的距离之和等于
6的点的轨迹是椭圆.( )
√
[解析] ,故动点轨迹是椭圆.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在 轴上 焦点在 轴上
标准方程 _ ____________________ _ ____________________
图形 _____________________________________________ ______________________________
焦点坐标 ____________ ____________
,, 的关系 _____________
,
,
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在椭圆中，,,的关系是 .( )
×
[解析] 在椭圆中，,,的关系是 .
（2）已知椭圆的方程为，则椭圆的焦点在 轴上.( )
×
[解析] 因为，所以椭圆的焦点在 轴上.
（3）椭圆的方程为，则， .( )
×
[解析] 由椭圆的方程为，得， .
（4）方程 是椭圆方程.( )
×
[解析] 当时， 是圆的方程.
探究点一 椭圆的定义及应用
例1（1）已知，是椭圆的两个焦点，过点 且斜
率为的直线与椭圆交于，两点，则 的周长为( )
A.8 B. C. D.与 有关
[解析] 由题知 ，由椭圆的定义可得
， ，
因为，所以的周长为 .故选C.
√
（2）已知椭圆的左、右焦点分别为， ，
右顶点到右焦点的距离为2，点是上一点，且 ，则
___.
2
[解析] 由题意可知.
因为椭圆的焦点在 轴上，所以，，
又因为，所以， .
由椭圆的定义可知，因为 ，所以
.
变式（1）已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点 的距离
为4，是线段的中点，为坐标原点，则线段 的长度是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
[解析] 因为椭圆的方程为,所以,可得,
设 为椭圆的另一个焦点,则中,,分别为和 的中点,
所以,
又因为点在椭圆上,所以 ,
所以,故 .
√
（2）［2025·河南郑州高二期中］设为椭圆 上一动点，
,分别为椭圆的左、右焦点，，则 的最小值
为( )
A.8 B.7 C.6 D.4
√
[解析] 如图，连接 ,因为 ，
所以，
由图知，当 ,, 三点共线，且点在,之间时，
的值最小，最小值为,
此时 取得最小值 .故选B.
［素养小结］
（1）椭圆上一点与椭圆的两焦点，构成的称为焦点三
角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义及
三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.
（2）椭圆问题中如果涉及椭圆上的点到焦点的距离问题，就需
要考虑到椭圆的定义及应用.
探究点二 椭圆的标准方程
例2（1）（多选题）［2025·广东佛山高二期中］ 已知曲线
，则下列结论正确的有( )
A.若，则是焦点在 轴上的椭圆
B.若，则 是圆
C.若，则是焦点在 轴上的椭圆
D.若，则是两条平行于 轴的直线
√
√
√
[解析] 由可得.
对于A，若 ，则，所以是焦点在轴上的椭圆，故
A正确；
对于B，若 ，则曲线，所以是圆，故B正确；
对于C，若 ，则，所以是焦点在 轴上的椭圆，故
C错误；
对于D，若，则，所以是两条平行于 轴的直线，故D
正确.故选 .
（2）［2025·四川眉山高二期中］椭圆的焦点为, ，
点在此椭圆上，如果线段的中点在轴上，则点 的坐标为
____________.
[解析] 由可知,，即, ，所以
.
不妨设, .
因为线段的中点在轴上，且原点为线段的中点，所以
，所以轴.
设，则，解得 ，所以点的坐标为
.
变式（1）设椭圆 的左、右焦点分别为
，，焦距为2，直线经过交椭圆于,两点，若 的周
长为12，则椭圆 的标准方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由 的周长为
，得，
又椭圆的焦距，所以，则 ，所
以椭圆的标准方程为 .故选D.
√
（2）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为方程表示椭圆，且焦点在 轴上，所以
解得 .故选C.
√
［素养小结］
求椭圆标准方程的方法:
（1）定义法：根据椭圆定义，确定，的值，结合焦点的位置写
出椭圆的标准方程.
（2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条
件确定待定系数即可，即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在轴上和焦点在轴
上进行分类讨论，但要注意这一条件.
（3）当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设
成，且 的形式有两个优点：①列
出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简
化求解过程.
