(共74张PPT)
2.5 椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
第2课时 椭圆的几何性质的综合应用
探究点一 椭圆中的焦点三角形
探究点二 椭圆中的范围、最值问题
探究点三 实际生活中的椭圆问题
◆
◆
◆
◆
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.根据椭圆的定义研究焦点三角形的性质以及焦半径的取值范围;
2.了解椭圆在实际生活中的应用.
探究点一 椭圆中的焦点三角形
例1（1）［2025·江苏扬州高二期中］椭圆具有如下光学性质：从椭圆
的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个
焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点， 是椭圆在点
处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则
( )
A. B.
C.4 D.8
√
[解析] 由椭圆，得，
则椭圆 的长轴长.
如图，延长,交于点 ，
由题意可知，
又因为 ，所以为的中点，且 ，
所以，
又因为为 的中点，所以为的中位线，
则 .故选C.
（2）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为,,
是上一点，若是直角三角形，则 的面积可以是
( )
A. B. C. D.1
√
√
[解析] 在椭圆中，,，半焦距 ，
,，由 是直角三角形，得
或.
若 ，由得，则点到轴
的距离为， 的面积，B正确；
当是 的上顶点或下顶点时，，的面积
，D正确. 故选 .
变式（1）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 为椭
圆上一点，且为坐标原点，则 ( )
A.8 B.12 C.16 D.64
[解析] 由题意得，,, ，则
，所以为 的外心，即以线段
为直径的圆经过点，则 .
记, ，则
于是 .故选A.
√
（2）已知，分别为椭圆的左、右焦点, 为坐标原
点,点在椭圆上且，则 的面积为( )
A. B.8 C.7 D.16
[解析] 由椭圆可得,, ,所以
,
又,所以，所以三角形 是以点为直角顶
点的直角三角形,所以 ，所以,
又 ，所以,则三角形 的面积
，故选C.
√
［素养小结］
（1）焦点三角形：以椭圆上的点
与两焦点
，
为顶点构
成的
叫作焦点三角形.
若
，
，
，
的面积为
，则在
椭圆
中：
①当
，即点
为短轴端点时，
最大；
②
，当
，即点
为短轴端点时，
取得最大值，最大值为
.
（2）解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，
其中
两边平方是常用技巧.
拓展 已知椭圆 的左、右焦点分别为
,，是椭圆上的点，若满足 的点 恰
好有2个，则 的内切圆的半径为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 满足 的点在以线段 为弦，所对圆周角为
的两段圆弧上（不含弧的端点），圆弧在直线两侧，
因为 是椭圆上的点，且满足 的点 恰好有2个，所以
上述每段圆弧与椭圆仅有一个公共点，
又椭圆上到原点 距离最小的点是短轴端点，所以圆弧与椭圆的公
共点是短轴端点.
以短轴的一个端点为点，因为，所以 是边长为2的
等边三角形，此时点的坐标为，
设的内切圆的半径为 ,则
,解得 .故选A.
探究点二 椭圆中的范围、最值问题
例2（1）［2025·云南昆明八中高二期中］设是椭圆
的上顶点，点在上，则 的最大值为( )
A. B. C. D.4
√
[解析] 设，则，即， .
易知 ，所以
，.
当时， 取得最大值
，所以的最大值为 ,
故选A.
（2）已知,分别是椭圆 的左、右焦点,
椭圆过,两点,点在线段上,则 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为椭圆过， 两点，
所以,，可得，所以 ，
.
设，由题知直线的方程为 ，即，
因为点在线段上，所以, .
因为， ，所以
，，所以 的取值范
围为 .故选D.
变式（1）椭圆 的内接矩形的最大面积为( )
A. B. C.4 D.2
[解析] 设内接矩形在第一象限的顶点的坐标为，则, .
由对称性可知，内接矩形的面积
，当且仅当 ，即时，等号成立.
由解得 所以椭圆的内接矩形的最
大面积为 .故选A.
√
（2）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的任意两条相互垂
直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫作“蒙日圆”.已知点
，为椭圆上任意两个动点，动点 在直线
上，若 恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识
可知椭圆 的离心率的取值范围为_______.
[解析] 依题意知，直线,都与椭圆 相切，
因此直线,所围成的矩形的外接圆 即
为椭圆的蒙日圆.
由点，为椭圆 上任意两个动点，动点满足恒为
锐角，得动点在圆 外，
又动点在直线上，所以直线 与
圆没有交点，
于是 ，所以，则
，可得 ，所以椭圆的离心率的取值范围为 .
［素养小结］
求解椭圆中的范围、最值问题，关键是要找到或利用好题中的不等
关系，然后应用函数思想或均值不等式等求解有关的最值.椭圆中常
用的不等关系有：（1）椭圆上有一点
，
是椭圆的一个焦点，则
满足
；（2）焦点三角形中，当点
在短轴端点
时，
最大；（3）焦点在
轴上的椭圆，椭圆上的任意一点
,满足
,
.
