本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)B (2)C [解析] (1)由x2+y2-4x-2y+3=0,得(x-2)2+(y-1)2=2, 设圆C的圆心为C(a,b),因为圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称,即圆心D(2,1)与(a,b)关于直线4x+2y-5=0对称,所以解得
所以圆C的方程为x2+y2=2.
(2)因为A(0,1),B(0,3),所以线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y=2,设圆心为C(t,2),则圆C的半径r==,又因为r=AC==,所以=,整理可得t2+6t-7=0,解得t=1或t=-7.当t=1时,r=AC=,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=2;当t=-7时,r=AC=5,此时圆的方程为(x+7)2+(y-2)2=50.综上所述,满足条件的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=2或(x+7)2+(y-2)2=50.故选C.
变式 (1)A (2)D (3)+= [解析] (1)因为圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+1=0相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==2,所以该圆的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=8.故选A.
(2)设所求圆的圆心为C(2b+2,b),由圆过点A(0,4),B(4,6),可得AC=BC,即[(2b+2)-0]2+(b-4)2=[(2b+2)-4]2+(b-6)2,解得b=1,可得圆心坐标为(4,1),半径为5,则所求圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25.故选D.
(3)设圆心坐标为(m,2m-1),则半径r==
=,故当m=时,r取得最小值,此时圆心坐标为,故当半径最小时,圆的方程为+=.
题型二
例2 (1)BCD (2)B [解析] (1)易知圆C的圆心为C(0,0),半径r=2.对于A,圆心(0,0)到直线l:x+y-6=0的距离d==3,可得圆C上的点到直线l距离的最小值为3-2,圆C上的点到直线l距离的最大值为3+2,因为3-2<2<3+2,所以圆C上恰有两个点到l的距离为2,故A错误.对于B,设P(t,6-t),A(x1,y1),B(x2,y2),可得+=4,+=4,易知=(x1-t,y1-6+t),=(x1,y1),由·=x1(x1-t)+y1(y1-6+t)=0,整理得tx1+(6-t)y1=4.同理可得tx2+(6-t)y2=4.所以点A,B在直线tx+(6-t)y=4上,所以直线AB的方程为tx+(6-t)y=4,即t(x-y)+6y-4=0,令解得
所以直线AB恒过定点,故B正确.对于C,由直线AB恒过定点可知,当点与圆心C(0,0)的连线垂直于AB时,AB取得最小值,易知点与圆心C(0,0)之间的距离d1=,所以ABmin=2=,故C正确.对于D,四边形ACBP的面积为PA·CA=2PA,因为PA==,所以当PC取得最小值时,PA也取得最小值,易知PCmin=d=3,所以PAmin=,故四边形ACBP的面积的最小值为2,故D正确.故选BCD.
(2)由x2+y2-4x-1=0可得(x-2)2+y2=5,可得圆心坐标为(2,0),半径r=.又点(0,-2)到圆心(2,0)的距离d=2,所以sin===,cos==,故sin α=2sincos=.
变式 (1)D (2)AD [解析] (1)圆x2+y2-6x-8y=0的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则圆心为(3,4),半径为5,显然直线3x+4y-25=0过圆心(3,4),所以AB=10,故选D.
(2)对于A,l:y=kx+2k+2,即y=k(x+2)+2,令x+2=0,得x=-2,此时y=2,所以直线l过定点(-2,2),故A正确;对于B,因为(-2)2+22-2×2-8<0,所以定点(-2,2)在圆C:x2+y2-2y-8=0内,所以直线l与圆C相交,故B错误;对于C,由x2+y2-2y-8=0,得x2+(y-1)2=9,则该圆的圆心为C(0,1),当圆心C与定点(-2,2)的连线垂直于直线l时,圆心C到直线l的距离取得最大值,最大值为=,故C错误;对于D,由弦长AB=2可知,当圆心C到直线l的距离最大时,弦长取得最小值,所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为2×=4,故D正确.故选AD.
题型三
例3 BC [解析] 易知圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1;圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2的圆心为C2(3,-4),半径为r.对于A,因为圆C1与圆C2无公共点,所以C1C2>1+r或C1C2<|r-1|,可得5>r+1或5<|r-1|,可得06,故A错误;对于B,当r=5时,公共弦所在直线的方程为x2+y2-[(x-3)2+(y+4)2]=1-25,整理可得6x-8y-1=0,故B正确;对于C,当r=2时,可知两圆外离,则C1C2-3≤PQ≤C1C2+3,即PQ的取值范围为[2,8],故C正确;对于D,若∠APB=,则易知四边形AC2BP为正方形,则可得PC2=3,又C1C2-1≤PC2≤C1C2+1,即PC2的取值范围为[4,6],且3∈[4,6],所以存在点P满足∠APB=,即D错误.故选BC.
