(共55张PPT)
2.1 圆的方程
第2课时 圆的一般方程
探究点一 圆的一般方程的理解
探究点二 求圆的一般方程
探究点三 圆的一般方程的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义.
2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程.
知识点一 圆的一般方程
（1）定义：方程 （_________________）
叫作圆的一般方程，圆心为__________,半径为________________.
（2）圆的一般方程的特点是:
和 的系数都是___;
②没有____这样的二次项;
___0.
注意：方程 并不一定表示圆,当其系数满
足时,它表示____;当 时,它表示一
个____;当时,方程 没有
实数解,它不表示任何图形.
圆
点
知识点二 轨迹方程
满足条件的点所构成的曲线即为动点 的轨迹，对应的方程即为
动点 的轨迹方程.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
√
（2）方程 一定是某个圆的方程.( )
×
（3）若方程表示圆,则 .( )
√
（4）当时,圆
的圆心在 轴上.( )
×
2.我们知道，方程表示以 为圆心，2为
半径的圆.可以将此方程变形为 ，那么
所有圆的方程是否都能表示为方程①的形式呢？类似于方程①的方
程是否都表示圆呢？
解：所有圆的方程都能表示为方程①的形式.类似于方程①的方程不一
定都表示圆，比如方程 就不表示任何图形.
探究点一 圆的一般方程的理解
例1 若方程 表示圆,求:
（1）实数 的取值范围;
解:根据题意知 ,
即,解得,故的取值范围为 .
（2）该圆的圆心坐标和半径.
解:由 ，
得, ,
故圆心坐标为,半径 .
变式 若方程表示圆，则实数 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由 ,
得，若该方程表示圆，则需满足 ，
解得，所以实数的取值范围是 .故选B.
方法二：若方程表示圆，则需满足，解得 ，
所以实数的取值范围是 .故选B.
√
［素养小结］
判断方程
是否表示圆要“两看”.
一看方程是否具备圆的一般方程的特征：
；
.
二看它能否表示圆.此时需要判断
是否大于0，或直接配
方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.
探究点二 求圆的一般方程
例2（1）已知的三个顶点为,, ，求
外接圆的方程.
解:设外接圆的方程为 ，
其中,将，， 三点的坐标代入方程，整理可得
解得
故所求外接圆的方程为 .
（2）已知圆经过点,,且圆心在直线上,求圆
的一般方程.
解:设圆的一般方程为 ,其中
,则圆心为 ,
由题意得解得所以圆 的一般方程
为 .
变式 已知圆 的圆心在直线
上,且圆心在第二象限,半径为 .求:
（1）圆 的一般方程;
解:由题可得，圆的标准方程为 ,
则圆心为 ,半径为 , 所以解得
或又圆心在第二象限,所以, ,
故圆的一般方程为 .
（2）圆关于直线 对称的圆的一般方程.
解:由（1）知圆的圆心为 ,
设它关于直线对称的点为 ,
则解得
所以圆关于直线 对称的圆的标准方程为
,
即所求圆的一般方程为 .
［素养小结］
求圆的一般方程主要有两种方法:（1）定义法;（2）待定系数法.定
义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径，写出
标准方程，进而得到一般方程;待定系数法是列出关于
,
,
的方程
组,求出
,
,
,从而求得圆的一般方程.
探究点三 圆的一般方程的实际应用
例3 某地建了一座圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨
度为 ，拱高为 ，在该圆拱桥的示意图
中建立了如图所示的平面直角坐标系．
解：设这座圆拱桥所在圆的一般方程为
,
,因为该圆过点,,,
所以 解得
所以这座圆拱桥所在圆的一般方程为 ,
标准方程为 ,
（1）求这座圆拱桥所在圆的方程；
（2）若该景区某游船宽，水面以上高 ，试判断该游船能否
从桥下通过，并说明理由.
解：不能.理由如下：当时，可得 ,
可得 ,
所以该游船不可以从桥下通过．
变式 某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长
方形的三边构成，如图所示，已知隧道总宽度 米，
行车道总宽度米，和 为相对的两个车道，侧端面
米，弧顶高 米.
（1）求圆弧所在圆的半径.
解：设，以为原点， 所在直线
为轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面
直角坐标系，则，， ，
设圆的一般方程为， ，
因为，，在圆上，所以 解得
所以圆的一般方程为 ，标准方程为
，所以圆弧所在圆的半径为6米.
