单元素养测评卷(一)
1.B [解析] 由已知得直线AB的斜率k==1,设直线AB的倾斜角为α,则tan α=1,0°≤α<180°,所以α=45°.故选B.
2.B [解析] 若直线ax+2y=0与x+(a+3)y+4=0垂直,则a+2(a+3)=0,即a=-2.故选B.
3.C [解析] 由l1∥l2,得解得m=-2,则l1:x+2y-1=0,l2:x+2y+1=0,故两直线间的距离d==,故选C.
4.C [解析] 当直线l过原点时,直线的斜率为=2,直线方程为y=2x,即2x-y=0,满足题意.当直线l不过原点时,设直线方程为+=1,将点(1,2)的坐标代入方程,得=1,解得a=2,则直线方程为+=1,即2x+y-4=0.综上,直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.故选C.
5.A [解析] 设点(4,0)关于直线x+y-10=0的对称点为(a,b),则解得因此反射光线所在直线过点(10,6),其方程为y=x+1,即x-2y+2=0.故选A.
6.A [解析] 直线x+my-m=0过定点A(0,1),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3),且1×m-m×1=0,则两直线垂直,故PA2+PB2=AB2=12+22=5.故选A.
7.B [解析] 由点A(1,2)在l1:ax+by+1=0上可知,a+2b+1=0,由点A(1,2)在l2:cx+dy+1=0上可知,c+2d+1=0,故点B(a,b)与C(c,d)的坐标均满足方程x+2y+1=0,由于两点确定一条直线,因此直线BC的方程为x+2y+1=0,故选B.
8.B [解析] 函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞),其最小值为2,当k≤0时,f(x)=x+在(0,+∞)上单调递增,没有最小值,不合题意,则k>0,所以f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时等号成立,所以f(x)在(0,+∞)上有最小值2,得2=2,解得k=1,A中结论正确;f(x)=x+,设M(x0>0),则MB=x0,OB=x0+,MA===,由=2023,解得x0=,此时MA=2023,B中结论不正确;MA·MB=·x0=,C中结论正确;MA所在直线的方程为y-=-(x-x0),与方程y=x联立,解得y=x=x0+,则A,则OA=,故四边形OAMB的面积S=S△MBO+
S△MAO=MB·OB+OA·MA=x0+××=1++≥1+2=1+,当且仅当=,即=时等号成立,所以四边形OAMB面积的最小值为+1,D中结论正确.故选B.
9.AD [解析] 在直线l1的方程中,令y=0,可得x=1,即直线l1在x轴上的截距为1,所以A正确;在直线l2的方程中,令x=0,可得y=-1,即直线l2在y轴上的截距为-1,所以B不正确;若l1∥l2,则1×3=m·(m-2),且1×3≠-1×(m-2),解得m=3,所以C不正确;若l1⊥l2,则1·(m-2)+3m=0,解得m=,所以D正确.故选AD.
10.BC [解析] 对于A,由x+y+c=0,得y=-x-c,所以直线l的斜率k=-,故直线l的倾斜角为150°,故A错误;对于B,设与直线l平行的直线l1的方程为x+y+n=0(n≠c),由直线l1经过原点,得n=0,即直线l1的方程为x+y=0,故B正确;对于C,设与直线l垂直的直线l2的方程为x-y+m=0,由直线l2经过点(2,),得m=-,即直线l2的方程为x-y-=0,故C正确;对于D,O到直线l的距离d==1,得|c|=2,所以c=±2,故D错误.故选BC.
11.ABD [解析] 点P到直线l的距离d==,A选项正确;由点P的坐标及直线l的方程得2-1+3=4>0,若点P与点Q位于直线l的两侧,则2-2m-m+3<0,即12.∪ [解析] 设直线的倾斜角为α,斜率为k,则α∈[0,π),由-1≤k≤,得-1≤tan α≤,当0≤tan α≤时,α∈;当-1≤tan α<0时,α∈,∴α∈∪.
