(共57张PPT)
1.1 直线的斜率与倾斜角
探究点一 直线的斜率
探究点二 直线的倾斜角
探究点三 直线倾斜角与斜率的关系及简
单应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念及它们之间的关系.
2.掌握过两点的直线的斜率计算公式.
3.了解直线的倾斜角的取值范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率.
4.通过对斜率和倾斜角的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养．
知识点一 直线的斜率
对于直线上的任意两点，，如果 ，那么直
线的斜率______；如果,那么直线 的斜率________.
提示：对于与轴不垂直的直线 ，它的斜率也可以看作
.
不存在
知识点二 直线的倾斜角
定义 规定
范围 逆时针
最小正角
0
知识点三 直线的倾斜角与斜率的关系
设直线的倾斜角为 ,斜率为 .
直线情形
0 0
从左下方向右上 方倾斜
不存在 不存在
从左上方向右下 方倾斜
提示：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应.( )
×
（2）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．( )
×
（3）当直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;当直线的倾斜角是
钝角时,直线的斜率为负.( )
√
2.直线的倾斜角越大，它的斜率越大吗？
解：不是.当直线的倾斜角 时，直线的斜率不小于0，
越大，直线的斜率越大；
当 时，直线的斜率小于0， 越大，直线的斜率越大；
当直线的倾斜角 为时，直线 的斜率不存在.
探究点一 直线的斜率
例1 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求
出该直线的斜率.
（1）， ；
解：存在，直线的斜率为 .
（2）， ；
解：存在，直线的斜率为 .
（3）， .
解：当时，直线的斜率不存在；当时，直线 的斜率
存在，为 .
变式 已知, .
（1）求直线 的斜率；
解：因为,，所以 .
（2）设为轴上一点，若直线的斜率是直线 的斜率的2倍，
求 的坐标；
解：设，因为,，所以， .
又直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以 ，解得
，即的坐标为 .
（3）设为轴上一点，且,,三点共线，求 的坐标.
解：设,因为,,三点共线,所以，故 ，解得
，即的坐标为 .
［素养小结］
研究直线的斜率问题时，通常需要先讨论斜率存在与否，斜率存在
时，再用公式求解.
探究点二 直线的倾斜角
例2 分别求图中各直线的倾斜角.
（1）
解：如图①，由图可知为直线 的倾斜角．
易知 ， ，
即直线的倾斜角为 .
（2）
解：如图②，由图可知为直线 的倾斜角，易
知 ， ， ，
即直线的倾斜角为 .
（3）
解：如图③，由图可知为直线 的倾斜角，
易知 ， ，
，即直线的倾斜角为 .
变式（1）（多选题）若直线与轴交于点,其倾斜角为 ,将直线
绕点按顺时针方向旋转后得到直线,则直线 的倾斜角可能为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线的倾斜角的取值范围为,
所以当 时, 直线的倾斜角为；
当时,直线 的倾斜角为 .故选 .
√
√
（2）已知直线的倾斜角 ，直线 与
的交点为，直线，与轴分别交于点, ，
且 ，如图，则直线 的倾斜角为
______．
[解析] 设直线的倾斜角为，因为 ，
所以 .
［素养小结］
求直线的倾斜角的方法：结合图形，利用三角形中的有关结论或特
殊三角形（如直角三角形）求角.
拓展 （多选题）若直线的倾斜角为 ，且，则直线 的倾
斜角可能为( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 当 时，的倾斜角为 （如图①）；
当 时，的倾斜角为 （如图②）；
当 时，的倾斜角为 （如图③），
①
②
③
即当 时， 的倾斜角为 ；
当 时，的倾斜角为 （如图④）．
故直线的倾斜角可能为 , , ，
但不可能为 ．故选 .
④
探究点三 直线倾斜角与斜率的关系及简单应用
例3 ［2025·陕西安康高新中学高二期中］已知直线过点 ，且
与以和 为端点的线段相交.
（1）求直线的斜率 的取值范围；
解：如图所示，
易知, ，
因为直线过点，且与以和 为端点的线
段相交，
所以结合图形可知直线的斜率的取值范围为 .
例3 ［2025·陕西安康高新中学高二期中］已知直线过点 ，且
与以和 为端点的线段相交.
（2）求直线的倾斜角 的取值范围.
解：由（1）可知，，直线的倾斜角为 ，
直线的倾斜角为 ，
由此可得直线的倾斜角 的取值范围为 .
