(共72张PPT)
2.5 椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
探究点一 椭圆的几何性质
探究点二 由几何性质求标准方程
探究点三 椭圆的离心率
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中,, 的几何意义;
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
知识点 椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质
标准方程
图形 ______________________________________________ ____________________________________
标准方程
性质 焦点 _________________ ________________
焦距 范围 _______________ _______________
对称性 关于________________对称 ,
,
,
,
轴、轴和原点
续表
标准方程 性质 长轴 短轴 顶点
，
，
续表
标准方程
性质 离心率
续表
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）设为椭圆的一个焦点， 为椭圆上任
一点，则的最大值为为椭圆的半焦距 .( )
√
（2）椭圆的离心率 越大,椭圆就越圆.( )
×
[解析] 椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆就越扁;
离心率越小,椭圆就越圆.
（3）若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的
方程为 .( )
×
[解析] 因为,,所以,.
当焦点在 轴上时,椭圆的方程为;
当焦点在轴上时,椭圆的方程为 .
探究点一 椭圆的几何性质
例1（1）椭圆与 的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
[解析] 椭圆的焦点在 轴上，长轴长为10，短轴长为6，
焦距为8，离心率为.
椭圆的焦点在 轴上，长轴长为，
短轴长为，焦距为8，离心率为 ，所以两椭圆的焦距相
等.故选D.
√
（2）（多选题）［2024·辽宁葫芦岛高二期中］ 若椭圆
的离心率为，则实数 的值可能是( )
A.10 B.8 C.5 D.4
[解析] 由题知，即.
当焦点在 轴上时，由，解得；
当焦点在 轴上时，由，解得.故选 .
√
√
变式 已知椭圆 ，求该椭圆的长轴长、短轴长、焦点
坐标、顶点坐标和离心率.
解：椭圆的标准方程为 ，
则焦点在轴上，且,, ，
所以长轴长为1，短轴长为，焦点坐标为 ，
顶点坐标为,，离心率 .
［素养小结］
解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程
判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用
，
，
之间的关系和椭
圆的定义求椭圆的基本量.
探究点二 由几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长轴在轴上，长轴长等于12，离心率等于 ；
解：由题得，，,则, ，所以
,
又长轴在 轴上,所以所求椭圆的标准方程为 .
（2）椭圆过点，离心率 ;
解：若焦点在轴上，则,由,得 ,所以
,此时椭圆的标准方程为.
若焦点在 轴上，则,由,得
,此时椭圆的标准方程为 .
综上，所求椭圆的标准方程为或 .
（3）在 轴上的一个焦点与短轴上的两个端点的连线互相垂直，且
焦距为8.
解：由题意，,即 ，因为焦点与短轴上的两个端点的连线
互相垂直，所以,则,
又焦点在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 .
变式（1）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2
倍，焦距等于，则椭圆 的标准方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由长轴长是短轴长的2倍，得，即 ，焦距
，则，
又，所以， ，所以椭圆的标准方程为
.故选A.
√
（2）已知,分别是椭圆且 的左、右焦
点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是4，则椭圆 的方程
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由椭圆的定义得 ，所以
.
又 ，所以当时，取得最大值，
则 ，即，解得，
所以椭圆的方程为 .故选D.
［素养小结］
利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根
据已知条件确定椭圆的标准方程的形式并列出关于参数的方程
（组），解方程（组）求得参数.
提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标
准方程求解.可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有
长轴长、短轴长、离心率、焦距.
探究点三 椭圆的离心率
例3（1）［2024·河南商丘高二期末］若动直线
始终与椭圆 且
有公共点，则 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由直线得，直线过定点 .
由题意得，点在椭圆上或椭圆内部，所以，则 ，
所以椭圆焦点在轴上，所以 .故选C.
（2）［2024·宁夏石嘴山三中高二月考］过椭圆
的左焦点作轴的垂线，交椭圆于， 两
点，是椭圆与轴正半轴的交点，且 ，则该椭圆的离心
率是__.