（2）为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道
顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.5米，则该隧道规定的车辆限
制高度应为多少米？
解：设限制高度为米，如图，过作 ，
交圆弧于，则 ，
由（1）知，圆的方程为 ，
将 代入圆的方程，
得，解得或 （舍），
所以 ，
故隧道规定的车辆限制高度应为3.5米.
［素养小结］
解决与圆有关的实际问题的一般方法：
（1）建立适当的平面直角坐标系（一般以圆心作为原点），用坐标
和方程表示实际问题中的点、直线与圆.
（2）利用与圆有关的知识，结合所求问题，求解圆的相关问题.
（3）根据运算结果解释其实际含义，进而解决实际问题.
几个常见圆的一般方程
（1）过原点的方程：（, 不全为0）；
（2）圆心在轴上的圆的方程： ；
（3）圆心在 轴上的圆的方程：
；
（4）圆心在轴上且过原点的圆的方程： ；
（5）圆心在轴上且过原点的圆的方程： .
阿波罗尼斯圆:希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面
内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将
这个圆称为阿波罗尼斯圆.
例 （多选题）已知点，，动点满足 ，则下列
说法正确的为( )
A.点的轨迹方程为
B.点到原点 的距离的最大值为5
C. 面积的最大值为4
D. 的最大值为18
[解析] 设动点，则由，得 ，即
，化简得 ，
即，所以A正确；
√
√
√
点的轨迹是圆心为 ，半径为2的圆，则点到原点 的距离的
最大值为，所以B正确；
记圆心为，因为 ，和点轨迹的圆心都在轴上，且，所以
当垂直于 轴时，的面积取得最大值，最大值为 ，
所以C错误；
又，且 ，所以
，
则，所以D正确.
故选 .
练习册
1.经过点,且以 为圆心的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 圆心为,则半径 ,
所以所求圆的方程为 ,即
.故选B.
√
2.过三点,, 的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设圆的一般方程为 ,
,将,, 三点的坐标代入方程,得
解得
故所求圆的方程为 ,故选A.
√
3.［2025·江苏常州二中高二期中］设甲：实数 ；乙：方程
表示圆，则甲是乙的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 若方程 表示圆，则
，解得 ，所以甲是乙的必要且
不充分条件.故选B.
√
4.［2024·山东临沂高二期中］已知圆 的
半径为 ,则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由得 ，
， ．故选C.
√
5.已知点和点,动点满足 ,则点
的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为,,动点 ,
所以,.
又因为 , 所以 ,
整理得,
所以点的轨迹方程为 .
故选D.
√
6.（多选题）方程， 表
示以 为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A.
B.圆关于直线 对称
C.原点在圆的内部
D. 的最大值为9
√
√
√
[解析] 由题意知，以 为圆心，4为半径的圆的标准方程为
，即 ，故A正确；
因为圆心在直线上，所以圆关于直线 对称，
故B正确；
因为原点到圆心的距离为 ,大于半径,所以原点在圆的外部,故C错误；
的几何意义为圆上任意一点到点的距离，
所以 的最大值为圆心到点 的距离与半
径之和，为，D正确.
故选 .
7.过坐标原点， 的圆的一般方程为_____________________.
[解析] 设圆的一般方程为
，因为圆过点 ，
和，所以解得 所以所求圆的一
般方程为 .
8.已知线段的端点的坐标为，端点 在圆
上运动，则线段的中点 的轨迹方程为
__________________________.
[解析] 设点的坐标为，点的坐标为，又，且
为线段的中点，所以则
因为点在圆上运动，所以 ，
所以 ，整理可得
，所以中点 的轨迹方程为
.
9.（13分）已知方程
表示圆.
（1）求 的取值范围；
解： 因为方程 表
示圆，
所以 ，即
，解得 .
（2）求圆的圆心和半径；
解：圆的圆心为 ，
即，半径为 .
（3）求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.
解：圆的半径，所以当
时，取得最大值，此时圆的标准方程为 .
9.（13分）已知方程
表示圆.
10.（13分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点 ，
.
（1）求圆 的一般方程；
解： 设圆的方程为 ，其中
,
因为圆的圆心在直线上，且圆过点， ，
所以解得
故圆的一般方程为 .
（2）若圆与圆关于直线对称，求圆 的一般方程.
解：由（1）得圆的标准方程为 ，
则圆的圆心为，半径 ，
设圆的圆心坐标为，因为圆与圆 关于直线
对称，
所以解得即 .
