(共72张PPT)
2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
探究点一 抛物线的定义及标准方程
探究点二 抛物线定义的应用
探究点三 抛物线的实际应用问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念;
2.掌握抛物线的标准方程及其推导;
3.理解抛物线标准方程中 的几何意义,并能解决简单的求抛物线
标准方程的问题.
知识点一 抛物线的定义
一般地，设是平面内的一个定点，是不过点 的一条定直线，则平
面上到的距离与到 的距离______的点的轨迹称为抛物线，其中定
点称为抛物线的______，定直线 称为抛物线的______.
相等
焦点
准线
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛物线的焦点到准线的距离是 .( )
√
（2）抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( )
√
（3）抛物线的焦点可以在准线上.( )
×
（4）若点到点的距离和到直线 的距离相等，
则点 的轨迹是抛物线.( )
×
知识点二 抛物线的标准方程
标准方程
图形 ________________________ ________________________ ____________________________ __________________________
焦点坐标
准线方程 ________ _______ ________ _ _____
__________________
焦点到准线的距离
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛物线的方程都是二次函数.( )
×
[解析] 错误.抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标
准方程为,对任意一个的值, 的值不唯一,所
以不是二次函数.
（2）原点到抛物线的准线的距离是 .( )
[解析] 错误.在抛物线的标准方程中,,焦点到准线的距离为 ，
原点到准线的距离为 .
×
（3）抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( )
√
[解析] 正确.一次项是 项时,一次项的系数大于0开口向右,一次项的
系数小于0开口向左;
一次项是 项时,一次项的系数大于0开口向上,一次项的系数小于0开
口向下.
（4）若抛物线的方程为，则焦点到准线的距离 .
( )
×
[解析] 错误.由抛物线知， .
2.（1）四种标准方程对应的抛物线的位置有何相同点
解：原点都在抛物线上;焦点在坐标轴上;准线与焦点在原点两侧,且
准线与其中一条坐标轴垂直.
（2）二次函数 是否是抛物线的标准方程？
解：二次函数 不是抛物线的标准方程，但可化为
，这就是抛物线的标准方程.
（3）已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
解：一次项变量为（或），则焦点在轴（或 轴）上.
若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上.
焦点确定，则开口方向也随之确定.焦点的横（或纵）坐标是（或 ）
一次项系数的 .
探究点一 抛物线的定义及标准方程
［探索］ 抛物线上的点到焦点的距离与到______的距离可以相互转化.
准线
例1（1）抛物线 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线的开口向下，焦点坐标为 .故选C.
√
（2）抛物线 的准线方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线方程可化为,故所求准线方程为 ,故选A.
√
（3）已知动圆与直线相切，且与定圆
外切，则动圆圆心 的轨迹方程为___________.
[解析] 设,由题意可得到的距离与到直线 的距
离相等.
由抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以 为焦点,
以为准线的一条抛物线,其方程为 .
变式（1）（多选题）［2024·吉林长春外国语学校高二期末］ 对抛
物线 ,下列说法正确的是( )
A.抛物线开口向左，焦点坐标为
B.抛物线开口向左，准线方程为
C.抛物线开口向下，准线方程为
D.抛物线开口向下，焦点坐标为
[解析] 抛物线的标准方程为 ，所以该抛物线的焦点坐标为
，准线方程为，其开口方向向下.故选 .
√
√
（2）［2025·河南南阳高二期中］已知为坐标原点， 为抛物线
的焦点，点在上，且 ，
则抛物线 的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由抛物线的定义可知，，
因为 ，，所以，解得.
由点在 上，得，
又，所以，所以抛物线 的方程为 .故选B.
√
［素养小结］
1.抛物线定义的应用:
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点
的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距
与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的
最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最
值问题.
2.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其步骤为:
（1）依据条件设出抛物线的标准方程;
（2）求参数 的值;
（3）确定抛物线的标准方程.
拓展 已知直线和直线 ，则抛物线
上的动点到直线和 的距离之和的最小值为_____.
[解析] 易知直线为抛物线 的准线，抛物线
的焦点为，
过点作于，作于 ，过作于，
由抛物线的定义可得 ，所以
，当,,三点共线且点在 ，之间时等号成立，
又，所以动点到直线和 的距离之和的最小值
为 .
探究点二 抛物线定义的应用
例2（1）［2025·浙江温州高二期末］已知是抛物线 的焦点，
抛物线的准线与轴交于点， 是抛物线上的一点，若
,则 的面积为( )
A.4 B. C.8 D.16
√
[解析] 易知,,则.
