(共63张PPT)
1.5 平面上的距离
1.5.2 点到直线的距离
探究点一 点到直线的距离
探究点二 平行线间距离公式的应用
探究点三 利用距离公式解决最值问题
探究点四 距离公式的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.
2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.
3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距
离公式导出两条平行直线间的距离公式.
4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.
知识点一 点到直线的距离公式
点到直线的距离为 _ __________.
除了课本上的证明方法之外，我们还可以用下面的方法证明.
证明:根据定义,点到直线的距离就是点到直线 的
垂线段的长度.如图,过点 作直线
的垂线,垂足为 ,由
可知的斜率为___, 的方程为
,与的方程联立,得交点 的坐标为
,则 .
可以验证,当,或 时,上述公式仍然成立.
知识点二 两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
1.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.公式:两条平行直线 与
之间的距离为 _ ______.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）点到直线的距离是 .( )
×
（2）点到直线 的距离为3.( )
√
（3）两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．( )
√
（4）已知两平行直线, ,
则直线,间的距离为 .( )
×
2.在运用点到直线的距离公式时，对直线方程有什么要求？在应用两
条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？
解：在运用点到直线的距离公式时，要求直线的方程应化为一般式；
在应用两条平行线间的距离公式时，要求两条平行直线的方程都是
一般式，且, 对应的系数应分别相等．
探究点一 点到直线的距离
例1（1）已知点，直线，则点到直线 的
距离为( )
A.3 B.2 C.1 D.
[解析] 由点到直线的距离公式可得点到直线 的距离为
.故选B.
√
（2）［2025·江苏苏州高二期中］已知， 两点到直
线的距离相等，则实数 的值为_________.
或
[解析] 因为，两点到直线 的距离
相等，所以,即,解得 或
.
变式 已知点 .
（1）求过点 且与原点的距离为2的直线的方程.
解：①当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为 ，则直线方程为
，即 .
根据题意，得，解得 ，所以直线方程为
.
故符合题意的直线方程为或 .
（2）是否存在过点 且与原点的距离为6的直线 若存在，求出该直
线的方程；若不存在，请说明理由.
解：不存在.理由如下：过点且与原点的距离最大的直线为过点 且
与垂直的直线（其中 为坐标原点），最大距离为
，而 ，故不存在这样的直线.
变式 已知点 .
［素养小结］
点到直线的距离的求解方法：
（1）求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点
到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线
或
,求点
到它们的距离
时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直
接根据
或
求解；
（3）已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程
求解参数即可.
探究点二 平行线间距离公式的应用
例2（1）两条平行直线与 间的距离
为( )
A. B.2 C.14 D.
[解析] 由平行线间的距离公式可知，所求距离为 .故
选D.
√
（2）［2025·江苏扬州中学高二月考］若两条平行直线
与之间的距离是 ，
则 ___．
3
[解析] 因为直线与 平
行，所以，解得且，所以直线 的方程为
，即.
因为两平行线间的距离为 ，所以，
得，
因为 ，所以，得，所以 .
变式 ［2025·山东莱芜一中高二质检］ 若平面内两条平行线
，间的距离为 ，则
实数 的值为( )
A.2 B.或1 C. D. 或2
√
[解析] 因为直线与 平
行，所以，且，解得或 .
当时，，即 ，
，两平行线间的距离为 ，符合题意；
当时，， ，即
，两平行线间的距离为 ，不符合题意，
舍去.故选A.
［素养小结］
求两平行线间距离的两种常用方法.
（1）转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点
到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一
个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
（2）公式法:直接利用公式
,但要注意两直线方程中
,
的
系数对应相等.
探究点三 利用距离公式解决最值问题
例3 已知直线过定点，则点 到直线
距离的最大值是____.
[解析] 由题意知，直线 恒过定点
，直线恒过定点 ，
如图所示，过作的垂线段，垂足为 ，那么
必有，当且仅当与重合时取等号，从而
的最大值为，即点 到直线
距离的最大值是 .
变式 已知直线 ，
，且，则当两平行线 与
间的距离最大时， ___.
5
[解析] 由题可得， ，由
解得故 恒过定点
，由 解得
故恒过定点，故，距离的最大值为 ．
此时，，则，，故 ．
［素养小结］
（1）解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，可将“数”转
化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决.
（2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的
元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出
这些量的取值范围.