所以圆的标准方程为，所以圆 的一般方程
为 .
11.［2025·山东莱芜一中高二期中］若点 是圆
内一点，则过点 的最长的弦所在
直线的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 圆的圆心坐标为 ，则过点
且过圆心 的弦最长，则最长的弦所在直线的斜率
，故所求直线的方程为,即 ,故
选A.
12.（多选题）［2025·江苏通州金沙中学高二月考］ 已知曲线
，则下列说法正确的为( )
A.若，则 是圆
B.若，，则 是圆
C.若，，则 是直线
D.若，，则 是直线
√
√
[解析] 对于A，当时，曲线 的方程为
，若，则 是圆；若，则是
点；若，则 不存在，故A错误.
对于B,当时,曲线 的方程为，
又，所以 是圆，故B正确.
对于C，当时，曲线的方程为 ，
又，所以是直线，故C正确.
对于D，当， 时，
曲线的方程为，易知 不一定是直线,故D错误.
故选 .
13.［2025·江苏南通第一中学高二月考］已知点, ,
,四点共圆，则点到坐标原点 的距离为___.
3
[解析] 设过,,的圆的方程为 ，其中
，则 解得所以过
,,的圆的方程为 .
又因为点在此圆上，所以，解得，所以点
到坐标原点的距离为 .
14.已知，是圆上的两个动点， 是
线段的中点，若，则点 的轨迹方程为
________________________.
[解析] 由题可知圆的标准方程为 ，则圆心
为，半径为5.因为线段的中点为，所以 ，
又，所以，所以点在以 为圆心，4为半
径的圆上，其轨迹方程为 .
15.［2025·广东深圳实验中学高二月考］如图， 是边长为1的
正三角形，点在 所在平面内，且
为常数 ，则下列结论中正确的是( )
A.当时，满足条件的点 有且只有一个
B.当时，满足条件的点 有三个
C.当时，满足条件的点 有无数个
D.当 为任意正实数时，满足条件的点总是有限个
√
[解析] 以所在直线为轴，线段 的中点为原
点，建立平面直角坐标系，如图所示,则 ，
，，
设 ，可得， ，
， ，
，
化简得 ，即 ，即
.
当 时， ，故方程①不能表示任何图形；
当时，，方程①表示点 ，恰好是正三角形的重心；
当时， ，方程①表示以为圆心， 为半径的圆.
由此对照各个选项，可得只有C项正确.故选C.
16.（15分）若函数 的图象与坐标轴分别交于三个不
同的点，，，求证: 的外接圆恒过的定点.
证明:设函数的图象交轴于点，交 轴于点
， ，
由题意可知，所以， ，
所以线段的中点为，
设所在圆的圆心为 ，由，
可得 ，解得，
因为，所以 ，
，所以,,所以圆 的方程为
，整理可得
，
由可得
因此， 的外接圆恒过的定点 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一（1）
（2）
圆 点
知识点二 【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ （4）×
2.解：所有圆的方程都能表示为方程①的形式.类似于方程①的方程不一定都表
示圆，比如方程
就不表示任何图形.
课中探究 例1 （1）
（2）圆心坐标为
,半径
.
变式 B
例2 （1）
（2）
变式 （1）
（2）
例3 （1）
（2）不能.理由略
变式 （1） 6米 (2) 3.5米
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.B 4.C 5.D 6.ABD 7.
8.
9.（1）
（2）圆的圆心为
，半径为
.
（3）圆的半径的最大值为
，此时圆的标准方程为
.
10.（1）
（2）
11.A 12.BC 13.3 14.
15.C
16.略第2课时 圆的一般方程
【课前预习】
知识点一
(1)D2+E2-4F>0
(2)①1 ②xy ③> 圆 点
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.解:所有圆的方程都能表示为方程①的形式.类似于方程①的方程不一定都表示圆,比如方程x2+y2+2x+4y+8=0就不表示任何图形.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)根据题意知(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为.
(2)由x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0,得(x+m)2+(y-1)2=1-5m,m<,
故圆心坐标为(-m,1),半径r=.
变式 B [解析] 方法一:由x2+y2-2x+y+k=0,得(x-1)2+=-k,若该方程表示圆,则需满足-k>0,解得k<,所以实数k的取值范围是.故选B.
