(共66张PPT)
2.2 直线与圆的位置关系
探究点一 直线与圆的位置关系的判定
探究点二 直线与圆的相交弦问题
探究点三 直线与圆相切
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
3.掌握直线与圆相切、相交有关量的计算.
知识点 直线与圆的位置关系
直线：，不同时为0 与圆：
的位置关系及判断如下表所示.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ___个 ___个 ___个
判定 方法
2
1
0
位置关系 相交 相切 相离
判定 方法
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )
×
（2）若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次
方程必有解.( )
√
（3）若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得
到的一元二次方程无解.( )
√
（4）直线与圆 的位置关系是相交.( )
×
2.过一点作圆的切线，能作几条？
解：若点在圆上,则该点为切点，切线只有一条；
若点在圆外，则切线有两条；
若点在圆内，则切线有零条.
探究点一 直线与圆的位置关系的判定
例1 已知直线与圆 .
（1）若直线与圆相交，求实数 的取值范围；
（2）若直线与圆相切，求实数 的值；
（3）若直线与圆相离，求实数 的取值范围.
解:方法一:由消去 ,整理得
,
则 .
（1）当直线与圆相交时,,即 ,解得
.
（2）当直线与圆相切时,,即 ，解得
或
（3）当直线与圆相离时, ,
即，解得或 .
方法二:圆的圆心坐标为,半径 ,则圆心到直
线的距离 .
（1）当直线与圆相交时, ,
即,解得 .
（2）当直线与圆相切时, ,
即,解得或 .
（3）当直线与圆相离时, ,
即,解得或 .
变式 已知直线与圆，则当 分别为何值时，直
线与圆有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点？
解：方法一：由得 ，则
.
当时， ，直线与圆有两个公共点.
当或时， ，直线与圆只有一个公共点.
当或时， ，直线与圆没有公共点.
方法二：由题意得，圆的半径，圆心坐标为 ，圆心到直
线的距离 .
当，即 时，直线与圆相交，有两个公共点.
当，即或 时，直线与圆相切，只有一个公共点.
当，即或 时，直线与圆相离，无公共点.
［素养小结］
直线与圆的位置关系的判断方法:
（1）几何法:由圆心到直线的距离
与圆的半径
的大小关系判断.
（2）代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
（3）直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来
判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
探究点二 直线与圆的相交弦问题
例2 ［课本P67T7］ 已知圆内有一点,过点
且倾斜角为 的直线与圆相交于, 两点.
（1）当时,求弦 的长;
解:方法一（几何法）:当时,直线的斜率 ,
所以直线的方程为,即 ,可得圆心到直
线的距离 .
又半径,所以弦长 .
方法二（代数法）:当时,直线的斜率 ,
所以直线的方程为,即 ,代入方程
中,得 .
设, ,
则, ,
所以
.
（2）当弦的长最短时,求直线 的方程.
解:连接,当弦的长最短时, .
因为,所以 ,
所以直线的方程为,即 .
例2 ［课本P67T7］ 已知圆内有一点,过点
且倾斜角为 的直线与圆相交于, 两点.
变式
（1）直线被圆 截得的弦
长为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
√
[解析] 由,得 ，则该圆
的圆心坐标为，圆心到直线 的距离
，所以弦长为 .
（2）已知直线与圆相交于，
两点，且，则直线 的方程为_________________.
或
[解析] 由，得，可得圆心到直线 的距离
，因为圆的半径 ，所以弦长
，
由题意得 ,整理可得，解得或，
故直线的方程为 或 .
［素养小结］
求圆截直线所得的弦长的方法:
（1）几何法:用弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形的三边
长,利用勾股定理求解.
（2）代数法:设交点为
,
,直线斜率为
,用弦长公式
求解.
探究点三 直线与圆相切
角度1 过圆上一点求圆的切线方程
例3 过点作圆的切线，求 的方程.
解:由，得 ，
则该圆的圆心为，由点的坐标为 ，且
，得点在圆上，可得 ，
则切线的斜率，故所求切线的方程为 ，即
.
变式 已知圆与直线切于点，则直线 的
方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，可得 ，故圆的圆心坐
标为，所以点与圆心连线所在直线的斜率为 ，
则直线的斜率为，故的方程为 ，整理得
.