探究点三 实际生活中的椭圆问题
例3 如图，某公园将在长34米、宽30米的
矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池
边缘由两个半椭圆 和
组成，其中 ，
“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边
均有且只有一个公共点）.
（1）求， 的值；
解：由图知,，所以， .
例3 如图，某公园将在长34米、宽30米的矩形地块
内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭
圆 和组成，
其中 ，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与
矩形各边均有且只有一个公共点）.
（2）在“挞圆”形水池内建一个矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱
的一条边所在直线的方程为 ，求该网箱所占水域面
积的最大值.
解：由（1）知，两个半椭圆分别为和
.
设, 分别是矩形网箱在第一、二象限
的顶点，所以可得 ，
，当且仅当 时等号成立，所以该网箱所占水域面积的最大值为510平方米.
变式 （多选题）［2025·江苏盐城七校高二期中］ 如
图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月
球附近一点变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆
轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以
为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 点
第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若
A. B.
C. D.
用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和 分别表示椭
圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
√
√
√
[解析] 对于A，显然，则 ，故A正确；
对于B，由及 得
，故B正确；
对于D，因为，即 ，
则 ，则
，
令， ，即有
，由题图知，，因此 ，
故D正确；
对于C,由 可得，故C不正确.故选 .
［素养小结］
解决椭圆的实际应用问题的一般步骤：（1）根据条件建立坐标系，
根据椭圆的定义，确定数学模型是椭圆；（2）确定椭圆的各个元素；
（3）应用椭圆的有关性质求解有关问题；（4）回归实际问题，得
出结论.
1.已知是椭圆 上的一个动点， 是椭圆的左焦点，则
的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
[解析] 由题意知，，，所以 的最小值为
.
√
2.已知点是椭圆上任一动点，定点，为 的右
焦点，则 的最小值为( )
A.1 B.3 C. D.
[解析] 设为椭圆的左焦点，因为椭圆，所以 ,
,，, ，
所以，
当点 在 的延长线与椭圆的交点处时等号成立.故选D.
√
3.人造地球卫星的运行轨道是以地球中心 为一个焦点的椭圆.如果将
卫星当作质点，地球当作半径为 的球体，卫星轨道的近地点
（距离地面最近的点）到地面的距离为 ，远地点（距离地面最远
的点）到地面的距离为，且，， 在同一直线上，则卫星轨道
的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为,, ，则由题
意得,，解得 ,
，所以卫星轨道的离心率 .故选A.
√
4.已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆 上
一点，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆的方程，得，，因为 ，
所以，
又在椭圆上，所以 ，解得，即，
则 ，所以 .故选A.
√
5.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点 是椭圆上任
意一点，则 的最小值为___.
0
[解析] 设点的坐标为，由题意得, ，则
,, ，
.
由可得 ，所以
，故当时， 取得最小值0.
1.椭圆性质的补充:设椭圆 的左、右焦点分
别为,,是椭圆上一点,那么的周长是定值 ,面积
是 .
2.若是椭圆上任意一点， ，
分别是椭圆的左、右焦点，你能表示与 吗？
解： ，
因为，所以 ，
所以，同理 .
解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现
出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最
值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两
个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
例 设椭圆的左、右焦点分别为,, 是椭
圆上的动点，直线经过椭圆的一个焦点， 的周
长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
解：显然椭圆的焦点在轴上，直线交轴于点 ，
则椭圆的右焦点，则半焦距 ，
因为的周长为 ，所以
，解得，则，所以椭圆 的
标准方程为 .
例 设椭圆的左、右焦点分别为,, 是椭
圆上的动点，直线经过椭圆的一个焦点， 的周
长为 ．
（2）求 的最小值和最大值.
解：设，则 ，即， ，
令坐标原点为，则是线段 的中点，
所以 ，
所以当时， ，
当或时， ，
所以 的最小值为2，最大值为4.
练习册
一、选择题
1.［2025·河南南阳高二期中］已知为椭圆的上顶点，
为椭圆上一点，则 的最大值为( )
A. B. C.3 D.
√
[解析] 由题意可知，.
，，则 ，
因为，所以当时，取得最大值 .故选B.
2.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的
历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫
于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸
伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该
A. B. C. D.
伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为 ，阳光
照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子 春分时，该地区的阳光与
地面的夹角为 ，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该
椭圆的离心率为( )
√
[解析] 如图，由题得伞的伞沿与地面的接触
点 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最
远的投影点 是椭圆长轴的另一个端点，对应
的伞沿位置为，为伞沿所在圆的圆心，
为伞柄底端，即椭圆的左焦点.
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，由, ，得
, ，,.