方法二:若方程表示圆,则需满足(-2)2+12-4k>0,解得k<,所以实数k的取值范围是.故选B.
探究点二
例2 解:(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
其中D2+E2-4F>0,将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得解得
故所求△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0.
(2)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,则圆心为C,
由题意得解得所以圆C的一般方程为x2+y2-4x-4y-12=0.
变式 解:(1)由题可得,圆C的标准方程为+=-3,
则圆心为,
半径为,
所以解得
或又圆心在第二象限,所以D=2,E=-4,
故圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
(2)由(1)知圆C的圆心为C(-1,2),
设它关于直线x-y=0对称的点为C'(m,n),
则解得
所以圆C关于直线x-y=0对称的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=2,
即所求圆的一般方程为x2+y2-4x+2y+3=0.
探究点三
例3 解:(1)设这座圆拱桥所在圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,
因为该圆过点A(-8,0),B(8,0),C(0,4),所以解得
所以这座圆拱桥所在圆的一般方程为x2+y2+12y-64=0,
标准方程为x2+(y+6)2=100,
(2)不能.理由如下:当x=5时,可得52+(y+6)2=100,
可得y=5-6≈2.66<3,
所以该游船不可以从桥下通过.
变式 解:(1)设EF∩MN=O,以O为原点,EF所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则E(-3,0),F(3,0),M(0,3),
设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,
因为E,F,M在圆上,所以解得
所以圆的一般方程为x2+y2+6y-27=0,标准方程为x2+(y+3)2=36,
所以圆弧所在圆的半径为6米.
(2)设限制高度为h米,如图,过C作CP⊥AD,交圆弧于P,则CP=h+0.5,
由(1)知,圆的方程为x2+(y+3)2=36,
将x=代入圆的方程,
得()2+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍),
所以h=CP-0.5=(y+DF)-0.5=(2+2)-0.5=3.5,
故隧道规定的车辆限制高度应为3.5米.第2课时 圆的一般方程
1.B [解析] 圆心为B(-1,1),则半径r=AB==,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5,即x2+y2+2x-2y-3=0.故选B.
2.A [解析] 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,将A,B,C三点的坐标代入方程,得解得
故所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A.
3.B [解析] 若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则(-1)2+32-4a=10-4a>0,解得a<,所以甲是乙的必要且不充分条件.故选B.
4.C [解析] 由x2+y2-2x+4y-6=0得(x-1)2+(y+2)2=11,∴C(1,-2),r=.故选C.
5.D [解析] 因为M1(-3,0),M2(3,0),动点M(x,y),所以MM1=,MM2=.又因为MM1=2MM2,所以=2,整理得x2+y2-10x+9=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-10x+9=0.故选D.
6.ABD [解析] 由题意知,以(2,-4)为圆心,4为半径的圆的标准方程为(x-2)2+(y+4)2=16,即x2+y2-4x+8y+4=0,故A正确;因为圆心(2,-4)在直线y=-2x上,所以圆关于直线y=-2x对称,故B正确;因为原点到圆心的距离为2,大于半径,所以原点在圆的外部,故C错误;的几何意义为圆上任意一点(x,y)到点(2,1)的距离,所以的最大值为圆心(2,-4)到点(2,1)的距离与半径之和,为+4=9,D正确.故选ABD.
7.x2+y2-2x-3y=0 [解析] 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),因为圆过点(0,0),(2,0)和(0,3),所以解得所以所求圆的一般方程为x2+y2-2x-3y=0.
8.x2+y2-6x-6y+17=0 [解析] 设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0),又B(8,6),且P为线段AB的中点,所以则因为点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,所以++4x0=0,所以(2x-8)2+(2y-6)2+4×(2x-8)=0,整理可得x2+y2-6x-6y+17=0,所以中点P的轨迹方程为x2+y2-6x-6y+17=0.
9.解: (1)因为方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示圆,
所以[-2(t+3)]2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,即-7t2+6t+1>0,解得-
(2)圆的圆心为,
即(t+3,4t2-1),半径为.
(3)圆的半径r==,所以当t= 时,r取得最大值,此时圆的标准方程为+=.
10.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因为圆C的圆心在直线y=-x+5上,且圆C过点(2,6),(5,3),
所以解得
故圆C的一般方程为x2+y2-4x-6y+4=0.
(2)由(1)得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9,
则圆C的圆心为C(2,3),半径r=3,
设圆C'的圆心坐标为(x0,y0),因为圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称,
所以解得即C'.