变式 ACD [解析] 由x2+y2+2x-6y+6=0,得(x+1)2+(y-3)2=4,则圆C1的圆心为C1(-1,3),半径r1=2.由x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,则圆C2的圆心为C2(1,1),半径r2=1.对于A,公共弦AB所在直线的方程为x2+y2+2x-6y+6-(x2+y2-2x-2y+1)=0,即4x-4y+5=0,故A正确;对于B,C2(1,1)到直线AB的距离d==,所以公共弦AB的长为2=2=,故B错误;对于C,因为C1C2==2,r1=2,r2=1,所以圆C1与圆C2的公切线长为==,故C正确;对于D,根据题意可知,线段AB的中垂线就是直线C1C2,因为==-1,所以直线C1C2的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故D正确.故选ACD.
题型四
例4 解:(1)连接O1O,因为O1T与圆O相切于点T,所以OT⊥O1T.
又OO1==,OT=1,
所以在Rt△OO1T中,sin∠OO1T==.
(2)过点P(a,b)作两圆的切线,因为切线长相等,所以=,整理得4a+6b-13=0,故a,b的关系为4a+6b-13=0.
(3)设l1的斜率为k,且k≠0,
则l1的方程为kx-y+n-km=0,l2的方程为x+ky-kn-m=0.
因为它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等且两圆半径相等,所以O到直线l1的距离等于O1到直线l2的距离,故=对任意k∈R,且k≠0恒成立,即|n-km|=|2-m+(3-n)k|对任意k∈R,且k≠0恒成立,
所以[m2-(3-n)2]k2-2[mn+(2-m)(3-n)]k+n2-(2-m)2=0对任意k∈R且k≠0恒成立,
故解得
或故满足题意的点M存在且其坐标为或.
变式 解:(1)因为点P的坐标为(0,0),所以MP=2,
又因为MA=MB=1,所以∠MPA=∠MPB=30°,故∠APB=60°.
(2)设P(2m,m),则线段MP的中点为Q,
因为PA为圆M的切线,
所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,MQ为半径的圆,
故其方程为(x-m)2+=m2+,化简得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,
由解得(舍)或
所以经过A,P,M三点的圆经过异于点M的定点.
题型五
例5 解:(1)设一个单位长度为10海里,以A为坐标原点,以正东、正北方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
则在平面直角坐标系中,AB=10,AC=2,AE=4,且∠xAB=60°,∠xAC=30°,
则A(0,0),E(0,-4),B(5,5),C(3,),
所以BC==2,
所以B,C两地间的距离为20海里,
所以该船的行驶速度为=5(海里/时).
(2)直线BC的斜率为=2,
所以直线BC的方程为y-=2(x-3),即2x-y-5=0,
所以点E到直线BC的距离为=<,
所以直线BC会与以E为圆心,以为半径的圆相交,因此该船应改变航行方向,否则会进入警戒区域.
变式 AC [解析] 如图,分别以OC,OA所在直线为 x,y轴建立平面直角坐标系,则C(170,0),A(0,60),依题意得,直线BC的斜率kBC=-,则直线BC方程为y=-(x-170),直线AB的斜率kAB=-=,则直线AB方程为y=x+60,由解得 即B(80,120),故BC==150,A正确.设OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,圆M的半径r=,显然
由0≤t≤60,得r=136-t,则解得10≤t≤35,即10≤OM≤35,B错误,C正确;当t=10,即OM长为10 m时,圆M的半径r最大,圆形保护区的面积最大,D错误.故选AC.本章总结提升
◆ 题型一 求圆的方程
[类型总述] (1)圆的标准方程;(2)圆的一般方程.
例1 (1)[2025·江苏泰州高二期中] 已知圆C与圆D:x2+y2-4x-2y+3=0关于直线4x+2y-5=0对称,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
(2)过A(0,1),B(0,3)两点,且与直线y=x-1相切的圆的方程可以是 ( )
A.(x+1)2+(y-2)2=2
B.(x-2)2+(y-2)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=2
D.(x+2)2+(y-2)2=5
变式 (1)若圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+1=0相切,则该圆的标准方程为 ( )
A.(x+2)2+(y-3)2=8
B.(x-2)2+(y+3)2=8
C.(x+2)2+(y-3)2=18
D.(x-2)2+(y+3)2=18
(2)过点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程为 ( )
A.(x+4)2+(y+1)2=25
B.(x+4)2+(y-1)2=25
C.(x-4)2+(y+1)2=25
D.(x-4)2+(y-1)2=25
(3)[2025·山东菏泽一中高二期中] 已知圆C经过点A(1,0),且圆心在直线y=2x-1上运动,则当圆的半径最小时,圆的标准方程为 .