√
角度2 过圆外一点求圆的切线方程
例4 过点作圆的切线，求切线 的方程.
解:方法一：由题意知，切线的斜率存在，设为，则切线 的方程为
，即 .
由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，解得
或 .
因此，所求切线的方程为或 .
方法二：由题意知，切线的斜率存在，设为 ，则切线的方程为
.
因为直线与圆相切，所以方程组 只有一组解.
消元整理得 .
因为方程①只有一组解，所以
，
解得或.因此，所求切线的方程为或 .
变式 过点作圆 的切线，求该切线的方程.
解:当切线的斜率不存在时，切线方程为 ，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即
，
则由题意得，得， 切线方程为 ，即
.
综上所述，过点的圆的切线方程为或 .
［素养小结］
过一点的圆的切线方程的求法
（1）当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的
斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
（2）当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解
题时可能求出的切线只有一条,这时另一条切线的斜率不存在.
拓展 （多选题）已知圆 ，则下列说法正
确的是( )
A.为过点的圆 的一条切线
B.为过点的圆 的一条切线
C.为过点的圆 的一条切线
D.为过点的圆 的一条切线
√
√
[解析] 圆的圆心为，半径 .
因为点到直线的距离为1，所以为过点的圆 的
一条切线，A正确；
因为点到直线的距离为2,所以 不是过点的圆 的
一条切线，B错误；
当切线斜率存在时，设过点的切线的方程为 ，
则由圆心到切线的距离等于半径得，解得 ，所以所求
切线方程为，C正确，D错误，
故选 .
1.过圆上一点 的圆的切线方程为
.
2.过圆上一点 的圆的切线方
程为 .
3.过圆（其中 ）上一点
的圆的切线方程为 .
4.设圆心到直线的距离为，圆的半径为， .
（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最
小距离为 ；
（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最小距
离为0；
（3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最
小距离为0.
如图，从圆外任意一点 向圆引两条切线，圆心为，两切点为
,，,我们把线段， 的长度叫作切线长，设圆的半
径为 ，则有如下的常用性质：
1.切线长的计算： ,当半径给定时，切线长最
小等价于 最小.
2.,,,, 四点共圆
，,,,的外接圆以线段 为直径
（托勒密定理）.
3. ，当半径给定时，
四边形的面积最小等价于 最小.
例1 （多选题） 过直线上的动点 分别作圆
与圆的切线,切点分别为, ,则
下列说法正确的是( )
A.圆上恰好有两个点到直线的距离为
B.的最小值为
C.的最小值为
D.直线上存在两个点,使得
√
√
√
[解析] 圆的圆心为,半径 ;圆
的圆心为,半径.
对于A, 到直线的距离,因为,所以
圆 上只有1个点满足条件,故A错误;
对于B,, 的最小值为,故的最小值为,
故B正确;
对于C,设关于直线 的对称点为,则
解得故 ,所 以
,当且仅当, , 三点共线时取等号,故C正确;
对于D,,即 ,
即,设 ,
则,整理得 ,故点
的轨迹是圆心为,半径为4的圆,又圆心到直线 的距离
为,所以直线和圆相交,有两个交点,D正确.
故选 .
例2 已知圆 ，直线
，为上的动点，过点作圆的切线, ，切
点分别为,，则当取得最小值，直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 连接,,由题知圆 的标准方程为
.
设,则.
四边形 的面积,
,.
要使最小，只需 最小，当且仅当时，取得最小值，
,排除A，C，
此时 ， ，检验B，D选项可知D正确.
故选D.
练习册
1.［2025·广东湛江高二期中］直线 与圆
的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
[解析] 由题知，圆的圆心为，半径，因为圆心 到
直线的距离，所以圆
与直线 相交.故选A.
√
2.直线被圆 截得的弦长为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 由题知圆心为,半径 ,可得圆心到直线的距离
,则弦长 .故选D.
√
3.［2025·江苏徐州高二期中］已知直线 与以
为圆心的圆相交于，两点，且，则圆 的方程为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 易知到直线 的距离
，所以圆的半径 ，故
圆的方程为 .故选B.
√
4.［2025·南京外国语学校高二期中］设 为实数，则直线
与圆 的交点个数
为( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
[解析] 由，得直线恒过点.
圆 的标准方程为，因为
，所以点在圆内，所以直线与圆相交，则直线与圆 恒
有2个交点.