过点 作准线的垂线，垂足为，则，所以
，所以，所以，所以直线
的方程为.
由消去得，解得 ，所以，
所以 .故选C.
（2）［2025·河北石家庄高二期中］如图所示，
点是抛物线的焦点，点, 分别在抛物
线及圆 的实线部分上
运动，且总平行于轴，则 的周长的取
值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 过点作准线的垂线，垂足为 ，则 的周长为
，所以的周长的取值范围
为 .故选D.
.
由解得 所以
变式 已知，为抛物线的焦点，点 在抛物线上移动，
当取最小值时，点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以点 在抛物线的内部，
设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知 ，要求
的最小值，即求的最小值.
易知当,, 三点共线时，取得最小值，
在中，令，得 ，所以当取得最小值时，
点的坐标为 .故选A.
√
探究点三 抛物线的实际应用问题
例3（1）［2025·陕西渭南高二期中］如图①为一种卫星接收天线，
其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的
口径，深度，信号处理中心 位于焦点处，以顶点
为坐标原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，则焦点 的
坐标为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设抛物线方程为，显然点 在抛物线上，
所以，则，故焦点的坐标为 .故选B.
（2）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛
物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶
部在竖直方向上高度之差至少要有，已知隧道高，宽 ，
行车道总宽度 ，则车辆通过隧道的限制高度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以抛物线的顶点为原点，对称轴为 轴，
建立平面直角坐标系，如图，则 .
设抛物线方程为，将点 的
坐标代入抛物线方程，可得 ，则抛物线
方程为，行车道总宽度 ，
将代入抛物线方程，可得 ，
所以车辆通过隧道的限制高度为 .故选B.
变式 如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管的高为 ,水从喷头
喷出后呈抛物线状,先向上至最高点然后落下,若最高点距水面,
距抛物线的对称轴 ,则水池的直径至少应设计为多长
（精确到 ）
解：如图所示,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为 .
依题意知点在此抛物线上,可得
,故抛物线的方程为
又 在抛物线上,将代入抛物线
方程,可得 ,即,
则 ,
因此水池的直径至少应为,约为 ,即水池的直径至少应
设计为 .
［素养小结］
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线形问题，通常用抛物线的标准方
程解决，建立平面直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，
根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解.
1.抛物线 的准线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线是顶点在原点，开口向下的抛物线， ,
其准线方程为 .故选D.
√
2.若抛物线上的点到焦点的距离为12，则它到 轴的距离
是( )
A.6 B.8 C.9 D.10
[解析] 抛物线的焦点坐标为，准线方程为 ，
由到焦点的距离为12，可知到准线的距离也为12，故到 轴的
距离是8.故选B.
√
3.［2025·江苏扬州高二期中］如图是一座抛物线形的拱桥，当桥洞
内水面的宽为时，拱顶距离水面，当水面下降 后，桥洞
内水面的宽为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的
对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为，由题意可知点 在抛物线
上，所以，解得，所以抛物线的方程为
.
当时，，解得，所以当水面下降
后，桥洞内水面的宽为 .故选D.
4.若点满足方程，则点 的
轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
[解析] 等式左侧表示点与点 间的距离，等式右侧表示点
到直线的距离，
则点到点 的距离和到直线的距离相等，
且点 不在直线上，所以点 的轨迹为抛物线.故选D.
√
5.已知抛物线的焦点为，，是 上两点，
若，则 __.
[解析] 由题可知,，结合 ，得
,所以，
又, ，所以，
所以 .
参数 的意义：
（1） 表示焦点到准线的距离.
（2） 为常数.
（3） 值等于一次项系数绝对值的一半.
（4）准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的
距离等于一次项系数的绝对值的，即 .
1.抛物线标准方程的求法是先定位再定量,即先确定抛物线的位置再
求方程.
例1（1）已知抛物线的标准方程是 ,求它的焦点坐标和准线方程;
解：由题知,则抛物线的焦点坐标是,其准线方程是 .
（2）已知抛物线的焦点是 ,求它的标准方程.
解：由题知焦点在轴的负半轴上,且,解得 ，所以所求抛
物线的标准方程是 .
2.抛物线的定义与双曲线的定义、椭圆的定义不一样,注意区别.
例2 抛物线 的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C. D.
[解析] ,,即焦点到准线的距离为 ,故选B.
√
3.利用抛物线定义求轨迹（方程）.