所以圆C'的标准方程为+=9,所以圆C的一般方程为x2+y2+x+y-=0.
11.A [解析] 圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长,则最长的弦所在直线的斜率k==2,故所求直线的方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0,故选A.
12.BC [解析] 对于A,当A=B=1时,曲线C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若D2+E2-4F>0,则C是圆;若D2+E2-4F=0,则C是点;若D2+E2-4F<0,则C不存在,故A错误.对于B,当A=B≠0时,曲线C的方程为Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0,又D2+E2-4AF>0,所以C是圆,故B正确.对于C,当A=B=0时,曲线C的方程为Dx+Ey+F=0,又D2+E2>0,所以C是直线,故C正确.对于D,当A≠0,B=0时,曲线C的方程为Ax2+Dx+Ey+F=0,易知C不一定是直线,故D错误.故选BC.
13.3 [解析] 设过A,B,C的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,则
解得所以过A,B,C的圆的方程为x2+y2-4y-1=0.又因为点M在此圆上,所以a2+4-8-1=0,解得a2=5,所以点M到坐标原点O的距离为=3.
14.(x-2)2+(y-4)2=16 [解析] 由题可知圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=25,则圆心为C(2,4),半径为5.因为线段AB的中点为P,所以CP⊥AB,又AB=6,所以CP==4,所以点P在以C为圆心,4为半径的圆上,其轨迹方程为(x-2)2+(y-4)2=16.
15.C [解析] 以BC所在直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则A,B,C,设P(x,y),可得=x2+,||2=+y2,||2=+y2,∵||2+||2+||2=a,∴x2+++y2++y2=a,化简得3x2+3y2-y+-a=0,即x2+y2-y+-=0,即x2+=(a-1)①.当a<1时,a-1<0,故方程①不能表示任何图形;当a=1时,a-1=0,方程①表示点,恰好是正三角形的重心;当a>1时,a-1>0,方程①表示以为圆心,为半径的圆.由此对照各个选项,可得只有C项正确.故选C.
16.证明:设函数y=x2+ax+b的图象交y轴于点B(0,b),交x轴于点A(x1,0),C(x2,0),
由题意可知Δ=a2-4b>0,所以x1+x2=-a,x1x2=b,
所以线段AC的中点为,设△ABC所在圆的圆心为P,
由PA2=PB2,可得+t2=+(t-b)2,解得t=,因为+ax1+b=0,所以t==,则t-b=,所以P,PB2=,所以圆P的方程为+=,整理可得(x2+y2-y)+ax+b(1-y)=0,
由可得因此,△ABC的外接圆恒过的定点(0,1).第2课时 圆的一般方程
【学习目标】
1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义.
2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程.
◆ 知识点一 圆的一般方程
(1)定义:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0( )叫作圆的一般方程,圆心为 ,半径为 .
(2)圆的一般方程的特点是:
①x2和y2的系数都是 ;
②没有 这样的二次项;
③D2+E2-4F 0.
注意:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0并不一定表示圆,当其系数满足D2+E2-4F>0时,它表示 ;当D2+E2-4F=0时,它表示一个 ;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.
◆ 知识点二 轨迹方程
满足条件的点M所构成的曲线即为动点M的轨迹,对应的方程即为动点M的轨迹方程.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. ( )
(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. ( )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( )
(4)当D=0时,圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圆心在x轴上. ( )
2.我们知道,方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0①,那么所有圆的方程是否都能表示为方程①的形式呢 类似于方程①的方程是否都表示圆呢
◆ 探究点一 圆的一般方程的理解
例1 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)该圆的圆心坐标和半径.
变式 若方程x2+y2-2x+y+k=0表示圆,则实数k的取值范围是 ( )
A.(-∞,5) B.
C. D.
[素养小结]
判断方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0是否表示圆要“两看”.
一看方程是否具备圆的一般方程的特征:①A=C≠0;②B=0.
二看它能否表示圆.此时需要判断D2+E2-4F是否大于0,或直接配方变形,判断等号右边是否为大于零的常数.
◆ 探究点二 求圆的一般方程
例2 (1)已知△ABC的三个顶点为A(4,-2),B(1,-1),C(1,4),求△ABC外接圆的方程.
(2)已知圆C经过点A(-2,0),B(6,0),且圆心C在直线y=x上,求圆C的一般方程.