在 中， ，则 ，
，由正弦定理得， ，解得
，
则 ，所以该椭圆的离心率 .故选A.
3.已知，分别为椭圆的左、右焦点，动点 在椭圆上，
当的面积最大时， 的值为( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 根据对称性，不妨设，,则 的面积
，当时， 的面积最大，此时
，，， ，
故 故选B.
√
4.［2025·浙江绍兴高二期中］已知，是椭圆 上关于
原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设是椭圆的左焦点，连接, ,如
图.
因为,关于原点对称，所以 ,
.
由 ，得
，故，则，
又 ，所以 .故选C.
5.已知,分别是椭圆 的左、右焦点，若该椭圆
上存在点满足 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，分别是椭圆 的左、右焦点，所以
.
当点位于短轴端点时，最大，所以 最大时大于或等
于 ，即点位于短轴端点时， 大于或等于 ，
则此时为坐标原点 ，可
得 .故选A.
√
6.已知点为椭圆上第一象限的一点， 的左、右焦点
分别为,,的平分线与轴交于点，过点作直线 的垂
线，垂足为,为坐标原点，若，则 的面积为
( )
A. B. C. D.3
√
[解析] 如图所示，延长，交 的延长线于点.
因为为的平分线， ，所
以为等腰三角形，即，
为的中点.
因为为的中点，所以 为的中位线，
故 .
，由椭圆的定义知， ，
由得，解得，
故 ，.
在 中，
由余弦定理得 ，故 ，故 .故选C.
7.设椭圆的左、右焦点分别为， ，其焦
距为，点在椭圆的外部，点是椭圆 上的动点，且
恒成立，则椭圆 的离心率的取值范围是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为点在椭圆的外部，所以，所以 ，所
以，所以.
，
因为（当且仅当点在 的延长线与椭圆的交
点时，等号成立），且，所以要使
恒成立，需，可得.
综上，椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选D.
8.（多选题）［2025·重庆渝中区高二期中］ 已知椭圆
的左、右焦点分别为，，过的直线
与椭圆相交于，两点，其中是椭圆的上顶点， 是面积
为 的正三角形，则下列说法正确的是( )
A.的周长为8 B.椭圆的离心率为
C.线段的长为 D.的面积为
√
√
√
[解析] 因为是面积为 的正三角形，所以
，且，故, ,
的周长为，故A正确；
椭圆的离心率 ，故B错误；
设，则，由 得，由余
弦定理得 ，可得，所以
，故C正确；
，故D正确.故选
.
9.（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为， ，点
在椭圆上，若方程所表示的直线过定点 ，
点在以点为圆心，椭圆 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正
确的有( )
A.椭圆的离心率为 B. 的最大值为4
C. 的面积可能为2 D.的最小值为
√
√
√
[解析] 对于选项A，由椭圆的方程知，，所以 ，
所以椭圆的离心率 ，故选项A正确;
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以
，当且仅当时取等号，故选项B正确;
对于选项C，当点 位于椭圆的上、下顶点时， 的面积取得
最大值，最大值为，故选项C错误;
，所以 ，当，，，四点共线，且，在点， 之间时取等号，故选项 D正确.故选 .
二、填空题
10.［2024·哈尔滨九中高二月考］已知,是椭圆 的两个
焦点，为椭圆上一点，且 ，则 __.
[解析] 由，知，， ，
所以， ，
所以
所以 .
11.已知椭圆的左、右焦点分别为, ，离
心率为，点为椭圆上一点，若的面积为7，且 的
内切圆的半径为1，则椭圆 的标准方程为_ __________.
[解析] 根据椭圆的定义有， 的周长为
.
因为的面积为7，且 的内切圆的半径为1，所
以,可得，
又椭圆的离心率 ，所以,，所以
，所以椭圆 的标准方程为 .
12.嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之
一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，
使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆
柱形的树枝通过利用刀具进行斜劈，形成两个椭圆形截
面，如图所示，其中，分别为两个截面椭圆的长轴，且 ，
，，都位于圆柱的同一个轴截面上， 是圆柱截面圆的一条直
径.设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，
，则 的值是____.
[解析] 不妨设，则，， ，所以上
截面椭圆的离心率，
同理可知 ，所以 .
三、解答题
13.（13分）已知，分别是椭圆 的左、
右焦点，点是椭圆上一点，且满足轴， ，
直线与椭圆相交于另一点 .
（1）求椭圆 的离心率；
解：在中， ，
， .
由椭圆的定义得，， ，故
椭圆的离心率 .
（2）若的周长为，为椭圆上任意一点， 为坐标原
点，求 的取值范围.
解： 的周长为
，则，
，， ，
椭圆的标准方程为 .
易得，设，则， .
，
，
又， 当时，取得最大值 ，
当时，取得最小值 ，
故的取值范围是 .