例3 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线 上
的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点 的轨迹
方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，所以点的轨迹是以 为焦
点，直线为准线的抛物线，
由得 ，所以抛物线的方程为 ．故选A.
√
4.根据抛物线定义进行“到焦点的距离”与“到准线的距离”之间的转换，
进而求最大（小）值.
例4 已知点是抛物线上的动点，点，求点到点 的
距离与点 到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点
的距离.
易知当点，点和抛物线的焦点三点共线
在,之间 时，点到点的距离与点 到该抛物线准线的距离之
和最小，故所求的最小值为 .
练习册
一、选择题
1.抛物线 的准线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线的准线方程为 .故选D.
√
2.已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到 的距
离为4，则点到 轴的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 设，因为点到 的距离为4，所以
，解得 .故选A.
√
3.［2025·吉林长春高二期末］已知为坐标原点， 为抛物线
的焦点，为上一点，若，则点 的坐标为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为抛物线，所以 .
由抛物线的定义得，得 ，则
，所以点的坐标为 .故选D.
√
4.已知抛物线的焦点为，准线为，点 是抛物
线上一点，于点.若, ，则抛物线 的
方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接，设准线与轴的交点为 .
易知抛物线的焦点为，准线 .
由抛物线的定义可得，
又 ，所以 为等边三角形，
所以， ，
所以在 中，，解得，
所以抛物线 的方程为 .故选C.
5.［2025·江苏南京高二期中］抛物线的准线为，为 上
的动点，则点到与到直线 的距离之和的最小值为
( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线的焦点为.根据抛物线的定义可知，点到 的距
离等于,所以点到与到直线 的距离之和即为
与点到直线的距离之和.
与点 到直线的距离之和的最小值为焦点
到直线的距离，所以最小值为 .故选D.
√
6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽
车远光灯（如图）的纵断面是抛物线的一部分,光源
在抛物线的焦点处,若灯口直径是,灯深 ,则
光源到反光镜顶点的距离是( )
A. B. C. D.
[解析] 以抛物线的顶点（即反光镜顶点）为原点，抛物线的开口方
向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为, 灯口直径是,灯深,
点 在抛物线上，则，解得
,则 ,故光源到反光镜顶点的距离为 .
√
7.［2024·云南保山高二期末］“米”是象形字，数
学探究课上，某同学用抛物线
, 构造
了一个类似“米”字形的图案，如图所示.若抛物
线,的焦点分别为,，点在抛物线 上，
过点作轴的平行线交抛物线于点 ，若
，则 ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
√
[解析] 过点作 于点
,， ，
又点在抛物线上，
，.
在中， ,
，,解得 或
（舍去）.故选D.
8.（多选题）已知为抛物线的焦点， 为抛物线上的一点，
，则下列说法正确的是( )
A.焦点的坐标为 B.准线方程为
C.点的坐标为或 D.焦点到准线的距离为4
[解析] 由可知，即 ，所以抛物线的焦点为
，准线方程为 ，故A正确，B错误；
由抛物线定义可知，即，代入抛物线方程
可得 ，即，所以点的坐标为或 ，故C正确；
由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为，故D错误.故选 .
√
√
★9.（多选题）［2025·广西南宁二中高二月考］ 设拋物线
的焦点为，为上一动点， 为定点，则下列结论
正确的是( )
A.准线的方程是
B. 的最小值为4
C. 的最大值为5
D.以线段为直径的圆与 轴相切
[解析] 抛物线的焦点为，准线方程为 ，故A
错误；
√
√
过点作垂直于准线于点，则 ， 则
，当且仅当,, 共线时，取得最
小值，最小值为点 到准线的距离4，故B正确；
由，可得 ，当
且仅当,,共线时取等号，故的最大值为 ，故C错
误；
由，得线段的中点坐标为 ，因为
，所以，所以以线段
为直径的圆与轴相切，故D正确.故选 .
［技巧点拨］ 涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离的最
值问题，都可以应用抛物线的定义将其进行转化，一般地，满足点
共线时取得最值.
二、填空题
10.若抛物线的焦点恰好是双曲线 的右焦
点,则 ___.
6
[解析] 抛物线的焦点坐标为 .
在双曲线中,,,则 ,故双曲线
的右焦点的坐标为,则,解得 .
11.若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与 轴的
交点，为抛物线上一点，且， ，则此抛物线的
标准方程为_________________.