由图可知，当直线 的斜率不存在时，符合题意，
此时直线的倾斜角 .
综上，直线的倾斜角 的取值范围为 .
变式 在中，，， .
（1）分别求直线，， 的斜率和倾斜角；
解：由题可得， ，
.
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的取值范围是 ，
所以直线的倾斜角为0，直线的倾斜角为，直线 的倾斜角为 .
变式 在中，，， .
（2）若为边上的一个动点，求直线 的倾斜角的取值范围.
解：如图，当由点移动到点时，直线 绕点
由按逆时针方向转到，所以 的取值范围
为，
故直线 的倾斜角的取值范围为 .
［素养小结］
直线的斜率与其倾斜角关系的分析,首先要考虑倾斜角为直角的情况,
其次要分倾斜角在和上两种情况,根据正切函数的单调性
加以研究.
拓展 已知三条直线，，的斜率分别为，， ，倾斜角分
别为 ， ， ，且，探索 ， ， 的大小关系．
解：直线的斜率与直线的倾斜角 的关系为 ,
.易知在, 上均单调递增，
且当时， ，
当时， .
当时， ， ， ，
由在上单调递增，得 .
当时， ， ， ，
由在上单调递增，得 .
当时，， ， ，
由在上单调递增，得 .
当时， ,， ，
由在上单调递增，得 .
1.所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是
时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时，直线垂直
于轴（或平行于轴或与 轴重合）.
2.由斜率的定义可知，当 时，直线的斜率大于零；
当 时，直线的斜率小于零；
当 时，直线的斜率为零；
当 时，直线的斜率不存在．
直线的斜率与直线的倾斜角为一一对应关系，且在 和
范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越
大，反之亦然．因此若需在或 范围内比较倾斜角的大小只
需比较斜率的大小即可，反之亦然．
1.求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾
斜角,有时要根据情况分类讨论.分类时通常分为 角;②锐角;
角;④钝角.
例1 直线与轴相交,其向上的方向与 轴正方向之间所成的角为锐角
,则直线 的倾斜角为( )
A. B.
C. 或 D. 或
[解析] 当直线的倾斜角为钝角时,倾斜角为 ;
当直线 的倾斜角为锐角时,倾斜角为 .故选C.
√
2.过定点的直线与线段相交求斜率或倾斜角取值范围问题，首先要准
确画出图形，关注定点与线段端点连线的斜率或倾斜角的情况，再
根据图形分析求解.
例2 若过点的直线与以点, 为端点的线段相
交，则直线倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 在同一平面直角坐标系中，画出点 及线段,
连接， ,如图所示，
设的倾斜角为 ，的倾斜角为 ，则所求直线
的倾斜角的取值范围为 ，
易得 ，，
因为 , ，所以, ，
所以所求直线的倾斜角的取值范围为 .故选A.
3.求形如 的表达式的取值范围问题,可以借助直线斜率的几何意义求解.
例3 若点在以，，为顶点的 的
内部运动（不包含边界），则 的取值范围是______．
[解析] 根据已知条件可知点是 内的一
个动点，那么所求的几何意义是过动点 与
定点的直线的斜率.
连接 ，如图所示，由已知得，，.
由图可得 的取值范围是 .
练习册
1.给出下列说法：
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角可以为 ；
③倾斜角为 的直线只有一条；
④直线的倾斜角 的集合 }与直线集合建立了一一
对应关系．
其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 对于①，若两直线的倾斜角都等于 ，则它们的斜率不存在，
故不正确；
对于②，直线的倾斜角的取值范围是，
因此不可能为 ，故不正确；
对于③，倾斜角为 的直线有无数条，故不正确；
对于④，不同的直线可以有相同的倾斜角，则直线的倾斜角 的
集合 与直线集合不是一一对应关系，故不正确．
所以正确说法的个数是0．故选A.
2.［2025·江苏苏州高二期中］已知经过点,的直线 的
斜率为2，则实数 的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 因为经过点,的直线的斜率为2，所以 ，
且，解得 .故选D.
√
3.［2025·浙江诸暨中学高二质检］若经过点和
的直线的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，则 ，
所以 ，故选B.
√
4.直线经过，两点，直线的倾斜角是直线 的倾斜
角的2倍，则 的斜率为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 直线经过，两点， 直线 的斜率为
， 直线的倾斜角为.
直线的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，的倾斜角为，
的斜率为 ，故选D.
