(共93张PPT)
2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
探究点一 双曲线定义的应用
探究点二 求双曲线的标准方程
探究点三 与双曲线有关的轨迹方程
探究点四 双曲线的实际应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;
2.掌握双曲线的标准方程及其求法;
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
知识点一 双曲线的定义
一般地，如果，是平面内的两个定点， 是一个________，且
,则平面上满足____的动点 的轨迹称为
双曲线，其中，两个定点， 称为双曲线的______，两个焦点的
距离 称为双曲线的______.
正常数
焦点
焦距
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
设，是平面内的两个定点，是一个常数， 为平面内一个动点.
（1）若，则满足的动点 的轨迹称为
双曲线.( )
×
（2）若,则满足的动点的轨迹是线段
的垂直平分线.( )
√
（3）若，则满足的动点 的轨迹是
以， 为端点的两条射线.( )
√
（4）若，则满足的动点 没有轨迹.
( )
√
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
图形 ___________________________________ ___________________________________
标准方程
焦点 _____________ ____________
,
,
,
,
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知两定点,，则满足 的动
点 的轨迹是双曲线.( )
×
[解析] 因为，所以 ，所以动点
的轨迹是两条射线（包含端点）.
（2）在双曲线的标准方程中,,,的关系是 .( )
×
[解析] 在双曲线的标准方程中，,,满足 ;
在椭圆的标准方程中，,,满足 .
（3）双曲线的焦点在 轴上.( )
×
[解析] 根据双曲线的标准方程的特点可知,双曲线 的焦点
在 轴上.
（4）方程表示双曲线的充要条件： ，且
.若，则焦点在轴上；若，则焦点在 轴上.
( )
√
探究点一 双曲线定义的应用
例1（1）若双曲线 上的点到一个焦点的距离为12，则该
点到另一个焦点的距离为( )
A.22或2 B.7 C.22 D.2
√
[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为,,则, ,
.
设为双曲线上一点，不妨令 ，由题知
， 点 可能在双曲线的左支上，也可能在
双曲线的右支上，
由，得,所以 或2.
故点 到另一个焦点的距离是22或2.故选A.
（2）［2024·广西桂林高二期中］已知双曲线 的左、右
焦点分别为,，点在双曲线的右支上，点 ，则
的最小值为_____.
[解析] 由题可知， ，由双曲线的定义可得
，当且仅当，，三点共线且 在， 之间时等号成立.
变式（1）已知椭圆和双曲线 的公共焦
点为,，椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 设椭圆与双曲线的左焦点为，右焦点为 .
由椭圆和双曲线的定义，有解得
由 ，得,则
故选B.
√
（2）若动点的坐标 满足
，则点 的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 设,，由已知得,即动点 到两
个定点，的距离之差的绝对值等于常数8，
因为 ，且，所以动点的轨迹是以, 为焦点，实轴
长为8的双曲线.
设双曲线的方程为，则, ，
所以,，所以，所以点 的轨迹方程是
.故选D.
√
［素养小结］
双曲线上的一点与其两个焦点，构成的三角形称为焦点
三角形.令，， ，因为，
所以有
（1）定义：.
（2）余弦公式： .
（3）面积公式： .
一般地，在中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.
拓展 已知, 分别为双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上一点
满足，，则____，双曲线 的标
准方程为_ __________.
[解析] 因为， ，所以
，即 ，则
，所以.
因为点在 的右支上，所以,由余弦定理知
，可得，
因为，所以，所以双曲线 的标准方程为 .
探究点二 求双曲线的标准方程
［探索］ 方程 表示的曲线是________.
双曲线
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1），焦点在轴上，且过点 ；
解：因为双曲线的焦点在 轴上，
所以可设它的标准方程为 .
因为双曲线过点，所以，与 联
立,可得, ,
所以所求双曲线的标准方程为 .
（2），一个焦点的坐标是 ；
解：由题意知，,，且焦点在 轴上，
所以 ，
所以所求双曲线的标准方程为 .
（3）经过两点, .
解：设双曲线的方程为 ，
则解得
所以所求双曲线的标准方程为 .
变式（1）与椭圆共焦点且过点 的双曲线的标准
方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知椭圆的焦点坐标为 ，
设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义
可得
，，
又，， 双曲线的标准方程为 .
故选C.
（2）已知双曲线过, 两点,求双曲线的标准方程.
解：方法一:若焦点在 轴上,设双曲线的方程为
,则解得 （舍去）.
若焦点在轴上,设双曲线的方程为 ,则
解得所以双曲线的标准方程为 .
综上,双曲线的标准方程为 .
方法二:设双曲线的方程为 .
因为,两点在双曲线上,所以解得 故所求双
曲线的标准方程为 .
［素养小结］
（1）求双曲线标准方程的两个关注点：
（2）待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤：
①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种
都有可能.
②设方程：根据焦点位置，设其方程为 或
，焦点位置不确定时，亦可设为
.
③寻关系：根据已知条件列出关于，， 的方程组.
④得方程：解方程组，将， 代入所设方程即可得标准方程.
提醒：求标准方程时，一定要先确定焦点在哪个坐标轴上，以便选
取合适的形式.
探究点三 与双曲线有关的轨迹方程
例3（1）设点，，为动点，已知直线 与直线
的斜率之积为定值，则点 的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，，则，，
直线与直线的斜率之积为定值， ，化简可得
，故点的轨迹方程是 .故选C.