14.（15分）2019年春节档非常热门的电影
《流浪地球》引发如下思考：假设地球
（设为质点 ，地球半径忽略不计）借助原
子发动机开始流浪的轨道是以木星
（看作球体，其半径万米）的中心
为右焦点的椭圆.已知地球的近木星点 （轨道上离木星表面最近的
点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点 （轨道上离木星表
面最远的点）到木星表面的距离为2500万米.
（1）求如图坐标系下椭圆 的标准方程.
解：设椭圆的方程为 .
由题意知， ，
，解得 ，
，
所以 ，
故椭圆的方程为 .
（2）若地球在流浪的过程中，由 第一次逆
时针流浪到与轨道中心的距离为 万米的
点处时（其中，分别为椭圆 的半长轴长，
半短轴长），由于木星引力，部分原子发动
机突然失去了动力，此时地球向着木星方向
开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线 ，称这
条直线的斜率 为 “变轨系数”，若地球与木星不会发生碰撞，求“变
轨系数”的取值范围.，精确到小数点后一位
解：由（1）知 ，
设变轨时，地球位于点,, 处，
则 ，
又 ，所以, .
由题得过点 的直线的方程为 ，
即 ，
由 ，
化简可得 ，
所以 .
故“变轨系数”的取值范围是 .
15.已知点是椭圆上的动点，点 为直线
上的动点，对给定的点 ，则
的最小值为____.
16
[解析] 设点关于直线 对称的点为
，则 解得
， ，，
当，， 三点共线时，取得最小值，
此时.
设 ，由，得 ，
，
， 当时，.故 的
最小值为16.
16.已知是圆上一点，点在轴上的射影为点，点
满足.若点,，则 的取值范围
是_ _____.
[解析] 设，则.
因为，所以 .
将的坐标代入，可得，则点 的运动轨
迹为椭圆，, 为椭圆的焦点，所以
,
易知 ，即.
当时， 最大，则取得最小值；
当或 时，最小，则
取得最大值 .
故,即,
所以 的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课中探究 探究点一 例1（1）C （2）BD 变式（1）A （2）C 拓展 A
探究点二 例2.（1）A （2）D 变式.（1）A （2）
探究点三 例3（1）
，
（2）510平方米 变式 ABD
课堂评价 1.B 2.D 3.A 4.A 5.0
练习册
一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.ACD 9.ABD
二、10.
11.
12.
三、13.（1）（2）<
14.（1）
（2）
思维探索 15.16 16.
第2课时 椭圆的几何性质的综合应用
【学习目标】
1.根据椭圆的定义研究焦点三角形的性质以及焦半径的取值范围;
2.了解椭圆在实际生活中的应用.
◆ 探究点一 椭圆中的焦点三角形
例1 (1)[2025·江苏扬州高二期中] 椭圆具有如下光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆C:+=1,O为坐标原点,l是椭圆在点P(-2,)处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则|OM|=( )
A.2 B.4 C.4 D.8
(2)(多选题)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,若△F1PF2是直角三角形,则△F1PF2的面积可以是 ( )
A. B. C. D.1
变式 (1)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,且|PO|=2(O为坐标原点),则|PF1|·|PF2|= ( )
A.8 B.12
C.16 D.64
(2)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上且|OP|=3,则△PF1F2的面积为 ( )
A. B.8 C.7 D.16
[素养小结]
(1)焦点三角形:以椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2为顶点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.
若r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;
②S=|PF1||PF2|sin θ=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取得最大值,最大值为bc.
(2)解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧.
拓展 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆C上的点,若满足∠F1PF2=60°的点P恰好有2个,则△F1PF2的内切圆的半径为 ( )
A. B.
C. D.2
◆ 探究点二 椭圆中的范围、最值问题
例2 (1)[2025·云南昆明八中高二期中] 设M是椭圆C:+=1的上顶点,点P在C上,则|PM|的最大值为 ( )
A. B. C. D.4
(2)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C过A(-2,0),B(0,1)两点,点P在线段AB上,则·的取值范围为 ( )
A. B.
C.[-2,1] D.
变式 (1)椭圆+=1的内接矩形的最大面积为 ( )
A.4 B. C.4 D.2
(2)蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,所以这个圆又被叫作“蒙日圆”.已知点A,B为椭圆+=1(0
[素养小结]
求解椭圆中的范围、最值问题,关键是要找到或利用好题中的不等关系,然后应用函数思想或均值不等式等求解有关的最值.椭圆中常用的不等关系有:(1)椭圆上有一点P,F是椭圆的一个焦点,则满足a-c≤|PF|≤a+c;(2)焦点三角形中,当点P在短轴端点时,∠F1PF2最大;(3)焦点在x轴上的椭圆,椭圆上的任意一点P(x,y),满足-a≤x≤a,-b≤y≤b.
