(共46张PPT)
1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
探究点一 求两点间的距离
探究点二 由两点间的距离求参数
探究点三 坐标法的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能推导两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义.
2.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离.
3.会用坐标法证明简单的平面几何问题．
知识点 两点间的距离公式
平面上,两点间的距离公式为
_______________________.
（1）当直线平行于轴时, _________;
（2）当直线平行于轴时, _________;
（3）特别地,原点与任一点间的距离 .
【诊断分析】
（1）已知点，，且，则 的值为1.( )
×
（2）若，,则线段的中点坐标为 .( )
√
（3）点与点之间的距离为 .( )
×
（4）当， 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公
式不适用.( )
×
探究点一 求两点间的距离
例1 已知的三个顶点，， ，试判断
的形状．
解：方法一： ，
，
，
，且 ，
是等腰直角三角形．
方法二：， ，
， .
又 ，
，，
是等腰直角三角形．
变式 若点在轴上，点在轴上，线段的中点为，则 等
于( )
A.10 B.5 C.8 D.6
[解析] 由题意得， ，所以
.故选A.
√
［素养小结］
计算两点间距离的方法：
（1）对于任意两点和，有
；
（2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式
的特殊情况求解．
探究点二 由两点间的距离求参数
例2 已知点，，当 取得最小值时，实
数 的值为__．
[解析] 因为点， ，所以
,故
当时， 取得最小值.
变式 已知点，，，且，则 的值是
( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为点，，，且 ，所以
，解得 .
√
［素养小结］
已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出
所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程
或方程组求解．
探究点三 坐标法的应用
例3 用坐标法证明:若四边形是长方形,则对直线 上任意一点
,等式 恒成立.
证明:以为坐标原点,边所在直线为轴, 边所在直
线为 轴,建立平面直角坐标系，如图所示,
设,,则,,, ,直线
的方程为 . 设,则
, ,所以
.
变式 如图,,,三点共线，和是在直线 同侧的两个
等边三角形.试用坐标法.证明: .
证明:如图所示,以点为坐标原点,所在直线为 轴
建立平面直角坐标系.
设和的边长分别为和 ,
则,,, ,
所以 ,,所以 .
［素养小结］
利用坐标法解决平面几何问题的一般步骤：
（1）建立坐标系,用坐标表示有关的量;
（2）进行有关代数运算;
（3）把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
已知斜率为的直线上的两点， ，由两点间的距
离公式可得 ，或
.
两点间距离公式的变形运用
解：
， 的
几何意义为轴上一点到点 ，距离的和，如图所示，
设 为点关于轴的对称点，连接，则当点 为直线
与轴的交点时，点到， 两点距离的和最小，最小值为， 两
点间的距离.
因为 ，
所以函数的最小值为 .
例1 求函数 的最小值.
例2 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三
角形的三个内角均小于 时，费马点 与三个顶点连线正好
三等分费马点所在的周角，即，， 两两之间的夹角均为
.根据以上性质，求
的最小值.
解：由题意知，的几何意义为点 到点
,, 的距离之和.
由题可知,当取得最小值时 ,且
在 轴上.
此时（其中 为坐标原点），
, .
故的最小值为 .
练习册
1.［2025·湖南邵阳七中高二期中］已知，，则， 两
点间的距离为( )
A.5 B. C.3 D.
[解析] 因为，，所以, 两点间的距离为
.故选B.
√
2.［2025·江苏扬州大学附中高二期中］已知 的顶点为
，，，则 边上的中线长为( )
A.4 B.5 C. D.
[解析] 设的中点为，因为，，所以 .
又，所以边上的中线长 .故选B.
√
3.已知点,线段的中点是，那么点到原点 的距离为
( )
A.41 B. C. D.39
[解析] 设，由中点坐标公式得解得 所以点
，则 .
√
4.若光线从点出发射到轴上，经轴反射后经过点 ，
则光线从到 经过的路程为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知点关于轴对称的点为，则光线从 到
的路程即的长，可得 ，
即光线从到经过的路程为 .
√
5.已知四边形的四个顶点为，，， ，
则四边形 的形状是( )
A.非平行四边形 B.正方形 C.直角梯形 D.等腰梯形
[解析] 依题意得， ，
，
， ，所以
，所以四边形是菱形.
又直线 的斜率，直线的斜率，所以，
则 ，所以菱形 是正方形.故选B.