探究点三 求与椭圆有关的轨迹方程
例3（1）［2025·广东中山高二期末］已知动点的坐标 满足方
程，则动点 的轨迹方程
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设点 ，
， 点 的轨迹为椭圆，
，，即 ，
，，故动点的轨迹方程为 .故
选B.
（2）如图所示,已知,是椭圆
上的动点,求线段的中点 的轨迹方程.
解：设,
为线段 的中点,
又, 点 的轨迹方程为 .
变式（1）已知的周长是8,且,,则顶点 的轨迹方
程是( )
A. B.
C. D.
[解析] , 顶点在以, 为
焦点的椭圆上.
设椭圆方程为,则, ,
,
又,,三点不共线, 顶点 的轨迹方程为 .
√
（2）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段 ,
为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设点，则，代入椭圆方程 得
，其中 .故选C.
√
［素养小结］
求解与椭圆相关的轨迹问题的方法
1.在椭圆中,, ,则该椭圆的标准方程为( )
A. B.或
C. D.或
[解析] , .故选D.
√
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点 作直
线交椭圆于，两点，则 的周长为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
[解析] 由题得，根据椭圆的定义可得，的周长 .故选D.
√
3.已知方程表示焦点在 轴
上的椭圆,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由方程 ，即
表示焦点在轴上的椭圆，可得 ，
解得 .故选B.
√
4.椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10，则该
椭圆的标准方程为_______________________.
或
[解析] 由题意可知，，，则， ，
.
当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆的标准方程为.
故该椭圆的标准方程为或 .
5.在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段 ，垂
足为，点满足，当点在上运动时，点 的轨迹方程
为___________________.
[解析] 设点,，则，
又点在椭圆 上，所以.
易知,，由
可得因此代入 即可得
，整理可得点的轨迹方程为 .
1.对椭圆定义的理解
设两定点，，点到，的距离之和为 .
（1）当 时，点的轨迹是椭圆.
（2）当时，点的轨迹是以， 为端点的线段.
（3）当 时，点的轨迹不存在.
2.当,且时，方程 表示椭圆.若
,则表示焦点在轴上的椭圆；若 ,则表示焦点在
轴上的椭圆.
3.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在轴上还是在 轴上，还
是两个坐标轴都有可能.
（2）设方程：
①依据上述判断设椭圆方程为 或
.
②在不能确定焦点位置的情况下也可设椭圆方程为
，且 .
（3）找关系：依据已知条件，建立关于，或， 的方程组.
（4）得方程：解方程组，将，或， 代入所设方程即为所求.
1.求椭圆方程常用的方法主要是定义法和待定系数法.定义法的要点是
根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义,进而确定各参数的
值,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆方程中的系数.
例1 已知中心在原点的椭圆的右焦点为,直线 与椭圆
的一个交点的横坐标为2,则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆过点,排除A,B.由椭圆的焦点在轴上且 ,
排除D.故选C.
√
2.对于椭圆的基本量的计算,解决这类问题的关键是抓住,, 的基本
关系进行求解.
例2 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为方程表示焦点在 轴上的椭圆，所以
解得 .故选C.
√
3.焦点三角形是椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形.解决焦
点三角形问题一般从三个方面入手考虑:（1）椭圆的定义;（2）余弦
定理;（3）三角形面积公式.
例3（1）（多选题）［2024·江西宜春高二期末］ 设椭圆
的左、右焦点分别为，，坐标原点为.若椭圆
上存在一点，使得 ，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 的面积为2
D.的内切圆半径为
√
√
√
[解析] 方法一：由题意得， ，则
，.
由对称性不妨设 ，，，
.
由 可得
又， ，所以 ，
，所以
.
由椭圆的定义得.
在 中，由余弦定理得， ，即
，
解得，故A正确；
，故B错误；
的面积 ，
故C正确；
设的内切圆半径为 ，则，即
，解得，故D正确.故选 .
方法二：设，， .
易知 ， ，由极化恒等式，得
，故B错误；
由中线长定理得 ，由椭圆定义得
，所以
，所以 ，所以，故A正确；
由 ，得，所以
，故C正确；
设的内切圆半径为 ，则，
即 ，解得，故D正确.故选 .
（2）［2025·合肥高二期中］已知椭圆 的左、
右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与 轴垂直.
