(共64张PPT)
2.1 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
探究点一 圆的标准方程
探究点二 点与圆的位置关系
探究点三 圆的标准方程的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标
准方程.
2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.
知识点一 圆的定义及标准方程
1.圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，其中定点就是圆
心，定长就是半径.
2.圆的标准方程
圆 圆心在原点 圆心不在原点
圆心
半径 标准方程 _____________ _______________________
提示：（1）确定圆的标准方程的关键是确定方程中的三个常数,, ;
（2）已知圆心与圆上任意一点可以求出该圆的半径.
知识点二 点与圆的位置关系
已知点，圆， .
位置关系 图示
点在圆外 ________________________________
位置关系 图示
点在圆上 ___________________________
点在圆内 _____________________________
=
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）圆的圆心坐标是 ,半径是4.( )
×
（2）点在圆 的内部.( )
√
（3）已知为定点,点满足集合,则点 的
轨迹为圆.( )
√
（4）点在以 为圆心，5为半径的圆上.( )
×
2.方程表示圆心为，半径为 的
圆吗？
解:不是.方程表示圆心为 ，
半径为 的圆.
探究点一 圆的标准方程
例1 根据下列条件,求圆的标准方程:
（1）圆心为点,且经过点 ;
解:由题意得,圆的半径 ,所以圆
的标准方程为 .
（2）, 为直径的两个端点;
解:由题易知，线段的中点为,所以圆心为 ,又半径
,所以圆的标准方程为
.
（3）经过点和点 ,半径为2;
解:设圆的标准方程为,, ,
因为圆经过点和点,所以 解得
或
所以圆的标准方程为 或
.
例1 根据下列条件,求圆的标准方程:
（4）过点，且圆心在直线 上.
解:方法一：设所求圆的标准方程为 ，
由已知条件得
可得故所求圆的标准方程为 .
例1 根据下列条件,求圆的标准方程:
方法二：设点为圆心，因为点在直线 上，所以可
设点的坐标为 .
又该圆经过, 两点，
所以 ，
则 ，解得 .
则圆心坐标为，半径 .
故所求圆的标准方程为 .
方法三：由已知可得线段的中点坐标为， ，
所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段 的垂直平分线
的方程为 ，即.
则圆心是直线与 的交点，
由得
即圆心为，则圆的半径为 ，
故所求圆的标准方程为 .
变式 根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心是，且过点 ；
解: 圆心为，且过点，
半径，
圆的标准方程为 .
（2）圆心在轴上，半径为5，且过点 ；
解:设圆心为 ，
，
，或，或 ，
圆的标准方程为或 .
变式 根据下列条件，求圆的标准方程：
（3）点和都在圆上，圆心在 轴上.
解:设圆心为， ，
，即 ，
，半径， 圆的标准方程为
.
变式 根据下列条件，求圆的标准方程：
［素养小结］
求圆的标准方程一般有两种方法:（1）直接法.通过研究圆的几何性
质,确定圆心坐标与半径,即得到圆的标准方程.（2） 待定系数法.设
圆的标准方程为,先根据条件列出关
于,,的方程组,然后解出,,,最后代入标准方程.
探究点二 点与圆的位置关系
例2 已知点和圆 .
（1）若点在圆的内部，求实数 的取值范围;
解: 点在圆的内部, ,
即,解得 ，
故的取值范围是 .
（2）若点在圆上，求实数 的值;
解:将点的坐标代入圆的方程,得 ,
即,解得 .
（3）若点在圆的外部，求实数 的取值范围.
解: 点在圆的外部, ,
即,解得 ,
又,故的取值范围是 .
例2 已知点和圆 .
变式（1）写出圆心坐标为 ,半径为5的圆的标准方程,并分别判断
点, 与该圆的位置关系.
解:易知圆的标准方程为,
则点 到圆心的距离为,
点 到圆心的距离为,
所以点在圆上,点 在圆内.
（2）已知点在圆的内部,求实数
的取值范围.
解:由题意知
解得 ,
因此的取值范围是 .
