(共52张PPT)
1.4 两条直线的交点
探究点一 判断直线的交点及由交点求参数
探究点二 过两直线交点的直线系方程
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义,能用解方程组
的方法求两条直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．
知识点一 两条直线的交点
已知同一平面内的两条直线 ,
,则
一组 无数组 无解
一个 无数个 零个
相交 重合 平行
知识点二 直线系方程
已知直线与相交于点 ，
则过点的直线（除 外）可表示为
.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若点在直线上,则点 的坐标一定满
足直线 的方程.( )
√
（2）若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次
方程组的解.( )
√
（3）若两条直线的斜率都存在且不相等，则两条直线相交．( )
√
2.直线与直线 的位置关系如何 若相
交，能根据图形确定直线与直线 的交
点坐标吗 有什么办法求得这两条直线的交点坐标
解：两直线相交，根据图形可确定两直线的交点坐标为 ，可
用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
探究点一 判断直线的交点及由交点求参数
例1（1）（多选题）［2025·石嘴山三中高二月考］ 下列说法中正
确的有( )
A.直线和 相交
B.直线和的交点坐标为
C.直线和 没有交点
D.直线，, 两两相交
√
√
√
[解析] 对于A，直线， ，两直线重合，
故A错误；
对于B，由解得所以与 的交点坐标为，
故B正确；
对于C，直线 ，，两直线的斜率相等且
两直线不重合，故与 平行，所以与没有交点，故C正确；
对于D，直线 ，,，可知直线,,
的斜率分别为,1,,斜率都不相等,故三条直线两两相交,故D正确.
故选 .
（2）若三条直线，， 相交
于一点，则实数 的值为( )
A. B. C.2 D.
[解析] 设三条直线相交于点，则直线 ，
交于点，由解得 即
， 直线过点，可得， .故选B.
√
变式（1）若直线与 的交点在第一象
限，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知.由解得
两条直线的交点在第一象限，可得 .故选B.
√
（2）直线与直线 的交点坐标为
______.
[解析] 由解得所以直线与 的交点坐标为
．
［素养小结］
（1）求两相交直线交点坐标的一般方法是解两直线方程组成的二元
一次方程组；
（2）已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值
范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或
不等式，从而求出参数的值或取值范围.
探究点二 过两直线交点的直线系方程
例2 求过两直线和 的交点且与直线
平行的直线方程．
解：方法一：由
得所以两直线的交点坐标为 .
又所求直线与直线 平行，所以所求直线的斜率为 .
故所求直线的方程为，即 .
方法二：设所求直线的方程为 ，
即 .
因为所求直线与直线 平行，
所以
解得 .
代入（*）式，得 ，
即 .
变式（1）过直线与直线 的交点,且与直线
平行的直线方程为______________.
[解析] 由解得 直线 与直线
的交点坐标为.
设所求直线的方程为 ,将点的坐标代入方程,得,
, 所求直线的方程为,即 .
（2）求过直线和直线的交点 ，
且与直线垂直的直线 的方程.
解：由解得
直线与直线垂直，且直线的斜率为 ,
直线的斜率为, 直线的方程为 ,
即 .
［素养小结］
求过两条直线交点的直线方程的两种方法：
方法一，先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
方法二，利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解.
1.判断两直线位置关系的关键是看两直线的方程组成的方程组的解的
情况．
已知直线,直线 ，方程组
有唯一解的等价条件是 ，即两
条直线相交的等价条件是 .
2.虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是运算量
较大，一般较少使用．
1.过两相交直线交点的直线系方程:已知直线 与
相交于点,则过点的直线（除 外）可表示
为 .
例1 已知直线经过原点，且经过直线 与直线
的交点，求直线 的方程．
解：设直线 的方程为 ，
因为直线过原点，所以，解得 ，
所以直线的方程为 .
2.含有一个参数的二元一次方程若能整理为
的形式,其中 是参数,则说
明它表示的直线必过定点,其定点坐标可由方程组
解得,若能整理成 的形式,则
说明它表示的直线必过定点 .
例2 已知直线恒过定点 ，求定
点 的坐标.
解：由 ，可得
.
由解得所以定点的坐标为 .
练习册
1.直线与直线 的交点坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由得
则交点坐标为 .故选D.
√
2.若三条直线，和 相交
于一点，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 由得 点 也在直线
上，， .
√
3.［2025·江苏徐州三中高二期中］已知直线 ，
，则过和的交点且与直线 垂直的直
线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由可得因为直线 的斜率
为，所以所求直线的斜率为 ，故所求直线的方程为
，即 .故选D.