①证明： ；
证明：由椭圆的定义得 ，
因为直线与轴垂直，所以 ，
即 ，
故 .
解：因为平分，所以，即 .
由解得
代入得，解得 ，
故的面积为 .
（2）［2025·合肥高二期中］已知椭圆 的左、
右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与 轴垂直.
②若的平分线恰好过点，求 的面积.
4.求与椭圆有关的轨迹方程时,一般先观察能否根据条件直接判断轨
迹是什么图形,设出方程,利用待定系数法求方程;否则通过条件列出
动点坐标所满足的方程.直接列出方程就是直接法，寻求动点的坐标
与其他动点的坐标的关系即为相关点法,寻求动点坐标与其他参数的
关系,消去参数得到轨迹方程即为参数法.
例4 已知,,是圆（ 为圆心）上一动点,
线段的垂直平分线交于点,则动点 的轨迹方程为___________
_______.
[解析] 由题意得，.
又 ,所以,即点到,的距离之
和为定值2且大于, 之间的距离1,
故动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,且,,所以 ,
所以动点的轨迹方程为 .
练习册
一、选择题
★1.［2025·江苏南京高二期中］若方程表示焦点在
轴上的椭圆，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为方程表示焦点在 轴上的椭圆，所以
解得 ，故选C.
√
［易错点］ 本题容易因为忽略分母均为正数且焦点在 轴上而导致错误.
★2.［2025·福建厦门高二期末］椭圆 的中心在原点，焦点在坐标轴
上，且过，两点，则 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设椭圆的方程为，
因为椭圆 过，两点，所以解得
所以椭圆的方程为 .故选C.
［提示］ 当不确定椭圆（中心为原点）的焦点在轴还是 轴上时，
通常将椭圆方程设为 形式.
3.已知曲线上任意一点 的坐标都满足关系式
，则曲线 的标准方程为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为点 的坐标满足
，所以 到两定点,的距离之和为，
又，所以曲线 为椭圆，焦点为,，则，
又椭圆上任意一点 到两个焦点的距离之和为，即
，所以 ,则，所以椭圆的标准方
程为 .故选C.
4.［2025·广东东莞高二期中］已知椭圆的右焦点为,
是椭圆上任意一点，点，则 的周长的最大值为
( )
A. B.14
C. D.
√
[解析] 由椭圆方程得，， .
设椭圆的左焦点为，,, ,
，
则的周长为 , 当且仅当,,三点共线，
且在的延长线上时取等号，故的周长的最大值为14.故选B.
5.［2025·河北张家口高二期中］已知动圆过点 ，并且在圆
内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为，半径为 .
设动圆圆心为，半径为.由题得 ，
又动圆过点，所以 ，即
，则到两定点 ,
的距离之和为4.
由椭圆的定义可知，点在以, 为焦点的椭圆上，
因为,，所以 ，所以动圆圆心的轨迹方程
为 .故选C.
6.在中，已知,，若,, 分别为
的内角，，所对的边，且满足 ，
则顶点 的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 在中，因为，所以 ，
又,，所以，所以 ，即
，
由于，所以点的轨迹是以 , 为焦点的椭圆的
左半部分，
又，所以顶点 的轨迹方程是 .故选A.
7.如图，一个圆形纸片的圆心为， 是圆内的一个
定点，是圆周上的一个动点，把纸片折叠使 与
重合，然后抹平纸片，折痕为，设与 交
于点，则点 的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
[解析] 由题意知， ，
（定值），
又 是圆内的一个定点，， 根据椭圆的定义可推断
出点的轨迹是以 ， 两点为焦点的椭圆.故选A.
√
8.（多选题）已知曲线 ，则下列说法正确的有
( )
A.若，则是椭圆，其焦点在 轴上
B.若，则是椭圆，其焦点在 轴上
C.若，则是圆，其半径为
D.若，，则 是两条直线
√
√
[解析] 对于A，B，若，则 可化为
，因为，所以，所以曲线表示焦点在
轴上的椭圆，故A正确，B错误；
对于C，若 ，则可化为，此时
曲线 表示圆心在原点，半径为的圆，故C错误；
对于D，若,，则 可化为，即
，此时曲线表示平行于 轴的两条直线，故D正确.故选 .