√
（2）［2025·河南平顶山高二期中］在平面直角坐标系中，已知
的顶点,，其内切圆的圆心在直线 上，则
顶点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，设与内切圆的切点分别为,, ，
则有,, ，
所以 .
根据双曲线定义知，所求轨迹是以, 为焦点，实轴长为2的双曲线
的右支（右顶点除外），则，，
又，所以，
所以顶点 的轨迹方程为 .故选B.
变式（1）已知点,，动点满足 ，则
动点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为,，所以，动点 满足
，
由双曲线的定义可知，动点 的轨迹是以, 为焦点的双曲线的左支，
设双曲线的方程为，则,,
,所以动点的轨迹方程为 .故选D.
√
（2）与圆和圆 都外切的圆
的圆心在( )
A.椭圆上 B.双曲线的一支上
C.抛物线上 D.圆上
√
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
圆的圆心为，半径 ，
因为圆心距为 ，所以两圆相离，
设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为，则,
，所以，即圆心 的轨迹满足
到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点间的距离，
根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的一支，即圆心在
双曲线的一支上.故选B.
［素养小结］
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：（1）列出
等量关系，化简得到方程；（2）寻找几何关系，根据双曲线的定义，
得出对应的方程.一般地，若一个动圆与两个定圆中的一个内切，另
一个外切，则对应动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐
标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；（3）
求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点是否都在所求双曲线上.
探究点四 双曲线的实际应用
例4 ［2025·上海闵行中学高二期中］如图，某
苗圃有，两个入口， ，欲在苗圃
内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放
在苗圃外的处，已知， ，
以所在直线为轴，的中点 为原点建立
平面直角坐标系.
（1）工人计划将树苗分别沿和 两条折线段路线
搬运至 处，请判断哪条搬运路线较短？并说明理由.
解：由题意可得， ，
则 ，
.
故路线 的长度为
，
路线的长度为 .
因为，所以路线 的长度较短.
例4 ［2025·上海闵行中学高二期中］如图，某
苗圃有，两个入口， ，欲在苗圃
内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放
在苗圃外的处，已知， ，
以所在直线为轴，的中点 为原点建立
平面直角坐标系.
（2）工人准备将处的树苗运输到苗圃内的点 处，合理设计点的
位置，使得沿和 两条折线段路线运输的距离相等.
请写出所有满足要求的点 的轨迹方程.
解：设， .
由已知得 ，则
，
所以点所有可能的位置是以， 为焦点的双
曲线的右支并且在苗圃内的部分，则 ，
即 ，
又因为，所以 ，
所以点 的轨迹方程为 .
变式 某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，
地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心
记为，，在的正东方向，相距；在的北偏西 方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到 的求救
信号，由于，两地比距远，后， 两个救援中心才同时接
收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在地测得 的方
位角为( )
A.北偏东 B.北偏东 C.北偏西 D.北偏西
√
[解析] 因为， 同时接收到信号，所以
，则点在线段 的垂直平分线上.
因为，两地比地同时晚 收到信号，所以
，所以在以，
为焦点的双曲线的右支上，所以 ，
，则.
如图，以线段的中点 为坐标原点，的垂直平分线为轴，
正东方向为 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，， ，
所以双曲线的方程为，线段 的垂直平分线的
方程为，即 .
由解得 则
，
所以，所以直线 的倾斜角为 ，
则在地测得 的方位角为北偏东 .故选A.
［素养小结］
利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.
注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，
了解一些实际问题的相关概念外，还要注意双曲线定义的灵活应用.
②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
1.双曲线 的焦距为( )
A. B. C. D.
[解析] ,故焦距为 .
√
2.若方程表示双曲线，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得，解得 .故选B.
√
3.已知点，，动点满足 ，则动点
的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，，所以，
因为动点 满足，所以动点的轨迹是以， 为
焦点的双曲线的右支.
设双曲线方程为，则 ,，所以
，所以动点 的轨迹方程为
.故选A.
4.如图，地在地的正东方向处， 地在
地的北偏东 方向 处，河流的沿岸
（曲线）上任意一点到的距离比到 的距
离远，以所在直线为轴， 的垂直平
分线为轴建立平面直角坐标系，则曲线 的
方程是__________________；现要在曲线 上
选一点建一座码头，向，两地转运货物，那么这两条公路 ，
的路程之和最短为_________ .
[解析] 由题意得 ，根据双
曲线定义知，点 的轨迹为双曲线的右支，且
,,则,,所以 ，所以曲
线的方程为.
因为 ， 所以 ，当且仅当,,三点共线且在, 之间时，等号成立，所以这两条公路，的路程之和最短为 .
5.设,是双曲线的两个焦点， 是该双曲线上一点，且
，则 的面积为____.
12
[解析] 由双曲线，可得, ，则，
因为是该双曲线上一点，且 ，
所以，可得,.
在 中，由余弦定理得
，则 ，所以的面积
.
（1）在双曲线的标准方程中， ，
，其中最大，， 的大小关系可能
为，，，其中，， 构成如
图所示的直角三角形，我们把它称为“特征三角
形”.
（2）方程中的两个参数与 确定双曲线的形状和大小，是双曲线的
定量条件，焦点， 的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲
线标准方程的类型.