［素养小结］
判断点与圆的位置关系的方法：计算该点与圆心的距离，与半径比
较即可.
探究点三 圆的标准方程的实际应用
例3 已知某圆拱桥（如图）的跨度 米，拱
高 米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支
柱支撑，求与相距30米的支柱 的高度.
解:以为原点，所在直线为 轴，建立如图所
示的平面直角坐标系.
由题可知，, ，
所以, ，
设圆拱所在圆的圆心为 ，圆拱所在圆的方程为
，
因为点, 在圆拱上，
所以解得
即圆拱所在圆的方程为.
将 代入圆的方程，得 ，
解得.
因为，所以 .
所以与相距30米的支柱的高度为 米.
[解析] 设半圆形隧道所在圆的圆心为，以 为坐
标原点，半圆的直径所在直线为 轴，建立如图所
示的平面直角坐标系，
设篷顶 距地面的高度为，则， ，半圆所在圆的方程为
变式 一辆卡车宽 ，要经过一个单向通行的半圆形隧道
（半径为 ），则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面高度不得超
过（注： ）( )
A. B. C. D.
，把点的坐标代入上式可得， ，可
得 .故选B.
√
［素养小结］
圆的标准方程的简单应用问题的一般解法是建立坐标系，先求出圆
的标准方程，再按照实际问题的要求去求解.
1.相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不
同，但是半径是不变的.
2.求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以
下几何性质：
（1）弦的垂直平分线必过圆心.
（2）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.
（3）圆心与切点的连线长是半径.
（4）圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直.
3.几种特殊位置的圆的标准方程
条件 圆的标准方程
过原点
1.圆的直径式方程:设，，则以线段 为直径的圆
的方程为 .其证明过程如下：
设 为圆上一动点，
线段为圆的直径，， .
， ，
，
故圆的方程为 .
例1 已知圆过点，，则当圆 的周长最小时，其标
准方程为__________________.
[解析] 当线段为圆的直径时,过点， 的圆的直径最小,从而周长
最小,此时圆的方程为 ，故所求
圆的标准方程为 .
2.圆的参数方程：设圆的方程为， ，则圆的方程
可变形为，令 ， ，则圆
的参数方程为（ 为参数）.一般地，圆
的参数方程为（ 为参数）.
例2 曼哈顿距离是由19世纪德国著名的数学家赫尔曼·闵可夫斯基所
创的词汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和.例如在
平面直角坐标系中，点, 的曼哈顿距离为
.已知动点在圆上，点 ，则
, 两点的曼哈顿距离的最大值为_________.
[解析] 设点，则, 两点的曼哈顿距离
，
当且仅当 时取等号，所以, 两点的曼哈顿距
离的最大值为 .
练习册
1.已知圆的圆心为，半径为 ,则( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 因为圆的标准方程为 ,
所以圆心为,半径 .故选D.
√
2.已知圆的圆心为,半径,则点与圆 的位置关
系是( )
A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法判断
[解析] 因为,所以点 在圆上,故选B.
√
3.以点为圆心，且经过点 的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为圆以点为圆心，且经过点 ，
所以圆的半径,
所以以点 为圆心，且经过点的圆的方程为 .
故选A.
√
4.若点不在圆的外部,则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 点不在圆的外部,
则点 在该圆的内部或圆上,
故,且 ,
解得,故实数的取值范围为 .故选B.
√
5.过点，， 的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 连接，，由题可知，线段的垂直平分线为 ，线
段的垂直平分线为，故所求圆的圆心为 ，
又半径,
故所求圆的标准方程为 .
故选A.
√
6.（多选题）［2025·湖南长沙一中高二质检］ 已知圆上的点 关
于直线的对称点仍在圆上,且圆的半径为 ,则圆的标准方
程可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 圆上的点关于直线的对称点仍在圆上,
圆心在直线上.
设圆心坐标为 ,则由,解得或,
圆的标准方程为或.故选 .