9.（多选题）设点为椭圆上一点，，分别为 的
左、右焦点，且 ，则( )
A.的周长为20 B.点到轴的距离为
C.的面积为 D.
√
√
[解析] 由已知得， ，
，整理得.
对于选项A， 的周长为 ，故A错误；
对于选项B，，则点到 轴的距
离为，故B正确；
对于选项C，由B知 ，故C错误；
对于选项D， ，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知，是椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于
，两点，则的周长为____；若 ，则
___.
20
8
[解析] 由椭圆，得，则 的周长是
，所以
.
11.［2025·浙江杭州高二期中］在平面直角坐标系中，已知两点
，，点为动点，且直线与的斜率之积为 ，
则点 的轨迹方程为_____________________.
[解析] 设，，， ，
.
由，得 ,
整理得，故点 的轨迹方程为
.
★12.点是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、右焦点，
若，则 __.
[解析] 由，可得，，则 ，
.
,,
由余弦定理得,可得，故 .
［技巧点拨］ 当条件中涉及椭圆上的点 与焦点距离的乘积时，一
般要考虑应用余弦定理.
三、解答题
13.（13分）已知点是椭圆上一点，点，
分别是椭圆的左、右焦点，且， 的周长为8.
（1）求椭圆的标准方程；
解：由椭圆的左焦点为，可得 ，
即 ，
由椭圆的定义，可得 .
因为的周长为8，所以，解得 ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
13.（13分）已知点是椭圆上一点，点，
分别是椭圆的左、右焦点，且， 的周长为8.
（2）若，求点 的坐标.
解：设点，由（1）得，则 ，
因为，所以 ，则
，即 ，
将代入，可得，解得 ，
所以点的坐标为,,, .
14.（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别
为，，为椭圆 上一点.
（1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆 的标准方程；
解：由已知得.
因为，所以 .
由点在椭圆 上，可得，即 ，
由，得 ，
由①②，可得， ，
故椭圆的标准方程为 .
14.（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别
为，，为椭圆 上一点.
（2）若，且，的面积为，求 的值.
解：因为，所以的面积 ，
则 .
由，得 .
根据椭圆的定义得 ，
所以 ，即 .
由余弦定理可得 ，
整理得 .
由③④得，则 ，
则，所以 .
在椭圆中有，即 ，
可得 .
15.设椭圆的左、右焦点分别为, ，
，是上一点，若，且 ，
则椭圆 的标准方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以 .
由椭圆的定义得，
又，所以, ，
又，所以，所以在 中，由余
弦定理得 ，
即，整理得 ，解得
，则，所以椭圆的标准方程为 .故
选D.
16.（15分）如图，的底边，边和 上中线的长度
和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心 的轨迹方程，并求顶
点 的轨迹方程.
解：以边中点为原点，边所在直线为 轴，建立
如图所示的平面直角坐标系，则， .
设,的中点分别为,,则 .
由重心性质可知 .
因为，是两个定点，点到， 的距离之和等于定
值20，且，所以点的轨迹是椭圆（不包括 轴上的点），
， 是椭圆的焦点，
所以，则,又 ，所以
，所以 ，
故点的轨迹方程为 .
设，，则 .
由重心坐标公式知故点 的轨迹方程为
，即 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.（1） （2）焦点 焦距
2., 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
知识点二 m> ,
, 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）×
课中探究 探究点一 例1（1）C （2）2 变式（1）B （2）B
探究点二 例2（1）ABD （2） 变式（1）D （2）C
探究点三 例3（1）B （2） 变式（1）A （2）C
课堂评价 1.D 2.D 3.B 4.或 5.
练习册
一、★1.C ★2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.A 8.AD 9.BD
二、10. 20 8 11. ★12.
三、13.（1）
（2）点的坐标为,,,
14.（1） （2）
思维探索 15.D
16. 以边中点为原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点的轨迹
方程为，， ， 点的轨迹方程为2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
【课前预习】
知识点一
1.(1)|PF1|+|PF2|=2a (2)焦点 焦距
2.2c |PF1|+|PF2|=2a(2a>2c)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)|F1F2|=4>2,故动点轨迹不存在.
(2)|F1F2|=4,故动点轨迹是线段F1F2.
(3)|F1F2|=4<6,故动点轨迹是椭圆.