[解析] 当时，可得，不妨设, ,所
以，
又，,所以 ，即，
整理得，即 ，可得 .
变式（1）已知椭圆的右焦点为 ，点
和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，则线段的中点为 ，则
，整理得，则 ，
解得，因为，所以 .故选B.
√
（2）已知椭圆,,分别为椭圆 的左、右
焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点 .若
,，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为， ，所以.
因为， ，
所以，，则.
在 中，由余弦定理得，
在 中，由余弦定理得，
所以 ，化简得，即，
解得 .故选A.
［素养小结］
求解椭圆的离心率问题常见的两种解题思路：一是根据题中条件得
到关于
，
，
的齐次等式，进而转化为关于离心率
的方程求解即
可；二是应用题中条件，结合椭圆性质求解
和
的值，进而可求得
离心率.
1.椭圆 的长轴长、短轴长分别为( )
A.2, B.,2 C.4, D. ,4
[解析] 椭圆的标准方程为,则 ,
,则长轴长为4,短轴长为 .
√
2.［2025·贵州贵阳高二期中］椭圆的离心率 大小决定该
椭圆的圆扁程度（离心率越趋近于0椭圆越圆，离心率越趋近于1椭
圆越扁），则下列四个椭圆中最接近于圆的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 椭圆的离心率 ，
椭圆的离心率，
椭圆 的离心率，
椭圆的离心率 ，
显然 ，所以最接近于圆的椭圆是
.故选B.
3.已知直线经过椭圆 的顶点和
焦点，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 直线与轴的交点为，与 轴的交点为
，故椭圆的一个焦点为，短轴的一个端点为 ，所以
，，所以，故该椭圆的标准方程为 .故
选B.
√
4.如图所示，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为
,，,是椭圆的顶点， 是椭圆上一点，且
轴， ，则此椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设椭圆方程为 ，则点的坐标为，
,, ，于是,.
由 ，得，则，即 ，
则,故 .故选B.
5.［2025·吉林辽源田家炳高级中学高二月考］求椭圆
的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
解：椭圆的方程 可转化为
,, 椭圆的焦点在 轴上,并且半长轴长,
半短轴长,半焦距 ,
故椭圆的长轴长,短轴长,焦点坐标为, ,
顶点坐标为,,,,离心率 .
椭圆性质的补充：
（1）经过焦点垂直于椭圆长轴的弦长 .
（2）椭圆上的任意一点到一个焦点的距离的取值范围是
.
1.椭圆几何性质的拓展
（1）设椭圆上的任意一点, 为坐标原
点,则当时,有最小值,这时在短轴端点处;当时,
有最大值,这时 在长轴端点处.
（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形,
其三边长满足等式 .
例1（1）［2025·山西大同高二期中］椭圆是轴对称图形，亦是中心
对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工
艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成
（如图）.在平面直角坐标系 中，将标准方程表示的椭圆绕着对
称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆” 的方程为
，则该“斜椭圆” 的离心率为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设“斜椭圆”的中心为坐标原点 ，由椭圆的对
称性可得半长轴长为曲线上的点到原点距离的最大值，
半短轴长为曲线上的点到原点距离的最小值.
由，可得 ，
所以，解得 ，
当且仅当时， 成立，当且仅当时，
成立，所以椭圆的半长轴长为，半短轴长为
，所以该椭圆的离心率为 .故选A.
（2）［2025·云南昆明高二月考］已知椭圆
的离心率为，，分别为 的左、右顶
点，为的上顶点.若，则 的长轴长为( )
A.3 B.6 C. D.
√
[解析] 由的离心率，解得，则 .
由题意易得，，，所以 ，
.
因为，所以 ，将代入，解得
，，即，，故 的长轴长为 .故选B.
2.求椭圆离心率的值或范围的两种方法
（1）直接法:若已知,,则可直接利用求解;若已知,或, ,可
借助于求出或,再代入公式 求解.
（2）方程法:若,的值不可求,则可根据条件建立,, 的关系式,借助
于,转化为关于, 的齐次方程或不等式,再将方程或不等
式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得 的
值或范围.