√
5.［2025·江苏海安中学高二期末］已知直线的斜率为1，直线 的
倾斜角比直线的倾斜角小 ，则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.1
[解析] 设直线的倾斜角为 ，则.
因为 ，所以 .
因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小 ，所以直线的倾斜角
为 ，则直线的斜率为 .故选C.
√
6.（多选题）［2025·江苏南京师大附中高二期中］ 若直线 过点
，且与以，为端点的线段有公共点，则直线 的斜
率可能是( )
A.1 B.2 C.8 D.6
[解析] 因为，， ，所以根据直线的斜率公式可得
，.
因为直线与线段 有公共点，所以,即.
故选 .
√
√
√
7.已知直线的倾斜角为 ，则 的取值范围是_____________
____.
[解析] 设直线的倾斜角为 ，则 的取值范围是 .
由题意知 ，则 ，解得 .
8.［2025·湖南岳阳一中高二月考］已知过点,的直线
的倾斜角 的取值范围是，则实数 的取值范围是_________
__.
[解析] 当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当 时，直线的斜率为，则由题意得 ，或
，所以或，解得 或
.
综上，实数的取值范围是 .
9.（13分）已知直线经过点，，求 的值，使得：
（1）直线与 轴平行；
解：若直线与轴平行，则斜率为0,即,解得 .
（2）与 轴平行；
解：若直线与轴平行，则斜率不存在，此时 .
（3）的斜率为 .
解：若直线的斜率为,则,解得 .
10.（13分）如图，菱形的顶点 为坐标原点，
边在轴的正半轴上，已知 ，分
别求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及
斜率.
解：因为， ，所以直线，的倾斜角都
是 ，斜率都是 .
又因为，所以直线，的倾斜角都是 ，斜率也都为0.
由菱形的性质可得 ， ，所以直线 的倾
斜角为 ，斜率为，直线 的倾斜角为
，斜率为 ．
11.［2025·江苏徐州三中高二期中］已知点， ，若
，则直线 的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设直线的倾斜角为 ，因为点， ，所以直
线的斜率.
由，得 的取值范围为，
即 的取值范围为，因为 ，
所以 .故选C.
12.［2025·江苏南京一中高二期末］在等边三角形中， 与原点
重合，若的斜率为，则 的斜率可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设的倾斜角为,的倾斜角为,则 或 .
因为，所以当 时，
；
当 时， .故选C.
13.（多选题）［2025·河南南阳高二月考］ 已知直线,, 的斜率
分别是,,，倾斜角分别是 , , ，且 ，则下列关
系可能正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当或 时， ；
当 时,；
当 时，.故选 .
√
√
√
14.［2025·浙江宁波中学高二期中］在平面直角坐标系中，已知直线
沿轴正方向平移3个单位长度，再沿 轴负方向平移2个单位长度回
到原来的位置，则直线的斜率 ____.
[解析] 设直线上任意一点，将直线沿 轴正方向平移3个
单位长度，则点移动后为，
再沿 轴负方向平移2个单位长度，则点移动后为
，都在直线 上， 直线的斜率 ．
15.三名同学相约在暑假进行社会实践活动，同去某工
厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，
其中的横、纵坐标分别为第 名同学上午的工作时间
和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第 名同学
A. B. C. D.不能确定
下午的工作时间和加工的零件数，,2,3，记为第 名同学在这
一天平均每小时加工的产品个数，则,, 中最大的为( )
√
[解析] 设,，根据题意可知
表示第名同学上午的工作时间，表示第 名同学
上午加工的零件数，表示第 名同学下午的工作
时间，表示第 名同学下午加工的零件数.
所以，
因此，可理解为线段的中点与原点连线的斜率（如图），
由图可知 最大，故选B.
16.（15分）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，
其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标
球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向
弹出，要想让目标球沿着理想的方向反弹，就要事
先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这
样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点
无旋转射入，经过轴（桌边）上的点 反弹后，经过点
，求点 的坐标.
解:设，可知点关于 轴对称的点为，
则 ，，
由题可知，,, 三点共线，
所以，即，解得 ，
故点的坐标为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 不存在 知识点二 逆时针 最小正角 0
知识点三 【诊断分析】1.（1）×（2）×（3）√ 2.不是.
课中探究 例1（1）存在，斜率为.（2）存在，斜率为.
（3）当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率存在，为.