或
[解析] 设所求抛物线的标准方程为， ，由
题知．
因为，所以，
因为 ，所以，所以，
代入 中，得，解得或 ．
故所求抛物线的标准方程为或 ．
12.［2025·江西南昌高二期中］一个工业凹槽的截面是一条抛物线的
一部分，它的方程是, ，在凹槽内放入一个清洁钢
球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢
球的最大半径为___.
2
[解析] 设，是抛物线上任一点，显然 ，
由题得抛物线内以为圆心的圆能过原点且只有一个交点，则
的最小值是
，
所以当时，取得最小值.
若，则点 不可能是原点，即抛物线的顶点，不符合题意；
若，即 ，当时，，此时圆的
半径为， 的最大值是2.综上可得，清洁钢球的最大半径为2.
三、解答题
13.（13分）［2024·吉林长春二中高二期末］ 已知抛物线
经过点，是抛物线的焦点， 为坐标原
点， 且点 在抛物线上.
（1）求抛物线的标准方程；
解：把的坐标代入得，所以 ，故抛物
线的标准方程为 .
（2）求 .
解：过作垂直于准线，垂足为，过作，垂足为 ，
由抛物线定义知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以，所以 .
14.（15分）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路 和
的交点，假设一段铁路从点 出发，延曲线方向向东北无限延伸，
铁路上任意点到点正东方向0.5千米处的一车站与其到道路
的距离之差均为0.5千米（道路与铁路的宽度均忽略不计）.
（1）试建立合适的平面直角坐标系，求铁路所在曲线 的方程；
解：如图，以为原点，, 的方向分别
为, 轴的正方向建立平面直角坐标系，则
.
设点到道路的距离为 ，
由题得， ，
即点到直线的距离 ，
根据抛物线的定义知，曲线 的方程为
.
14.（15分）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路 和
的交点，假设一段铁路从点 出发，延曲线方向向东北无限延伸，
铁路上任意点到点正东方向0.5千米处的一车站与其到道路
的距离之差均为0.5千米（道路与铁路的宽度均忽略不计）.
（2）若在道路上位于点正东方向千
米处有一仓库 为常数，，为铁
路上任意一点，其到点的距离为
，求 的最小值，并求此时点到道路
的距离（单位：千米）.
解：由（1）得，设 ，则
当，即时， ，此时
点到道路 的距离为0千米.
， .
当，即时， ，此
时点到道路的距离为 千米；
15.如图所示，正方体 的棱
长为1，点在棱上，且，点 是平
面上的动点，且动点到直线 的距
离与点到点的距离的平方差为1，则动点
的轨迹是( )
A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
√
[解析] 如图所示，在正方体
中，作，垂足为，则 平面
，过作，垂足为，连接 ，
因为,所以 平面，则
为点到直线的距离.
连接 ，由题意得，，
所以，即 到点的距离等于到的距离，
根据抛物线的定义可得，点 的轨迹是抛物线，故选B.
★16.（15分）在平面直角坐标系中，已知动点到点 的距
离等于它到直线 的距离.
（1）求动点 的轨迹方程；
解：设，则 ，
整理得，即动点的轨迹方程为 .
（2）若过点的直线与动点的轨迹交于，两点，且 ，
求直线 的斜率.
解：由（1）得抛物线的准线方程为 .
设，在准线上的投影分别为，，过作于点 ，
因为，，，所以 .
设，则，，所以 ，所以
.
又直线的倾斜角可能等于，也可能等于 的补角，所以
直线的斜率为 .
［易错点］ 本题容易忽略直线 的倾斜角是锐角还是钝角，而导致丢解.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 相等 焦点 准线
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）×
知识点二 m>
焦点到准线的距离 【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.（1）略（2）略（3）略
课中探究 探究点一 ［探索］准线 例1（1）C （2）A （3）
变式（1）CD （2）B 拓展.
探究点二 例2.（1）C （2）D 变式 A
探究点三 例3（1）B （2）B 变式
课堂评价 1.D 2.B 3.D 4.D 5.
练习册
一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.AC ★9.BD
二、10.6 11.或 12.2
三、13.（1） （2）
14.（1）
（2）当时，点到道路的距离为千米；
当时，点到道路的距离为0千米.
思维探索 15.B
★16.（1） （2）2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
【课前预习】
知识点一
相等 焦点 准线
诊断分析 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
知识点二
x=-
x= y=- y= 焦点到准线的距离
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)错误.抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),对任意一个x(x≠0)的值,y的值不唯一,所以不是二次函数.
(2)错误.在抛物线的标准方程中,p>0,焦点到准线的距离为p,原点到准线的距离为.