例2（1）如图，焦点在 轴上的椭圆
的左、右焦点分别为，， 是
椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与 轴的
正半轴交于点，的内切圆与边 的切点为
.若 ，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设直线,与圆的切点分别为, .
由椭圆的定义得 ，即
，
由 ，得 ，即
，
由对称性得，即 ，
解得 ，
所以该椭圆的离心率 .故选A.
（2）［2025·重庆杨家坪中学高二月考］已知椭圆
的焦点为，，直线与椭圆 交
于，两点，若，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由椭圆的对称性知，原点为的中点.
因为 ，所以 ，所以
，则 ，
又直线的倾斜角为 ， ，所以
，则, ，
又，所以，所以椭圆 的离心率
.故选A.
练习册
一、选择题
1.已知椭圆过点 ，且椭圆的短轴长为
，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得可得 故该椭圆的方程为
.故选B.
√
2.与椭圆 有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方
程为( )
A. B. C. D.
[解析] 椭圆的标准方程为 ，可知椭圆
的焦点在轴上，焦点坐标为 .
设所求椭圆方程为，则.
又，即 ，所以，故所求椭圆的标准方
程为 ，故选B.
√
3.［2025·广西南宁高二期末］若椭圆 的离心率为
，则该椭圆的半焦距为( )
A. B. C.3或 D.3或
[解析] 若椭圆的焦点在轴上，则离心率 ，解得
，此时半焦距；
若椭圆的焦点在 轴上，则离心率，解得，此时
半焦距 .
所以该椭圆的半焦距为3或 .故选D.
√
4.下列结论正确的是( )
A.与 有相同的离心率
B.与 有相同的焦点
C.与 有相同的顶点
D.与 有相同的离心率
√
[解析] 的离心率为，的离心率为 ，离
心率不同，故A错误；
的焦点坐标为， 的焦点坐标为，
焦点相同，故B正确；
的顶点坐标为,，的顶点坐标为
, ，顶点不同，故C错误；
的离心率为，的离心率为 ，离心率不同，故
D错误.故选B.
5.已知椭圆上有一点，点 为椭圆的左焦点，
点为椭圆的下顶点，且 ，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.2
[解析] 由题意可得，，设，由 ，
可得，即 将其代入椭圆方程可得
，即，所以椭圆的离心率为 .故选B.
√
6.已知,是椭圆的长轴的两个端点，, 是
椭圆上关于轴对称的两点，设直线,的斜率分别为 ,
.若椭圆的离心率为，则 的最小值为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 设,，不妨设点 是椭圆长轴的
左端点，则,.
因为椭圆的离心率 ，所以，所以
，当且仅当 时，等号成立.故选A.
√
7.已知，分别是椭圆 的左、右焦点，
过点的直线交椭圆于，两点.若 ，且
，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为， ，所以可设
，， ，所以
，可得 .
因为，所以， ，
，所以.
在 中，， ，由
，可得，则椭圆 的离心
率 .故选B.
8.（多选题）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点,在 轴上，短
轴长为，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于, 两点，
则下列说法正确的是( )
A.椭圆的方程为 B.椭圆 的焦距为2
C. D.的周长为
√
√
[解析] 对于A，设椭圆的方程为 ,由题意得
，又的离心率为，所以,则 ，所以椭
圆的方程为，故A错误；
对于B，由 ，可得椭圆的焦距为2，故B正确；
对于C，不妨取 ，将代入中，可得
，则 ，故C正确；
对于D，的周长为，故D错误.故选 .
9.（多选题）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，，，点在椭圆的内部，点在椭圆 上，则
下列说法正确的有( )
A.若点的坐标为，则椭圆的离心率为
B.椭圆 的短轴长可能为2
C.当时， 的最大值为9
D.椭圆的长轴长的取值范围是
√
√
√
[解析] 对于A,将点的坐标代入椭圆 的方程
中，可得， ，
，， ，
， 椭圆的离心率，故A正确；
对于B， 点在椭圆的内部，， 短轴长大于2，故B
错误；
对于C，当时， ，则
，，
的最大值为9，故C正确;
对于D，由题意得， ，，化简
得 ，即，，
即 ，即，可得，，
椭圆 的长轴长的取值范围是，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知为坐标原点，点，分别为椭圆 的左、右焦
点，为椭圆上的一点，且，与轴交于点 ，则
__.
[解析] 因为,所以，
因为 ，，所以是三角形的中位线，
则 .