◆ 探究点三 实际生活中的椭圆问题
例3 如图,某公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池,水池边缘由两个半椭圆+=1(x≤0)和+=1(x≥0)组成,其中a>b>9,“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).
(1)求a,b的值;
(2)在“挞圆”形水池内建一个矩形网箱养殖观赏鱼,若该矩形网箱的一条边所在直线的方程为y=t(t∈(0,15)),求该网箱所占水域面积的最大值.
变式 (多选题)[2025·江苏盐城七校高二期中] 如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是 ( )
A.c1>c2 B.a1-c1=a2-c2
C.< D.c1a2>a1c2
[素养小结]
解决椭圆的实际应用问题的一般步骤:(1)根据条件建立坐标系,根据椭圆的定义,确定数学模型是椭圆;(2)确定椭圆的各个元素;(3)应用椭圆的有关性质求解有关问题;(4)回归实际问题,得出结论.
1.已知P是椭圆 +=1上的一个动点,F1是椭圆的左焦点,则|PF1|的最小值 ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
2.已知点P是椭圆C:+=1上任一动点,定点A(1,1),F为C的右焦点,则|PA|+|PF|的最小值为 ( )
A.1 B.3
C.4+ D.4-
3.人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆.如果将卫星当作质点,地球当作半径为R的球体,卫星轨道的近地点(距离地面最近的点)A到地面的距离为r1,远地点(距离地面最远的点)B到地面的距离为r2,且F,A,B在同一直线上,则卫星轨道的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
4.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,M是椭圆C上一点,且MF1⊥F1F2,则cos∠F1MF2= ( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆C:+=1的左焦点为F,右顶点为A,点P是椭圆上任意一点,则·的最小值为 . 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用
一、选择题
1.[2025·河南南阳高二期中] 已知A为椭圆+y2=1的上顶点,P为椭圆上一点,则|PA|的最大值为 ( )
A.2 B. C.3 D.
2.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为的圆,圆心到伞柄底端的距离为,阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,该地区的阳光与地面的夹角为60°),若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为 ( )
A.2- B.-1
C.-1 D.
3.已知F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,动点P在椭圆上,当△PF1F2的面积最大时,·的值为 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
4.[2025·浙江绍兴高二期中] 已知M,N是椭圆C:+=1上关于原点对称的两点,F是椭圆C的右焦点,则|MF|2+8|NF|的取值范围为 ( )
A.[51,76] B.[52,76]
C.[64,80] D.[68,80]
5.已知F1,F2分别是椭圆+=1(m>0)的左、右焦点,若该椭圆上存在点P满足∠F1PF2=60°,则实数m的取值范围是 ( )
A.(0,9] B.(0,6]
C.(0,3] D.[3,6]
6.已知点P为椭圆C:+=1上第一象限的一点,C的左、右焦点分别为F1,F2,∠F1PF2的平分线与x轴交于点M,过点F1作直线PM的垂线,垂足为H,O为坐标原点,若|OH|=,则△F1PF2的面积为 ( )
A. B.3 C. D.3
7.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其焦距为2c,点Q在椭圆C的外部,点P是椭圆C上的动点,且|PF1|+|PQ|<|F1F2|恒成立,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2025·重庆渝中区高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,其中A是椭圆的上顶点,△F1AF2是面积为的正三角形,则下列说法正确的是 ( )
A.△ABF2的周长为8
B.椭圆C的离心率为
C.线段BF2的长为
D.△BF1F2的面积为
9.(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若方程mx+y+3m-4=0所表示的直线过定点M,点Q在以点M为圆心,椭圆C的长轴长为直径的圆上,则下列说法正确的有 ( )
A.椭圆C的离心率为
B.|PF1|·|PF2|的最大值为4
C.△PF1F2的面积可能为2
D.|PQ|-|PF2|的最小值为2-6
二、填空题
10.[2024·哈尔滨九中高二月考] 已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则|AF2|= .
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P为椭圆C上一点,若△F1PF2的面积为7,且△F1PF2的内切圆的半径为1,则椭圆C的标准方程为 .
12.嫁接是一种营养生殖方式,是植物的人工繁殖方法之一,即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上,使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜劈,形成两个椭圆形截面,如图所示,其中AC,BD分别为两个截面椭圆的长轴,且A,C,B,D都位于圆柱的同一个轴截面上,AD是圆柱截面圆的一条直径.设上、下两个截面椭圆的离心率分别为e1,e2,若∠CAD=,∠ADB=,则的值是 .
三、解答题
13.(13分)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点A是椭圆C上一点,且满足AF2⊥x轴,∠AF1F2=30°,直线AF1与椭圆C相交于另一点B.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若△ABF2的周长为4,M为椭圆C上任意一点,O为坐标原点,求·的取值范围.