(3)正确.一次项是x项时,一次项的系数大于0开口向右,一次项的系数小于0开口向左;一次项是y项时,一次项的系数大于0开口向上,一次项的系数小于0开口向下.
(4)错误.由抛物线y2=-4x知,p=2.
2.解:(1)原点都在抛物线上;焦点在坐标轴上;准线与焦点在原点两侧,且准线与其中一条坐标轴垂直.
(2)二次函数y=ax2(a≠0)不是抛物线的标准方程,但可化为x2=y,这就是抛物线的标准方程.
(3)一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正,则焦点在正半轴上;若系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,则开口方向也随之确定.焦点的横(或纵)坐标是x(或y)一次项系数的.
【课中探究】
探究点一
探索 准线
例1 (1)C (2)A (3)x2=-12y [解析] (1)抛物线x2=-4y的开口向下,焦点坐标为(0,-1).故选C.
(2)抛物线方程可化为x2=-4y,故所求准线方程为y=1,故选A.
(3)设M(x,y),由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
变式 (1)CD (2)B [解析] (1)抛物线的标准方程为x2=-y,所以该抛物线的焦点坐标为,准线方程为y=,其开口方向向下.故选CD.
(2)由抛物线的定义可知,|MF|=x0+,因为2|OF|=p,|MF|=2|OF|,所以x0+=p,解得x0=.由点M(x0,4)在C上,得16=2px0=p2,又p>0,所以p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.故选B.
拓展 3 [解析] 易知直线l2:x+1=0为抛物线y2=4x的准线,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),过点P作PH⊥l2于H,作PM⊥l1于M,过F作FN⊥l1于N,由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,所以|PH|+|PM|=|PF|+|PM|≥|FN|,当F,P,N三点共线且点P在F,N之间时等号成立,又|FN|==3,所以动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为3.
探究点二
例2 (1)C (2)D [解析] (1)易知F(2,0),K(-2,0),则|FK|=4.过点A作准线的垂线,垂足为M,则|AM|=|AF|,所以|AK|=|AM|,所以cos∠MAK==,所以∠MAK=,所以直线AK的方程为y=x+2.由消去y得x2-4x+4=0,解得x=2,所以A(2,4),所以S△AFK=×4×4=8.故选C.
(2)过点A作准线x=-1的垂线,垂足为E,则△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=|AB|+|AE|+4=|BE|+4=xB+5.由解得所以3变式 A [解析] 因为4×5=20>42=16,所以点A在抛物线的内部,设点P在准线l上的射影为B,由抛物线的定义可知|PB|=|PF|,要求|PA|+|PF|的最小值,即求|PB|+|PA|的最小值.易知当P,A,B三点共线时,|PB|+|PA|取得最小值,在y2=4x中,令y=4,得x=4,所以当|PA|+|PF|取得最小值时,点P的坐标为(4,4).故选A.
探究点三
例3 (1)B (2)B [解析] (1)设抛物线方程为y2=2px(p>0),显然点(1,3)在抛物线上,所以2p=9,则=,故焦点F的坐标为.故选B.
(2)以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则C(4,-4).设抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点C的坐标代入抛物线方程,可得p=2,则抛物线方程为x2=-4y,行车道总宽度AB=6 m,将x=3代入抛物线方程,可得y=-2.25 m,所以车辆通过隧道的限制高度为6-2.25-0.5=3.25(m).故选B.
变式 解:如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意知点P(-1,-1)在此抛物线上,可得p=,故抛物线的方程为x2=-y.又B在抛物线上,将(x,-2)(x>0)代入抛物线方程,可得x=,即|AB|=,则|O'B|=|O'A|+|AB|=+1,因此水池的直径至少应为2(1+)m,约为5 m,即水池的直径至少应设计为5 m.
【课堂评价】
1.D [解析] 抛物线x2=-2y是顶点在原点,开口向下的抛物线,2p=2,其准线方程为y==.故选D.
2.B [解析] 抛物线y2=16x的焦点坐标为(4,0),准线方程为x=-4,由M到焦点的距离为12,可知M到准线的距离也为12,故M到y轴的距离是8.故选B.
3.D [解析] 以抛物线的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴,过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由题意可知点(8,-4)在抛物线上,所以64=-2p×(-4),解得p=8,所以抛物线的方程为x2=-16y.当y=-5时,x2=-16×(-5),解得x=±4,所以当水面下降1 m后,桥洞内水面的宽为8 m.故选D.