11.［2025·四川宜宾高二期中］已知, 分别为椭圆
的左、右焦点，过原点的直线交椭圆 于
，两点，且，，则椭圆 的离心率为
___.
[解析] 因为，所以以，，， 为
顶点的四边形为矩形，所以 是直角三角形，
如图.
，，
又 ，所以，即 ，
即，所以 .
★12.已知，分别是椭圆 的左、右焦
点，若椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率
的取值范围是_______.
[解析] 方法一：，，是以 为
直角顶点的直角三角形，
， ，
，即，当且仅当
时，等号成立， ，
又， .
方法二：设椭圆与轴的两个交点为,，因为 ，所
以 ，
因为,所以 ,所以
为坐标原点,所以 .
［技巧点拨］ 若为椭圆上的任一点，，为焦点，， 为短
轴端点，则满足，
为坐标原点）.在三角形中， ，一些关于离心
率的问题可以应用此种关系进行求解.
三、解答题
13.（13分）如图，, 分别是椭圆
的左、右焦点， 是椭
圆的上顶点，是直线与椭圆 的另一个交
点，.
（1）求椭圆 的离心率；
解：依题意可得， ，
又 ，所以 为等边三角形，
则，故 .
（2）已知的面积为，求椭圆 的标准方程.
解：设，则 .
在 中，
，即
，则 ，所以
，
所以（负值舍去），所以 ， ，
故椭圆的标准方程为 .
14.（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别
为，，短轴的一个端点为，直线交椭圆于 ，
两点， .
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆 的方程；
解：连接,,由对称性易知四边形 是平行四边形，
， ．
又，，， ．
故椭圆的标准方程为 ．
（2）若点到直线的距离不小于，求椭圆 的离心率的取值范围.
解：不妨设，可得点到直线的距离为 ，
由题意知，即， ,
又，，即， ，
故椭圆的离心率的取值范围是 ．
15.设椭圆的焦点为,, 是椭圆上一点，且
，则的面积为______（用含或 的式子表示即
可）；若的外接圆和内切圆的半径分别为，，则当
时，椭圆的离心率为__.
[解析] 设，，，则 .
在中，，由余弦定理得 ，整理得
，即 ，整理得
，
又，所以 ，则
.
依题意可知，即，即 ，
又，所以，则，则 .
16.（15分）已知椭圆经过点,,
分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆 上的一个动点.
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由已知得 ，则，, ，
，
，
，则， ，
故椭圆的标准方程为 .
（2）若点在第一象限，且,求点 的横坐标的取值范围.
解：设，因为点在椭圆上，所以 .
， ，所以
，
即，整理得，所以 ，即点
的横坐标的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
,
,
,
,
轴、
轴和原点
，
m>，
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）×
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2）AC 变式 长轴长为1，短轴长为
，
焦点坐标为
，顶点坐标为
,
，离心率
探究点二 例2（1）
（2）
或
（3）
变式（1）A （2）D
探究点三 例3（1）C （2）
变式（1）B （2）A
课堂评价 1.C 2.B 3.B 4.B 5.故椭圆的长轴长
,短轴长
,
焦点坐标为
,
,顶点坐标为
,
,
,
,离心率
练习册
一、1.B 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.B 8.BC 9.ACD
二、10.
11.
★12.
三、13.（1）（2）
14.（1）（2）
思维探索
15.
16.（1）
（2）
2.5.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
1.B [解析] 由题意可得可得故该椭圆的方程为+=1.故选B.