故选C.
√
5.［2025·湖南衡阳一中高二月考］已知圆 ，过
直线上的动点作圆的一条切线，切点为 ，则
的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.3
[解析] 连接，，则，所以当 最
小时，最小，
又圆的圆心为 ，半径为1，
所以，故的最小值为 .
故选C.
√
6.（多选题）［2025·江苏南通海门中学高二月考］ 已知直线
，圆 ，则下列说
法正确的是( )
A.直线与圆 一定有公共点
B.当时，直线被圆 截得的弦最长
C.当直线与圆相切时，
D.圆心到直线的距离的最大值为
√
√
√
[解析] 圆的标准方程为，则圆心 ，
半径为2.
由,得,则直线 过定点，
易知点在圆的外部，所以A错误；
当 时，直线的方程为，此时直线过圆心 ，
截得的弦恰为直径，即直线被圆截得的弦最长，故B正确；
当与圆 相切时，，解得，故C正确；
当与 垂直时，圆心到的距离取得最大值，最大值为，
故D正确.
故选 .
7.［2025·重庆杨家坪中学高二月考］直线 被圆
截得的弦长为，则 _______.
0或10
[解析] 由题意得圆心为，则圆心到直线 的距离为
.
因为圆的半径为，弦长为 ，
所以，解得或 .
8.若过点作圆 的切线有且只有一条，则该切
线的一般式方程为_____________.
[解析] 因为过点作圆 的切线有且只有一条，
所以点在圆上，则点为切点.
因为切点与圆心 所在直线的斜率，
所以切线的斜率 ，
则切线方程为，即 .
9.（13分）已知圆外有一点,过点
作直线 .
（1）当直线与圆相切时,求直线 的方程;
解:由题意知,圆的圆心为,半径 .
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线与圆 相切.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为 ,即
,因为直线与圆相切,所以 ,解得
,
此时直线的方程为 .
综上,直线的方程为或 .
（2）当直线的倾斜角为 时,求直线被圆 所截得的弦长.
解:当直线的倾斜角为 时,直线的方程为 ,
即,圆心到直线的距离 ,故所求弦长为
.
9.（13分）已知圆外有一点,过点
作直线 .
10.（13分）已知圆过点，， .
（1）求圆 的一般方程；
解:设圆 的一般方程为
，则由题意得
解得所以圆 的一般方程为
.
（2）设直线过点,且与圆交于，两点，若 ,求
的方程.
解:由（1）知圆的标准方程为 ，因为
，且圆的半径为5，所以圆心到直线的距离.
①当的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线 的距离
为 ，符合题意.
10.（13分）已知圆过点，， .
②当的斜率存在时，设的方程为 ，即
，
所以圆心到直线的距离为，解得 ，
所以的方程为，即 .
综上，的方程为或 .
11.［2025·安徽合肥一中高二期中］一条光线从点 射出，经
轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线
的斜率为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
√
[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，
设反射光线所在直线的斜率为 ，则反射光线所在直线的方程为
，即 .
又因为反射光线与圆相切，
所以 ,整理，
解得或 ,故选D.
12.［2025·江苏南通实验中学高二期末］经过原点且倾斜角为 的直
线被圆截得的弦长是，则圆在 轴
下方部分与 轴围成的图形的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知，直线的方程为 ，圆
的圆心坐标为，半径为，可得圆心 到
直线的距离 ，则由题意得
，解得.
所以圆 的圆心坐标为，半径为4.
设圆与轴交于，两点， 为坐标原点，
如图，由图可知，，
则 ，同理，所以 ，
则 ，，
则圆 在轴下方部分与 轴围成的图形的面积为 .故选A.
13.［2025·江苏盐城实验中学高二月考］若过点的直线 与圆
有公共点，则直线 的倾斜角的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知当直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，
圆的圆心为，半径 .
设直线方程为，即 ，则圆心到直线的距离
，解得或，所以当 时，倾斜角取
得最大值 .
√
14.［2025·江苏南京金陵中学高二期末］若圆
上恰有2个点到直线
的距离为1，则实数 的取值范围为______.
[解析] 设与直线平行且与直线 之间的距离为1的直线方程为
,,则,解得或 .
由题可知圆的圆心为,则圆心到直线
的距离,圆心到直线 的距离
.