√
4.若直线与直线 的交点位于第一象
限,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时,,此时 ,不满足题意;
当时,由得由题知 解得
,即实数的取值范围为 .故选A.
√
5.［2025·湖南长沙长郡中学高二月考］无论 为何值，直线
恒过定点( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，得
，由得
直线恒过定点 .故选A.
√
6.（多选题）［2025·广东惠州中学高二质检］ 设直线
， ，则下列说法错误的是( )
A.方程与都可以表示平面直角坐标系 内任
意一条直线
B.与 至多有无穷多个交点
C.“”的充要条件是“ ”
D.记与的交点为，则 可表示过
点 的所有直线
√
√
√
[解析] 对于A，方程与都不能表示与 轴垂直
的直线，故A中说法错误；
对于B，当且 时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，
故B中说法正确；
对于C，当 且时，，故C中说法错误；
对于D， 的坐标满足，且满足，但
不表示过点的直线，故D中说法错误.
故选 .
7.如果直线与的交点在 轴上，
那么 的值为____.
[解析] 直线和直线的交点在 轴上，
可设交点为，所以消去，可得 .
8.已知,点在直线上运动,则当线段最短时,点 的
坐标为________.
[解析] 因为直线的斜率为,所以过点且与直线
垂直的直线的斜率为1,所以过点且与直线 垂直的直线的方
程为.
由解得 所以点的坐标为 .
9.（13分）［2025·江苏常州高二期中］ 已知直线 的方程为
，直线过点，且 ．
（1）求直线和直线 的交点坐标；
解:由题易知直线的方程为，即 .
由得 所以直线和直线的交点坐标为 .
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在 轴上的截距是在
轴上的截距的，求直线 的方程．
解:因为直线与两坐标轴都相交，所以直线 的斜率一定存在且不为0.
设 ，
则直线交轴于点，交轴于点 .
由题意得，得或.所以 的方程为
或 .
10.（13分）［2025·上海七宝中学高二期中］ 在中，边 ，
上的高所在直线的方程分别为与，点
的坐标为 .
（1）求边 上的高所在直线的一般式方程；
解:由解得则垂心 ，
所以高所在直线的斜率 ，
所以直线的方程为，即 .
（2）求边的中线 所在直线的斜率.
解:因为边，上的高所在直线的方程分别为 与
，所以， ，
则直线的方程为，即 ，
直线的方程为，即 .
10.（13分）［2025·上海七宝中学高二期中］ 在中，边 ，
上的高所在直线的方程分别为与，点
的坐标为 .
由得即 ，
由得即 ，
所以边的中点的坐标为，所以 ．
11.［2025·江苏兴化高二期中］若直线与 轴交于
点，直线与轴交于点，直线与交于点 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知点，点，由得
所以，所以，，
所以 ,，所以, ，
所以 .故选D.
12.［2025·江苏扬州中学高二月考］在中，， ，
，如果直线将 分割成面积相等的两部分，那么实
数 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,,所以，即 .
显然当时满足题意，由得
因为，所以，得或
（舍去）．故选A.
13.已知两直线，与 轴不能构成三角
形，则符合条件的所有 值的和为____.
[解析] 由题知，两直线与轴相交于同一个点时， ，此时不能
构成三角形.
由，得 ，
由 解得
即直线恒经过定点 ，
当直线的斜率，即 时，
直线，与 轴不能构成三角形.
当直线与直线平行，即 时，
两直线与轴不能构成三角形.
综上，当或或 时，直线，
与轴不能构成三角形，故 值的和为 .
14.如果三条直线，和 将平
面分为六个部分，那么实数 的取值集合为___________.
[解析] 若三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面
分成七部分.
若这三条直线将平面分为六部分，则包括两种情况
过另外两条直线的交点，由 和
联立，得两直线的交点坐标是 ，代入
，解得.
②直线 与另外两条直线中的一条平行，
当和 平行时，只需,解得；
当和 平行时，
只需，解得
综上，的取值集合是 .
15.［2025·江苏高邮高二期中］过点作直线 ，使它被两条相交
直线和所截得的线段恰好被点 平分，
则直线 的方程为________________.
[解析] 不妨设直线，，设直线 夹
在直线，之间的线段为在上，在上，设 ，
，
因为线段被点平分，所以 ，，
于是，.
因为在上，在 上，
所以 则解得
即的坐标是，则直线的方程是，即 ．
16.（15分）已知直线过点且与定直线 在第一象限
内交于点，与轴正半轴交于点，记的面积为 为坐标原
点，点 .