2.B [解析] 椭圆9x2+4y2=36的标准方程为+=1,可知椭圆+=1的焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±).设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=.又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,故所求椭圆的标准方程为+x2=1,故选B.
3.D [解析] 若椭圆的焦点在x轴上,则离心率e==,解得a2=12,此时半焦距c1==3;若椭圆的焦点在y轴上,则离心率e==,解得a2=,此时半焦距c2==.所以该椭圆的半焦距为3或.故选D.
4.B [解析] +y2=1的离心率为=,+=1的离心率为,离心率不同,故A错误;+y2=1的焦点坐标为(±1,0),+=1的焦点坐标为(±1,0),焦点相同,故B正确;+=1的顶点坐标为(±,0),(0,±2),+=1的顶点坐标为(±2,0),(0,±),顶点不同,故C错误;+=1的离心率为,+=1的离心率为,离心率不同,故D错误.故选B.
5.B [解析] 由题意可得F(-c,0),P(0,-b),设M(x,y),由2=,可得2(-c-x,-y)=(c,-b),即将其代入椭圆方程可得+=1,即a2=3c2,所以椭圆的离心率为.故选B.
6.A [解析] 设M(x,y),N(x,-y)(-a7.B [解析] 因为|MN|+|NF2|=2|MF2|,MF2⊥NF2,所以可设|NF2|=m-d,|MF2|=m,|MN|=m+d(m>0,d>0),所以(m-d)2+m2=(m+d)2,可得m=4d.因为|NF2|+|MF2|+|MN|=4a=3m,所以|NF2|=a,|MF2|=a,|MN|=a,所以cos∠F2MN==.在△MF1F2中,|F1F2|=2c,|MF1|=2a-|MF2|=a,由cos∠F2MF1==,可得a2=5c2,则椭圆C的离心率e==.故选B.
8.BC [解析] 对于A,设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得b=,又C的离心率为,所以=1-=,则a2=3,所以椭圆C的方程为+=1,故A错误;对于B,由c==1,可得椭圆C的焦距为2,故B正确;对于C,不妨取F1(0,-1),将y=-1代入+=1中,可得x=±=±,则|PQ|=,故C正确;对于D,△PF2Q的周长为4a=4,故D错误.故选BC.
9.ACD [解析] 对于A,将点N的坐标(0,2)代入椭圆C的方程+=1(a>b>0)中,可得=1,∴b=2,∵|F1F2|=2c=4,∴c=2,∴a2=b2+c2=4+4=8,∴a=2,∴椭圆C的离心率e==,故A正确;对于B,∵点M(2,1)在椭圆C的内部,∴b>1,∴短轴长大于 2,故B错误;对于C,当a=4时, |NF1|+|NF2|=2a=8,则 |NF1|+|NM|=8-|NF2|+|MN|=8+(|MN|-|NF2|),∵|MN|-|NF2|≤|MF2|=1,当N,F2,M三点共线且点N在第四象限时取等号,∴|MN|-|NF2|的最大值为1,∴|NF1|+|NM|的最大值为9,故C正确;对于D,由题意得+<1,∵b2=a2-4,∴+<1,化简得a4-9a2+16>0,即(a2-4)2-a2>0,∴(a2-4)2>a2,即a2-4>a,即a2-a-4>0,可得a>,∴2a>1+, ∴椭圆C的长轴长的取值范围是(+1,+∞),故D正确.故选ACD.
10. [解析] 因为AF2⊥F1F2,所以|AF2|=,因为|F1O|=|F2O|,OB∥AF2,所以OB是三角形AF1F2的中位线,则|OB|=|AF2|=.
11. [解析] 因为|AB|=|F1F2|,所以以A,B,F1,F2为顶点的四边形为矩形,所以△ABF2是直角三角形,如图.由|AF2|=2|BF2|,|AF2|=|BF1|,得|BF1|=2|BF2|,又|BF1|+|BF2|=2a,所以|BF2|=a,|BF1|=a,又|F1F2|=2c,所以=|BF1|2+,即4c2=a2+a2,即=,所以e=.