变式 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为.求:
(1)圆C的一般方程;
(2)圆C关于直线x-y=0对称的圆的一般方程.
[素养小结]
求圆的一般方程主要有两种方法:(1)定义法;(2)待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径,写出标准方程,进而得到一般方程;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而求得圆的一般方程.
◆ 探究点三 圆的一般方程的实际应用
例3 某地建了一座圆拱桥,该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立了如图所示的平面直角坐标系.
(1)求这座圆拱桥所在圆的方程;
(2)若该景区某游船宽10 m,水面以上高3 m,试判断该游船能否从桥下通过,并说明理由.(≈1.732)
变式 某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成,如图所示,已知隧道总宽度AD=EF=6米,行车道总宽度BC=2米,BN和NC为相对的两个车道,侧端面EA=FD=2米,弧顶高MN=5米.
(1)求圆弧所在圆的半径.
(2)为进一步保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.5米,则该隧道规定的车辆限制高度应为多少米
[素养小结]
解决与圆有关的实际问题的一般方法:
(1)建立适当的平面直角坐标系(一般以圆心作为原点),用坐标和方程表示实际问题中的点、直线与圆.
(2)利用与圆有关的知识,结合所求问题,求解圆的相关问题.
(3)根据运算结果解释其实际含义,进而解决实际问题.第2课时 圆的一般方程
1.经过点A(1,2),且以B(-1,1)为圆心的圆的一般方程为 ( )
A.x2+y2-2x+2y-3=0
B.x2+y2+2x-2y-3=0
C.x2+y2+2x-2y-7=0
D.x2+y2-2x+2y-7=0
2.过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是 ( )
A.x2+y2-7x-3y+2=0
B.x2+y2+7x-3y+2=0
C.x2+y2+7x+3y+2=0
D.x2+y2-7x+3y+2=0
3.[2025·江苏常州二中高二期中] 设甲:实数a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则甲是乙的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.[2024·山东临沂高二期中] 已知圆C:x2+y2-2x+4y-6=0的半径为r,则 ( )
A.C(1,-2),r=2
B.C(-1,2),r=
C.C(1,-2),r=
D.C(-1,2),r=2
5.已知点M1(-3,0)和点M2(3,0),动点M(x,y)满足MM1=2MM2,则点M的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2+18x+9=0
B.x2+y2+6x+9=0
C.x2+y2+6x-9=0
D.x2+y2-10x+9=0
6.(多选题)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则下列结论正确的是 ( )
A.F=4
B.圆关于直线y=-2x对称
C.原点在圆的内部
D.的最大值为9
7.过坐标原点,(2,0)(0,3)的圆的一般方程为 .
8.已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,则线段AB的中点P的轨迹方程为 .
9.(13分)已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示圆.
(1)求t的取值范围;
(2)求圆的圆心和半径;
(3)求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.
10.(13分)已知圆C的圆心在直线y=-x+5上,且圆C过点(2,6),(5,3).
(1)求圆C的一般方程;
(2)若圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称,求圆C'的一般方程.
11.[2025·山东莱芜一中高二期中] 若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在直线的方程为 ( )
A.2x-y-6=0
B.2x+y-6=0
C.2x+y+6=0
D.2x-y+6=0
12.(多选题)[2025·江苏通州金沙中学高二月考] 已知曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0,则下列说法正确的为 ( )
A.若A=B=1,则C是圆
B.若A=B≠0,D2+E2-4AF>0,则C是圆
C.若A=B=0,D2+E2>0,则C是直线
D.若A≠0,B=0,则C是直线
13.[2025·江苏南通第一中学高二月考] 已知点A(-2,1),B(-1,0),C(2,3),M(a,2)四点共圆,则点M到坐标原点O的距离为 .
14.已知A,B是圆C:x2+y2-4x-8y-5=0上的两个动点,P是线段AB的中点,若AB=6,则点P的轨迹方程为 .
15.[2025·广东深圳实验中学高二月考] 如图,△ABC是边长为1的正三角形,点P在△ABC所在平面内,且||2+||2+||2=a(a为常数),则下列结论中正确的是 ( )
A.当0B.当a=1时,满足条件的点P有三个
C.当a>1时,满足条件的点P有无数个
D.当a为任意正实数时,满足条件的点总是有限个
16.(15分)若函数y=x2+ax+b的图象与坐标轴分别交于三个不同的点A,B,C,求证:△ABC的外接圆恒过的定点.