知识点二
+=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
(-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) a2=b2+c2
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)在椭圆中,a,b,c的关系是a2=b2+c2.
(2)因为10>6,所以椭圆的焦点在y轴上.
(3)由椭圆的方程为+=1,得a2=10,b2=6.
(4)当m=n>0时,mx2+ny2=1(m>0,n>0)是圆的方程.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)2 [解析] (1)由题知a=2,由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a=4,|NF1|+|NF2|=2a=4,因为|MN|=|MF1|+|NF1|,所以△MNF2的周长为|MF2|+|MN|+|NF2|=(|MF2|+|MF1|)+(|NF1|+|NF2|)=4+4=8.故选C.
(2)由题意可知a-c=2.因为椭圆C:+=1的焦点在x轴上,所以a2=t,b2=8,又因为a2=b2+c2,所以a=3,c=1.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,因为|PF1|=4,所以|PF2|=6-4=2.
变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为椭圆的方程为+=1,所以a2=49,可得a=7,设F1为椭圆的另一个焦点,则△MF1F中,N,O分别为MF和F1F的中点,所以|ON|=|MF1|,又因为点M在椭圆
上,所以|MF|+|MF1|=2a=14,所以|MF1|=14-|MF|=10,故|ON|=|MF1|=×10=5.
(2)如图,连接PF1,因为|PF2|+|PF1|=2a=10,所以|PF2|+|PQ|=10+|PQ|-|PF1|,由图知,当P,Q,F1三点共线,且点Q在P,F1之间时,|PQ|-|PF1|的值最小,最小值为-|QF1|=-(-1+4)=-3,此时|PF2|+|PQ|取得最小值10-3=7.故选B.
探究点二
例2 (1)ABD (2)(2,±2) [解析] (1)由x2+my2=1可得x2+=1.对于A,若01,所以C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,若m=1,则曲线C:x2+y2=1,所以C是圆,故B正确;对于C,若m>1,则0<<1,所以C是焦点在x轴上的椭圆,故C错误;对于D,若m=0,则x=±1,所以C是两条平行于y轴的直线,故D正确.故选ABD.
(2)由+=1可知a2=16,b2=8,即a=4,b=2,所以c2=a2-b2=16-8=8.不妨设F1(-2,0),F2(2,0).因为线段PF1的中点M在y轴上,且原点O为线段F1F2的中点,所以PF2∥MO,所以PF2⊥x轴.设P(2,m),则+=1,解得m=±2,所以点P的坐标为(2,±2).
变式 (1)D (2)C [解析] (1)由△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=12,得a=3,又椭圆C的焦距2c=2,所以c=1,则b2=a2-c2=8,所以椭圆C的标准方程为+=1.故选D.
(2)因为方程+=1表示椭圆,且焦点在y轴上,所以解得-8探究点三
例3 (1)B [解析] 设点F1(-,0),F2(,0).∵+=2=
|PF1|+|PF2|>2=|F1F2|,∴点P的轨迹为椭圆,∴|PF1|+|PF2|=2a=2,|F1F2|=2c=2,即a=,c=,∴b2=a2-c2=3,故动点P的轨迹方程为+=1.故选B.
(2)解:设M(x,y),P(x1,y1).∵M为线段AP的中点,∴又+=1,∴点M的轨迹方程为+=.
变式 (1)A (2)C [解析] (1)∵|AB|+|AC|=8-|BC|=6>|BC|=2,∴顶点A在以B,C为焦点的椭圆上.设椭圆方程为+=1(a>b>0),则a=3,c=1,b==2,又∵A,B,C三点不共线,∴顶点A的轨迹方程为+=1(x≠±3).
(2)设点M(x,y),则P(2x,y),代入椭圆方程+=1得x2+y2=4,其中x≠0.故选C.
【课堂评价】
1.D [解析] ∵a2=b2+c2,∴b2=13-12=1.故选D.
2.D [解析] 由题得a=2,根据椭圆的定义可得,△F2MN的周长L=|MN|+|MF2|+|NF2| =|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=2a+2a=4a=8.故选D.