12. [解析] 方法一:∵·=0,∴⊥,∴△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,∵||+||=2a,||=2c,∴(||+||)2=4a2≤2(||2+||2)=2||2=8c2,即a≤c,当且仅当||=||时,等号成立,∴e=≥,又0方法二:设椭圆C与y轴的两个交点为B1,B2,因为·=0,所以∠F1PF2=90°,因为∠F1PF2≤∠F1B1F2,所以∠F1B1F2≥90°,所以∠OB1F1≥45°(O为坐标原点),所以e=sin∠OB1F1∈.
[技巧点拨] 若P为椭圆上的任一点,F1,F2为焦点,B1,B2为短轴端点,则满足∠F1PF2≤∠F1B1F2,∠F1B1F2=2∠OB1F1(O为坐标原点).在三角形OB1F1中,sin∠OB1F1=,一些关于离心率的问题可以应用此种关系进行求解.
13.解:(1)依题意可得|AF1|=|AF2|=a,|F1F2|=2c,
又∠F1AF2=60°,所以△F1AF2为等边三角形,
则a=2c,故e==.
(2)设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m.
在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos 120°,
即(2a-m)2=m2+a2+am,则m=a,
所以=×|AF1|×|AB|×sin 60°=×a××=40,
所以a=10(负值舍去),所以c=5,b==5,
故椭圆C的标准方程为+=1.
14.解:(1)连接AF1,BF1,由对称性易知四边形AF1BF2是平行四边形,
∴2a=|AF2|+|AF1|=|AF2|+|BF2|=2,∴a=.
又e==,a2=b2+c2,∴c=1,b=1.
故椭圆E的标准方程为+y2=1.
(2)不妨设M(0,b),可得点M到直线l的距离为=,
由题意知≥,即b≥1,∴a2-c2≥1,
又a=,∴0故椭圆E的离心率的取值范围是.
15.b2 [解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,则m+n=2a.在△PF1F2中,∠F1PF2=,由余弦定理得=cos,整理得m2+n2-4c2=mn,即(m+n)2-2mn-4c2=mn,整理得4a2-4c2=3mn,又b2=a2-c2,所以mn=,则=mnsin =××=.依题意可知(2a+2c)r==,即r=,即r=,又2R=,所以R=c,则c=6×,则e==.
16.解:(1)由已知得2c=2,
则c=,∴F1(-,0),F2(,0),
|MF1|===,
|MF2|===,
∴2a=|MF1|+|MF2|=4,
则a=2,∴b==1,
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),因为点P在椭圆C上,所以+y2=1.
=(--x,-y),=(-x,-y),所以·=-(3-x2)+y2≤,
即-(3-x2)+1-≤,整理得3x2≤9,所以0第1课时 椭圆的几何性质
【学习目标】
1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义;
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
◆ 知识点 椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
性 质 焦点
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范围
对称性 关于 对称
长轴 |A1A2|=2a,其中a为半长轴长
短轴 |B1B2|=2b,其中b为半短轴长
顶点 A1(-a,0),A2(a,0), A1(0,-a),A2(0,a),
a,b,c 的关系 a2=b2+c2的几何意义:椭圆中心、短轴的一个端点、一个焦点组成的直角三角形的三边长是a,b,c
离心率 (0【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). ( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1.( )
◆ 探究点一 椭圆的几何性质
例1 (1)椭圆+=1与+=1(0A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
(2)(多选题)[2024·辽宁葫芦岛高二期中] 若椭圆+=1的离心率为,则实数m的值可能是 ( )
A.10 B.8
C.5 D.4
变式 已知椭圆4x2+5y2=1,求该椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
[素养小结]
解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和椭圆的定义求椭圆的基本量.
◆ 探究点二 由几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴在x轴上,长轴长等于12,离心率等于;
(2)椭圆过点(3,0),离心率e=;
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
变式 (1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,焦距等于2,则椭圆C的标准方程为 ( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>0且a≠2)的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,若的最大值是4,则椭圆C的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
[素养小结]
利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待定系数法,而其关键是根据已知条件确定椭圆的标准方程的形式并列出关于参数的方程(组),解方程(组)求得参数.