√
6.（多选题）已知等腰直角三角形的直角顶点为,若点 的
坐标为,则点 的坐标可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 设,根据题意可得
即
解得或所以或.故选 .
√
√
7.已知点,点在轴上,若,则点 的坐标为______
________.
或
[解析] 设,因为点 ,所以
,整理得,解得 或
,所以点的坐标为或 .
8.［2025·江苏徐州一中高二期末］若直线 过定点
，直线过定点，则, 两点间的距离
是_____．
[解析] 由得
所以.由,得 ，
由解得即 .所以
．
9.（13分）在中，，，，求 的面积．
解:方法一： ，
，
，
，则是以 为直角顶点的直角三角形．
．
是以 为直角顶点的直角三角形．
，
，
．
10.（13分）用坐标法证明:平行四边形四条边长的平方和等于两条对
角线长的平方和.
证明:如图,建立平面直角坐标系,在平行四边形中,设点的坐标
为,点 的坐标为,点的坐标为 ,
由平行四边形的性质得,点的坐标为 .
由两点间的距离公式得,,
,
, ,
所以, ,
所以 ,
所以平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和.
11.（多选题）［2025·江苏启东中学高二月考］ 在平面直角坐标系
中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于， 两点，
则线段 的长可以是( )
A.2 B.4 C.6 D.16
√
√
√
[解析] 不妨设点在第一象限，点 在第三象限，并设直线
，由得，可得 ,
,所以
，当且仅当 ，
即时等号成立，所以长的最小值为4.故选 .
12.［2025·江苏徐州高二期中］已知两定点，，动点
在直线上，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，点，在直线 同侧，设
点关于直线对称的点为 ，则
解得,
的最小值为 .故选D.
√
13.［2025·江苏苏州中学高二期末］如图所示，
将平面直角坐标系中的纵轴绕点 按顺时针方
向旋转 （坐标轴的单位长度不变）构成一
个斜坐标系，平面上任意一点 关于斜坐标
A. B. C. D.
系的坐标用如下方式定义：过作两坐标轴的平行线，交 轴于
点，交轴于点，则在轴上表示的数为点的横坐标，在
轴上表示的数为点的纵坐标.在斜坐标系中，若点， 的坐标分
别为，，则线段 的长为( )
√
[解析] 记轴轴，垂足为，且与 轴有相同的单
位长度.如图，在斜坐标系中，，设 轴，
交轴于点，过作轴于点，则 ，
， ，，， 在平面直角坐标
系中，．
在斜坐标系中，，设轴，交 轴于点，过作轴，
垂足为点， ， ，，，
在平面直角坐标系 中，．
.故选B.
14.［2025·福建宁德一中高二月考］在平面直角坐标系 中，已知
直线与点，若直线上存在点 满足
为坐标原点，则实数 的取值范围是_ ____________．
[解析] 设，由 ，得
，
整理得，
由，得 ，
解得，故的取值范围为 .
15.［2025·江苏无锡一中高二质检］著名数学家华罗庚曾说“数缺形
时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”
事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决．已知
，，则 的最小值为_____.
[解析]
表示满足，
的动点 到定点 ，，，的距离之和，
连接，，， ，则四边形为矩形，所以，
，
当 为矩形对角线的交点时，， ，且此时
取得最小值，为 .
16.（15分）［2025·湖北黄冈中学高二质检］ 已知直线
，相交于点，其中 .
（1）求证，分别过定点，，并求点， 的坐标.
解:在直线的方程中，令，可得，则直线过定点 .
在直线的方程中，令，可得，则直线过定点 .
（2）当为何值时，的面积 取得最大值？并求出最大值.
解:由得即点 ，所以
，
.
因为 ，且 ，所以
，所以当时，取得最大值，最大值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
课中探究 例1 等腰直角三角形
变式 A 例2 变式 C
例3 略 变式 略
快速核答案（练习册）
1.B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.AC 7.或 8.
9. 10.略. 11.BCD 12.D 13.B 14. 15.
16.（1），
（2）当时，取得最大值，最大值为1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
【课前预习】
知识点
(1)|x2-x1| (2)|y2-y1|
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:方法一:∵AB===2,AC===2,BC===2,
∴AB2+AC2=BC2,且AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
方法二:∵kAC==,kAB==-,
∴kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB.
又AC===2,AB===2,∴AC=AB,∴△ABC是等腰直角三角形.
变式 A [解析] 由题意得A(6,0),B(0,8),所以AB==10.故选A.