13.(0,-1) x-2y-3=0 [解析] 设点P(1,0)关于直线l1:x+y=0对称的点为P'(a,b),可得解得即P'(0,-1).由可得l2与l的交点坐标为(-3,-3),再取直线y=2x+3上一点(0,3),设该点关于直线l:x-y=0的对称点为(m,n),可得解得可得对称点(m,n)的坐标为(3,0),所以==,则直线l3的方程为y=(x-3),即x-2y-3=0.
14.y=x [解析] 易知点B(4,0),C(8,-4)所在直线的方程为x+y-4=0,如图所示,由图可知,要想目标球B向C处运动,则当A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,设A,B两球碰撞时,球A的球心为A'(a,b),此时A'B=2,则解得即A,B两球碰撞时,球A的球心为A'(4-,),所以母球A的球心运动的直线方程为y=x,即y=x.
15.解:(1)由直线BE的斜率为-,得直线AC的斜率kAC=3,
则直线AC的方程为y-2=3(x-2),即y=3x-4,
由解得
所以点C的坐标为(0,-4).
(2)依题意,设B(2-3b,b),则边AB的中点为M,
于是6×++4=0,解得b=2,即点B(-4,2),
所以直线BC的方程为y+4=(x-0),
即3x+2y+8=0.
16.解:(1)由A(0,-2),B(2,0),得kAB==1,
则直线AB的方程为y-(-2)=x-0,即x-y-2=0.
(2)△ABC的面积为定值,
因为kAB=1=kl,所以AB∥l,
又点C在直线l:x-y+2=0上运动,
故点C到直线AB的距离为定值,且点C到直线AB的距离为两平行直线间的距离d==2,
又AB==2,
故S△ABC=AB·d=×2×2=4.
17.解:(1)因为BC边所在直线过点P(3,1),C(2,-3),
所以kBC==4,
在菱形ABCD中,AD∥BC,故kAD=kBC=4,
又A(-4,3),所以AD边所在直线的方程为y-3=4(x+4),即y=4x+19.
(2)连接AC,BD,由A(-4,3),C(2,-3),得kAC==-1,
在菱形ABCD中,BD⊥AC,故kBD=-=1,
由A(-4,3),C(2,-3),得线段AC的中点坐标为(-1,0),
故直线BD的方程为y=x+1,
由解得故D(-6,-5).
18.解:(1)由题可知kOB=1,点A,B所在直线的方程为y=1,点O,B所在直线的方程为y=x,直线l:y=kx-1(k>0).
由得M,
因为直线l与边AB交于点M,且点M异于A,B两点,
所以0<<1,所以k>2.
由得N.
(2)由题可知S=S△OPM-S△OPN=×1×-×1×=(k>2).
设t=k-2,则t>0,
故S==≤=,
当且仅当t=,即t=,即k=+2时,等号成立.
故当k=+2时,S取得最大值,最大值为.
19.解:(1)第一步,在直线y=2x+1上取两点A(0,1)和B(1,3),则向量=(1,2);
第二步,设n=(x,y)且⊥n,则x+2y=0,
令y=1,则x=-2,即n=(-2,1);
第三步,=(-1,0)在n上的投影向量=·n=·(-2,1)=;
第四步,求出距离d=||==.
所以点P(1,1)到直线y=2x+1的距离为.
(2)第一步,在直线y=kx+b上取两点A(0,b)和B(1,k+b),则向量=(1,k);
第二步,设n=(x,y)且⊥n,则x+ky=0,
令y=1,则x=-k,即n=(-k,1);
第三步,=(-x0,b-y0)在n上的投影向量=·n=·(-k,1)=·(-k,1);
第四步,求出距离d=||=·=.
所以点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.单元素养测评卷(一)
第1章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·江苏南京一中高二月考] 过点A(1,-2)和点B(-1,-4)的直线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.135°
2.若直线ax+2y=0与x+(a+3)y+4=0垂直,则实数a的值为( )
A.-1 B.-2
C.1 D.2
3.[2025·山东济宁一中高二月考] 已知直线l1:mx-4y+2=0(m∈R)与l2:x-my+1=0,若l1∥l2,则l1,l2之间的距离是 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·江苏无锡一中高二月考] 若直线l过点(1,2),且直线l在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程是 ( )
A.2x-y=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或2x+y-4=0
D.2x-y=0或2x+y-2=0
5.[2025·河北廊坊一中高二月考] 已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在直线的方程为 ( )
A.x-2y+2=0
B.3x-2y+2=0
C.2x-3y+3=0
D.2x-y+1=0
6.设m∈R,过定点A的直线x+my-m=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P,则PA2+PB2的值为 ( )
A.5 B.