提醒:当椭圆的焦点位置不确定时,通常要分类讨论,分别设出标准方程求解.可确定类型的量有焦点、顶点;而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距.
◆ 探究点三 椭圆的离心率
例3 (1)[2024·河南商丘高二期末] 若动直线mx+ny=2m+n(m,n∈R)始终与椭圆C:+=1(a>0且a≠)有公共点,则C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·宁夏石嘴山三中高二月考] 过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点 F作x轴的垂线,交椭圆于 P,Q两点,A是椭圆与x轴正半轴的交点,且|PQ|=|FA|,则该椭圆的离心率是 .
变式 (1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点P(a,b)和F所连线段的中点在椭圆C上,则椭圆C的离心率为 ( )
A. B.-1 C. D.
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,A为椭圆上一点,连接AF1并延长交椭圆于另一点B.若|AF2|=|AF1|,|BF2|=3|BF1|,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
[素养小结]
求解椭圆的离心率问题常见的两种解题思路:一是根据题中条件得到关于a,b,c的齐次等式,进而转化为关于离心率e的方程求解即可;二是应用题中条件,结合椭圆性质求解a和c的值,进而可求得离心率.
1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为 ( )
A.2, B.,2
C.4,2 D.2,4
2.[2025·贵州贵阳高二期中] 椭圆的离心率(0A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
3.已知直线x-2y+4=0经过椭圆+=1(a>b>0)的顶点和焦点,则该椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
4.如图所示,椭圆的中心在原点,左、右焦点分别为F1,F2,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
5.[2025·吉林辽源田家炳高级中学高二月考] 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.2.5.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
【课前预习】
知识点
F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
|x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a x轴、y轴和原点
B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)
e==
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆就越扁;离心率越小,椭圆就越圆.
(3)因为2a=10,2b=8,所以a=5,b=4.当焦点在x轴上时,椭圆的方程为+=1;当焦点在y轴上时,椭圆的方程为+=1.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)AC [解析] (1)椭圆+=1的焦点在x轴上,长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为.椭圆+=1(0(2)由题知m-1>0,即m>1.当焦点在x轴上时,由=,解得m=10;当焦点在y轴上时,由=,解得m=5.故选AC.
变式 解:椭圆4x2+5y2=1的标准方程为+=1,
则焦点在x轴上,且a2=,b2=,c2=a2-b2=,
所以长轴长为1,短轴长为,焦点坐标为,
顶点坐标为,,离心率e=.
探究点二
例2 解:(1)由题得,2a=12,e==,则a=6,c=4,所以b2=a2-c2=20,又长轴在x轴上,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)若焦点在x轴上,则a=3,由e==,得c=,所以b2=a2-c2=3,此时椭圆的标准方程为+=1.若焦点在y轴上,则b=3,由e====,得a2=27,此时椭圆的标准方程为+=1.
综上,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(3)由题意,2c=8,即c=4,因为焦点与短轴上的两个端点的连线互相垂直,所以b=c=4,则a2=b2+c2=32,又焦点在x轴上,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
变式 (1)A (2)D [解析] (1)由长轴长是短轴长的2倍,得2a=4b,即a=2b,焦距2c=2,则c=,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以椭圆的标准方程为+y2=1.故选A.
(2)由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,所以==-1.又|PF1|∈[a-c,a+c],所以当|PF1|=a-c时,取得最大值,则=-1=4,即a=c=,解得a2=,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.
探究点三
例3 (1)C (2) [解析] (1)由直线m(x-2)+n(y-1)=0得,直线过定点(2,1).由题意得,点(2,1)在椭圆上或椭圆内部,所以+≤1,则a2≥6,所以椭圆焦点在x轴上,所以e==∈.故选C.
