阶段素养测评卷(一)
第二章2.1~2.3
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知△ABC的三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为 ( )
A.x-13y+5=0 B.x+13y+5=0
C.2x-13y-5=0 D.x+5y-1=0
2.将一张坐标纸折叠一次,使点A(2,0)与B(-6,8)重合,则折痕所在直线的方程为 ( )
A.x-y-6=0 B.x+y+6=0
C.x+y-6=0 D.x-y+6=0
3.若圆x2+(y+1)2=1与圆x2+y2-4mx+4m2-4=0有且仅有一条公切线,则实数m的值为( )
A.-1 B.1
C.±1 D.0
4.若圆C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
5.若直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
6.若P为直线l:x-y+1=0上的动点,A(-1,-1),B在圆C:(x-1)2+y2=1上,则|PA|+|PB|的最小值为 ( )
A.2 B.3
C.-1 D.2
7.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,若O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是 ( )
A.(x-2)2+(y-1)2=5
B.(x-4)2+(y-2)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5
D.(x+4)2+(y+2)2=20
8.[2025·江西九江高二期中] 已知-3≤t≤2,点P(t-2,2t+3),点Q(3+2cos θ,1+2sin θ),则|PQ|的最小值为 ( )
A.2-2 B.-2
C.-2 D.-2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:x-by+2=0,则下列说法正确的是 ( )
A.若l1⊥l2,则=-3
B.若l1∥l2,则ab=3
C.若l1与两坐标轴围成的三角形面积为1,则a=±
D.当b<0时,l2不经过第一象限
10.[2025·安徽合肥一中高二期末] 已知直线l:x=ty-2,圆C:x2+y2-4x-4=0,则下列说法正确的有 ( )
A.若t=1,则l与圆C相切
B.若l与圆C相交,则-1C.圆C可能关于l对称
D.若t=,则l被圆C截得的弦长为4
11.已知点M(2,1),N(2,-1),若在直线l:kx-y+1=0上存在点P满足·=0,则k的值可能为 ( )
A.-3 B.-2
C.0 D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.过直线l1:y=-x+和l2:3x-y=0的交点并且与原点的距离为1的直线l的方程为 .
13.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:y=kx的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是 .
14.已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知△ABC的顶点A(4,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x+2y-2=0.求:
(1)顶点C的坐标;
(2)点B到直线AC的距离.
16.(15分)[2025·江苏南通高二期中] 已知圆C的圆心在第一象限,与x轴相切,与y轴交于A,B两点,且∠ACB=120°,|OC|=,点P(0,-2)在斜率为k的直线l上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线l与圆C交于M,N两点,且|MN|=,求直线l的方程;
(3)若存在圆心在直线l上,半径为1的圆D与圆C外切,求k的取值范围.
17.(15分)已知圆E:x2+(y+1)2=4.
(1)求过点D(3,-3)且与圆E相切的直线方程;
(2)求圆心在直线2x-y=0上,且经过圆E与圆Q:(x-2)2+(y-1)2=4的交点的圆的方程;
(3)已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点,点P在圆E上运动,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值.
18.(17分)[2025·广东湛江高二期中] 如图,某省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD(含边界和内部,A为坐标原点),AD长10米,在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗,在距A点2米的E处放一个机器人,机器人行走速度为v,电子狗行走速度为2v,若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M,那么电子狗将被机器人捕获,点M叫“成功点”.
(1)求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程;
(2)若P为矩形场地AD边上的一点,电子狗在线段FP上总能逃脱,求|AP|的取值范围.
19.(17分)已知圆O:x2+y2=4,点P为直线l:x+y-8=0上的一个动点,过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.
(1)若点P的坐标为(2,6),求直线PA,PB的方程;
(2)求证:直线AB恒过定点Q,并求出点Q的坐标.阶段素养测评卷(一)
1.B [解析] 由题得BC边的中点坐标为,即,故BC边上的中线所在直线的斜率为=-,故BC边上的中线所在直线的方程为y=-(x+5),即x+13y+5=0.故选B.
2.D [解析] 线段AB的中点坐标为(-2,4),又kAB==-1,所以折痕所在直线的斜率为1,故折痕所在直线的方程为y-4=1×(x+2),即x-y+6=0.故选D.