√
√
7.［2025·江苏徐州一中高二期末］已知圆的圆心为 ,一条直
径的两个端点分别在轴和 轴上,则该圆的标准方程为____________
____________.
[解析] 由题意知原点在该圆上,
则该圆的半径 ,
故该圆的标准方程为 .
8.如图，某圆拱桥的水面跨度为12米，拱高为4米，现有一船宽8米，
则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为_____米.
（精确到，参考数据 ）
2.63
[解析] 以圆拱桥的跨度所在直线为轴，过圆拱桥的最
高点且垂直于 轴的直线为 轴，建立如图所示的平面
直角坐标系，设图中的矩形 表 示船刚好能通过桥下的位置.
可得，， ，， ，设圆拱桥所在圆的
方程为，
因为点， 在该圆上，所以解得 所以圆
的方程为.
令 ,则 ,所以这条船能从桥下通过的水面以上
最大高度约为2.63米.
9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程：
（1）圆心在轴上，半径为5，且过点 ；
解:设圆的标准方程为 .
因为点在圆上，所以，解得 或
，
所以所求圆的标准方程为或 .
（2）经过点，，且以线段 为直径；
解:设圆的标准方程为 ，由题意得
， .
又因为点在圆上，所以 ，所
以所求圆的标准方程为 .
9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程：
（3）圆心在直线上，且与直线相切于点 ；
解:设圆心为，因为圆与直线相切于点 ，所
以 ，
解得 ，
所以所求圆的圆心为，半径 .
所以所求圆的标准方程为 .
9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程：
（4）圆心在直线上，且过点， .
解:设点为圆心，因为点在直线上，所以可设点
的坐标为 .
又该圆经过，两点，所以 .
所以 ，解得
，所以，半径 .
故所求圆的标准方程为 .
9.（13分）根据下列条件，分别求圆的标准方程：
10.［2025·江苏南京一中高二期中］已知集合 ,
，，则集合 中含有的元素有
( )
A.零个 B.一个 C.两个 D.无数个
[解析] 易知集合表示的是圆 及其内部所有的点，则
,，所以集合 中含有的元素有两个.故选C.
√
11.已知,是方程 的两个不相等的实数根,则点
与圆 的位置关系是( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点 在圆外 D.无法确定
[解析] 因为,是方程 的两个不相等的实数根,所以
所以 ,由此可知,
点在圆 内.故选A.
√
12.（多选题）［2025·浙江温州二中高二期末］ 设有一组圆
，则下列说法正确的是( )
A.圆心 在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.经过点的圆 有且只有一个
D.所有圆的面积均为
√
√
√
[解析] 根据题意，圆 的圆心为
,半径为2.
对于A，圆心为,圆心在直线 上，故A正确；
对于B，将点的坐标代入圆的方程可得 ,
化简得,可知 ,则方程无解，
所以所有圆均不经过点，故B正确；
对于C，将点 的坐标代入圆的方程可得,
解得 ,则经过点的圆 有两个，故C错误；
对于D,因为所有圆的半径均为2,所以所有圆的面积均为,故D正确.
故选 .
13.［2025·江苏盐城一中高二月考］在对某一个圆的方程的探究中，
有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为 ；乙：该圆
经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点 .如果只
有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是____.
丁
[解析] 设，，，则 ,
, .
假设甲错误，乙、丙、丁均正确，由乙、丙、丁正确得,
，则 ，与丙正确矛盾,假设不成立，所以甲正确.
假设乙错误，甲、丙、丁均正确,由甲、丙正确可知圆的标准方程为
，易知点 不在该圆上，与丁正确矛盾，
假设不成立，所以乙正确.
假设丙错误，甲、乙、丁均正确,由乙、丁正确得 ，与甲
正确矛盾,假设不成立，所以丙正确.
假设丁错误，甲、乙、丙均正确，由甲、丙正确可知圆的标准方程为
，显然点 在该圆上，符合题意.
综上所述，结论错误的同学是丁.
14.（15分）［2025·江苏南通中学高二月考］
如图，矩形 的两条对角线交于点
， 边所在直线的方程为
，点在 边所在直线
上.