变式 （1） （2）（3）
例2（1） （2） （3）变式 （1）BC （2） 拓展 ABC
例3 （1）（2）
变式 （1）直线的倾斜角为0，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）
拓展：当时， . 当时， .
当时， . 当时， .
快速核答案(练习册）
1.A 2.D 3.B 4.D 5.C 6.ABD 7. 8.
9.（1）. （2）. （3）.
10.直线 ，的倾斜角都是 ，斜率都是 .
直线，的倾斜角都是 ，斜率也都为0.
直线的倾斜角为 ，斜率为，
直线的倾斜角为 ，斜率为．
11.C 12.C 13.ABD 14. 15.B 16..第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
【课前预习】
知识点一
不存在
知识点二
逆时针 最小正角α 0
知识点三
tan α > tan α <
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√
2.解:不是.当直线l 的倾斜角α∈ 时,直线l的斜率不小于0,α 越大,直线l 的斜率越大;当α∈ 时,直线l的斜率小于0,α 越大,直线l 的斜率越大;当直线l的倾斜角α为时,直线l的斜率不存在.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)存在,直线AB的斜率为=1.
(2)存在,直线CD的斜率为=0.
(3)当a=3时,直线PQ的斜率不存在;当a≠3时,直线PQ的斜率存在,为.
变式 解:(1)因为A(-2,1),B(7,5),所以kAB==.
(2)设P(x,0),因为A(-2,1),B(7,5),所以kPA=,kPB=.
又直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍,所以=2×,解得x=-3,即P的坐标为(-3,0).
(3)设Q(0,y),因为A,B,Q三点共线,所以kAB=kAQ,故=,解得y=,即Q的坐标为.
探究点二
例2 解:(1)如图①,由图可知∠OAB为直线l1的倾斜角.
易知∠ABO=30°,∴∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图②,由图可知∠xCD为直线l2的倾斜角,易知∠ODC=45°,∴∠OCD=45°,∴∠xCD=135°,即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图③,由图可知∠OEG为直线l3的倾斜角,
易知∠EFO=60°,∴∠FEO=30°,
∴∠OEG=150°,即直线l3的倾斜角为150°.
变式 (1)BC (2)135° [解析] (1)因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-;当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-=+α.故选BC.
(2)设直线l2的倾斜角为α2,因为∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°.
拓展 ABC [解析] 当α=0°时,l2的倾斜角为90°(如图①);当0°<α<90°时,l2的倾斜角为90°+α(如图②);当α=90°时,l2的倾斜角为0°(如图③),即当α=90°时,l2的倾斜角为90°-α;当90°<α<180°时,l2的倾斜角为α-90°(如图④).故直线l2的倾斜角可能为90°-α,90°+α,α-90°,但不可能为180°-α.故选ABC.
① ② ③ ④
探究点三
例3 解:(1)如图所示,
易知kPA==1,kPB==-,
因为直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-)为端点的线段相交,
所以结合图形可知直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-]∪[1,+∞).
(2)由(1)可知,k∈(-∞,-]∪[1,+∞),直线PA的倾斜角为,直线PB的倾斜角为,
由此可得直线l的倾斜角α的取值范围为∪.
由图可知,当直线l的斜率不存在时,符合题意,
此时直线l的倾斜角α=.
综上,直线l的倾斜角α的取值范围为.
变式 解:(1)由题可得kAB==0,kBC==,
kAC==.
因为斜率等于倾斜角的正切值,且倾斜角的取值范围是[0,π),
所以直线AB的倾斜角为0,直线BC的倾斜角为,直线AC的倾斜角为.
(2)如图,当D由点A移动到点B时,直线CD绕点C由CA按逆时针方向转到CB,所以kCD的取值范围为,故直线CD的倾斜角的取值范围为.
拓展 解:直线的斜率k与直线的倾斜角θ的关系为k=tan θ,θ∈∪.易知y=tan x在,上均单调递增,且当x∈时,y=tan x>0,
当x∈时,y=tan x<0.当0≤k1由y=tan x在上单调递增,得α<β<γ.
当k1由y=tan x在上单调递增,得α<β<γ.
当k1<0≤k2由y=tan x在上单调递增,得β<γ<α.
当k1由y=tan x在上单调递增,得γ<α<β.第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
1.A [解析] 对于①,若两直线的倾斜角都等于90°,则它们的斜率不存在,故不正确;对于②,直线的倾斜角的取值范围是{α|0°≤α<180°},因此不可能为-45°,故不正确;对于③,倾斜角为30°的直线有无数条,故不正确;对于④,不同的直线可以有相同的倾斜角,则直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合不是一一对应关系,故不正确.所以正确说法的个数是0.故选A.