4.D [解析] 等式左侧表示点P(x,y)与点(1,2)间的距离,等式右侧表示点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离,则点P(x,y)到点(1,2)的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等,且点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以点P的轨迹为抛物线.故选D.
5. [解析] 由题可知=4x1,=4x2,结合-2=4,得4x2-8x1=4,所以x2=2x1+1,又|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|BF|=2(x1+1)=2|AF|,所以=.2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
1.D [解析] 抛物线x2=-16y的准线方程为y=4.故选D.
2.A [解析] 设A(x0,y0),因为点A到F的距离为4,所以|AF|=x0+=x0+=x0+2=4,解得x0=2.故选A.
3.D [解析] 因为抛物线C:y2=4x,所以=.由抛物线的定义得|PF|=xP+=xP+=2,得xP=,则yP=±=±2,所以点P的坐标为(,±2).故选D.
4.C [解析] 连接DF,设准线与x轴的交点为M.易知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-.由抛物线的定义可得|AF|=|AD|,又∠DAF=60°,所以△DAF为等边三角形,所以|DF|=|AF|=2,∠DFM=60°,所以在Rt△DFM中,|DF|=2|MF|=2p=2,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.故选C.
5.D [解析] 抛物线的焦点为F(0,1).根据抛物线的定义可知,点M到l的距离等于|MF|,所以点M到l与到直线2x-y-5=0的距离之和即为|MF|与点M到直线2x-y-5=0的距离之和.|MF|与点M到直线2x-y-5=0的距离之和的最小值为焦点F(0,1)到直线2x-y-5=0的距离,所以最小值为=.故选D.
6.A [解析] 以抛物线的顶点(即反光镜顶点)为原点,抛物线的开口方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为y2=2px(p>0),∵灯口直径是20 cm,灯深10 cm,∴点(10,10)在抛物线y2=2px(p>0)上,则100=2p×10,解得p=5,则=2.5,故光源到反光镜顶点的距离为2.5 cm.
7.D [解析] 过点P作PM⊥F1F2于点M.∵|PF1|=2|PQ|=8,∴|OM|=2,∴xP=-2,又点P在抛物线C1:y2=-2px(p>0)上,∴=4p,∴|PM|=2.在Rt△PMF1中,|MF1|=-2,∵|PM|2+=,∴(2)2+=82,解得p=12或p=-20(舍去).故选D.
8.AC [解析] 由y2=4x可知2p=4,即p=2,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A正确,B错误;由抛物线定义可知|AF|=xA-(-1)=2,即xA=1,代入抛物线方程可得=4,即yA=±2,所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2),故C正确;由抛物线方程可知,焦点到准线的距离为p=2,故D错误.故选AC.
9.BD [解析] 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A错误;过点M作MA垂直于准线于点A,则|MF|=|MA|,则|ME|+|MF|=|ME|+|MA|≥|AE|,当且仅当E,M,A共线时,|ME|+|MF|取得最小值,最小值为点E到准线的距离4,故B正确;由||ME|-|MF||≤|EF|=,可得-≤|ME|-|MF|≤,当且仅当E,F,M共线时取等号,故|ME|-|MF|的最大值为,故C错误;由M,得线段MF的中点坐标为,因为|MF|==+1,所以=,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选BD.
[技巧点拨] 涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离的最值问题,都可以应用抛物线的定义将其进行转化,一般地,满足点共线时取得最值.
10.6 [解析] 抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为.在双曲线-=1中,a2=5,b2=4,则c==3,故双曲线-=1的右焦点的坐标为(3,0),则=3,解得p=6.
11.x2=4y或x2=8y [解析] 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),A(x0,y0),由题知M.因为|AF|=3,所以y0+=3,因为|AM|=,所以+=17,所以=8,代入=2py0中,得8=2p,解得p=2或p=4.故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
12.2 [解析] 设A(0,b)(b>0),P(x,y)是抛物线上任一点,显然y≥0,由题得抛物线内以A为圆心的圆能过原点O且只有一个交点,则|PA|的最小值是|OA|.|PA|====,所以当y=b-2时,|PA|取得最小值.若b-2>0,则点P不可能是原点,即抛物线的顶点,不符合题意;若b-2≤0,即013.解:(1)把A(2,2)的坐标代入y2=2px得8=4p,所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)过M作MN垂直于准线,垂足为N,过F作FK⊥MN,垂足为K,
由抛物线定义知|MN|=|MF|,所以|MF|=|MK|+|KN|,因为∠OFM=120°,所以|MK|=|MF|,
又|KN|=2|OF|=2,所以|MF|=|MF|+2,所以|MF|=4.