探究点四 距离公式的综合应用
例4 已知直线，直线 和
直线，且和之间的距离是 .
（1）求 的值.
解： 的方程可化为，和 之间的距离
，
，, .
（2）能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件： 是第一
象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到 的距离
与点到的距离之比是 若能，求出点 的坐标；若不能，请
说明理由.
解：设点，若点满足条件②，则点在与和 平行的直线
上，且,可得或 .
或 .
若点 满足条件③，则由点到直线的距离公式得
，
或 .
在第一象限，不合题意.联立方程
和，解得, ,应舍去.
联立方程与，解得, .
所以 为同时满足三个条件的点.
变式 ［2025·沈阳二十中高二月考］ 平面上有四条直线，它们的方
程分别是,,, ．则
由这四条直线围成四边形的面积是__．
[解析] 因为，即，所以直线 与
互相平行，这两条平行线间的距离为 .
又, 互相平行，所以这四条直线围成的四边形
为平行四边形.
记与直线, 分别交于点,，
则由解得则 ，
由 解得则，
因为 ，
所以四边形的面积为 .
1.求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，需先把直线
方程化为一般式方程，再应用点到直线的距离公式求解．
2.两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并
且， 的系数分别对应相等的情况.两条平行直线间的距离可以转化
为点到直线的距离.
1.求点到直线的距离,首先要把直线方程化成一般式,然后再套用点到
直线的距离公式.要注意几种特殊情况下点到直线的距离:①点
到直线的距离;②点 到直线
的距离 .
例1 已知点为正方形的中心,且边 所在直线的方程为
.
（1）求正方形 的面积;
解：由题知到直线的距离,所以正方形
的边长为,所以该正方形的面积为 .
（2）求正方形 其他三条边所在直线的方程.
解：因为,所以设直线 ,由题意
知到直线的距离为,所以
（舍去）或,所以直线.
因为直线 ,直线均与直线垂直,所以设直线,直线 的方程分
别为,,,由到直线,直线 的距离
都是,可得,,解得,或, .
综上,正方形其他三条边所在直线的方程为 ,
, .
例2 若点和到直线的距离都是.根据 的不
同取值，讨论满足条件的直线 有多少条？
解：如图，连接，,，为线段
的垂直平分线.由知不论 为多少，总有两条
与平行的直线满足到，的距离为 .
易知 .
当时，由图知还存在两条经过线段中点且与 相交的
直线满足到，的距离为，如图中, ，故此时满足条件的直线
共有4条；
当时，由图知还存在一条与线段 垂直的
直线满足到，的距离为，如图中 ，故此时
满足条件的直线共有3条；
当时，由图知不存在与 相交的直线满足
到，的距离为 ，故此时满足条件的直线共有2
条.
综上，当 时，满足条件的直线共有4条；
当时，满足条件的直线共有3条；当 时，
满足条件的直线共有2条.
2.求平行线间的距离
例3 ［2025·福建厦门二中高二期中］已知直线经过点 ，直
线经过点，且 .
（1）求与 之间的距离的最大值，并求此时两直线的方程
（用斜截式表示）；
解：当直线,均与直线垂直时，与 之间的距离最大.
直线的斜率为，因为互相垂直的两直线的斜率之积为 ，
所以此时直线与的斜率均为5，故与 之间的距离的最大值为
，
此时直线的方程为 ，
直线的方程为，即 .
（2）若与 之间的距离为5，求此时两直线的方程（用一般式表示）.
解：①若,的斜率都存在，设其斜率为 ，
则的方程为，即,的方程为 ，
即 .
由题意得，解得 ，
所以直线的方程为，即 ，
直线的方程为，即 .
②若,的斜率都不存在，则的方程为,的方程为 ，即
，
此时与 之间的距离为5，符合题意.
综上所述，,或 ,
.
练习册
1.点到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得,所以点 到直线
的距离 ,故选B.
√
2.［2025·浙江温州十校高二期中］直线 与直线
间的距离为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 由题可知直线的方程可以化为，所以与
间的距离 .故选D.
√
3.已知点到直线的距离为1，则 等于
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得,解得或 .
, .故选C.
√
4.（多选题）到直线的距离等于 的直线方程可能为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为所求直线到直线的距离为 ，所以所求直
线与直线 平行，
设所求直线的方程为，，
则两直线间的距离 ，解得或，
故所求直线方程为或 .故选 .