14.(15分)2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考:假设地球(设为质点P,地球半径忽略不计)借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星(看作球体,其半径R=700万米)的中心F为右焦点的椭圆C.已知地球的近木星点A(轨道上离木星表面最近的点)到木星表面的距离为100万米,远离木星点B(轨道上离木星表面最远的点)到木星表面的距离为2500万米.
(1)求如图坐标系下椭圆C的标准方程.
(2)若地球在流浪的过程中,由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米的点P处时(其中a,b分别为椭圆C的半长轴长,半短轴长),由于木星引力,部分原子发动机突然失去了动力,此时地球向着木星方向开始变轨(如图所示),假设地球变轨后的轨道为一条直线L,称这条直线的斜率k为“变轨系数”,若地球与木星不会发生碰撞,求“变轨系数”k的取值范围.(≈2.24,精确到小数点后一位)
15.已知点P是椭圆C:+=1上的动点,点M为直线l:x+y+10=0上的动点,对给定的点A(10,-10),则|PM|+|AM|的最小值为 .
16.已知A是圆C:x2+y2=9上一点,点A在x轴上的射影为点B,点P满足=3.若点F1(-,0),F2(,0),则+的取值范围是 . 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)BD [解析] (1)由椭圆C:+=1,得a2=16,则椭圆C的长轴长2a=8.如图,延长F1M,F2P交于点N,由题意可知∠F1PM=∠NPM,又因为PM⊥F1N,所以M为F1N的中点,且|PF1|=|PN|,所以|F2N|=|PN|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=8,又因为O为F1F2的中点,所以OM为△F1NF2的中位线,则|OM|=|F2N|=×8=4.故选C.
(2)在椭圆C:+y2=1中,a=,b=1,半焦距c=1,F1(-1,0),F2(1,0),由△F1PF2是直角三角形,得PF1⊥F1F2(PF2⊥F1F2)或PF1⊥PF2.若PF1⊥F1F2(PF2⊥F1F2),由得|y|=,则点P到x轴的距离为,△F1PF2的面积=|F1F2||y|=c=,B正确;当P是C的上顶点或下顶点时,PF1⊥PF2,△F1PF2的面积=·2c·b=1,D正确.故选BD.
变式 (1)A (2)C [解析] (1)由题意得,a=4,b=2,c==2,则|PO|=2=|OF1|=|OF2|,所以O为△PF1F2的外心,即以线段F1F2为直径的圆经过点P,则∠F1PF2=90°.记|PF1|=x,|PF2|=y,则
于是|PF1|·|PF2|=xy==8.故选A.
(2)由椭圆C:+=1可得a=4,b=,c=3,所以|F1F2|=2c=6,又|OP|=3,所以|OP|=|F1F2|,所以三角形PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2=36,又|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1||PF2|=14,则三角形PF1F2的面积S=×|PF1||PF2|=×14=7,故选C.
拓展 A [解析] 满足∠F1PF2=60°的点P在以线段F1F2为弦,所对圆周角为60°的两段圆弧上(不含弧的端点),圆弧在直线F1F2两侧, 因为P是椭圆上的点,且满足∠F1PF2=60°的点P恰好有2个,所以上述每段圆弧与椭圆仅有一个公共点,又椭圆C上到原点O距离最小的点是短轴端点,所以圆弧与椭圆的公共点是短轴端点.以短轴的一个端点为点P,因为|F1F2|=2,所以△F1PF2是边长为2的等边三角形,此时点P的坐标为(0,±),设△F1PF2的内切圆的半径为r,则=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=3r=|F1F2||yP|=,解得r=.故选A.
探究点二
例2 (1)A (2)D [解析] (1)设P(x,y),则+=1,即x2=9,-2≤y≤2.易知M(0,2),所以|PM|2=x2+(y-2)2=9+(y2-4y+4)=-y2-4y+13,-2≤y≤2.当y=-∈[-2,2]时,|PM|2取得最大值-×-4×+13=,所以|PM|的最大值为=,故选A.
(2)因为椭圆C:+=1(a>b>0)过A(-2,0),B(0,1)两点,所以a2=4,b2=1,可得c==,所以F1(-,0),F2(,0).设P(x,y),由题知直线AB的方程为+y=1,即x-2y+2=0,因为点P在线段AB上,所以-2≤x≤0,0≤y≤1.因为·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=(2y-2)2+y2-3=5y2-8y+1=5-,y∈[0,1],所以(·)min=-,(·)max=1,所以·的取值范围为.故选D.
变式 (1)A (2) [解析] (1)设内接矩形在第一象限的顶点的坐标为(x,y),则x>0,y>0.由对称性可知,内接矩形的面积S=4xy=8··≤4×=4,当且仅当=,即x=y时,等号成立.由解得所以椭圆+=1的内接矩形的最大面积为4.故选A.