（1）求实数 的取值范围；
解:当直线与直线 平行时，不能构成三角形，此时
，解得，所以 .
因为点在轴正半轴上，且直线与定直线 在第一象限内交于
点，所以 .
（2）求当取得最小值时，直线 的方程.
解:当直线的斜率不存在，即,时， .
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，因为直
线的斜率存在，所以，且 .
又，所以或 .
由得 即，
则 ，
即 ，
当时， ，整理得
，得，即 的最小值为3，
此时，解得 ，
则直线的方程为，即 .
快速核答案（导学案）
课前预习
【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）√
2.解：两直线相交，根据图形可确定两直线的交点坐标为
，可用解方程组
的方法求两直线的交点坐标.
课中探究 例1 （1）BCD （2）B 变式 （1）B （2）
例2
变式 （1）
（2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.D 4.A 5.A 6.ACD 7.
8.
9.（1）
（2）
或
10.（1）
（2）
11.D 12.A 13.
14.
15.
16.（1）
（2）
1.4 两条直线的交点
【课前预习】
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.解:两直线相交,根据图形可确定两直线的交点坐标为(-2,2),可用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BCD (2)B [解析] (1)对于A,直线l1:y=x+2,l2:y=x+2,两直线重合,故A错误;对于B,由解得所以l1与l2的交点坐标为(1,3),故B正确;对于C,直线l1:y=-2x-2,l2:y=-2x+3,两直线的斜率相等且两直线不重合,故l1与l2平行,所以l1与l2没有交点,故C正确;对于D,直线l1:y=x+,l2:y=x,l3:y=-2x+3,可知直线l1,l2,l3的斜率分别为,1,-2,斜率都不相等,故三条直线两两相交,故D正确.故选BCD.
(2)设三条直线相交于点P,则直线2x+3y+8=0,x+y+1=0交于点P,由解得即P(5,-6),∴直线x+ky=0过点P,可得5-6k=0,∴k=.故选B.
变式 (1)B (2)(3,5) [解析] (1)由题知k≠1.由解得
∵两条直线的交点在第一象限,∴可得-1
(2)由解得所以直线l1与l2的交点坐标为(3,5).
探究点二
例2 解:方法一:由
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x+y-1=0平行,
所以所求直线的斜率为-3.
故所求直线的方程为y+=-3,即15x+5y+16=0.
方法二:设所求直线的方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,
即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0(*).
因为所求直线与直线3x+y-1=0平行,
所以
解得λ=.
代入(*)式,得x+y+=0,
即15x+5y+16=0.
变式 (1)x-3y+5=0 [解析] 由解得∴直线x+y-3=0与直线2x-y=0的交点坐标为(1,2).设所求直线的方程为y=x+k,将点(1,2)的坐标代入方程,得2=+k,∴k=,∴所求直线的方程为y=x+,即x-3y+5=0.
(2)解:由解得
∴P(0,2).∵直线l与直线l3垂直,且直线l3的斜率为,
∴直线l的斜率为-,∴直线l的方程为y-2=-(x-0),
即4x+3y-6=0.1.4 两条直线的交点
1.D [解析] 由得
则交点坐标为(2,-2).故选D.
2.A [解析] 由得∵点(-1,-2)也在直线2x+ky+1=0上,∴-2-2k+1=0,∴k=-.
3.D [解析] 由可得因为直线3x+4y=0的斜率为-,所以所求直线的斜率为,故所求直线的方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.故选D.
4.A [解析] 当a=-1时,l1:x-y+4=0,此时l1∥l2,不满足题意;当a≠-1时,由得由题知解得-15.A [解析] 由(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0,得λ(2x+y+2)+(3x+4y-2)=0,由得
∴直线(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0恒过定点(-2,2).故选A.
6.ACD [解析] 对于A,方程y=px+q与y=kx+b都不能表示与x轴垂直的直线,故A中说法错误;对于B,当p=k且q=b时,两直线重合,此时两直线有无穷多个交点,故B中说法正确;对于C,当p=k且q≠b时,l1∥l2,故C中说法错误;对于D,M的坐标满足y=px+q,且满足y=kx+b,但y-px-q+λ(y-kx-b)=0不表示过点M的直线l2,故D中说法错误.故选ACD.
7.±6 [解析] 直线2x+3y-m =0和直线x-my+12=0的交点在y轴上,可设交点为(0,b),所以消去b,可得m=±6.