（1）求 边所在的直线方程；
解:因为，所以.可求得关于 的对称点
为，且易知点在直线上，所以 边所在直线的方
程为，即 .
（2）求点的坐标以及矩形 外接圆的
标准方程.
解:由
解得即.
设矩形 外接圆的半径为,
则 .
所以矩形外接圆的标准方程为 .
15.［2025·江苏苏州一中高二月考］由曲线 围成
的图形的面积是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ①当，时， 可
化成，即 .
同理，②当，时， 可化成
;
③当，时， 可化成；
④当，时， 可化成 .
根据以上分析作出曲线 ，如图中实线所示，
由图可知，所求图形的面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的
4倍，结合①易知，点的坐标为， 点的坐标为
，且为等腰直角三角形（其中 为坐标
原点），所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面
积 ，
从而曲线围成的图形的面积 .
故选D.
16.（15分）， 两地均出售某种大型商品，且价格相同，某地居民
从两地之一购得商品运回来，地每千米的运费是 地每千米的运费
的两倍，，两地相距10千米，若要使顾客选择地或 地购买这种
商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择
购买此商品的地点？
解:以所在直线为轴，线段的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设，则 .
在坐标平面内任取一点 ，
设从地运货到地的运费为元/千米，则从地运货到 地的运费
为 元/千米.
若地居民选择在地或 地购买此商品的运费相同，则
，整理得 ，
设，则圆上的居民可随意选择，两地之一购物，圆
内的居民应在地购物，圆外的居民应在 地购物.
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一 2.
知识点二 =
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ （4）× 2. 不是.
课中探究 例1 （1） （2）
（3）或
（4）变式 （1）
（2）或 （3）
例2 （1）（2）（3）
变式 （1）圆的标准方程为, 点在圆上,点在圆内.
（2）
例3 米 变式 B
快速核答案(练习册)
1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.AD 7. 8.2.63
9.（1）或
（2） （3）
（4）
10.C 11.A 12.ABD 13.丁
14.（1）（2）
15.D 16.略
. .第2章 圆与方程
2.1 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
【学习目标】
1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程.
2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.
◆ 知识点一 圆的定义及标准方程
1.圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,其中定点就是圆心,定长就是半径.
2.圆的标准方程
圆 圆心在原点 圆心不在原点
圆心 (0,0) (a,b)
半径 r(r>0)
标准方程
提示:(1)确定圆的标准方程的关键是确定方程中的三个常数a,b,r;
(2)已知圆心与圆上任意一点可以求出该圆的半径.
◆ 知识点二 点与圆的位置关系
已知点P(x0,y0),圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2,d=PM.
位置关系 d与r的大小 图示 x0,y0满足的关系
点在圆外 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆内 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. ( )
(2)点(0,0)在圆(x-1)2+y2=26的内部. ( )
(3)已知A为定点,点M满足集合P={M|MA=r(r>0)},则点M的轨迹为圆. ( )
(4)点P(1,3)在以A(2,-1)为圆心,5为半径的圆上. ( )
2.方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t≠0)表示圆心为(a,b),半径为t的圆吗
◆ 探究点一 圆的标准方程
例1 根据下列条件,求圆的标准方程:
(1)圆心为点A(2,-1),且经过点B(-2,2);
(2)E(1,2),F(3,4)为直径的两个端点;
(3)经过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2;
(4) 过点G(1,-1),H(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上.
变式 根据下列条件,求圆的标准方程:
(1)圆心是(4,-1),且过点(5,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4);
(3)点C(-1,1)和D(1,3)都在圆上,圆心在x轴上.
[素养小结]
求圆的标准方程一般有两种方法:(1)直接法.通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径,即得到圆的标准方程.(2) 待定系数法.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程.
◆ 探究点二 点与圆的位置关系
例2 已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2(a≠0).
(1)若点A在圆C的内部,求实数a的取值范围;
(2)若点A在圆C上,求实数a的值;
(3)若点A在圆C的外部,求实数a的取值范围.