因为圆上恰有2个点到直线 的距离为1,所以圆与直线
相交，与直线 相离，所以,即 .
15.对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下：若两平行直线中至
少有一条与圆相切，则称两平行直线与圆的位置关系为“平行相切”；
若两平行直线都与圆相离，则称两平行直线与圆的位置关系为“平行
相离”，否则称为“平行相交”.已知直线 ，
，和圆
的位置关系是“平行相交”，则 的取值范围为_ ___________________.
[解析] 由题可知，圆的标准方程为 ，由两直线
平行可得，解得或，
当 时，直线与重合，舍去，故 ,
此时两平行直线的方程分别为和.
由直线 与圆相切，得，
由直线 与圆相切，得.
当两平行直线与圆都相离时， ，所以当两平行直线与圆的位置
关系为“平行相交”时，满足故 的
取值范围是 .
16.（15分）如图，某海面上有，， 三个小岛
（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东
方向且距离岛千米处，岛在 岛的正东方
向且距离岛20千米处，以 为坐标原点，正东方
向为 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直
角坐标系，圆经过，， 三点.
（1）求圆 的标准方程.
解:由题可知，，，设过，， 三
点的圆的一般方程为 ，
,
则
解得所以圆 的一般方程为 ，
标准方程为 .
（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一艘航海船 在
岛的南偏西 方向距离 岛40千米处，正沿着北
偏东 方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有
触礁的危险？
解:由题可知， ，
且该船航线所在直线的斜率为 ,
所以直线的方程为 ，
可求得圆心到直线的距离 ，
故该船没有触礁的危险.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 2 1 0
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.解：若点在圆上,则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条；
若点在圆内，则切线有零条.
课中探究 例1（1）
（2）
或
（3）或
变式 当时，<直线与圆有两个公共点.
当或时,直线与圆只有一个公共点.
当或时，m>直线与圆没有公共点.
例2 （1） （2）变式 （1）B （2）
或
例3
变式 A 例4
或
变式
或
拓展 AC
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.BCD 7.0或10 8.
9.（1）
或
（2）
10.（1）
（2）
或
11.D 12.A 13.C 14.
15.
16.（1）
（2）该船没有触礁的危险2.2 直线与圆的位置关系
【课前预习】
知识点
2 1 0 < = > > = <
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.解:若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,则切线有两条;若点在圆内,则切线有零条.
【课中探究】
探究点一
例1 解:方法一:由消去y,整理得25x2+8ax+a2-900=0,
则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
(1)当直线l与圆C相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得-50
(2)当直线l与圆C相切时,Δ=0,即-36a2+90 000=0,解得a=50或a=-50.
(3)当直线l与圆C相离时,Δ<0,
即-36a2+90 000<0,解得a<-50或a>50.
方法二:圆x2+y2=100的圆心坐标为(0,0),半径r=10,则圆心到直线4x-3y+a=0的距离d==.
(1)当直线l与圆C相交时,d即<10,解得-50(2)当直线l与圆C相切时,d=r,
即=10,解得a=50或a=-50.
(3)当直线l与圆C相离时,d>r,
即>10,解得a<-50或a>50.
变式 解:方法一:由得2x2+2bx+b2-2=0,则Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).
当-20,直线与圆有两个公共点.
当b=2 或b=-2 时,Δ=0,直线与圆只有一个公共点.
当b<-2 或b>2 时,Δ<0,直线与圆没有公共点.
方法二:由题意得,圆的半径r=,圆心坐标为(0,0),圆心到直线y=x+b 的距离d=.
当d当d=r,即b=2 或b=-2 时,直线与圆相切,只有一个公共点.
当d>r,即b<-2 或b>2 时,直线与圆相离,无公共点.
探究点二
例2 解:(1)方法一(几何法):当α=时,直线AB的斜率k=tan =-1,
所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,可得圆心到直线AB的距离d=.
又半径r=2,所以弦长AB=2=2×=.
方法二(代数法):当α=时,直线AB的斜率k=tan=-1,
所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入方程x2+y2=8中,得2x2-2x-7=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=1,x1x2=-,
所以AB=|x1-x2|=
=.
(2)连接OP0,当弦AB的长最短时,OP0⊥AB.