1.双曲线方程与椭圆方程主要根据与 的系数符号进行区分.
例1 若方程表示双曲线,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知,解得,故 的取值
范围是 ,故选B.
√
2.双曲线与椭圆的综合问题需要综合各方面的知识解决.
例2 与椭圆共焦点且过点 的双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 椭圆的焦点为 .
因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除A,C.
又双曲线经过点 ,所以选B.
√
3.在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件
的应用;与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余
弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思
想的应用.
例3（1）已知,分别是双曲线 的左、
右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则
( )
A. B.2 C. D.4
[解析] 由题得，所以 ，
因为，所以 ，则
，所以 ，即
，
又，所以，所以 .故选B.
√
（2）（多选题）［2025·重庆巴蜀中学高二期中］ 已知双曲线
的左、右焦点分别为， ，直线
与双曲线的右支相交于，两点（其中点 在第一
象限）.若 ，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积为15
√
√
√
[解析] 由题得，因为 ,所以
，故A正确；
由 ，根据双曲线的定义可得，则
，所以，，在
中，由余弦定理可得，解得，故B错误；
，设，则,在 中，由
余弦定理得
,可得，
则 ，故C正确；
因为 ，所以
,又 ，所以
，又 ,所以，故D正确.故选 .
例4 ［2025·江苏南京高二期中］历史上最早系统研究圆锥曲线的是
古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了
圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图
①，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点 ，经双曲线反射后，
反射光线的反向延长线经过左焦点.
已知图②中，双曲线 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为,
，直线 平分，过点作的垂线，垂足为，且 ，
则当反射光线经过点时， ____________.
[解析] 如图，延长交于点.
因为直线 平分，所以 ，
所以 ，
易知为的中点，
因为为 的中点，所以，所以 ,
所以 .
所以 .
练习册
一、选择题
★1.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数 的
取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 可变形为 ，
因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以
解得 .故选A.
［易错点］ 本题容易忽略焦点在 轴上的双曲线标准方程的特点而致误.
2.［2025·江苏常州高二期末］已知双曲线 的左、右焦点
分别为，，点在双曲线上，，则 ( )
A.13 B.10 C.1 D.13或1
[解析] 由题意得双曲线的焦距为 .
由双曲线定义可得，
所以或 ，
又因为，所以 .故选A.
√
3.已知点是双曲线的右支上的一点，， 分别是双
曲线的左、右焦点，的面积为20，则点 的横坐标为( )
A.2 B.4 C. D.
[解析] 因为双曲线，所以,, .
不妨设,,,由的面积为20，可得
，其中，则，将 代入双曲线方程，
可得 .故选D.
√
4.设,为实数，已知经过点的椭圆 与双曲线
有相同的焦距，则 ( )
A. B.2 C. D.4
√
[解析] 将点的坐标代入椭圆方程得，解得 ，所以
椭圆的焦距为.
因为 表示双曲线，所以，解得
或.
当 时，双曲线的焦距为，解得
；
当 时，双曲线的焦距为，解得 .
综上所述， .故选A.
5.［2025·湖南长沙高二期中］如图，过双曲线
的左焦点引圆 的切线，
切点为，延长交双曲线右支于点，若 为线段
的中点，为坐标原点，则 ( )
A.1
B.
C.
D.2
√
[解析] 由双曲线，可得 ,
，则, ，所以
.
设是双曲线 的右焦点，连接，如图，
因为,分别为, 的中点，所以.
在 中，可得 .
由双曲线的定义，可得，
所以
.故选A.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为 ，
，过点的直线与双曲线的右支相交于， 两点，
，的周长为10，则双曲线 的焦距为
( )
A.3 B. C. D.
√
[解析] 设，则， .
由双曲线的定义知，
，， ，解得
， 由余弦定理得
，解得，则双曲线的焦距为 .故选C.
7.与圆外切，且与圆 内切的圆的
圆心在( )
A.直线上 B.圆上
C.双曲线的一支上 D.椭圆上
√
[解析] 圆的圆心为 ，
半径为；圆 的圆心为
，半径为2.
如图所示，设所求圆的圆心为，半径为，
由图及已知条件易得 ，
所以,，则 ，
由双曲线的定义知，圆心在以, 为焦点的双曲线的右支上.故选C.
8.（多选题）已知方程所表示的曲线为 ，下列说法
错误的是( )
A.若为椭圆，则
B.若为双曲线，则或
C.若 为椭圆，则焦距为定值
D.若 为双曲线，则焦距为定值
√
√
√
[解析] 若为椭圆，则解得 ，
故A中说法错误；
若为双曲线，则 ，解得或，
故B中说法正确；
由 解得 ，
此时曲线表示焦点在 轴上的椭圆，焦距为
，不为定值，故C中说法错误；
令解得，此时曲线表示焦点在 轴上的双曲线，
焦距为 ，不为定值，故D中说法
错误.故选 .
9.（多选题）已知，分别是双曲线 的左、右焦
点，是上一点，且位于第一象限， ，则( )
A.的纵坐标为 B.
C.的周长为 D. 的面积为4
[解析] 依题意知,.
因为 ，所以 .
由双曲线的定义可得 ①，等号两边平方得
，即 ，
√
√
√
解得，故的面积为 ，故D
正确.