√
√
5.若点为两条直线和的交点,则点 到
直线 的距离的最大值为( )
A. B. C. D.5
[解析] 由得即.由 ,
得,由得所以直线 过定点.
连接,易知当直线与直线垂直时,点到直线 的距离取
得最大值,且最大值为 .故选B.
√
6.（多选题）已知平面上一点，若直线上存在点使 ，
则称该直线为“ 型直线”．下列直线是“ 型直线”的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于A，点到直线的距离 ，则直线
上不存在到点的距离等于4的点，故A不符合题意；
对于B，点 到直线的距离，所以在直线上可以找到不同的
两点到点 的距离等于4，故B符合题意；
对于C，点 到直线的距离，则直线上存在一点到
点 的距离等于4，故C符合题意；
对于D，点到直线的距离 ，故直线上不存在
点到点的距离等于4，故D不符合题意．
故选 .
7.已知直线过点,且点和到直线 的距离相等，
则直线 的方程为_____________________.
或
[解析] 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ,即
,由已知得,可得 ，
所以直线的方程为,即.
当直线 的斜率不存在时，直线方程为，也满足题意.
所以直线 的方程为或 .
8.［2025·安徽合肥一中高二调研］若， 分别为
，上的动点，且 ，则
的最小值为__.
[解析] 由，得，则 ,
，所以 的最小值为两平行直线间的距离，为
.
9.（13分）已知的三个顶点分别是,, ,求
的平分线所在直线的方程.
解:设为平分线上的任意一点,则点到直线 的距离与
到直线 的距离相等.
由题知直线,的方程分别是 和
,
所以由点到直线的距离公式,得 ,
即 ,
即或 ,
整理得或 .
易知是 的外角平分线所在直线的方程,所以
是 的平分线所在直线的方程.
10.（13分）求证：两条平行直线 与
间的距离 ．
证明：在直线上任意取一点 ，
则点到直线 的距离就是这两条平行直线间
的距离，即 ．
因为点在直线 上，所以
，即 ，因此
.
11.［2025·江苏启东中学高二月考］已知,, 两点都在直线
上，且,两点横坐标之差为2，则 的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 设,，则 ，
，
显然点 不在直线上，
则边上的高，所以 的面积为 .
故选B.
√
12.［2025·江苏泰州中学高二月考］已知点，，若点
在函数的图象上，则使得的面积为2的点 的个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 设点.由题意知直线的方程是 ,.
因为的面积为2，所以在这个三角形中， 边上的高满足
，即，故点到直线的距离为 .
由点到直线的距离公式，得，即 ，即
或 ，这两个方程各自有两个不相等的
实数根，故这样的点 有4个.故选D.
13.（多选题）［2025·湖南湘潭中学高二质检］ 已知 ，
，若与到直线的距离都为2，则满足条件的直线 的斜率
可以为( )
A. B.0 C. D.
√
√
√
[解析] 连接，因为，，所以 ，
则直线的方程为，且线段 的中点坐标为.
若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线 的方程
为，即，则到直线 的距离
，即，解得或 ；
若直线与平行，设直线的方程为 ，则
到直线的距离，解得或 ，此时直线
的斜率为.故选 .
14.［2025·江苏常州一中高二期中］已知平行四边形 的四条边所
在直线的方程分别是， ，
，，则平行四边形 的面积
为___.
9
[解析] 设与的交点为，与的交点为,与的交点为
由，，可求得交点 .
由，，可求得交点 .
由，，可求得交点 .
可得点到的距离 ，
，
所以 .
15.已知,,,,且满足, ,则
的最小值为___.
[解析] 设,,直线 ,直线,
则由题意可知点 在直线上,点在直线
上, 表示,之间的距离.
与平行,, 之间的距离的最小值等于两平行线之间的距离,
为 .
16.（15分）设集合直线与直线 相交且以交点的横坐标
为斜率 ．
（1）点到 中哪条直线的距离最小；
解:设直线与直线的交点为，则直线 的方程为
，即 ．
所以点到直线的距离为 ，
所以当时，点到直线 的距离最小，最小值为0，此时直
线的方程为 ．
（2）设，点到中直线的距离的最小值设为 ，求
．
解:由题可知点到直线 的距离
，
设，则 ，
所以当，即或 时，
当，即时，在 上单调递增，则
．
综上，
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二 2.