8. [解析] 因为直线x+y=0的斜率为-1,所以过点A且与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1,所以过点A且与直线x+y=0垂直的直线的方程为y=x-1.由解得
所以点B的坐标为.
9.解:(1)由题易知直线l2的方程为2-y=0,即2x-y-3=0.
由得 所以直线l1和直线l2的交点坐标为(2,1).
(2)因为直线l3与两坐标轴都相交,所以直线l3的斜率一定存在且不为0.
设l3:y-1=k(x-2),
则直线l3交x轴于点,交y轴于点(0,1-2k).
由题意得2-=(1-2k),得k=或k=-2.所以l3的方程为y=x或y=-2x+5.
10.解:(1)由解得则垂心H,
所以高AH所在直线的斜率k==,
所以直线AH的方程为y-2=(x-1),即3x-2y+1=0.
(2)因为边AB,AC上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0与x+y=0,所以kAB=-,kAC=1,
则直线AB的方程为y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0,
直线AC的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
由得即C(-2,-1),
由得即B(7,-7),
所以边BC的中点M的坐标为,所以kAM==-4.
11.D [解析] 易知点A,点B(3,0),由得
所以P,所以=,=,所以cos<,>===,所以<,>=,所以∠APB=.故选D.
12.A [解析] 因为A(0,3),C(2,0),所以lAC:+=1,即3x+2y-6=0.显然当a∈[0,2]时满足题意,由得因为S△ABC=,所以×a×=,得a=或a=-(舍去).故选A.
13.-5 [解析] 由题知,两直线与x轴相交于同一个点时,m=0,此时不能构成三角形.由(m+2)x-y+m=0,得m(x+1)+(2x-y)=0,由
解得即直线(m+2)x-y+m=0恒经过定点(-1,-2),当直线(m+2)x-y+m=0的斜率k=m+2=0,即m=-2时,直线y=-2,x+y=0与x轴不能构成三角形.当直线(m+2)x-y+m=0与直线x+y=0平行,即m=-3时,两直线与x轴不能构成三角形.综上,当m=0或m=-2或m=-3时,直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴不能构成三角形,故m值的和为-5.
14. [解析] 若三条直线两两相交,且交点不重合,则这三条直线把平面分成七部分.若这三条直线将平面分为六部分,则包括两种情况.①ax+2y+8=0过另外两条直线的交点,由4x+3y=10和2x-y=10联立,得两直线的交点坐标是(4,-2),代入ax+2y+8=0,解得a=-1.②直线ax+2y+8=0与另外两条直线中的一条平行,当ax+2y+8=0和4x+3y=10平行时,只需=≠,解得a=;当ax+2y+8=0和2x-y=10平行时,只需=≠,解得a=-4.综上,a的取值集合是.
15.2x-3y+6=0 [解析] 不妨设直线l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0,设直线l夹在直线l1,l2之间的线段为AB(A在l1上,B在l2上),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB被点P(0,2)平分,所以x1+x2=0,y1+y2=4,于是x2=-x1,y2=4-y1.因为A在l1上,B在l2上,所以
则解得
即A的坐标是(3,4),则直线l的方程是=,即2x-3y+6=0.
16.解:(1)当直线l与直线l0:y=2x平行时,不能构成三角形,此时kBP==2,解得a=,所以a≠.
因为点B(a,0)在x轴正半轴上,且直线l与定直线l0在第一象限内交于点A,所以a>.
(2)当直线l的斜率不存在,即B(2,0),A(2,4)时,S=×2×4=4.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2)+3 ,因为直线的斜率存在,所以a>,且a≠2.
又k=,所以k>2或k<0.
由得
即A,则S=××=,
即(4-S)k2-(12-2S)k+9=0,
当4-S≠0时,Δ=(12-2S)2-36(4-S)≥0,整理得S(S-3)≥0,得S≥3,即S的最小值为3,
此时k2-6k+9=0,解得k=3,
则直线l的方程为y=3(x-2)+3=3x-3,即3x-y-3=0.1.4 两条直线的交点
【学习目标】
1.能描述两条直线交点(坐标)的几何(代数)含义,能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
◆ 知识点一 两条直线的交点
已知同一平面内的两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1,l2的公共点 一个 无数个 零个
直线l1,l2的位置关系 相交 重合 平行
◆ 知识点二 直线系方程
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交于点P,则过点P的直线(除l2外)可表示为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点M(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点M的坐标一定满足直线l的方程. ( )
(2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. ( )
(3) 若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交. ( )
2.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系如何 若相交,能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗 有什么办法求得这两条直线的交点坐标
◆ 探究点一 判断直线的交点及由交点求参数
例1 (1)(多选题)[2025·石嘴山三中高二月考] 下列说法中正确的有 ( )
A.直线l1:x-2y+4=0和 l2:2x-4y+8=0相交
B.直线l1:x-y+2=0和 l2:2x+y-5=0的交点坐标为(1,3)
C.直线l1:2x+y+2=0和 l2:y=-2x+3没有交点
D.直线l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0两两相交
(2)若三条直线2x+3y+8=0,x+y+1=0,x+ky=0相交于一点,则实数k的值为 ( )
A.-2 B.