14.解:(1)如图,以A为原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则F.设点B到道路MN的距离为d2,
由题得,|BF|-d2=,即点B到直线x=-的距离d1=|BF|,
根据抛物线的定义知,曲线AB的方程为y2=2x(y≥0).
(2)由(1)得T(t,0),设B(x0,y0),则d===,x0≥0.
当t-1≥0,即t≥1时,dmin=,此时点B到道路MN的距离为(t-1)千米;
当t-1<0,即015.B [解析] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作PQ⊥AD,垂足为Q,则PQ⊥平面ADD1A1,过Q作QR⊥A1D1,垂足为R,连接PR,因为PQ∩QR=Q,所以A1D1⊥平面PQR,则PR为点P到直线A1D1的距离.连接PM,由题意得PR2-PQ2=RQ2=1,PR2-PM2=1,所以PQ=PM,即P到点M的距离等于P到AD的距离,根据抛物线的定义可得,点P的轨迹是抛物线,故选B.
16.解:(1)设P(x,y),则=|x+1|,
整理得y2=4x,即动点P的轨迹方程为y2=4x.
(2)由(1)得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.
设A,B在准线上的投影分别为A1,B1,过B作BH⊥AA1于点H,
因为|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,=2,所以|AA1|=2|BB1|.
设|BB1|=x,则|AB|=3x,|AH|=x,所以|BH|=2x,所以tan∠BAH==2.
又直线l的倾斜角可能等于∠BAH,也可能等于∠BAH的补角,所以直线l的斜率为±2.
[易错点] 本题容易忽略直线l的倾斜角是锐角还是钝角,而导致丢解.2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
【学习目标】
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念;
2.掌握抛物线的标准方程及其推导;
3.理解抛物线标准方程中p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.
◆ 知识点一 抛物线的定义
一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离 的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的 ,定直线l称为抛物线的 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线的焦点到准线的距离是p. ( )
(2)抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1. ( )
(3)抛物线的焦点可以在准线上. ( )
(4)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线.( )
◆ 知识点二 抛物线的标准方程
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
焦点 坐标 F F F F
准线 方程
p的几 何意义
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数. ( )
(2)原点到抛物线的准线的距离是p. ( )
(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( )
(4)若抛物线的方程为y2=-4x,则焦点到准线的距离p=-2. ( )
2.(1)四种标准方程对应的抛物线的位置有何相同点
(2)二次函数y=ax2(a≠0)是否是抛物线的标准方程
(3)已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向
◆ 探究点一 抛物线的定义及标准方程
[探索] 抛物线上的点到焦点的距离与到 的距离可以相互转化.
例1 (1)抛物线x2=-4y的焦点坐标为 ( )
A. B.(-1,0)
C.(0,-1) D.
(2)抛物线y=-x2的准线方程是 ( )
A.y=1 B.y=2
C.x=-1 D.x=-2
(3)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
变式 (1)(多选题)[2024·吉林长春外国语学校高二期末] 对抛物线y=-4x2,下列说法正确的是 ( )
A.抛物线开口向左,焦点坐标为(-1,0)
B.抛物线开口向左,准线方程为x=1
C.抛物线开口向下,准线方程为y=
D.抛物线开口向下,焦点坐标为
(2)[2025·河南南阳高二期中] 已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,4)在C上,且|MF|=2|OF|,则抛物线C的方程为 ( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=2 x D.y2=x
[素养小结]
1.抛物线定义的应用:
(1)实现距离转化,根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题,在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
2.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其步骤为:
(1)依据条件设出抛物线的标准方程;
(2)求参数p的值;
(3)确定抛物线的标准方程.
拓展 已知直线l1:x-2y-16=0和直线l2:x+1=0,则抛物线y2=4x上的动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为 .