◆ 题型二 直线与圆的位置关系
[类型总述] (1)直线与圆相交问题;(2)直线与圆相切问题.
例2 (1)(多选题)[2025·江苏镇江实验中学高二期末] 已知圆C:x2+y2=4,P是直线l:x+y-6=0上一动点,过点P作直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则下列说法正确的为( )
A.圆C上恰有一个点到l的距离为2
B. 直线AB恒过点
C.AB的最小值是
D. 四边形ACBP面积的最小值为2
(2)[2023·新课标Ⅰ卷] 过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= ( )
A.1 B. C. D.
变式 (1)[2024·全国甲卷] 直线3x+4y-25=0与圆x2+y2-6x-8y=0交于A,B两点,则AB= ( )
A. B.2 C.5 D.10
(2)(多选题)[2025·福建泉州一中高二期末] 已知直线l:y=kx+2k+2与圆C:x2+y2-2y-8=0,则下列说法正确的是 ( )
A.直线l过定点(-2,2)
B.直线l与圆C相离
C.圆心C到直线l距离的最大值是2
D.直线l被圆C截得的弦长最小值为4
◆ 题型三 圆与圆的位置关系
[类型总述] (1)圆与圆相交;(2)圆与圆相切;(3)圆与圆相离;(4)垂径定理.
例3 (多选题)[2025·江苏如皋中学高二期末] 已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),P,Q分别是圆C1与圆C2上的动点,则下列说法正确的为 ( )
A.若圆C1与圆C2无公共点,则0B.当r=5时,两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0
C.当r=2时,PQ的取值范围为[2,8]
D.当r=3时,过点P作圆C2的两条切线,切点分别为A,B,则∠APB不可能等于
变式 (多选题)[2025·安徽安庆一中月考] 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0相交于A,B两点,则下列说法正确的为 ( )
A.线段AB所在直线的方程为4x-4y+5=0
B.公共弦AB的长为
C.圆C1与圆C2的公切线长为
D.线段AB的中垂线方程为x+y-2=0
◆题型四 直线与圆、圆与圆的综合运用
[类型总述] 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题研究.
例4 [2025·江苏南师附中高二期中] 已知圆O:x2+y2=1,圆O1:(x-2)2+(y-3)2=1,过点O1作圆O的切线,切点为T(T在第二象限),如图.
(1)求∠OO1T的正弦值.
(2)已知点P(a,b),过点P分别作两圆的切线,若切线长相等,求a,b关系.
(3)是否存在定点M(m,n),使过点M有无数对相互垂直的直线l1,l2满足l1⊥l2,且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等 若存在,求出所有的点M;若不存在,请说明理由.
变式 [2025·江苏淮阴高二期中] 已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)若点P的坐标为(0,0),求∠APB.
(2)经过A,P,M三点的圆是否经过异于点M的定点 若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.
◆ 题型五 圆的实际应用
例5 在一次重大军事联合演习中,以点E为中心的5海里以内海域被设为警戒区域,任何船只不得经过该区域.已知点E的正北方向40海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A的北偏东30°方向,且与点A相距100海里的位置B,经过4小时又测得该船已行驶到位于点A的北偏东60°方向,且与点A相距20海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/时).
(2)该船能否不改变方向继续直线航行 请说明理由.
变式 (多选题)[2025·江苏启东实验中学高二期末] 如图,OA是连接河岸AB与OC的一座古桥,因保护古迹与发展的需要,现规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
①新桥BC与河岸AB垂直;
②保护区的边界为一个圆,该圆与BC相切,且圆心M在线段OA上;
③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.
经测量,点A,C分别位于点O正北方向60 m、正东方向170 m处,tan∠BCO=,则下列结论正确的是 ( )
A.新桥BC的长为150 m
B.圆心M可以在点A处
C.圆心M到点O的距离至多为35 m
D.当OM长为20 m时,圆形保护区的面积最大(共41张PPT)
本章总结提升
题型一 求圆的方程
题型二 直线与圆的位置关系
题型三 圆与圆的位置关系
题型四 直线与圆、圆与圆的综合运用
题型五 圆的实际应用
答案核查
题型一 求圆的方程
［类型总述］（1）圆的标准方程;（2）圆的一般方程.
例1（1）［2025·江苏泰州高二期中］已知圆 与圆
关于直线 对称，则圆
的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
设圆的圆心为，因为圆与圆关于直线 对
称，即圆心与关于直线 对称，所以
解得
所以圆的方程为 .
（2）过，两点，且与直线 相切的圆的方程可
以是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，，所以线段 的垂直平分线所在直线的
方程为，设圆心为，则圆的半径 ，
又因为，所以 ，整
理可得，解得或.
当 时，，此时圆的方程为；
当 时，,此时圆的方程为 .