3.B [解析] 由方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m),即+=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得m-1>3-m>0,解得24.+=1或 + =1 [解析] 由题意可知,2c=8,2a=10,则c=4,a=5,b2=a2-c2=9.当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+=1;当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为 + =1.故该椭圆的标准方程为+=1或 + =1.
5.x2+y2=25(y≠0) [解析] 设点M(x,y)(y≠0),P(x0,y0),则D(x0,0),又点P在椭圆E上,所以+=1.易知=(x-x0,y),=(0,y0),由=可得因此代入+=1即可得+=1,整理可得点M的轨迹方程为x2+y2=25(y≠0).2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
1.C [解析] 因为方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以解得4[易错点] 本题容易因为忽略分母均为正数且焦点在y轴上而导致错误.
2.C [解析] 设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),因为椭圆E过A(-2,1),B(,-)两点,所以解得所以椭圆E的方程为+=1.故选C.
[提示] 当不确定椭圆(中心为原点)的焦点在x轴还是y轴上时,通常将椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0)形式.
3.C [解析] 因为点P(x0,y0)的坐标满足+=2,所以P(x0,y0)到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为2,又2>4,所以曲线C为椭圆,焦点为(-2,0),(2,0),则c=2,又椭圆C上任意一点P(x0,y0)到两个焦点的距离之和为2,即2a=2,所以a2=5,则b2=a2-c2=5-4=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.故选C.
4.B [解析] 由椭圆方程+=1得a=3,b=,c==2.设椭圆的左焦点为F',∵A(0,2),F'(-2,0),F(2,0),∴|AF'|=|AF|=4,则△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|=14,当且仅当A,P,F'三点共线,且P在AF'的延长线上时取等号,故△APF的周长的最大值为14.故选B.
5.C [解析] 圆B:(x-1)2+y2=16的圆心为B(1,0),半径为r=4.设动圆圆心为P(x,y),半径为R.由题得r-R=|PB|,又动圆过点A(-1,0),所以4-=,即+=4,则P(x,y)到两定点(-1,0),(1,0)的距离之和为4.由椭圆的定义可知,点P(x,y)在以(-1,0),(1,0)为焦点的椭圆上,因为a=2,c=1,所以b2=4-1=3,所以动圆圆心的轨迹方程为+=1.故选C.
6.A [解析] 在△ABC中,因为2sin B=sin A+sin C,所以2b=a+c,又A(-1,0),C(1,0),所以b=2,所以a+c=4,即|BC|+|BA|=4>2,由于a>b>c,所以点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点的椭圆的左半部分,又22-12=3,所以顶点B的轨迹方程是+=1(x<0).故选A.
7.A [解析] 由题意知,|MP|=|PF|,∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),又F是圆内的一个定点,∴|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可推断出点P的轨迹是以F,O两点为焦点的椭圆.故选A.
8.AD [解析] 对于A,B,若m>n>0,则mx2+ny2=1可化为+=1,因为m>n>0,所以<,所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确,B错误;对于C,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,故C错误;对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,即y=±,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故D正确.故选AD.
9.BD [解析] 由已知得|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=6,|F1F2|2=|PF1|2+-2|PF1|·|PF2|cos,整理得|PF1|·|PF2|=.对于选项A,△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16,故A错误;对于选项B,=|PF1|·|PF2|sin=,则点P到x轴的距离为=,故B正确;对于选项C,由B知=,故C错误;对于选项D,·=||·||cos=,故D正确.故选BD.
10.20 8 [解析] 由椭圆+=1,得a=5,则△F2AB的周长是(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=20,所以|AB|=|AF1|+|BF1|=20-(|AF2|+|BF2|)=8.
11.x2+2y2=3(x≠±1) [解析] 设P(x,y),∵A(1,1),B(-1,-1),∴kAP=(x≠1),kBP=(x≠-1).由kAP·kBP=-,得·=-(x≠±1),整理得x2+2y2=3(x≠±1),故点P的轨迹方程为x2+2y2=3(x≠±1).
12. [解析] 由+=1,可得a=4,b=3,则2a=8,c2=a2-b2=16-9=7.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=8,mn=12,由余弦定理得28=4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2=(m+n)2-2mn-2mncos∠F1PF2=64-24-24cos∠F1PF2,可得cos∠F1PF2=,故∠F1PF2=.