设的纵坐标为，则的面积为 ，解得 ，
故A正确.
由 ，
可得，则 的周长为
，故C错误.
由 得，故B正确.故选 .
二、填空题
10.如图，已知，，从点 同时出发的
两个质点， 均以每秒2个单位的速度做匀速直线运
动，从运动到，从运动到，且到达 的时
间比到达的时间晚3秒，则点 的轨迹方程为
_ _________________.
[解析] 由题意得，所以 的轨迹
是以，为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支.
由， ，得，所以点的轨迹方程为
.
11.［2025·重庆涪陵区高二期中］已知椭圆 与双
曲线有共同的焦点，则直线 过定点
________.
[解析] 由题意可得，，则 ，所以
直线过定点 .
★12.已知双曲线 的焦距为8，左、右焦点分别为
，，点的坐标为， 为双曲线右支上一动点，则
的最小值为___________.
[解析] 因为该双曲线的焦距为8，所以，，即 ，
则，所以该双曲线的方程为，所以 ，.
由双曲线的定义得 ，所以
，则，当, ,
三点共线在线段上时， 取得最小值，最小值为
,所以
.
［技巧点拨］ 具有转化功能，可将其变形为
，进而将问题转化为与 有关的问题.
三、解答题
13.（13分）［2025·浙江绍兴上虞中学高二期中］ 已知曲线
且 .
（1）若曲线表示双曲线，求 的取值范围；
解：因为曲线且 表示双曲线，
所以，解得 ，
故的取值范围是 .
13.（13分）［2025·浙江绍兴上虞中学高二期中］ 已知曲线
且 .
（2）若，点在曲线上，且点在第一象限， ,
，，求点 的横坐标.
解：当时，曲线 为双曲线.
设，,，则 .
因为 ，所以
，可得 ，故点的横坐标为 .
14.（15分）［2025·吉林延边高二期末］
（1）在平面直角坐标系中，已知动点到点 的距离是到
直线的距离的倍，求点 的轨迹方程.
解：设.由题意得 ，化简得
,
所以点的轨迹方程是 .
（2）若动圆与圆、圆 都
外切，求动圆圆心 的轨迹方程.
解：圆的圆心为，半径 ，
圆的圆心为，半径 .
因为，所以圆与圆 外离.
设圆的半径为，由题意可得
所以 ，
所以圆心的轨迹是以， 分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设圆心的轨迹方程为 ，
由题意可得，则，则 ，
所以圆心的轨迹方程为 .
15.［2025·河北保定高二期末］已知,分别为双曲线 的
左、右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且 ，
则点到 轴的距离为( )
A.2 B. C. D.
√
[解析] 由双曲线，可得, ，则.
设, ，由双曲线的定义，可得.
在 中，由余弦定理得，可得
.
设点 的坐标为，则 .
因为，所以 ，
可得.
由，可得，所以点到 轴的距离为 .故选C.
16.（15分）试讨论方程 所表示的
曲线.
解：当时，变形为 ，解得
，
此时方程所表示的是两条平行直线.
当时，变形为 ，
解得 ，
此时方程所表示的是两条平行直线.
当时，变形为 ，
方程无解，
此时方程不表示任何曲线.
当且时， 变形为
,
令解得或 ，
故当 时，方程所表示的曲线是椭圆.
令解得，故当 时，方程所表示的曲线
是圆.
令，解得或 ，
故当 时，方程所表示的曲线是双曲线.
令解得，故当 时，方程不表示任何曲线.
综上，当或 时，方程所表示的是两条平行直线；
当 时，方程所表示的曲线是椭圆；
当 时，方程所表示的曲线是圆；
当 时，方程所表示的曲线是双曲线；
当 时，方程不表示任何曲线.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 正常数 焦点 焦距
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）√
知识点二 , ,,,
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1（1）A （2） 变式（1）B （2）D
拓展
探究点二 ［探索］双曲线 例2（1）（2）
（3） 变式（1）C （2）
探究点三 例3（1）C （2）B 变式（1）D （2）B
探究点四 例4（1）路线的长度较短，理由略
（2） 变式 A
课堂评价 1.D 2.B 3.A 4. 5.12
练习册
一、★1.A 2.A 3.D 4.A 5.A 6.C 7.C 8.ACD 9.ABD
二、10. 11. ★12.
三、13.（1）（2）
14.（1）（2） 思维探索15.C 16. 当或时，方程所表示的是两条平行直线；
当时，方程所表示的曲线是椭圆；当时，方程所
表示的曲线是圆；当时，方程所表示的曲线是双曲线；
当时，方程不表示任何曲线.2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
【课前预习】
知识点一
正常数 2a 焦点 焦距
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点二
a>0,b>0 a>0,b>0 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c)
a2+b2
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)因为|F1F2|=6,所以||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,所以动点P的轨迹是两条射线(包含端点).
(2)在双曲线的标准方程中,a,b,c满足a2+b2=c2;在椭圆的标准方程中,a,b,c满足a2=b2+c2.
(3)根据双曲线的标准方程的特点可知,双曲线x2-=1的焦点在x轴上.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)4 [解析] (1)设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=.设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=12,由题知|PF2|≥c-a=-5.∵12>a+c=5+,∴点P可能在双曲线的左支上,也可能在双曲线的右支上,由||PF1|-|PF2||=2a=10,得|12-|PF2||=10,所以|PF2|=22或2.故点P到另一个焦点的距离是22或2.故选A.