◆ 探究点二 抛物线定义的应用
例2 (1)[2025·浙江温州高二期末] 已知F是抛物线y2=8x的焦点,抛物线的准线与x轴交于点K,A是抛物线上的一点,若|AK|=|AF|,则△AFK的面积为 ( )
A.4 B.4
C.8 D.16
(2)[2025·河北石家庄高二期中] 如图所示,点F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是( )
A.[8,10] B.(5,8)
C.(10,12) D.(8,10)
变式 已知A(5,4),F为抛物线y2=4x的焦点,点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取最小值时,点P的坐标为 ( )
A.(4,4) B.(1,2)
C.(5,2) D.(2,2)
◆ 探究点三 抛物线的实际应用问题
例3 (1)[2025·陕西渭南高二期中] 如图①为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径|AB|=6,深度|MO|=1,信号处理中心F位于焦点处,以顶点O为坐标原点,建立如图②所示的平面直角坐标系xOy,则焦点F的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
(2)如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一个长方形和抛物线构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m,已知隧道高6 m,宽8 m,行车道总宽度AB=6 m,则车辆通过隧道的限制高度为 ( )
A.2.25 m B.3.25 m
C.3.5 m D.3.75 m
变式 如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O'P的高为1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点然后落下,若最高点距水面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多长 (精确到1 m)
[素养小结]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线形问题,通常用抛物线的标准方程解决,建立平面直角坐标系后,要结合点的位置分析坐标的符号,根据实际问题中的数据准确写出点的坐标,再结合实际问题求解.
1.抛物线x2=-2y的准线方程为 ( )
A.x= B.x=-
C.y=- D.y=
2.若抛物线y2=16x上的点M到焦点的距离为12,则它到y轴的距离是 ( )
A.6 B.8
C.9 D.10
3.[2025·江苏扬州高二期中] 如图是一座抛物线形的拱桥,当桥洞内水面的宽为16 m时,拱顶距离水面4 m,当水面下降1 m后,桥洞内水面的宽为 ( )
A.4 m B.4 m
C.8 m D.8 m
4.若点P(x,y)满足方程=,则点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两点,若-2=4,则= . 2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
一、选择题
1.抛物线x2=-16y的准线方程为 ( )
A.x=4 B.x=-4
C.y=-4 D.y=4
2.已知点F是抛物线C:y2=8x的焦点,若抛物线C上的点A到F的距离为4,则点A到y轴的距离为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.[2025·吉林长春高二期末] 已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=2,则点P的坐标为 ( )
A.(2,±4) B.(±2,4)
C.(±,2) D.(,±2)
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A是抛物线C上一点,AD⊥l于点D.若|AF|=2,∠DAF=60°,则抛物线C的方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=2x D.y2=x
5.[2025·江苏南京高二期中] 抛物线C:x2=4y的准线为l,M为C上的动点,则点M到l与到直线2x-y-5=0的距离之和的最小值为( )
A. B.
C. D.
6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
A.2.5 cm B.3.5 cm
C.4.5 cm D.5.5 cm
7.[2024·云南保山高二期末] “米”是象形字,数学探究课上,某同学用抛物线C1:y2=-2px(p>0),C2:y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案,如图所示.若抛物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在抛物线C1上,过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=2|PQ|=8,则p= ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
8.(多选题)已知F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上的一点,|AF|=2,则下列说法正确的是 ( )
A.焦点F的坐标为(1,0)
B.准线方程为y=-1
C.点A的坐标为(1,2)或(1,-2)
D.焦点到准线的距离为4
★9.(多选题)[2025·广西南宁二中高二月考] 设拋物线C:y2=4x的焦点为F,M为C上一动点,E(3,1)为定点,则下列结论正确的是 ( )
A.准线l的方程是x=-2
B.|ME|+|MF|的最小值为4
C.|ME|-|MF|的最大值为5
D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
二、填空题
10.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是双曲线-=1的右焦点,则p= .
11.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,则此抛物线的标准方程为 .
12.[2025·江西南昌高二期中] 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=4y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为 .
三、解答题
13.(13分)[2024·吉林长春二中高二期末] 已知抛物线y2=2px(p>0)经过点A(2,2),F是抛物线的焦点,O为坐标原点,∠OFM=120°且点M在抛物线上.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)求|FM|.
14.(15分)如图,点A是东西和南北走向两条相互垂直的道路CD和MN的交点,假设一段铁路从点A出发,延曲线方向向东北无限延伸,铁路上任意点B到点A正东方向0.5千米处的一车站F与其到道路MN的距离之差均为0.5千米(道路与铁路的宽度均忽略不计).
(1)试建立合适的平面直角坐标系,求铁路所在曲线AB的方程;
(2)若在道路CD上位于点A正东方向t千米处有一仓库T(t为常数,t>0),B为铁路上任意一点,其到点T的距离为|BT|=d,求d的最小值,并求此时点B到道路MN的距离(单位:千米).
15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.抛物线
C.双曲线 D.直线
★16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若过点F的直线l与动点P的轨迹交于A,B两点,且=2,求直线l的斜率.