[技巧点拨] 当条件中涉及椭圆上的点P与焦点距离的乘积时,一般要考虑应用余弦定理.
13.解:(1)由椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),可得c=1,即2c=2,
由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a.
因为△PF1F2的周长为8,所以2a+2c=2a+2=8,解得a=3,所以b2=a2-c2=8,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)设点P(x0,y0),由(1)得F2(1,0),则|F1F2|=2,
因为=2,所以·|F1F2|·|y0|=×2×|y0|=2,则|y0|=2,即y0=±2,
将y0=±2代入+=1,可得=,解得x0=±,
所以点P的坐标为,,,.
14.解:(1)由已知得|F1F2|=4.因为|F1F2|=2c,所以c=2.
由点P(-3,1)在椭圆C上,可得+=1,即+=1①,
由c2=a2-b2,得a2-b2=8②,由①②,可得b2=4,a2=12,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)因为∠F1PF2=,所以△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin=,
则|PF1||PF2|=2.由2a=2,得a=.
根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2,
所以(|PF1|+|PF2|)2=24,即++2|PF1||PF2|=24③.
由余弦定理可得=+-2|PF1||PF2|cos,
整理得=+-|PF1||PF2|④.
由③④得=24-3|PF1||PF2|,则=18,
则|F1F2|=3,所以c=.在椭圆C中有b2=a2-c2,即b2=()2-=,
可得b=.
15.D [解析] 因为|F1F2|=2,所以c=.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|-|PF2|=a,所以|PF1|=a,|PF2|=,又sin∠PF1F2=,所以cos∠PF1F2=,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2,即=+8-2××2×,整理得a2-4a+4=0,解得a=2,则b2=a2-c2=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.故选D.
16.解:以BC边中点为原点,BC边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0).设AB,AC的中点分别为E,D,则|BD|+|CE|=30.
由重心性质可知|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20.
因为B,C是两个定点,点G到B,C的距离之和等于定值20,且20>12,所以点G的轨迹是椭圆(不包括x轴上的点),B,C是椭圆的焦点,
所以2c=|BC|=12,则c=6,又2a=20,所以a=10,所以b2=a2-c2=102-62=64,
故点G的轨迹方程为+=1(x≠±10).
设G(x',y'),A(x,y),则+=1(x'≠±10).
由重心坐标公式知故点A的轨迹方程为+=1(x≠±30),即+=1(x≠±30).2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
【学习目标】
1.了解椭圆的实际背景;
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程;
3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
◆ 知识点一 椭圆的定义
1.椭圆的定义
(1)定义:如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆.
(2)相关概念:两个定点F1,F2称为椭圆的 ,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 .
2.焦距常用 表示.
椭圆定义的数学表达式: .
3.椭圆定义的三个要点:
(1)在平面内,F1,F2是两个定点;
(2)|PF1|+|PF2|=2a为定长;
(3)定长2a>|F1F2|.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆.( )
(2)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆.( )
(3)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.( )
◆ 知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
a,b,c的关系
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在椭圆中,a,b,c的关系是c2=a2+b2. ( )
(2)已知椭圆的方程为+=1,则椭圆的焦点在x轴上. ( )
(3)椭圆的方程为+=1,则a=10,b=6. ( )
(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)是椭圆方程. ( )
◆ 探究点一 椭圆的定义及应用
例1 (1)已知F1,F2是椭圆E:+=1的两个焦点,过点F1且斜率为k的直线l与椭圆E交于M,N两点,则△MNF2的周长为 ( )
A.8 B.8
C.8 D.与k有关
(2)已知椭圆C:+=1(t>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点到右焦点F2的距离为2,点P是C上一点,且|PF1|=4,则|PF2|= .
变式 (1)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4,N是线段MF的中点,O为坐标原点,则线段ON的长度是 ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)[2025·河南郑州高二期中] 设P为椭圆+=1上一动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,Q(-1,0),则|PF2|+|PQ|的最小值为 ( )
A.8 B.7 C.6 D.4
[素养小结]
(1)椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的△F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.
(2)椭圆问题中如果涉及椭圆上的点P到焦点F的距离问题,就需要考虑到椭圆的定义及应用.