C.2 D.
变式 (1)若直线l1:y=kx+1与l2:x-y-1=0的交点在第一象限,则实数k的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(-1,1)
C.(0,1) D.(-∞,-1)
(2)直线l1:2x-y=1与直线l2:-3x+2y=1的交点坐标为 .
[素养小结]
(1)求两相交直线交点坐标的一般方法是解两直线方程组成的二元一次方程组;
(2)已知两条直线交点的情况,确定直线方程中的参数的值或取值范围,方法是先求出交点坐标,再根据题意列出关于参数的方程或不等式,从而求出参数的值或取值范围.
◆ 探究点二 过两直线交点的直线系方程
例2 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
变式 (1)过直线x+y-3=0与直线2x-y=0的交点,且与直线y=x平行的直线方程为 .
(2)求过直线l1:x-2y+4=0和直线l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
[素养小结]
求过两条直线交点的直线方程的两种方法:
方法一,先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;方法二,利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解.1.4 两条直线的交点
1.直线x-2y-6=0与直线2x+y-2=0的交点坐标为 ( )
A.(0,-3) B.(1,0)
C.(3,-4) D.(2,-2)
2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和2x+ky+1=0相交于一点,则k= ( )
A.- B.
C.1 D.2
3.[2025·江苏徐州三中高二期中] 已知直线l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线方程为 ( )
A.3x-4y-1=0 B.3x-4y+1=0
C.4x-3y-1=0 D.4x-3y+1=0
4.若直线l1:ax+y-4=0与直线l2:x-y-2=0的交点位于第一象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,2)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
5.[2025·湖南长沙长郡中学高二月考] 无论λ为何值,直线(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0恒过定点 ( )
A.(-2,2) B.(-2,-2)
C.(-1,-1) D.(-1,1)
6.(多选题)[2025·广东惠州中学高二质检] 设直线l1:y=px+q,l2:y=kx+b,则下列说法错误的是 ( )
A.方程y=px+q与y=kx+b都可以表示平面直角坐标系xOy内任意一条直线
B.l1与l2至多有无穷多个交点
C.“l1∥l2”的充要条件是“p=k”
D.记l1与l2的交点为M,则y-px-q+λ(y-kx-b)=0可表示过点M的所有直线
7.如果直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值为 .
8.已知A(1,0),点B在直线x+y=0上运动,则当线段AB最短时,点B的坐标为 .
9.(13分)[2025·江苏常州高二期中] 已知直线l1的方程为x+2y-4=0,直线l2过点,且l1⊥l2.
(1)求直线l1和直线l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点,且在x轴上的截距是在y轴上的截距的,求直线l3的方程.
10.(13分)[2025·上海七宝中学高二期中] 在△ABC中,边AB,AC上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0与x+y=0,点A的坐标为(1,2).
(1)求边BC上的高所在直线的一般式方程;
(2)求边BC的中线AM所在直线的斜率.
11.[2025·江苏兴化高二期中] 若直线l1:2x-y+1=0与x轴交于点A,直线l2:x-3y-3=0与x轴交于点B,直线l1与l2交于点P,则∠APB= ( )
A. B.
C.π D.
12.[2025·江苏扬州中学高二月考] 在△ABC中,A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a= ( )
A. B.1+
C.1+ D.2-
13.已知两直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴不能构成三角形,则符合条件的所有m值的和为 .
14.如果三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10将平面分为六个部分,那么实数a的取值集合为 .
15.[2025·江苏高邮高二期中] 过点P(0,2)作直线l,使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为 .
16.(15分)已知直线l过点P(2,3)且与定直线l0:y=2x在第一象限内交于点A,与x轴正半轴交于点B,记△AOB 的面积为S(O 为坐标原点),点B(a,0).
(1)求实数a的取值范围;
(2)求当S取得最小值时,直线l的方程.