(2)依题意知,直线x=±,y=±b都与椭圆+=1相切,因此直线x=±,y=±b所围成的矩形的外接圆x2+y2=3+b2即为椭圆+=1的蒙日圆.由点A,B为椭圆+=1上任意两个动点,动点P满足∠APB恒为锐角,得动点P在圆x2+y2=3+b2外,又动点P在直线4x+3y-10=0上,所以直线4x+3y-10=0与圆x2+y2=3+b2没有交点,于是>,所以0探究点三
例3 解:(1)由图知2b=30,a=34-9=25,所以a=25,b=15.
(2)由(1)知,两个半椭圆分别为+=1(x≤0)和+=1(x≥0).设A(x1,t),B(x2,t)分别是矩形网箱在第一、二象限的顶点,所以可得x2=-x1,
所以该网箱所占水域面积S=2t(x1-x2)=2t×x1=510×2××≤510×=510,当且仅当=时等号成立,所以该网箱所占水域面积的最大值为510平方米.
变式 ABD [解析] 对于A,显然2c1>2c2,则c1>c2,故A正确;对于B,由|PF|=a1-c1及|PF|=a2-c2得a1-c1=a2-c2,故B正确;对于D,因为a1-c1=a2-c2,即a1+c2=a2+c1,则(a1+c2)2=(a2+c1)2,则-+2a1c2=-+2a2c1,令=-(b1>0),=-(b2>0),即有+2a1c2=+2a2c1,由题图知,b1>b2,因此c1a2>a1c2,故D正确;对于C,由c1a2>a1c2可得>,故C不正确.故选ABD.
【课堂评价】
1.B [解析] 由题意知a=5,b=4,c=3,所以|PF1|的最小值为5-3=2.
2.D [解析] 设F'为椭圆C的左焦点,因为椭圆C:+=1,所以a=2,b=,c=1,F'(-1,0),F(1,0),所以|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|≥2a-|AF'|=4-,当点P在F'A的延长线与椭圆的交点处时等号成立.故选D.
3.A [解析] 设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c,则由题意得a-c=R+r1,a+c=R+r2,解得a=(2R+r1+r2),c=(r2-r1),所以卫星轨道的离心率e==.故选A.
4.A [解析] 由椭圆C的方程,得F1(-,0),F2(,0),因为MF1⊥F1F2,所以M(-,y0),又M(-,y0)在椭圆C上,所以+=1,解得|y0|=,即|MF1|=,则|MF2|=6-|MF1|=,所以cos∠F1MF2==.故选A.
5.0 [解析] 设点P的坐标为(x0,y0),由题意得F(-1,0),A(2,0),则-2≤x0≤2,-≤y0≤,=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0).由+=1可得=3-,所以·=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2,故当x0=2时,·取得最小值0.第2课时 椭圆的几何性质的综合应用
1.B [解析] 由题意可知,A(0,1).设P(x,y),由+y2=1可得x2=7-7y2,-1≤y≤1,则|PA|===,因为-1≤y≤1,所以当y=-时,|PA|取得最大值=.故选B.
2.A [解析] 如图,由题得伞的伞沿与地面的接触点B是椭圆长轴的一个端点,伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点,对应的伞沿位置为C,O为伞沿所在圆的圆心,F为伞柄底端,即椭圆的左焦点.设椭圆的半长轴长为a,半焦距为c,由OF⊥BC,OF=OB=,得a+c=BF=2,∠FBC=45°,AB=2a,BC=2.在△ABC中,∠BAC=60°,则∠ACB=75°,sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=,由正弦定理得,=,解得a==1+,则c=1-,所以该椭圆的离心率e===2-.故选A.
3.B [解析] 根据对称性,不妨设P(x,y),y>0,则△PF1F2的面积S=×|F1F2|×y=cy,当y=b时,△PF1F2的面积最大,此时P(0,).∵F1(-2,0),F2(2,0),∴=(-2,-),=(2,-),故·=-4+3=-1.故选B.
4.C [解析] 设A是椭圆C的左焦点,连接AN,AM,如图.因为M,N关于原点对称,所以|AN|=|FM|,|AM|=|FN|.由|FM|+|AM|=|FN|+|AN|=2a=10,得|FM|+|FN|=10,故|FN|=10-|FM|,则|MF|2+8|NF|=|MF|2-8|MF|+80=(|MF|-4)2+64,又2≤|FM|≤8,所以|MF|2+8|NF|∈[64,80].故选C.
5.A [解析] 因为F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,所以06.C [解析] 如图所示,延长F1H,交PF2的延长线于点N.因为PH为∠F1PF2的平分线,PH⊥F1N,所以△PF1N为等腰三角形,即|F1P|=|PN|,H为F1N的中点.因为O为F1F2的中点,所以OH为△NF1F2的中位线,故|F2N|=2|OH|=1.设|F2P|=m,由椭圆的定义知,|F1P|=2a-|F2P|=4-m,由|F1P|=|PN|得4-m=m+1,解得m=,故|F2P|=,|F1P|=.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===,故sin∠F1PF2==,故=|F2P|·|F1P|sin∠F1PF2=×××=.故选C.