(2)由题可知a=,F2(2,0),由双曲线的定义可得|PQ|+|PF1|=|PQ|+(|PF2|+2)=|PQ|+|PF2|+2≥|QF2|+2=2+2=4,当且仅当Q,P,F2三点共线且P在Q,F2之间时等号成立.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)设椭圆与双曲线的左焦点为F1,右焦点为F2.由椭圆和双曲线的定义,有解得由+y2=1,得|F1F2|=2=4,则·=||·||·cos∠F1PF2=|PF1|·|PF2|·=-6.故选B.
(2)设A(-5,0),B(5,0),由已知得||PA|-|PB||=8,即动点P到两个定点A,B的距离之差的绝对值等于常数8,因为|AB|=10,且8<10,所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为8的双曲线.设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则2a=8,2c=10,所以a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9,所以点P的轨迹方程是-=1.故选D.
拓展 -y2=1 [解析] 因为·=4,·=-2,所以·+·=2,即·(+)=2,则·=2,所以|PF2|=.因为点P在C的右支上,所以|PF1|=2a+,由余弦定理知(2a+)2+()2-(2)2=8,可得a=,因为c=,所以b=1,所以双曲线C的标准方程为-y2=1.
探究点二
探索 双曲线
例2 解:(1)因为双曲线的焦点在x轴上,
所以可设它的标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为双曲线过点A(-5,2),所以-=1,与c2=a2+b2=36联立,可得a2=20,b2=16,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)由题意知,c=8,b=4,且焦点在x轴上,
所以a2=c2-b2=48,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
变式 (1)C [解析] 易知椭圆C的焦点坐标为(0,±2),设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由双曲线的定义可得2a=|-|=(+)-(-)=2,∴a=,又c=2,∴b==,∴双曲线的标准方程为-=1.故选C.
(2)解:方法一:若焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则解得(舍去).若焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则解得所以双曲线的标准方程为-=1.
综上,双曲线的标准方程为-=1.
方法二:设双曲线的方程为+=1(mn<0).
因为P,Q两点在双曲线上,所以解得故所求双曲线的标准方程为-=1.
探究点三
例3 (1)C (2)B [解析] (1)设M(x,y),x≠±,则kMA=,kMB=,∵直线AM与直线BM的斜率之积为定值,∴·=,化简可得-y2=1(y≠0),故点M的轨迹方程是-y2=1(y≠0).故选C.
(2)如图,设△ABC与内切圆的切点分别为D,E,F,则有|AD|=|AE|=3,|BF|=|BE|=1,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=3-1=2.根据双曲线定义知,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支(右顶点除外),则c=2,a=1,又c2=a2+b2,所以b2=3,所以顶点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).故选B.
变式 (1)D (2)B [解析] (1)因为M(2,0),N(-2,0),所以|MN|=4,动点P满足|PM|-|PN|=2<|MN|,由双曲线的定义可知,动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的左支,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则c=2,a=1,b==,所以动点P的轨迹方程为x2-=1(x<0).故选D.
(2)圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r=1,圆C2:x2+y2-8x+12=0的圆心为C2(4,0),半径R=2,因为圆心距为|C1C2|=4>R+r=3,所以两圆相离,设与两圆都外切的圆的圆心为C,半径为R1,则|CC1|=R1+r,|CC2|=R1+R,所以|CC2|-|CC1|=R-r=1<4,即圆心C的轨迹满足到两定点距离之差为定值,且定值小于两定点间的距离,根据双曲线定义可知,圆心的轨迹是某一双曲线的一支,即圆心在双曲线的一支上.故选B.
探究点四
例4 解:(1)由题意可得A(-50,0),B(50,0),
则|AP|==5,|BP|==5.
故路线C-A-P的长度为|CA|+|AP|=80+5,
路线C-B-P的长度为|CB|+|BP|=88+5.
因为80+5>88+5,所以路线C-B-P的长度较短.
(2)设P(x,y),y>0.由已知得|CA|+|AP|=|CB|+|BP|,则|PA|-|PB|=|CB|-|CA|=8<100=|AB|,
所以点P所有可能的位置是以A,B为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分,则2a=8,即a=4,又因为c=50,所以b2=c2-a2=2500-16=2484,
所以点P的轨迹方程为-=1(x>0,y>0).
变式 A [解析] 因为B,C同时接收到信号,所以|PB|=|PC|,则点P在线段BC的垂直平分线上.因为B,C两地比A地同时晚4 s收到信号,所以|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,所以2a=4,c=3,则b2=c2-a2=5.如图,以线段AB的中点O为坐标原点,AB的垂直平分线为y轴,正东方向为x轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),所以双曲线的方程为-=1(x≥2),线段BC的垂直平分线的方程为y-=(x+4),即x-y+7=0.由解得则P(8,5),所以kPA==,所以直线PA的倾斜角为60°,则在A地测得P的方位角为北偏东30°.故选A.
【课堂评价】
1.D [解析] c===2,故焦距为4.
2.B [解析] 由题意得(m+3)(m-6)<0,解得-33.A [解析] 因为M(-2,0),N(2,0),所以|MN|=4,因为动点P满足|PM|-|PN|=2<|MN|,所以动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则c=2,a=,所以b===,所以动点P的轨迹方程为-=1(x>0).故选A.