变式 (1)写出圆心坐标为(3,4),半径为5的圆的标准方程,并分别判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.
(2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求实数a的取值范围.
[素养小结]
判断点与圆的位置关系的方法:计算该点与圆心的距离,与半径比较即可.
◆ 探究点三 圆的标准方程的实际应用
例3 已知某圆拱桥(如图)的跨度AB=100米,拱高OP=10米,在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑,求与OP相距30米的支柱MN的高度.
变式 一辆卡车宽1.6 m,要经过一个单向通行的半圆形隧道(半径为3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面高度不得超过(注:≈0.877) ( )
A.1.4 m B.3.5 m
C.3.6 m D.2.0 m
[素养小结]
圆的标准方程的简单应用问题的一般解法是建立坐标系,先求出圆的标准方程,再按照实际问题的要求去求解.第2章 圆与方程
2.1 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
1.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=4的圆心为C,半径为r,则 ( )
A.C(1,-1),r=4 B.C(-1,1),r=4
C.C(1,-1),r=2 D.C(-1,1),r=2
2.已知圆A的圆心为A(2,-3),半径r=5,则点M(5,-7)与圆A的位置关系是 ( )
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.无法判断
3.以点(2,0)为圆心,且经过点(0,1)的圆的方程为 ( )
A.(x-2)2+y2=5
B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=13
D.(x+1)2+(y+2)2=13
4.若点A(a,2)不在圆(x-1)2+(y+1)2=5a的外部,则实数a的取值范围为 ( )
A.[1,5] B.[2,5]
C.[3,5] D.[4,5]
5.过点O(0,0),A(2,0),B(0,2)的圆的标准方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=2
B.(x-2)2+(y-2)2=4
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x+2)2+(y+2)2=4
6.(多选题)[2025·湖南长沙一中高二质检] 已知圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的标准方程可能是 ( )
A.x2+y2=5
B.(x-1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=5
D.(x-1)2+(y+1)2=5
7.[2025·江苏徐州一中高二期末] 已知圆的圆心为A(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则该圆的标准方程为 .
8.如图,某圆拱桥的水面跨度为12米,拱高为4米,现有一船宽8米,则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为 米.(精确到0.01,参考数据≈10.25)
9.(13分)根据下列条件,分别求圆的标准方程:
(1)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3);
(2)经过点B(-4,-5),C(6,-1),且以线段BC为直径;
(3)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1);
(4)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点D(2,-3),E(-2,-5).
10.[2025·江苏南京一中高二期中] 已知集合A={(x,y)|x∈N,y=1},B={(x,y)|x2+y2≤2},则集合A∩B中含有的元素有 ( )
A.零个 B.一个
C.两个 D.无数个
11.已知a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是 ( )
A.点P在圆内 B.点P在圆上
C.点P在圆外 D.无法确定
12.(多选题)[2025·浙江温州二中高二期末] 设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.圆心Ck在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆Ck的面积均为4π
13.[2025·江苏盐城一中高二月考] 在对某一个圆的方程的探究中,有四位同学分别给出了一个结论,甲:该圆的半径为;乙:该圆经过点(3,3);丙:该圆的圆心为(2,1);丁:该圆经过点(7,0).如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是 .
14.(15分)[2025·江苏南通中学高二月考] 如图,矩形ABCD的两条对角线交于点M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上.
(1)求AD边所在的直线方程;
(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的标准方程.
15.[2025·江苏苏州一中高二月考] 由曲线x2+y2=|x|-|y|围成的图形的面积是 ( )
A. B.
C. D.
16.(15分)A,B两地均出售某种大型商品,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,A地每千米的运费是B地每千米的运费的两倍,A,B两地相距10千米,若要使顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点 第2章 圆与方程
2.1 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
【课前预习】
知识点一
2.x2+y2=r2 (x-a)2+(y-b)2=r2
知识点二
> > = < <
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.解:不是.方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t≠0)表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意得,圆的半径r=AB==5,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=25.