探究点二
例2 [解析] 因为点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),所以AB===,故当a=时,AB取得最小值.
变式 C [解析] 因为点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且PQ=PM,所以=
,解得a=-.
探究点三
例3 证明:以A为坐标原点,AB边所在直线为x轴,AD边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
设AB=a,AD=b,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),直线AC的方程为y=x.
设M,则AM2+CM2=x2++(a-x)2+,BM2+DM2=(a-x)2++x2+,所以AM2+CM2=BM2+DM2.
变式 证明:如图所示,以点B为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c,
则A(-a,0),C(c,0),E,D,
所以AE==,
CD==
,所以AE=CD.1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
1.B [解析] 因为A(3,6),B(2,4),所以A,B两点间的距离为=.故选B.
2.B [解析] 设BC的中点为D,因为B(3,-2),C(5,4),所以D(4,1).又A(0,4),所以BC边上的中线长AD==5.故选B.
3.B [解析] 设M(x,y),由中点坐标公式得解得所以点M(4,-5),则OM==.
4.C [解析] 易知点A(-3,5)关于x轴对称的点为A'(-3,-5),则光线从A到B的路程即A'B的长,可得A'B==5,即光线从A到B经过的路程为5.
5.B [解析] 依题意得,AB==,BC==,CD==,AD==,所以AB=BC=CD=AD,所以四边形ABCD是菱形.又直线AB的斜率kAB=-,直线AD的斜率kAD=,所以kABkAD=-1,则AB⊥AD,所以菱形ABCD是正方形.故选B.
6.AC [解析] 设B(x,y),根据题意可得
即
解得或所以B(2,0)或B(4,6).故选AC.
7.(0,8)或(0,-2) [解析] 设B(0,y),因为点A(-2,3),所以AB==3,整理得(y-3)2=25,解得y=8或y=-2,所以点B的坐标为(0,8)或(0,-2).
8. [解析] 由得
所以A(0,-2).由(4a-1)x+2ay-1=0,得(4x+2y)a-x-1=0,由解得即B(-1,2).所以AB==.
9.解:方法一:∵AB==2,AC==,BC==5,
∴AB2+AC2=BC2,则△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
∴S△ABC=AB·AC=×2×=5.
方法二:∵kAB==-2,kAC==,
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
∵AB==2,AC==,
∴S△ABC=AB·AC=×2×=5.
10.证明:如图,建立平面直角坐标系,在平行四边形ABCD中,设点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(a,0),点D的坐标为(b,c),
由平行四边形的性质得,点C的坐标为(a+b,c).
由两点间的距离公式得,AC2=(a+b)2+c2,BD2=(b-a)2+c2,AB2=a2,AD2=b2+c2,
所以AC2+BD2=2(a2+b2+c2),AB2+AD2=a2+b2+c2,
所以AC2+BD2=2(AB2+AD2),
所以平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和.
11.BCD [解析] 不妨设点P在第一象限,点Q在第三象限,并设直线l:y=kx(k>0),由得x=±,可得P,Q,所以PQ==≥=4,当且仅当=8k,即k=1时等号成立,所以PQ长的最小值为4.故选BCD.
12.D [解析] 由题可知,点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0同侧,设点A关于直线x-y+1=0对称的点为C(a,b),则解得∴C(4,-2),∴PA+PB的最小值为BC==2.故选D.
13.B [解析] 记y'轴⊥x轴,垂足为O,且与y轴有相同的单位长度.如图,在斜坐标系中,A(1,2),设AF∥y轴,交x轴于点F,过A作AE⊥x轴于点E,则OF=1,AF=2,∠EAF=30°,∴EF=1,AE=,∴在平面直角坐标系xOy'中,A(2,).在斜坐标系中,B(-2,3),设BH∥y轴,交x轴于点H,过B作BQ⊥x轴,垂足为点Q.∵OH=2,HB=3,∠HBQ=30°,∴HQ=,BQ=,∴在平面直角坐标系xOy'中,B.∴AB==.故选B.
14. [解析] 设M(x,-x-a),由MA=2MO,得(x-2)2+(-x-a)2=4x2+4(-x-a)2,整理得6x2+(6a+4)x+3a2-4=0,由Δ≥0,得9a2-12a-28≤0,解得≤a≤,故a的取值范围为.
15.2 [解析] +++表示满足016.解:(1)在直线l1的方程中,令x=0,可得y=1,则直线l1过定点A(0,1).