【诊断分析】1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.解：在运用点到直线的距离公式时，要求直线的方程应化为一般式；在应用
两条平行线间的距离公式时，要求两条平行直线的方程都是一般式，且
,
对应
的系数应分别相等．
课中探究 例1 （1）B （2）
或
变式 （1）
或
（2）不存在.理由略 例2 （1）D （2）3 变式 A
例3
变式 5 例4 （1）（2）
变式
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.C 4.CD 5.B 6.BC 7.
或
8.
9.
10.略
11.B 12.D 13.BCD 14.9 15.
16.（1）
（2）
1.5.2 点到直线的距离
【课前预习】
知识点一
知识点二
2.
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.解:在运用点到直线的距离公式时,要求直线的方程应化为一般式;在应用两条平行线间的距离公式时,要求两条平行直线的方程都是一般式,且x, y对应的系数应分别相等.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)-2或-
[解析] (1)由点到直线的距离公式可得点A到直线l的距离为=2.故选B.
(2)因为A(-3,-4),B(5,6)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以=,即|3a+3|=|5a+7|,解得a=-2或-.
变式 解:(1)①当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
根据题意,得=2,解得k=,所以直线方程为3x-4y-10=0.
故符合题意的直线方程为x-2=0或3x-4y-10=0.
(2)不存在.理由如下:过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线(其中O为坐标原点),最大距离为OP==,而6>,故不存在这样的直线.
探究点二
例2 (1)D (2)3 [解析] (1)由平行线间的距离公式可知,所求距离为=.故选D.
(2)因为直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0平行,所以=≠,解得n=-4且m≠-3,所以直线l2的方程为2x-4y-6=0,即x-2y-3=0.因为两平行线间的距离为2,所以=2,得|m+3|=10,因为m>0,所以m+3=10,得m=7,所以m+n=7-4=3.
变式 A [解析] 因为直线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0平行,所以1×2=(a-1)×a,且1×1≠2a,解得a=2或a=-1.当a=2时,l1:x+y+2=0,即2x+2y+4=0,l2:2x+2y+1=0,两平行线间的距离为=,符合题意;当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,两平行线间的距离为=,不符合题意,舍去.故选A.
探究点三
例3 [解析] 由题意知,直线l1:ax+y+1=0恒过定点P(0,-1),直线l2:y=k(x+1)恒过定点Q(-1,0),如图所示,过P(0,-1)作l2的垂线段PH,垂足为H,那么必有PH≤PQ,当且仅当Q与H重合时取等号,从而PH的最大值为PQ==,即点P到直线l2:y=k(x+1)距离的最大值是.
变式 5 [解析] 由题可得,l1:λ(x-y+2)+2x+y-5=0,由解得故l1恒过定点A(1,3).l2:k(x-2y+1)+x+y-5=0,由解得故l2恒过定点B(3,2),故l1,l2距离的最大值为AB=.此时,-=-=-=2,则λ=4,k=1,故λ+k=5.
探究点四
例4 解: (1)l2的方程可化为2x-y-=0,∴l1和l2之间的距离d==,
∴=,∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且=×,可得c=或c=.∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
若点P满足条件③,则由点到直线的距离公式得=·,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵P在第一象限,∴3x0+2=0不合题意.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=,应舍去.
联立方程2x0-y0+=0与x0-2y0+4=0,解得x0=,y0=.
所以P为同时满足三个条件的点.
变式 [解析] 因为4x-2y+5=0,即y=2x+,所以直线y=2x+1与4x-2y+5=0互相平行,这两条平行线间的距离为=.又y=-x+1,x+y-4=0互相平行,所以这四条直线围成的四边形为平行四边形.记y=2x+1与直线y=-x+1,x+y-4=0分别交于点A,B,则由解得则A(0,1),由
解得则B(1,3),因为AB==,所以四边形的面积为×=.1.5.2 点到直线的距离
1.B [解析] 由y=x-2,得x-y-2=0,所以点(1,2)到直线x-y-2=0的距离d===,故选B.
2.D [解析] 由题可知直线l2的方程可以化为x-2y+=0,所以l1与l2间的距离d==.故选D.
3.C [解析] 由题意得=1,解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+.故选C.
4.CD [解析] 因为所求直线到直线2x+y+1=0的距离为,所以所求直线与直线2x+y+1=0平行,设所求直线的方程为2x+y+c=0,c≠1,则两直线间的距离d==,解得c=0或c=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.故选CD.