3.D [解析] 圆x2+y2-4mx+4m2-4=0的标准方程为(x-2m)2+y2=4,其圆心坐标为(2m,0),半径为2,圆x2+(y+1)2=1的圆心坐标为(0,-1),半径为1.因为圆x2+(y+1)2=1与圆x2+y2-4mx+4m2-4=0有且仅有一条公切线,所以两圆的位置关系为内切,所以=2-1,解得m=0.故选D.
4.D [解析] 由题意,圆C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4,圆心坐标为(-a,2a),半径为2,∵圆C上所有的点均在第二象限内,∴解得a>2,∴实数a的取值范围为(2,+∞).故选D.
5.B [解析] 由解得因为直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,所以解得-6.D [解析] 设点A(-1,-1)关于直线x-y+1=0对称的点为A'(x,y),则解得即A'(-2,0).圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|PA'|+|PC|-1≥|A'C|-1,当且仅当P,A',B,C四点共线,且B在线段A'C上时,|PA|+|PB|取得最小值,最小值为|A'C|-1=3-1=2.故选D.
7.A [解析] 由题意知,OA⊥PA,BO⊥PB,所以四边形AOBP的四个顶点在以OP为直径的圆上,因为OP的中点坐标为(2,1),OP=2,所以四边形AOBP的外接圆的方程为 (x-2)2+(y-1)2=5,即△OAB的外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A.
8.D [解析] 设P(x1,y1),则消去t得2x1-y1+7=0,因为-3≤t≤2,所以-5≤x1≤0,所以点P在线段2x-y+7=0(-5≤x≤0)上运动.设Q(x2,y2),则由sin2θ+cos2θ=1,得(x2-3)2+(y2-1)2=4,所以点Q在圆(x-3)2+(y-1)2=4上运动,圆心为C(3,1),半径r=2.易知过点C(3,1)且垂直于直线2x-y+7=0的直线方程为x+2y-5=0,设直线2x-y+7=0与直线x+2y-5=0交于点M,由解得所以M,因为点M在线段2x-y+7=0(-5≤x≤0)上,所以圆心C到线段2x-y+7=0(-5≤x≤0)上的点的距离的最小值即为圆心C到直线2x-y+7=0的距离d==,所以|PQ|的最小值为d-r=-2.故选D.
9.BCD [解析] 对于A,当l1⊥l2时,a+3b=0,解得=-3或a=b=0,故A错误;对于B,当l1∥l2时,-ab+3=0,解得ab=3,故B正确;对于C,易知a≠0,在ax-3y+1=0中,令x=0,得y=,令y=0,得x=-,所以l1与两坐标轴围成的三角形的面积S=××=1,解得a=±,故C正确;对于D,将l2的方程化成斜截式为y=x+,当b<0时,l2不经过第一象限,故D正确.故选BCD.
10.AD [解析] 直线l过定点(-2,0),圆C的标准方程为(x-2)2+y2=8,所以圆心为C(2,0),半径为2.对于A,若t=1,则圆心C(2,0)到直线x-y+2=0的距离d==2,所以l与圆C相切,故A正确;对于B,由圆心C(2,0)到直线x-ty+2=0的距离为<2,解得t>1或t<-1,故B错误;对于C,将点C的坐标代入l的方程,得2=t×0-2,不成立,故l不能经过圆心C,则圆C不可能关于l对称,故C 错误;对于D,若t=,则圆心C(2,0)到直线x-y+2=0的距离为=2,则弦长为2=4,故D正确.故选AD.
11.BCD [解析] 因为点P满足·=0,所以PM⊥PN,所以点P在以线段MN为直径的圆上,以线段MN为直径的圆的圆心是(2,0),半径为1,因为点P在直线l:kx-y+1=0上,所以该圆与直线l有交点,所以圆心到直线l的距离≤1,整理得3k2+4k-4≤0,解得-2≤k≤.故选BCD.
12.x=1或4x-3y+5=0 [解析] 设直线l1和l2的交点为A,由解得所以A(1,3).当直线l的斜率不存在时,此时直线l:x=1,符合题意;当直线l的斜率存在时,设其直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则原点到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为4x-3y+5=0.综上,直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0.