4.-=1(x>0) 6-4 [解析] 由题意得|MA|-|MB|=4<|AB|,根据双曲线定义知,点M的轨迹为双曲线的右支,且2a=4,2c=6,则a=2,c=3,所以b=,所以曲线PQ的方程为-=1(x>0).因为|AC|=6,所以|MB|+|MC|=|MC|+|MA|-2a≥|AC|-4=6-4,当且仅当A,M,C三点共线且M在A,C之间时,等号成立,所以这两条公路MB,MC的路程之和最短为(6-4)km.
5.12 [解析] 由双曲线-=1,可得a=,b=2,则c==3,因为P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|-|PF2|=2,可得|PF1|=4,|PF2|=2.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=
==,则sin∠F1PF2=,所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×4×2×=12.2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
1.A [解析] -=1可变形为-=1,因为方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以解得m<-2.故选A.
[易错点] 本题容易忽略焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点而致误.
2.A [解析] 由题意得双曲线的焦距为|F1F2|=2c=2=10.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=6,所以|PF2|=13或|PF2|=1,又因为|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=13.故选A.
3.D [解析] 因为双曲线E:-=1,所以a=4,b=3,c=5.不妨设P(m,n),m>0,n>0,由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|·n=20,其中|F1F2|=2c=10,则n=4,将n=4代入双曲线方程,可得m=.故选D.
4.A [解析] 将点P的坐标代入椭圆方程得+=1,解得m=4,所以椭圆的焦距为2=2.因为+=1表示双曲线,所以(n+1)(1-2n)<0,解得n>或n<-1.当n<-1时,双曲线的焦距为2=2,解得n=-2;当n>时,双曲线的焦距为2=2,解得n=2.综上所述,n=±2.故选A.
5.A [解析] 由双曲线C:-=1,可得a2=16,b2=25,则a=4,b=5,所以c==.设F'是双曲线C的右焦点,连接PF',如图,因为M,O分别为FP,FF'的中点,所以|MO|=|PF'|.在Rt△OFT中,可得|FT|==5.由双曲线的定义,可得|PF|-|PF'|=2a=8,所以|MO|-|MT|=|PF'|-|MF|+|FT|=(|PF'|-|PF|)+|FT|=-4+5=1.故选A.
6.C [解析] 设|AF2|=m,则|BF2|=2m,|BF1|=4m.由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a=2m,∴|AF1|=3m,a=m,∴m+2m+3m+4m=10,解得m=1.∵cos∠F1F2A+cos∠F1F2B=0,∴由余弦定理得+=0,解得c=,则双曲线C的焦距为.故选C.
7.C [解析] 圆(x+2)2+y2=2的圆心为A(-2,0),半径为;圆x2+y2-4x=0的圆心为B(2,0),半径为2.如图所示,设所求圆的圆心为C,半径为r,由图及已知条件易得r>2,所以|AC|=r+,|BC|=r-2,则|AC|-|BC|=+2,由双曲线的定义知,圆心C在以A,B为焦点的双曲线的右支上.故选C.
8.ACD [解析] 若C为椭圆,则解得m∈∪,故A中说法错误;若C为双曲线,则(9+m)(16-m)<0,解得m>16或m<-9,故B中说法正确;由解得-99.ABD [解析] 依题意知a=b=2,c=2.因为·=0,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=32.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=4①,等号两边平方得|PF1|2+-2|PF1|·|PF2|=16,即32-2|PF1|·|PF2|=16,解得|PF1|·|PF2|=8,故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=4,故D正确.设P的纵坐标为h,则△PF1F2的面积为|F1F2|·h=4,解得h=,故A正确.由(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=32+16=48,可得|PF1|+|PF2|=4②,则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+4,故C错误.由得|PF1|=2+2,故B正确.故选ABD.
10.-=1(y<0) [解析] 由题意得|CA|-|CB|=2×3=6<|AB|=8,所以C的轨迹是以A,B为焦点,且实轴长为6的双曲线的下支.由a=3,c=4,得b2=c2-a2=7,所以点C的轨迹方程为-=1(y<0).
11. [解析] 由题意可得m>4,n+1=m-4,则m-n=1,所以直线mx+ny=1过定点.
12.4+ [解析] 因为该双曲线的焦距为8,所以c=4,c2=16,即2m=16,则m=8,所以该双曲线的方程为-=1,所以a=2,F2(4,0).由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=4+|PF2|,则|PF1|+|PA|=4+|PF2|+|PA|,当P,A,F2三点共线(P在线段AF2上)时,|PF2|+|PA|取得最小值,最小值为|AF2|==,所以(|PF1|+|PA|)min=4+|AF2|=4+.
[技巧点拨] |PF1|-|PF2|=2a具有转化功能,可将其变形为|PF1|=2a+|PF2|,进而将问题转化为与|PF2|有关的问题.
13.解:(1)因为曲线C:-=1(m≠-3且m≠1)表示双曲线,
所以(3+m)(1-m)>0,解得-3(2)当m=0时,曲线C:-y2=1为双曲线.设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1.
因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0,可得s=,
故点P的横坐标为.