(2)由题易知,线段EF的中点为(2,3),所以圆心为(2,3),又半径r=EF==,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=2.
(3)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,a,b∈R,
因为圆经过点C(0,0)和点D(0,2),所以解得
或所以圆的标准方程为(x-)2+(y-1)2=4或(x+)2+(y-1)2=4.
(4)方法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由已知条件得
可得故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二:设点C1为圆心,因为点C1在直线x+y-2=0上,所以可设点C1的坐标为(a,2-a).
又该圆经过G,H两点,
所以C1G=C1H,
则=
,解得a=1.
则圆心坐标为(1,1),半径r=C1G=2.
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法三:由已知可得线段GH的中点坐标为(0,0),kGH==-1,
所以线段GH的垂直平分线的斜率k=1,所以线段GH的垂直平分线的方程为y-0=1×(x-0),
即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,由得
即圆心为(1,1),则圆的半径为=2,
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
变式 解:(1)∵圆心为(4,-1),且过点(5,2),∴半径r==,∴圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=10.
(2)设圆心为(0,b),
∴r==5,
∴(4+b)2=16=42,∴4+b=4或4+b=-4,∴b=0或b=-8,
∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
(3)设圆心为M(a,0),∵MC=MD,
∴(a+1)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2,即4a=8,
∴a=2,半径r=MC=,∴圆的标准方程为(x-2)2+y2=10.
探究点二
例2 解:(1)∵点A在圆C的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,
即2a+5<0,解得a<-,
故a的取值范围是.
(2)将点A(1,2)的坐标代入圆C的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,
即2a+5=0,解得a=-.
(3)∵点A在圆C的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,
即2a+5>0,解得a>-,
又a≠0,故a的取值范围是∪(0,+∞).
变式 解:(1)易知圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点A到圆心的距离为=5,点B到圆心的距离为=<5,所以点A在圆上,点B在圆内.
(2)由题意知
解得0≤a<1,
因此a的取值范围是[0,1).
探究点三
例3 解:以O为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
由题可知,OA=50,OP=10,
所以A(-50,0),P(0,10),
设圆拱所在圆的圆心为(0,a),圆拱所在圆的方程为x2+(y-a)2=r2(r>0),
因为点A(-50,0),P(0,10)在圆拱上,
所以解得
即圆拱所在圆的方程为x2+(y+120)2=16 900.将x=-30代入圆的方程,得(-30)2+(y+120)2=16 900,解得y=±40-120.
因为y>0,所以y=40-120.
所以与OP相距30米的支柱MN的高度为(40-120)米.
变式 B [解析] 设半圆形隧道所在圆的圆心为O,以O为坐标原点,半圆的直径所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设篷顶AB距地面的高度为h,则A(0.8,h),h>0,半圆所在圆的方程为x2+y2=3.62,把点A的坐标代入上式可得,0.82+h2=3.62,可得h=4≈3.5 m.故选B.第2章 圆与方程
2.1 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
1.D [解析] 因为圆C的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=4,所以圆心为C(-1,1),半径r=2.故选D.
2.B [解析] 因为AM==5=r,所以点M在圆上,故选B.
3.A [解析] 因为圆以点(2,0)为圆心,且经过点(0,1),所以圆的半径r==,所以以点(2,0)为圆心,且经过点(0,1)的圆的方程为(x-2)2+y2=5.故选A.
4.B [解析] 点A(a,2)不在圆(x-1)2+(y+1)2=5a的外部,则点A(a,2)在该圆的内部或圆上,故(a-1)2+(2+1)2≤5a,且a>0,解得2≤a≤5,故实数a的取值范围为[2,5].故选B.
5.A [解析] 连接OA,OB,由题可知,线段OA的垂直平分线为x=1,线段OB的垂直平分线为y=1,故所求圆的圆心为(1,1),又半径r==,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选A.
6.AD [解析] ∵圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在直线x+y=0上.设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.故选AD.