5.B [解析] 由得即P(1,1).由kx-y+k+2=0,得k(x+1)+2-y=0,由得所以直线l过定点A(-1,2).连接AP,易知当直线AP与直线l垂直时,点P到直线l的距离取得最大值,且最大值为AP==.故选B.
6.BC [解析] 对于A,点M到直线的距离d==3>4,则直线上不存在到点M的距离等于4的点,故A不符合题意;对于B,点M到直线的距离d1=2<4,所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4,故B符合题意;对于C,点M到直线的距离d2==4,则直线上存在一点到点M的距离等于4,故C符合题意;对于D,点M到直线的距离d3==4>4,故直线上不存在点P到点M的距离等于4,故D不符合题意.故选BC.
7.x+4y+1=0或x=3 [解析] 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,由已知得=,可得k=-,所以直线l的方程为y+1=-(x-3),即x+4y+1=0.当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=3,也满足题意.所以直线l的方程为x+4y+1=0或x=3.
8. [解析] 由l1∥l2,得a=6,则l1:6x+8y+10=0,l2:6x+8y+25=0,所以PQ的最小值为两平行直线间的距离,为==.
9.解:设P(x,y)为∠BAC平分线上的任意一点,则点P到直线AB的距离与到直线AC的距离相等.
由题知直线AB,AC的方程分别是4x-3y-13=0和3x+4y-16=0,
所以由点到直线的距离公式,得=,
即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,
即4x-3y-13=3x+4y-16或4x-3y-13=-(3x+4y-16),整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.
易知x-7y+3=0是∠BAC的外角平分线所在直线的方程,所以7x+y-29=0是∠BAC的平分线所在直线的方程.
10.证明:在直线Ax+By+C1=0上任意取一点P(x0,y0),
则点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离,即d=.
因为点P(x0,y0)在直线Ax+By+C1=0上,所以Ax0+By0+C1=0,即Ax0+By0=-C1,因此d===.
11.B [解析] 设A(x1,kx1+1),B(x2,kx2+1),则|x1-x2|=2,AB==2,显然点C(0,3)不在直线kx-y+1=0上,则边AB上的高h==,所以△ABC的面积为AB·h=2.故选B.
12.D [解析] 设点C(t,t2).由题意知直线AB的方程是x+y-2=0,AB=2.因为△ABC的面积为2,所以在这个三角形中,AB边上的高h满足×2h=2,即h=,故点C到直线AB的距离为.由点到直线的距离公式,得=,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2,这两个方程各自有两个不相等的实数根,故这样的点C有4个.故选D.
13.BCD [解析] 连接AB,因为A(1,0),B(4,-4),所以kAB==-,则直线AB的方程为4x+3y-4=0,且线段AB的中点坐标为.若直线l过AB的中点,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+2=k,即kx-y-k-2=0,则A到直线l的距离d1==2,即(3k+4)2=16(k2+1),解得k=0或k=;若直线l与AB平行,设直线l的方程为4x+3y+m=0(m≠-4),则A到直线l的距离d2==2,解得m=6或m=-14,此时直线l的斜率为-.故选BCD.
14.9 [解析] 设l1与l2的交点为C,l1与l4的交点为B,l2与l3的交点为D由l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,可求得交点C(3,2).由l1:x-4y+5=0,l4:2x+y+1=0,可求得交点B(-1,1).由l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,可求得交点D(2,4).可得点D到l1:x-4y+5=0的距离d==,BC==,所以S ABCD=BC×d=×=9.
15. [解析] 设A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y-6=0,直线l2:3x+4y-=0,则由题意可知点A(m,n)在直线l1:3x+4y-6=0上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y-=0上,表示A,B之间的距离.∵l1与l2平行,∴A,B之间的距离的最小值等于两平行线之间的距离,为=.
16.解:(1)设直线l与直线y=2x的交点为(k,2k),则直线l的方程为y-2k=k(x-k),即kx-y-k2+2k=0.
所以点(-2,0)到直线l的距离为=-,
所以当k=0时,点(-2,0)到直线l的距离最小,最小值为0,此时直线l的方程为y=0.
(2)由题可知点P(-2,a)到直线l的距离d1===,
设t=k2+1≥1,则d1=f(t)=,
所以当(a-1)2≥1,即a≥2或a≤0时,d1≥=
当(a-1)2<1,即0
综上,d(a)=1.5.2 点到直线的距离
【学习目标】
1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.