(2)当x=-c时,可得y=±,不妨设P,Q,所以|PQ|=,又|FA|=a+c,|PQ|=|FA|,所以=a+c,即2b2=a2+ac,整理得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0,可得e=.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)由题得F(c,0),则线段PF的中点为,则+=1,整理得c2+2ac-2a2=0,则e2+2e-2=0,解得e=-1±,因为e>0,所以e=-1.故选B.
(2)因为|AF2|=|AF1|,|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF2|=|AF1|=a.因为|BF2|=3|BF1|,|BF1|+|BF2|=2a,所以|BF2|=a,|BF1|=a,则|AB|=a.在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠F1AF2=,在△ABF2中,由余弦定理得cos∠BAF2=,所以=,化简得=,即1-2=,解得=.故选A.
【课堂评价】
1.C [解析] 椭圆3x2+4y2=12的标准方程为+=1,则a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为2.
2.B [解析] 椭圆+=1的离心率e1==,椭圆+=1的离心率e2==,椭圆+=1的离心率e3==,椭圆+=1的离心率e4==,显然03.B [解析] 直线x-2y+4=0与x轴的交点为(-4,0),与y轴的交点为(0,2),故椭圆的一个焦点为(-4,0),短轴的一个端点为(0,2),所以c=4,b=2,所以a=,故该椭圆的标准方程为+=1.故选B.
4.B [解析] 设椭圆方程为+=1(a>b>0),则点P的坐标为,A(a,0),B(0,b),F2(c,0),于是kAB=-,=-.由PF2∥AB,得kAB=,则-=-,即b=2c,则a==c,故e==.故选B.
5.解:椭圆的方程m2x2+4m2y2=1(m>0)可转化为+=1(m>0).∵m2<4m2,∴>,∴椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=,半短轴长b=,半焦距c=,故椭圆的长轴长2a=,短轴长2b=,焦点坐标为,,顶点坐标为,,,,离心率e===.2.5.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
一、选择题
1.已知椭圆+=1(a>b>0)过点M,且椭圆的短轴长为2,则该椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+x2=1
C.+y2=1 D.+=1
3.[2025·广西南宁高二期末] 若椭圆+=1(a>0)的离心率为,则该椭圆的半焦距为( )
A. B.
C.3或 D.3或
4.下列结论正确的是 ( )
A.+y2=1与+=1有相同的离心率
B.+y2=1与+=1有相同的焦点
C.+=1与+=1有相同的顶点
D.+=1与+=1有相同的离心率
5.已知椭圆+=1(a>b>0)上有一点M,点F为椭圆的左焦点,点P为椭圆的下顶点,且2=,则该椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.2
6.已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)的长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0).若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为( )
A.1 B. C. D.
7.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆C于M,N两点.若|MN|+|NF2|=2|MF2|,且MF2⊥NF2,则椭圆C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长为2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是 ( )
A.椭圆C的方程为+=1
B.椭圆C的焦距为2
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为2
9.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=4,点M(2,1)在椭圆C的内部,点N在椭圆C上,则下列说法正确的有 ( )
A.若点N的坐标为(0,2),则椭圆C的离心率为
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.当a=4时,|NF1|+|NM|的最大值为9
D.椭圆C的长轴长的取值范围是(+1,+∞)
二、填空题
10.已知O为坐标原点,点F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,A为椭圆C上的一点,且AF2⊥F1F2,AF1与y轴交于点B,则|OB|= .
11.[2025·四川宜宾高二期中] 已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O的直线交椭圆C于A,B两点,且|AF2|=2|BF2|,|AB|=|F1F2|,则椭圆C的离心率为 .
★12.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在一点P,满足·=0,则椭圆C的离心率e的取值范围是 .
三、解答题
13.(13分)如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知△AF1B的面积为40,求椭圆C的标准方程.
14.(15分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,|AF2|+|BF2|=2.
(1)若椭圆E的离心率为,求椭圆E的方程;
(2)若点M到直线l的距离不小于,求椭圆E的离心率的取值范围.
15.设椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,则△F1PF2的面积为 (用含a或b的式子表示即可);若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,则当R=6r时,椭圆的离心率为 .
16.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且·≤,求点P的横坐标的取值范围.