13.[2-,2+] [解析] 圆x2+y2-4x-4y-10=0的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=18,其圆心坐标为(2,2),半径r=3.若圆上恰有三个不同的点到直线l:y=kx的距离为2,则需满足圆心到直线l的距离为,即=,解得k=2±.当2-14.[2,6] [解析] 由题可得,圆C:x2+y2-6x+6y=0的圆心为C(3,-3),半径r=3.直线l:(m-1)x+2y+3-m=0,即m(x-1)+2y-x+3=0,可得直线l恒过定点P(1,-1),因为12+(-1)2-6-6<0,所以定点P在圆C内部.设圆心C到直线l的距离为d,则弦长|AB|=2.当d=0时,弦长|AB|最大,即过点P的最长弦长为圆C的直径2r=6;当d最大时,d=|PC|==2,此时弦长|AB|最小,|AB|=2=2.综上,线段AB的长度的取值范围为[2,6].
15.解:(1)设C(m,n),∵AB边上的中线CM所在直线的方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x+2y-2=0,
∴解得∴C(3,0).
(2)设B(a,b),则解得∴B,
∵直线AC的方程为=,即2x-y-6=0,
∴点B到直线AC的距离d==.
16.解:(1)设圆C:(x-a)2+(y-b)2=b2(a>0,b>0),
根据题意,可得解得
所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
(2)由题知直线l:y=kx-2,则圆心C(1,2)到直线l的距离d==,因为|MN|=,所以+=4,即k2-40k+76=0,解得k=2或k=38,所以直线l的方程为y=2x-2或y=38x-2.
(3)若存在圆D与圆C外切,则存在点D使得|CD|=3,
因为点C到直线l的距离d=,所以|CD|≥,
所以≤3,即8k2+8k-7≥0,解得k≥或k≤-.
17.解:(1)当直线的斜率存在时,设切线的斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-3),即kx-y-3k-3=0,
∵圆心E(0,-1)到切线的距离等于半径2,∴=2,整理得5k2+12k=0,解得k=0或k=-,∴所求切线的方程为y+3=0或12x+5y-21=0.
当直线的斜率不存在时,方程为x=3,此时直线与圆不相切,不满足题意.
综上,所求直线方程为y+3=0或12x+5y-21=0.
(2)由解得或
∴圆E与圆Q的交点为M(0,1),N(2,-1),
线段MN的垂直平分线的方程为x-y-1=0,设所求圆的圆心为F(a,b),半径为r.
由解得∴圆心为F(-1,-2),r=|FM|=.
∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(3)设P(x,y),∵A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),∴|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3x2+3y2-4y+68.
∵点P在圆x2+(y+1)2=4上运动,且-3≤y≤1,∴3x2+3y2-4y+68=-10y+77,∴当y=-3时,|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最大值107,
当y=1时,|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最小值67.
18.解:(1)由题可知E(0,2),F(0,4),设成功点M(x,y)(0≤x≤10).
依题意,==2,即|FM|=2|EM|,
则=2,化简得x2+=,
所以这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程是x2+=.
(2)由(1)知,点M的轨迹是以为圆心,为半径的右半圆,
由电子狗在线段FP上总能逃脱,得直线FP与点M的轨迹在y轴右侧相离,
此时直线FP的斜率k<0,方程为y=kx+4,即kx-y+4=0.
由>,得k2<3,所以-=,又|AP|≤10,所以|AP|的取值范围是.
19.解:(1)当切线的斜率不存在时,切线方程为x=2,满足题意.当切线斜率存在时,设为k,则切线的方程为y-6=k(x-2),即kx-y+6-2k=0,因为切线与圆O相切,所以=2,解得k=,此时切线方程为4x-3y+10=0.
(2)设P(x0,y0),因为点P为直线l:x+y-8=0上一动点,所以x0+y0-8=0.因为PA,PB为圆O的切线,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以A,B在以OP为直径的圆上,设为圆M,则AB是圆M与圆O的公共弦所在的直线,设E(x,y)为圆M上的一点,则·=0,即圆M:x(x-x0)+y(y-y0)=0.
由得直线AB的方程为x·x0+y·y0=4,
由x0+y0-8=0,得y0=8-x0,代入直线AB的方程得x·x0+y·(8-x0)=4,化简得x0(x-y)+8y-4=0,
令得所以直线AB过定点Q.