2.D [解析] 因为经过点A(1,2),B(m,4)的直线l的斜率为2,所以m≠1,且=2,解得m=2.故选D.
3.B [解析] 由题意得kAB==<0,则2+a>0,所以a>-2,故选B.
4.D [解析] ∵直线l1经过A(0,0),B(,1)两点,∴直线l1的斜率为=,∴直线l1的倾斜角为.∵直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,∴l2的倾斜角为,∴l2的斜率为,故选D.
5.C [解析] 设直线l1的倾斜角为α,则tan α=1.因为0°≤α<180°,所以α=45°.因为直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°,所以直线l2的倾斜角为30°,则直线l2的斜率为
tan 30°=.故选C.
6.ABD [解析] 因为P(4,2),A(8,1),B(5,8),所以根据直线的斜率公式可得kPA==-,kPB==6.因为直线l与线段AB有公共点,所以kPA≤kl≤kPB,即-≤k≤6.故选ABD.
7.15°≤α<195° [解析] 设直线l的倾斜角为β,则β的取值范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°,则0°≤α-15°<180°,解得15°≤α<195°.
8.0tan=1,或0或<0,解得29.解:(1)若直线l与x轴平行,则斜率为0,即=0,解得m=1.
(2)若直线l与y轴平行,则斜率不存在,此时m=-1.
(3)若直线l的斜率为,则=,解得m=.
10.解:因为OD∥BC,∠BOD=60°,
所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率都是tan 60°=.
又因为DC∥OB,所以直线DC,OB的倾斜角都是0°,斜率也都为0.由菱形的性质可得
∠COB=30°,∠OBD=60°,所以直线OC的倾斜角为30°,斜率为tan 30°=,直线BD的倾斜角为180°-60°=120°,斜率为tan 120°=-.
11.C [解析] 设直线AB的倾斜角为α,因为点A(2,-1),B(3,m),所以直线AB的斜率k==m+1.由m∈,得k的取值范围为,即tan α的取值范围为,因为0≤α<π,所以α∈∪.故选C.
12.C [解析] 设AB的倾斜角为α,BC的倾斜角为β,则β=α+或β=+α.因为tan α=,所以当β=α+时,tan β=tan==-3;当β=+α时,tan β=tan==-.故选C.
13.ABD [解析] 当0≤α<β<γ<或<α<β<γ时,k114.- [解析] 设直线l上任意一点P(x0,y0),将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,则点P移动后为P1(x0+3,y0),再沿y轴负方向平移2个单位长度,则点P1移动后为P2(x0+3,y0-2).∵P,P2都在直线l上,∴直线l的斜率k==-.
15.B [解析] 设Ai(,),Bi(,),根据题意可知表示第i名同学上午的工作时间,表示第i名同学上午加工的零件数,表示第i名同学下午的工作时间,表示第i名同学下午加工的零件数.所以pi==,因此,pi可理解为线段AiBi的中点Mi与原点连线的斜率(如图),由图可知p2最大,故选B.
16.解:设P(x,0),可知点A关于x轴对称的点为A'(-2,-3),则kA'P==,kA'B==,由题可知,A',B,P三点共线,
所以kA'P=kA'B,即=,解得x=,故点P的坐标为.第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
【学习目标】
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念及它们之间的关系.
2.掌握过两点的直线的斜率计算公式.
3.了解直线的倾斜角的取值范围,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率.
4.通过对斜率和倾斜角的学习,培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
◆ 知识点一 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线l的斜率k= ;如果x1=x2,那么直线l的斜率 .
提示:对于与x轴不垂直的直线l,它的斜率也可以看作k===.
◆ 知识点二 直线的倾斜角
定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按 方向旋转到与直线重合时,所转过的 称为这条直线的倾斜角
规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为
范围 {α|0≤α<π}
◆ 知识点三 直线的倾斜角与斜率的关系
设直线的倾斜角为α,斜率为k.