2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.
3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.
4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.
◆ 知识点一 点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d= .
除了课本上的证明方法之外,我们还可以用下面的方法证明.
证明:根据定义,点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长度.如图,过点P(x0,y0)作直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y0=(x-x0),与l的方程联立,得交点Q的坐标为,则PQ=.
可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.
◆ 知识点二 两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
1.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离为d= .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)点(x,y)到直线x+y-2=0的距离是. ( )
(2) 点(-5,4)到直线y-1=0的距离为3. ( )
(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值. ( )
(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为. ( )
2.在运用点到直线的距离公式时,对直线方程有什么要求 在应用两条平行线间的距离公式时,对直线方程有什么要求
◆ 探究点一 点到直线的距离
例1 (1)已知点A(3,0),直线l:3x-4y+1=0,则点A到直线l的距离为 ( )
A.3 B.2
C.1 D.
(2)[2025·江苏苏州高二期中] 已知A(-3,-4),B(5,6)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为 .
变式 已知点P(2,-1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程.
(2)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线 若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
[素养小结]
点到直线的距离的求解方法:
(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可;
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解;
(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
◆ 探究点二 平行线间距离公式的应用
例2 (1)两条平行直线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0间的距离为 ( )
A. B.2
C.14 D.
(2)[2025·江苏扬州中学高二月考] 若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n= .
变式 [2025·山东莱芜一中高二质检] 若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a的值为 ( )
A.2 B.-2或1
C.-1 D.-1或2
[素养小结]
求两平行线间距离的两种常用方法.
(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接利用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
◆ 探究点三 利用距离公式解决最值问题
例3 已知直线l1:ax+y+1=0过定点P,则点P到直线l2:y=k(x+1)距离的最大值是 .
变式 已知直线l1:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ-5=0,l2:(k+1)x+(1-2k)y+k-5=0,且l1∥l2,则当两平行线l1与l2间的距离最大时,λ+k= .
[素养小结]
(1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义,可将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的取值范围.
◆ 探究点四 距离公式的综合应用
例4 已知直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2之间的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶ 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
变式 [2025·沈阳二十中高二月考] 平面上有四条直线,它们的方程分别是y=2x+1,4x-2y+5=0,y=-x+1,x+y-4=0.则由这四条直线围成四边形的面积是 . 1.5.2 点到直线的距离
1.点(1,2)到直线y=x-2的距离为 ( )
A. B.
C. D.3
2.[2025·浙江温州十校高二期中] 直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-4y+3=0间的距离为 ( )
A.1 B.
C. D.
3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于 ( )
A. B.2-
C.-1 D.+1
4.(多选题)到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可能为 ( )
A.2x-y=0 B.2x+y-2=0
C.2x+y=0 D.2x+y+2=0
5.若点P为两条直线2x-3y+1=0和x+y-2=0的交点,则点P到直线l:kx-y+k+2=0的距离的最大值为 ( )
A. B.
C. D.5
6.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使PM=4,则称该直线为“Ω型直线”.下列直线是“Ω型直线”的是 ( )
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+10
7.已知直线l过点P(3,-1),且点A(1,3)和B(5,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为 .
8.[2025·安徽合肥一中高二调研] 若P,Q分别为l1:3x+4y+5=0,l2:ax+8y+25=0上的动点,且l1∥l2,则PQ的最小值为 .
9.(13分)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠BAC的平分线所在直线的方程.
10.(13分)求证:两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.
11.[2025·江苏启东中学高二月考] 已知C(0,3),A,B两点都在直线y=kx+1上,且A,B两点横坐标之差为2,则△ABC的面积为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
12.[2025·江苏泰州中学高二月考] 已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
13.(多选题)[2025·湖南湘潭中学高二质检] 已知A(1,0),B(4,-4),若A与B到直线l的距离都为2,则满足条件的直线l的斜率可以为 ( )
A.-1 B.0
C. D.-
14.[2025·江苏常州一中高二期中] 已知平行四边形ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,l4:2x+y+1=0,则平行四边形ABCD的面积为 .
15.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,6a+8b=1,则的最小值为 .
16.(15分)设集合A={l|直线l与直线y=2x相交且以交点的横坐标为斜率}.
(1)点(-2,0)到A中哪条直线的距离最小;
(2)设P(-2,a),点P到A中直线l的距离的最小值设为d(a),求d(a).