因为=-2,所以kAB=,
所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
变式 (1)B (2)y=0或y=-x
[解析] 由x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,则该圆的圆心坐标为(1,2),圆心到直线x+2y-5+=0 的距离d==1,所以弦长为2×=4.
(2)由y=kx,得kx-y=0,可得圆心(1,)到直线l的距离d=,因为圆的半径r=2,所以弦长AB=2=2,由题意得2=2,整理可得k2=-k,解得k=0或-,故直线l的方程为y=0或y=-x.
探究点三
例3 解:由x2+y2-2x-6y+2=0,得(x-1)2+(y-3)2=8,
则该圆的圆心为C(1,3),由点M的坐标为(3,1),且(3-1)2+(1-3)2=8,得点M在圆上,可得kMC==-1,
则切线的斜率k=1,故所求切线的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0.
变式 A [解析] 由x2+y2-4x=0,可得(x-2)2+y2=4,故圆的圆心坐标为(2,0),所以点P 与圆心连线所在直线的斜率为=-,则直线l的斜率为,故l的方程为y-=(x-1),整理得x-y+2=0.
例4 解:方法一:由题意知,切线l的斜率存在,设为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径,得=1,解得k=0或 .
因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
方法二:由题意知,切线l的斜率存在,设为k,则切线的方程为y-1=k(x-2).
因为直线l与圆相切,所以方程组只有一组解.
消元整理得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0①.
因为方程①只有一组解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,
解得k=0或.因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
变式 解:当切线的斜率不存在时,切线方程为x=4,满足题意;
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,
则由题意得=2,得k=,∴切线方程为x-y=0,即3x-4y=0.
综上所述,过点P(4,3)的圆的切线方程为x=4或3x-4y=0.
拓展 AC [解析] 圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1),半径r=1.因为点(1,1)到直线x=2的距离为1,所以x=2为过点A(2,3)的圆C的一条切线,A正确;因为点(1,1)到直线y=3的距离为2,所以y=3不是过点A(2,3)的圆C的一条切线,B错误;当切线斜率存在时,设过点A(2,3)的切线的方程为y-3=k(x-2),则由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得k=,所以所求切线方程为3x-4y+6=0,C正确,D错误,故选AC.2.2 直线与圆的位置关系
1.A [解析] 由题知,圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,因为圆心C(2,0)到直线l:3x+4y-1=0的距离d==12.D [解析] 由题知圆心为(0,0),半径r=2,可得圆心到直线的距离d==1,则弦长l=2=2×=2.故选D.
3.B [解析] 易知C(-1,-2)到直线3x+4y-9=0的距离d==4,所以圆C的半径r==5,故圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=25.故选B.
4.C [解析] 由l:k(x-4)-y+3=0,得直线l恒过点(4,3).圆C的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,因为(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点(4,3)在圆内,所以直线l与圆C相交,则直线l与圆C恒有2个交点.故选C.
5.C [解析] 连接PC,AC,则PA2=PC2-AC2=PC2-1,所以当PC最小时,PA最小,又圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,所以PCmin==2,故PA的最小值为=.故选C.
6.BCD [解析] 圆E的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,则圆心E(1,2),半径为2.由mx+y-1+m=0,得m(x+1)+y-1=0,则直线l过定点M(-1,1),易知点M在圆E的外部,所以A错误;当m=-时,直线l的方程为x-2y+3=0,此时直线l过圆心E(1,2),截得的弦恰为直径,即直线l被圆截得的弦最长,故B正确;当l与圆E相切时,=2,解得m=,故C正确;当l与ME垂直时,圆心E到l的距离取得最大值,最大值为ME=,故D正确.故选BCD.
7.0或10 [解析] 由题意得圆心为(-1,2),则圆心(-1,2)到直线l的距离为=.因为圆的半径为2,弦长为2,所以2=2,解得m=0或m=10.
8.x+y-5=0 [解析] 因为过点(3,2) 作圆(x-1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,所以点(3,2) 在圆上,则点(3,2) 为切点.因为切点与圆心(1,0)所在直线的斜率k1==1,所以切线的斜率k=-1,则切线方程为y-2=-1×(x-3),即x+y-5=0.
9.解:(1)由题意知,圆C的圆心为(2,3),半径r=2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,此时直线l与圆C相切.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-4),即kx-y-4k-1=0,因为直线l与圆C相切,所以=2,解得k=-,
此时直线l的方程为3x+4y-8=0.