7.(x-2)2+(y+3)2=13 [解析] 由题意知原点在该圆上,则该圆的半径r==,故该圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
8.2.63 [解析] 以圆拱桥的跨度所在直线为x轴,过圆拱桥的最高点且垂直于x轴的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设图中的矩形EFGH表示船刚好能通过桥下的位置.可得A(0,4),B(-6,0),E(-4,0),F(4,0),C(6,0),设圆拱桥所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0),因为点B,A在该圆上,所以解得所以圆的方程为x2+=.令x=4,则y=-≈2.63,所以这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为2.63米.
9.解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+y2=25.
因为点A(2,-3)在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6,
所以所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.
(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得a==1,b==-3.
又因为点C(6,-1)在圆上,所以r2=(6-1)2+(-1+3)2=29,所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29.
(3)设圆心为(a,-2a),因为圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以=,
解得a=1,
所以所求圆的圆心为(1,-2),半径r==.
所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(4)设点F为圆心,因为点F在直线x-2y-3=0上,所以可设点F的坐标为(2a+3,a).
又该圆经过D,E两点,所以FD=EF.
所以=
,解得a=-2,
所以F(-1,-2),半径r=.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
10.C [解析] 易知集合B表示的是圆x2+y2=2及其内部所有的点,则A∩B={(0,1),(1,1)},所以集合A∩B中含有的元素有两个.故选C.
11.A [解析] 因为a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,所以所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,由此可知,点P(a,b)在圆C:x2+y2=8内.故选A.
12.ABD [解析] 根据题意,圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心为(k,k),半径为2.对于A,圆心为(k,k),圆心在直线y=x上,故A正确;对于B,将点(3,0)的坐标代入圆的方程可得(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,可知Δ=36-40=-4<0,则方程无解,所以所有圆Ck均不经过点(3,0),故B正确;对于C,将点(2,2)的坐标代入圆的方程可得(2-k)2+(2-k)2=4,解得k=2±,则经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;对于D,因为所有圆的半径均为2,所以所有圆的面积均为4π,故D正确.故选ABD.
13.丁 [解析] 设A(3,3),B(2,1),C(7,0),则AB==,BC==,AC==5.假设甲错误,乙、丙、丁均正确,由乙、丙、丁正确得AB=,BC=,则AB≠BC,与丙正确矛盾,假设不成立,所以甲正确.假设乙错误,甲、丙、丁均正确,由甲、丙正确可知圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5,易知点C(7,0)不在该圆上,与丁正确矛盾,假设不成立,所以乙正确.假设丙错误,甲、乙、丁均正确,由乙、丁正确得AC=5>2,与甲正确矛盾,假设不成立,所以丙正确.假设丁错误,甲、乙、丙均正确,由甲、丙正确可知圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5,显然点A(3,3)在该圆上,符合题意.综上所述,结论错误的同学是丁.
14.解:(1)因为AB⊥AD,所以kAD=-3.可求得E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6,-1),且易知点(6,-1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y+1=-3(x-6),即3x+y-17=0.
(2)由
解得即A(5.8,-0.4).设矩形ABCD外接圆的半径为r,则r2=AM2=(5.8-3)2+(-0.4-0)2=8.
所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x-3)2+y2=8.
15.D [解析] ①当x≥0,y≥0时,x2+y2=|x|-|y|可化成x2+y2=x-y,即+=.同理,②当x≤0,y≥0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=;③当x≤0,y≤0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=;④当x≥0,y≤0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=.根据以上分析作出曲线x2+y2=|x|-|y|,如图中实线所示,由图可知,所求图形的面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的4倍,结合①易知,M点的坐标为,N点的坐标为(1,0),且△OMN为等腰直角三角形(其中O为坐标原点),所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积S1=π×-×=,从而曲线x2+y2=|x|-|y|围成的图形的面积S=4S1=.故选D.
16.解:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
设A(-5,0),则B(5,0).
在坐标平面内任取一点P(x,y),
设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.
若P地居民选择在A地或B地购买此商品的运费相同,则2a=a,整理得+y2=,设C,则圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物,圆C内的居民应在A地购物,圆C外的居民应在B地购物.