在直线l2的方程中,令y=0,可得x=1,则直线l2过定点B(1,0).
(2)由得即点P,所以AP==
,BP=
=
.因为-1≤m≤1,且l1⊥l2,
所以S=AP·BP===,所以当m=0时,S取得最大值,最大值为.1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
【学习目标】
1.能推导两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义.
2.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离.
3.会用坐标法证明简单的平面几何问题.
◆ 知识点 两点间的距离公式
平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为P1P2= .
(1)当直线P1P2平行于x轴时,P1P2= ;
(2)当直线P1P2平行于y轴时,P1P2= ;
(3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离OP=.
【诊断分析】 (1)已知点A(-2,-1),B(a,3),且AB=5,则a的值为1. ( )
(2) 若A(-1,0),B(5,6),则线段AB的中点坐标为(2,3). ( )
(3)点P1(0,a)与点P2(b,0)之间的距离为a-b. ( )
(4)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. ( )
◆ 探究点一 求两点间的距离
例1 已知△ABC的三个顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
变式 若点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点为(3,4),则AB等于 ( )
A.10 B.5
C.8 D.6
[素养小结]
计算两点间距离的方法:
(1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),有P1P2=;
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解.
◆ 探究点二 由两点间的距离求参数
例2 已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当AB取得最小值时,实数a的值为 .
变式 已知点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且PQ=PM,则a的值是 ( )
A.-2 B.2
C.- D.
[素养小结]
已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
◆ 探究点三 坐标法的应用
例3 用坐标法证明:若四边形ABCD是长方形,则对直线AC上任意一点M,等式AM2+CM2=BM2+DM2恒成立.
变式 如图,A,B,C三点共线,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明:AE=CD.
[素养小结]
利用坐标法解决平面几何问题的一般步骤:
(1)建立坐标系,用坐标表示有关的量;
(2)进行有关代数运算;
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论.1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
1.[2025·湖南邵阳七中高二期中] 已知A(3,6),B(2,4),则A,B两点间的距离为 ( )
A.5 B.
C.3 D.
2.[2025·江苏扬州大学附中高二期中] 已知△ABC的顶点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上的中线长为 ( )
A.4 B.5
C.3 D.4
3.已知点P(-2,5),线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为 ( )
A.41 B.
C. D.39
4.若光线从点A(-3,5)出发射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为 ( )
A.5 B.2
C.5 D.10
5.已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,-2),C(5,1),D(2,3),则四边形ABCD的形状是 ( )
A.非平行四边形 B.正方形
C.直角梯形 D.等腰梯形
6.(多选题)已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是 ( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(4,6) D.(6,4)
7.已知点A(-2,3),点B在y轴上,若AB=3,则点B的坐标为 .
8.[2025·江苏徐州一中高二期末] 若直线l1:3ax-y-2=0过定点A,直线l2:(4a-1)x+2ay-1=0过定点B,则A,B两点间的距离是 .
9.(13分)在△ABC中,A(1,-1),B(-1,3),C(3,0),求△ABC的面积.
10.(13分)用坐标法证明:平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和.
11.(多选题)[2025·江苏启东中学高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线l与函数y=的图象交于P,Q两点,则线段PQ的长可以是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.16
12.[2025·江苏徐州高二期中] 已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则PA+PB的最小值为 ( )
A.5 B.
C.5 D.2
13.[2025·江苏苏州中学高二期末] 如图所示,将平面直角坐标系中的纵轴绕点O按顺时针方向旋转30°(坐标轴的单位长度不变)构成一个斜坐标系xOy,平面上任意一点P关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义:过P作两坐标轴的平行线,交x轴于点M,交y轴于点N,则M在x轴上表示的数x为点P的横坐标,N在y轴上表示的数y为点P的纵坐标.在斜坐标系中,若点A,B的坐标分别为(1,2),(-2,3),则线段AB的长为 ( )
A. B.
C. D.
14.[2025·福建宁德一中高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y+a=0与点A(2,0),若直线l上存在点M满足MA=2MO(O为坐标原点),则实数a的取值范围是 .
15.[2025·江苏无锡一中高二质检] 著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决.已知016.(15分)[2025·湖北黄冈中学高二质检] 已知直线l1:y=mx+1,l2:x=-my+1相交于点P,其中|m|≤1.
(1)求证l1,l2分别过定点A,B,并求点A,B的坐标.
(2)当m为何值时,△ABP的面积S取得最大值 并求出最大值.