7.D [解析] 因为点Q在椭圆的外部,所以<,所以2b2.|PF1|+|PQ|=2a-|PF2|+|PQ|,因为|PQ|-|PF2|≤|QF2|(当且仅当点P在QF2的延长线与椭圆的交点时,等号成立),且|QF2|=,所以要使|PF1|+|PQ|<|F1F2|恒成立,需2a-|PF2|+|PQ|≤2a+<×2c,可得>.综上,椭圆C的离心率的取值范围是,故选D.
8.ACD [解析] 因为△F1AF2是面积为的正三角形,所以=(2c)2=c2=,且a=2c,故c=1,b=,a=2.△ABF2的周长为4a=8,故A正确;椭圆C的离心率e==,故B错误;设|BF1|=x,则|BF2|=4-x,由∠AF1F2=得∠BF1F2=,由余弦定理得(4-x)2=4+x2-4xcos∠BF1F2,可得x=,所以|BF2|=4-=,故C正确;=|BF1||F2F1|sin=××2×=,故D正确.故选ACD.
9.ABD [解析] 对于选项A,由椭圆C的方程知a=2,b=,所以c=1,所以椭圆C的离心率e==,故选项A正确;对于选项B,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|≤=4,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号,故选项B正确;对于选项C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为×2×=,故选项C错误;对于选项D,易知M(-3,4),则圆M:(x+3)2+(y-4)2=4,所以|PQ|-|PF2|=|PQ|-(4-|PF1|)≥|QF1|-4≥|MF1|-2-4=2-6,当M,Q,P,F1四点共线,且Q,P在点M,F1之间时取等号,故选项 D正确.故选ABD.
10. [解析] 由+=1,知a2=9,b2=7,c2=2,
所以|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6,所以所以|AF2|=.
11.+=1 [解析] 根据椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a,△F1PF2的周长为2a+2c.因为△F1PF2的面积为7,且△F1PF2的内切圆的半径为1,所以×(2a+2c)×1=7,可得a+c=7,又椭圆C的离心率e==,所以a=5,c=2,所以b==,所以椭圆C的标准方程为+=1.
12. [解析] 不妨设AB=1,则AD=CD=,AC=,BD=2,所以上截面椭圆的离心率e1===,同理可知e2==,所以=.
13.解:(1)在Rt△AF1F2中,∵∠AF1F2=30°,∴|AF1|=2|AF2|,|F1F2|=|AF2|.
由椭圆的定义得,2a=|AF1|+|AF2|=3|AF2|,2c=|AF2|,故椭圆C的离心率e====.
(2)△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=4,
则a=,∵e==,∴c=1,∴b2=a2-c2=2,∴椭圆C的标准方程为+=1.
易得F1(-1,0),设M(x0,y0),则=(x0,y0),+=1.
∵=(x0+1,y0),∴·=x0(x0+1)+=+x0+2-=+,
又-≤x0≤,∴当x0=时,·取得最大值3+,
当x0=-时,·取得最小值,故·的取值范围是.
14.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).
由题意知,a-c=700+100=800,a+c=700+2500=3200,解得a=2000,c=1200,
所以b2=a2-c2=16002,故椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)知ab=3 200 000,设变轨时,地球位于点(x0,y0),x0>0,y0>0处,
则+=ab=3 200 000,又+=1,
所以x0=,y0=.由题得过点P的直线的方程为y-=k,
即kx-y-k+=0,由>700,
化简可得425k2+128k-839<0,所以-1.8故“变轨系数”k的取值范围是(-1.8,1.1).
15.16 [解析] 设点A(10,-10)关于直线l:x+y+10=0对称的点为A'(x0,y0),则解得∴A'(0,-20),|AM|=|A'M|,∴|PM|+|AM|=|PM|+|A'M|,∴当A',M,P三点共线时,|PM|+|A'M|取得最小值,此时|PM|+|A'M|=|A'P|.设P(x,y),由+=1,得x2=25,∴|A'P|===
=,∵-4≤y≤4,∴当y=-4时,|A'P|min=16.故|PM|+|AM|的最小值为16.
16. [解析] 设P(x,y),则B(x,0).因为=3,所以A.将A的坐标代入x2+y2=9,可得+=1,则点P的运动轨迹为椭圆+=1,F1,F2为椭圆的焦点,所以+=====,易知a-c≤|PF1|≤a+c,即3-≤|PF1|≤3+.当|PF1|=3时,-(|PF1|-3)2+9最大,则+取得最小值;当|PF1|=3-或3+时,-(|PF1|-3)2+9最小,则+取得最大值.故≤≤,即≤+≤,所以+的取值范围为.