14.解:(1)设M(x,y).由题意得=,化简得-y2=1,
所以点M的轨迹方程是-y2=1.
(2)圆F3的圆心为F3(-3,0),半径r3=3,
圆F4的圆心为F4(3,0),半径r4=1.
因为|F3F4|=6>r3+r4,所以圆F3与圆F4外离.
设圆M的半径为R,由题意可得
所以|MF3|-|MF4|=2<|F3F4|,
所以圆心M的轨迹是以F3,F4分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设圆心M的轨迹方程为-=1(x>0,a>0,b>0),
由题意可得2a=2,则a=1,则b2=32-a2=8,
所以圆心M的轨迹方程为x2-=1(x>0).
15.C [解析] 由双曲线x2-=1,可得a=1,b=,则c==2.设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义,可得|m-n|=2a=2.在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2==,可得mn=.设点M的坐标为(xM,yM),则=mnsin∠F1MF2=×2c·|yM|.因为cos∠F1MF2=,所以sin∠F1MF2==,可得|yM|=2.由-=1,可得|xM|=,所以点M到y轴的距离为.故选C.
16.解:当k=1时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为2y2=4,解得y=±,
此时方程所表示的是两条平行直线.
当k=-时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为(1+)x2=4,解得x=±,
此时方程所表示的是两条平行直线.
当k=时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为(1-)x2=4,方程无解,
此时方程不表示任何曲线.
当k≠±且k≠1时,(1-k)x2+(3-k2)y2=4变形为+=1,
令解得-故当k∈(-,-1)∪(-1,1)时,方程所表示的曲线是椭圆.
令解得k=-1,故当k=-1时,方程所表示的曲线是圆.
令·<0,解得k<-或1故当k∈(-∞,-)∪(1,)时,方程所表示的曲线是双曲线.
令解得k>,故当k∈(,+∞)时,方程不表示任何曲线.
综上,当k=1或k=-时,方程所表示的是两条平行直线;
当k∈(-,-1)∪(-1,1)时,方程所表示的曲线是椭圆;
当k=-1时,方程所表示的曲线是圆;
当k∈(-∞,-)∪(1,)时,方程所表示的曲线是双曲线;
当k∈[,+∞)时,方程不表示任何曲线.2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
【学习目标】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;
2.掌握双曲线的标准方程及其求法;
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
◆ 知识点一 双曲线的定义
一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个 ,且2a<|F1F2|,则平面上满足||PF1|-|PF2||= 的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的 ,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
设F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,P为平面内一个动点.
(1)若2a<|F1F2|,则满足|PF1|-|PF2|=2a的动点P的轨迹称为双曲线. ( )
(2)若a=0,则满足|PF1|-|PF2|=2a的动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. ( )
(3)若2a=|F1F2|,则满足||PF1|-|PF2||=2a的动点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线.( )
(4)若2a>|F1F2|,则满足|PF1|-|PF2|=2a的动点P没有轨迹. ( )
◆ 知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 -=1( ) -=1( )
焦点
a,b,c的 关系 c2=
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),则满足||PF1|-|PF2||=6的动点P的轨迹是双曲线.( )
(2)在双曲线的标准方程中,a,b,c的关系是a2=b2+c2. ( )
(3)双曲线x2-=1的焦点在y轴上. ( )
(4)方程Ax2+By2=C表示双曲线的充要条件:ABC≠0,且AB<0.若AC>0,则焦点在x轴上;若AC<0,则焦点在y轴上. ( )
◆ 探究点一 双曲线定义的应用
例1 (1)若双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则该点到另一个焦点的距离为 ( )
A.22或2 B.7
C.22 D.2
(2)[2024·广西桂林高二期中] 已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,点Q(0,2),则|PQ|+|PF1|的最小值为 .
变式 (1)已知椭圆+y2=1和双曲线x2-=1(b>0)的公共焦点为F1,F2,椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P,则·= ( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-9
(2)若动点P的坐标(x,y)满足|-|=8,则点P的轨迹方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[素养小结]
双曲线上的一点P与其两个焦点F1,F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2=+-2r1r2cos θ.
(3)面积公式:=r1r2sin θ.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.
拓展 已知F1(-,0),F2(,0)分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线C右支上一点P满足·=4,·=-2,则|PF2|= ,双曲线C的标准方程为 .
◆ 探究点二 求双曲线的标准方程
[探索] 方程mx2+ny2=1(mn<0)表示的曲线是 .
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)c=6,焦点在x轴上,且过点A(-5,2);
(2)b=4,一个焦点的坐标是(-8,0);
(3)经过两点A(-7,-6),B(,-3).
变式 (1)与椭圆C:+=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1 B.y2-2x2=1
C.-=1 D.-x2=1
(2)已知双曲线过P,Q两点,求双曲线的标准方程.
[素养小结]
(1)求双曲线标准方程的两个关注点:
(2)待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤:
①定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种都有可能.
②设方程:根据焦点位置,设其方程为-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0),焦点位置不确定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn<0).
③寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组.
④得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可得标准方程.
提醒:求标准方程时,一定要先确定焦点在哪个坐标轴上,以便选取合适的形式.