◆ 探究点二 椭圆的标准方程
例2 (1)(多选题)[2025·广东佛山高二期中] 已知曲线C:x2+my2=1,则下列结论正确的有( )
A.若0B.若m=1,则C是圆
C.若m>1,则C是焦点在y轴上的椭圆
D.若m=0,则C是两条平行于y轴的直线
(2)[2025·四川眉山高二期中] 椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在此椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,则点P的坐标为 .
变式 (1)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,直线l经过F2交椭圆C于A,B两点,若△ABF1的周长为12,则椭圆C的标准方程为 ( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-1,6)
B.(-8,-1)∪(-1,6)
C.(-8,-1)
D.(-∞,-8)∪(6,+∞)
[素养小结]
求椭圆标准方程的方法:
(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点的位置写出椭圆的标准方程.
(2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可,即“先定位,后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.
(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.
◆ 探究点三 求与椭圆有关的轨迹方程
例3 (1)[2025·广东中山高二期末] 已知动点P的坐标(x,y)满足方程+=2,则动点P的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)如图所示,已知A(6,2),P是椭圆+=1上的动点,求线段AP的中点M的轨迹方程.
变式 (1)已知△ABC的周长是8,且B(-1,0),C(1,0),则顶点A的轨迹方程是 ( )
A.+=1(x≠±3) B.+=1(x≠0)
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
(2)已知椭圆C:+=1,从C上任意一点P向y轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(x≠0) B.+=1(x≠0)
C.x2+y2=4(x≠0) D.x2+y2=8(x≠0)
[素养小结]
求解与椭圆相关的轨迹问题的方法
1.在椭圆C中,a=,c=2,则该椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.+y2=1
D.+y2=1或x2+=1
2.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作直线l交椭圆C于M,N两点,则△F2MN的周长为 ( )
A.3 B.4
C.6 D.8
3.已知方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(-∞,1) D.(3,+∞)
4.椭圆的焦距为8,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,则该椭圆的标准方程为 .
5.在椭圆E:+=1上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,垂足为D,点M满足=,当点P在E上运动时,点M的轨迹方程为 . 2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
一、选择题
★1.[2025·江苏南京高二期中] 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,4)
C.(4,7) D.(7,+∞)
★2.[2025·福建厦门高二期末] 椭圆E的中心在原点,焦点在坐标轴上,且过A(-2,1),B(,-)两点,则E的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.已知曲线C上任意一点P(x0,y0)的坐标都满足关系式+=2,则曲线C的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
4.[2025·广东东莞高二期中] 已知椭圆C:+=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点,点A(0,2),则△APF的周长的最大值为 ( )
A.9+ B.14
C.7+2+ D.15+
5.[2025·河北张家口高二期中] 已知动圆过点A(-1,0),并且在圆B:(x-1)2+y2=16内部与其相切,则动圆圆心的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.在△ABC中,已知A(-1,0),C(1,0),若a>b>c(a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边),且满足2sin B=sin A+sin C,则顶点B的轨迹方程是 ( )
A.+=1(x<0) B.+=1(x<0)
C.+=1(x>0) D.+=1(x>0)
7.如图,一个圆形纸片的圆心为O,F是圆内的一个定点,M是圆周上的一个动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
8.(多选题)已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的有 ( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
C.若m=n>0,则C是圆,其半径为
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
9.(多选题)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且∠F1PF2=,则 ( )
A.△F1PF2的周长为20
B.点P到x轴的距离为
C.△F1PF2的面积为16
D.·=
二、填空题
10.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则△F2AB的周长为 ;若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
11.[2025·浙江杭州高二期中] 在平面直角坐标系中,已知两点A(1,1),B(-1,-1),点P为动点,且直线AP与BP的斜率之积为-,则点P的轨迹方程为 .
★12.点P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2= .
三、解答题
13.(13分)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F1(-1,0),△PF1F2的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若=2,求点P的坐标.
14.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点.
(1)若焦距为4,点P的坐标为(-3,1),求椭圆C的标准方程;
(2)若∠F1PF2=,且2a=2,△F1PF2的面积为,求b的值.
15.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,P是C上一点,若|PF1|-|PF2|=a,且sin∠PF1F2=,则椭圆C的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
16.(15分)如图,△ABC的底边BC=12,边AB和AC上中线的长度和为30,建立适当的坐标系,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.