直线情形 α的大小 k的大小 k的范围
与x轴平行 0 0 k=0
从左下方向右上方倾斜 0<α< k= k 0
与x轴垂直 不存在 不存在
从左上方向右下方倾斜 <α<π k= = -tan(π-α) k 0
提示:所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应. ( )
(2)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应. ( )
(3)当直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;当直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负.( )
2.直线的倾斜角越大,它的斜率越大吗
◆ 探究点一 直线的斜率
例1 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在 如果存在,求出该直线的斜率.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,3);
(3)P(a,2),Q(3,6).
变式 已知A(-2,1),B(7,5) .
(1)求直线AB的斜率;
(2)设P为x轴上一点,若直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍,求P的坐标;
(3)设Q为y轴上一点,且A,B,Q三点共线,求Q的坐标.
[素养小结]
研究直线的斜率问题时,通常需要先讨论斜率存在与否,斜率存在时,再用公式k=(x1≠x2)求解.
◆ 探究点二 直线的倾斜角
例2 分别求图中各直线的倾斜角.
变式 (1)(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,将直线l绕点A按顺时针方向旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为 ( )
A.α+ B.α+
C.α- D.-α
(2)已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1,l2与x轴分别交于点B,C,且∠BAC=120°,如图,则直线l2的倾斜角为 .
[素养小结]
求直线的倾斜角的方法:结合图形,利用三角形中的有关结论或特殊三角形(如直角三角形)求角.
拓展 (多选题)若直线l1的倾斜角为α,且l1⊥l2,则直线l2的倾斜角可能为( )
A.90°-α B.90°+α
C.α-90° D.180°-α
◆ 探究点三 直线倾斜角与斜率的关系及简单应用
例3 [2025·陕西安康高新中学高二期中] 已知直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-)为端点的线段相交.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
变式 在△ABC中,A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)分别求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为AB边上的一个动点,求直线CD的倾斜角的取值范围.
[素养小结]
直线的斜率与其倾斜角关系的分析,首先要考虑倾斜角为直角的情况,其次要分倾斜角在和上两种情况,根据正切函数的单调性加以研究.
拓展 已知三条直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α,β,γ,且k11.1 直线的斜率与倾斜角
1.给出下列说法:
①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;
②一条直线的倾斜角可以为-45°;
③倾斜角为30°的直线只有一条;
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系.
其中正确说法的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.[2025·江苏苏州高二期中] 已知经过点A(1,2),B(m,4)的直线l的斜率为2,则实数m的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.[2025·浙江诸暨中学高二质检] 若经过点A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
4.直线l1经过A(0,0),B(,1)两点,直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则l2的斜率为 ( )
A. B.
C.1 D.
5.[2025·江苏海安中学高二期末] 已知直线l1的斜率为1,直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°,则直线l2的斜率为 ( )
A.-1 B.-
C. D.1
6.(多选题)[2025·江苏南京师大附中高二期中] 若直线l过点P(4,2),且与以A(8,1),B(5,8)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是 ( )
A.1 B.2
C.8 D.6
7.已知直线l的倾斜角为α-15°,则α的取值范围是 .
8.[2025·湖南岳阳一中高二月考] 已知过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是 .
9.(13分)已知直线l经过点A(-1,m),B(m,1),求m的值,使得:
(1)直线l与x轴平行;
(2)l与y轴平行;
(3)l的斜率为.
10.(13分)如图,菱形OBCD的顶点O为坐标原点,边OB在x轴的正半轴上,已知
∠BOD=60°,分别求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
11.[2025·江苏徐州三中高二期中] 已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈,则直线AB的倾斜角的取值范围为 ( )
A. B.∪
C.∪ D.∪
12.[2025·江苏南京一中高二期末] 在等边三角形ABC中,A与原点重合,若AB的斜率为,则BC的斜率可能为 ( )
A. B.
C.- D.
13.(多选题)[2025·河南南阳高二月考] 已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,倾斜角分别是α,β,γ,且α<β<γ,则下列关系可能正确的是 ( )
A.k1C.k314.[2025·浙江宁波中学高二期中] 在平面直角坐标系中,已知直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,再沿y轴负方向平移2个单位长度回到原来的位置,则直线l的斜率k= .
15.三名同学相约在暑假进行社会实践活动,同去某工厂加工同一种产品,他们在一天中的工作情况如图所示,其中Ai的横、纵坐标分别为第i名同学上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名同学下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3,记pi为第i名同学在这一天平均每小时加工的产品个数,则p1,p2,p3中最大的为 ( )
A.p1 B.p2
C.p3 D.不能确定
16.(15分)台球运动中反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,要想让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),求点P的坐标.