C. D.与m的取值有关
7.[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知点A(1,2),B(a,b),C(c,d),若A是直线l1:ax+by+1=0和l2:cx+dy+1=0的公共点,则直线BC的方程为 ( )
A.x+2y-1=0
B.x+2y+1=0
C.2x+y-1=0
D.2x+y+1=0
8.[2025·江苏苏州中学高二月考] 已知函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞),其最小值为2.点M是函数图象上的任意一点,过点M作直线l:y=x和y轴的垂线,垂足分别为A,B,O为坐标原点,则下列结论不正确的是 ( )
A.k=1
B.不存在点M,使得MA=2023
C.MA·MB的值恒为
D.四边形OAMB面积的最小值为+1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·广东梅州兴宁一中高二期中] 已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是 ( )
A.直线l1在x轴上的截距为1
B.直线l2在y轴上的截距为1
C.若l1∥l2,则m=-1或m=3
D.若l1⊥l2,则m=
10.已知直线l:x+y+c=0(c≠0),O为坐标原点,则 ( )
A.直线l的倾斜角为120°
B.过O且与直线l平行的直线方程为x+y=0
C.过点(2,)且与直线l垂直的直线方程为x-y-=0
D.若O到直线l的距离为1,则c=2
11.[2025·湖南长沙一中高二调研] 已知直线l:2x-y+3=0,点R(0,2),P(1,1),Q(1-m,m),m∈R,则下列说法正确的是 ( )
A.点P到直线l的距离为
B.若点P与点Q位于直线l的两侧,则m>
C.点P与点Q之间距离的最小值为
D.QR+QP的最小值为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·江苏常州一中高二月考] 已知一条直线斜率的取值范围是[-1,],则这条直线的倾斜角的取值范围是 .
13.[2025·浙江温州中学高二月考] 点P(1,0)关于直线l1:x+y=0对称的点的坐标为 ;直线l2:y=2x+3关于直线l:x-y=0对称的直线l3的方程为 .
14.规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,如图,设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动,则母球A的球心运动的直线方程为 .
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中,A(2,2),边AC上的高BE所在直线的方程为x+3y-2=0,边AB上中线CM所在直线的方程为6x+y+4=0.
(1)求点C的坐标;
(2)求直线BC的方程.
16.(15分)[2025·江苏新海中学高二月考] 已知△ABC的顶点C在直线l:x-y+2=0上运动,点A(0,-2),点B(2,0).
(1)求直线AB的方程.
(2)△ABC的面积是否为定值 若是,求出该定值;若不是,说明理由.
17.(15分)在菱形ABCD中,A(-4,3),C(2,-3),BC边所在直线过点P(3,1),求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)点D的坐标.
18.(17分)[2025·江苏泰州中学高二月考] 已知点A(0,1),B(1,1),过点P(0,-1)的直线l与△AOB的边AB交于点M(其中点M异于A,B两点,O为坐标原点),与边OB交于点N(其中点N异于O,B两点),设直线l的斜率为k.
(1)试用k来表示点M和N的坐标.
(2)记△OMN 的面积为S,当k为何值时,S取得最大值 并求此最大值.
19.(17分)[2025·广东深圳中学高二月考] 利用向量知识可以计算点到直线的距离,例如:在直角坐标平面内有一直线y=2x+1,求点P(3,4)到该直线的距离d,可以按以下步骤计算:第一步,在直线上取两点A(0,1)和B(1,3),则向量=(1,2);第二步,写出一个与垂直的向量n=(-2,1);第三步,求出在n上的投影向量=;第四步,求出距离d=||=.请根据以上方法完成下面两个小题:
(1)求点P(1,1)到直线y=2x+1的距离;
(2)求点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离.