◆ 探究点三 与双曲线有关的轨迹方程
例3 (1)设点A(-,0),B(,0),M为动点,已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值,则点M的轨迹方程是 ( )
A.-y2=1(y≠0) B.-x2=1(y≠0)
C.-y2=1(y≠0) D.-x2=1(y≠0)
(2)[2025·河南平顶山高二期中] 在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,0),其内切圆的圆心在直线x=1上,则顶点C的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x>1) B.x2-=1(x>1)
C.+=1(0变式 (1)已知点M(2,0),N(-2,0),动点P满足|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹方程为( )
A.-y2=1(x>0) B.-y2=1(x<0)
C.x2-=1(x>0) D.x2-=1(x<0)
(2)与圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在 ( )
A.椭圆上 B.双曲线的一支上
C.抛物线上 D.圆上
[素养小结]
求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,根据双曲线的定义,得出对应的方程.一般地,若一个动圆与两个定圆中的一个内切,另一个外切,则对应动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支;(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点是否都在所求双曲线上.
◆ 探究点四 双曲线的实际应用
例4 [2025·上海闵行中学高二期中] 如图,某苗圃有A,B两个入口,|AB|=100,欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的C处,已知|CA|=80,|CB|=88,以AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立平面直角坐标系.
(1)工人计划将树苗分别沿C-A-P和C-B-P两条折线段路线搬运至P(7,1)处,请判断哪条搬运路线较短 并说明理由.
(2)工人准备将C处的树苗运输到苗圃内的点P处,合理设计点P的位置,使得沿C-A-P和C-B-P两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点P的轨迹方程.
变式 某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C).A在B的正东方向,相距6 km;C在B的北偏西30°方向,相距4 km;P为航天员的着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,4 s后B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1 km/s,则在A地测得P的方位角为 ( )
A.北偏东30° B.北偏东60°
C.北偏西30° D.北偏西60°
[素养小结]
利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下:
(1)建立适当的坐标系;
(2)求出双曲线的标准方程;
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.
注意:①解答与双曲线有关的应用问题时,除了要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念外,还要注意双曲线定义的灵活应用.
②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
1.双曲线-=1的焦距为 ( )
A.3 B.4
C.3 D.4
2.若方程+=1表示双曲线,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3)∪(6,+∞)
B.(-3,6)
C.(-∞,-6)∪(3,+∞)
D.(-6,3)
3.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x>0) B.-=1
C.-=1(x>0) D.-=1
4.如图,B地在A地的正东方向6 km处,C地在A地的北偏东60°方向6 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则曲线PQ的方程是 ;现要在曲线PQ上选一点M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短为 km.
5.设F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积为 . 2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
一、选择题
★1.若方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2) B.(-2,-1)
C.(-2,2) D.(-1,1)
2.[2025·江苏常州高二期末] 已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,|PF1|=7,则|PF2|= ( )
A.13 B.10
C.1 D.13或1
3.已知点P是双曲线E:-=1的右支上的一点,F1,F2分别是双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则点P的横坐标为( )
A.2 B.4 C. D.
4.设m,n为实数,已知经过点P的椭圆+=1与双曲线+=1有相同的焦距,则n= ( )
A.±2 B.2 C.-2 D.4
5.[2025·湖南长沙高二期中] 如图,过双曲线C:-=1的左焦点F引圆x2+y2=16的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|= ( )
A.1 B. C. D.2
6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,|BF1|=2|BF2|=4|AF2|,△ABF1的周长为10,则双曲线C的焦距为 ( )
A.3 B. C. D.
7.与圆(x+2)2+y2=2外切,且与圆x2+y2-4x=0内切的圆的圆心在 ( )
A.直线上 B.圆上
C.双曲线的一支上 D.椭圆上
8.(多选题)已知方程+=1所表示的曲线为C,下列说法错误的是 ( )
A.若C为椭圆,则-9B.若C为双曲线,则m>16或m<-9
C.若C为椭圆,则焦距为定值
D.若C为双曲线,则焦距为定值
9.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P是C上一点,且位于第一象限,·=0,则 ( )
A.P的纵坐标为
B.|PF1|=2+2
C.△PF1F2的周长为4+4
D.△PF1F2的面积为4
二、填空题
10.如图,已知A(0,4),B(0,-4),从点C同时出发的两个质点M,N均以每秒2个单位的速度做匀速直线运动,M从C运动到A,N从C运动到B,且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒,则点C的轨迹方程为 .
11.[2025·重庆涪陵区高二期中] 已知椭圆+=1(m>0)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点,则直线mx+ny=1过定点 .
★12.已知双曲线-=1(m>0)的焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,点A的坐标为(1,2),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|+|PA|的最小值为 .
三、解答题
13.(13分)[2025·浙江绍兴上虞中学高二期中] 已知曲线C:-=1(m≠-3且m≠1).
(1)若曲线C表示双曲线,求m的取值范围;
(2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标.
14.(15分)[2025·吉林延边高二期末] (1)在平面直角坐标系xOy中,已知动点M到点F(2,0)的距离是到直线x=的距离的倍,求点M的轨迹方程.
(2)若动圆M与圆F3:(x+3)2+y2=9、圆F4:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
15.[2025·河北保定高二期末] 已知F1,F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点,O为坐标原点,M为双曲线上一点,且cos∠F1MF2=,则点M到y轴的距离为 ( )
A.2 B.
C. D.
16.(15分)试讨论方程(1-k)x2+(3-k2)y2=4(k∈R)所表示的曲线.