综上,直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为y+1=-(x-4),
即x+y-3=0,圆心到直线l的距离d==,故所求弦长为2=2×=2.
10.解:(1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则由题意得解得所以圆C的一般方程为x2+y2-8x-6y=0.
(2)由(1)知圆C的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=25,因为∠MCN=,且圆C的半径为5,所以圆心C(4,3)到直线l的距离d=.
①当l的斜率不存在时,l的方程为x=,此时圆心C到直线l的距离为4-=,符合题意.
②当l的斜率存在时,设l的方程为y=k,即2kx-2y-3k=0,
所以圆心C到直线l的距离为=,解得k=,
所以l的方程为y=,即22x-120y-33=0.
综上,l的方程为x=或22x-120y-33=0.
11.D [解析] 由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以=1,整理12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-,故选D.
12.A [解析] 由题可知,直线l的方程为y=x,圆C:x2+y2-4y+a=0的圆心坐标为(0,2),半径为,可得圆心(0,2)到直线x-y=0的距离d=,则由题意得2=2,解得a=-4.所以圆C的圆心坐标为(0,2),半径为4.设圆C与x轴交于A,B两点,O为坐标原点,如图,由图可知,sin∠OBC==,则∠OBC=,同理∠OAC=,所以∠ACB=,则S扇形CAB=×π×42=π,S三角形ABC=×4×4×sin =4,则圆C在x轴下方部分与x轴围成的图形的面积为-4.故选A.
13.C [解析] 易知当直线的倾斜角最大时,直线与圆相切,此时斜率存在,圆(x-)2+y2=1的圆心为C(,0),半径r=1.设直线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则圆心到直线的距离d==1,解得k=或k=0,所以当k=时,倾斜角取得最大值.
14.(3,5) [解析] 设与直线l平行且与直线l之间的距离为1的直线方程为3x+4y+c=0,c≠15,则=1,解得c=10或c=20.由题可知圆C的圆心为C(-1,2),则圆心C(-1,2)到直线3x+4y+10=0的距离d1==3,圆心C(-1,2)到直线3x+4y+20=0的距离d2==5.因为圆C上恰有2个点到直线l的距离为1,所以圆C与直线3x+4y+10=0相交,与直线3x+4y+20=0相离,所以d115.∪
[解析] 由题可知,圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2,由两直线平行可得a(a+1)-6=0,解得a=2或a=-3,当a=2时,直线l1与l2重合,舍去,故a=-3,此时两平行直线的方程分别为x-y-2=0和x-y+3=0.由直线x-y-2=0与圆(x+1)2+y2=b2相切,得b==,由直线x-y+3=0与圆相切,得b==.当两平行直线与圆都相离时,b<,所以当两平行直线与圆的位置关系为“平行相交”时,b满足故b的取值范围是∪.
16.解:(1)由题可知,A(40,40),B(20,0),设过O,A,B三点的圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2=4F>0,
则
解得所以圆C的一般方程为x2+y2-20x-60y=0,标准方程为(x-10)2+(y-30)2=1000.
(2)由题可知,D(-20,-20),
且该船航线所在直线l的斜率为,
所以直线l的方程为x-y-40=0,
可求得圆心C到直线l的距离d=15(+1)>10,
故该船没有触礁的危险.2.2 直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
3.掌握直线与圆相切、相交有关量的计算.
◆ 知识点 直线与圆的位置关系
直线:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断如下表所示.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判 定 方 法 几何法:计算圆心到直线的距离d= d r d r d r
代数法:由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. ( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( )
(4)直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交. ( )
2.过一点作圆的切线,能作几条
◆ 探究点一 直线与圆的位置关系的判定
例1 已知直线l:4x-3y+a=0与圆C:x2+y2=100.
(1)若直线l与圆C相交,求实数a的取值范围;
(2)若直线l与圆C相切,求实数a的值;
(3)若直线l与圆C相离,求实数a的取值范围.
变式 已知直线y=x+b 与圆x2+y2=2,则当b分别为何值时,直线与圆有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点
[素养小结]
直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
◆ 探究点二 直线与圆的相交弦问题
例2 [课本P67T7] 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),过点P0且倾斜角为α的直线与圆O相交于A,B两点.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
变式 (1)直线x+2y-5+=0 被圆x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 ( )
A.2 B.4
C.8 D.16
(2)已知直线l:y=kx与圆C:(x-1)2+(y-)2=4相交于A,B两点,且AB=2,则直线l的方程为 .
[素养小结]
求圆截直线所得的弦长的方法:
(1)几何法:用弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形的三边长,利用勾股定理求解.
(2)代数法:设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率为k,用弦长公式AB=|x1-x2|=求解.
◆ 探究点三 直线与圆相切
角度1 过圆上一点求圆的切线方程
例3 过点M(3,1)作圆C:x2+y2-2x-6y+2=0的切线l,求l的方程.
变式 已知圆C:x2+y2-4x=0 与直线l 切于点P(1,),则直线l 的方程为 ( )
A.x-y+2=0 B.x-y+4=0
C.x+y-4=0 D.x+y-2=0
角度2 过圆外一点求圆的切线方程
例4 过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.
变式 过点P(4,3)作圆(x-2)2+(y+1)2=4的切线,求该切线的方程.
[素养小结]
过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条,这时另一条切线的斜率不存在.
拓展 (多选题)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,则下列说法正确的是 ( )
A.x=2为过点A(2,3)的圆C的一条切线
B.y=3为过点A(2,3)的圆C的一条切线
C.3x-4y+6=0为过点A(2,3)的圆C的一条切线
D.4x-3y+1=0为过点A(2,3)的圆C的一条切线2.2 直线与圆的位置关系
1.[2025·广东湛江高二期中] 直线l:3x+4y-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4的位置关系为 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.直线x+y-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 ( )
A.1 B.2 C.2 D.2
3.[2025·江苏徐州高二期中] 已知直线3x+4y-9=0与以C(-1,-2)为圆心的圆相交于A,B两点,且AB=6,则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=25
C.(x-1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=25
4.[2025·南京外国语学校高二期中] 设k为实数,则直线l:kx-y-4k+3=0与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
5.[2025·湖南衡阳一中高二月考] 已知圆C:(x-1)2+y2=1,过直线3x+4y-13=0上的动点P作圆C的一条切线,切点为A,则PA的最小值为 ( )
A.2 B.4 C. D.3
6.(多选题)[2025·江苏南通海门中学高二月考] 已知直线l:mx+y-1+m=0,圆E:x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是 ( )
A.直线l与圆E一定有公共点
B.当m=-时,直线l被圆E截得的弦最长
C.当直线l与圆E相切时,m=
D.圆心E到直线l的距离的最大值为
7.[2025·重庆杨家坪中学高二月考] 直线l:x-2y+m=0被圆(x+1)2+(y-2)2=8截得的弦长为2,则m= .
8.若过点(3,2) 作圆(x-1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,则该切线的一般式方程为 .
9.(13分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆C所截得的弦长.
10.(13分)已知圆C过点O(0,0),A(1,-1),B(8,6).
(1)求圆C的一般方程;
(2)设直线l过点P,且与圆C交于M,N两点,若∠MCN=,求l的方程.
11.[2025·安徽合肥一中高二期中] 一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A.-或
B.-或
C.-或
D.-或-
12.[2025·江苏南通实验中学高二期末] 经过原点且倾斜角为的直线l被圆C:x2+y2-4y+a=0截得的弦长是2,则圆C在x轴下方部分与x轴围成的图形的面积为 ( )
A.-4 B.-4
C.-2 D.-2
13.[2025·江苏盐城实验中学高二月考] 若过点P(0,-1)的直线l与圆(x-)2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的最大值为 ( )
A. B. C. D.
14.[2025·江苏南京金陵中学高二期末] 若圆C:(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)上恰有2个点到直线l:3x+4y+15=0的距离为1,则实数r的取值范围为 .
15.对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下:若两平行直线中至少有一条与圆相切,则称两平行直线与圆的位置关系为“平行相切”;若两平行直线都与圆相离,则称两平行直线与圆的位置关系为“平行相离”,否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0,和圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则b的取值范围为 .
16.(15分)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向且距离O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向且距离O岛20千米处,以O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的标准方程.
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一艘航海船D在O岛的南偏西30°方向距离O岛40千米处,正沿着北偏东60°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险