综上所述，满足条件的圆的方程为 或
.故选C.
变式（1）若圆心为的圆与直线 相切，则该圆的
标准方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为圆心为的圆与直线 相切，所以圆心
到直线的距离等于半径，即 ，所以该圆的标准方
程是 .故选A.
√
（2）过点,，且圆心在直线 上的圆的标
准方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设所求圆的圆心为，由圆过点， ，
可得 ，即
，解得 ，
可得圆心坐标为 ，半径为5，则所求圆的方程为
.故选D.
√
（3）［2025·山东菏泽一中高二期中］已知圆经过点 ，且圆
心在直线 上运动，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为
_ ___________________.
[解析] 设圆心坐标为 ，则半径
，故当时，取得最小值 ，
此时圆心坐标为 ，故当半径最小时，圆的方程为
.
题型二 直线与圆的位置关系
［类型总述］（1）直线与圆相交问题;（2）直线与圆相切问题.
例2（1）（多选题）［2025·江苏镇江实验中学高二期末］ 已知圆
,是直线上一动点，过点作直线 ,
分别与圆相切于点, ，则下列说法正确的为( )
A.圆上恰有一个点到的距离为
B.直线恒过点
C.的最小值是
D.四边形面积的最小值为
√
√
√
[解析] 易知圆的圆心为，半径.
对于A，圆心 到直线的距离，可得圆
上的点到直线 距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最
大值为 ，因为，所以圆上恰有两个
点到 的距离为，故A错误.
对于B，设,, ,可得,，
易知 , ，由
，整理得.
上，
所以直线的方程为 ，即
，令解得
所以直线恒过定点，故B正确.
对于C，由直线 恒过定点可知，当点与圆心的连线
垂直于时， 取得最小值，易知点与圆心之间的距离
，所以，故C正确.
，
因为，所以当 取得最小值时，
也取得最小值，易知 ，所以，
故四边形的面积的最小值为 ，故D正确.
故选 .
（2）［2023· 新课标Ⅰ卷］过点与圆 相
切的两条直线的夹角为 ，则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 由可得 ，可得圆心坐
标为，半径.
又点到圆心的距离 ，
所以， ，故
.
√
变式（1）［2024·全国甲卷］直线 与圆
交于，两点，则 ( )
A. B. C.5 D.10
[解析] 圆 的标准方程为
,则圆心为 ，半径为5,显然直线
过圆心，所以 ，故选D.
√
（2）（多选题）［2025·福建泉州一中高二期末］ 已知直线
与圆 ，则下列说法正确
的是( )
A.直线过定点
B.直线与圆 相离
C.圆心到直线距离的最大值是
D.直线被圆 截得的弦长最小值为4
√
√
[解析] 对于A，，即 ，令
，得，此时，所以直线过定点 ,故A正确；
对于B，因为，所以定点 在圆
内，所以直线与圆 相交，故B错误；
对于C，由，得 ，则该圆的圆心为
，当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线
的距离取得最大值，最大值为 ，故C错误；
对于D，由弦长可知，当圆心到直线 的距离最大
时，弦长取得最小值，所以直线被圆 截得的弦长的最小值为
，故D正确.
故选 .
题型三 圆与圆的位置关系
［类型总述］（1）圆与圆相交；（2）圆与圆相切；（3）圆与圆相
离；（4）垂径定理.
例3 （多选题）［2025·江苏如皋中学高二期末］ 已知圆
，圆,, 分别是
圆与圆 上的动点，则下列说法正确的为( )
A.若圆与圆无公共点，则
B.当时，两圆公共弦所在直线方程为
C.当时，的取值范围为
D.当时，过点作圆的两条切线，切点分别为,，则
不可能等于
√
√
[解析] 易知圆的圆心为，半径 ；圆
的圆心为，半径为 .
对于A，因为圆与圆无公共点，所以或 ，
可得或，可得或 ，故A错误；
对于B，当 时，公共弦所在直线的方程为
，整理可得
，故B正确；
对于C，当 时，可知两圆外离，则，
即的取值范围为 ,故C正确；
对于D，若，则易知四边形 为正方形，则可得
，又，即 的取值范围为
，且，所以存在点满足 ，即D错误.
故选 .
变式 （多选题）［2025·安徽安庆一中月考］ 已知圆
与圆 相
交于， 两点，则下列说法正确的为( )
A.线段所在直线的方程为
B.公共弦的长为
C.圆与圆的公切线长为
D.线段的中垂线方程为
√
√
√
[解析] 由，得 ，
则圆的圆心为，半径.由 ，
得，则圆的圆心为，半径 .
对于A，公共弦 所在直线的方程为
，即
，故A正确；
对于B，到直线 的距离，所以公共弦 的长
为 ，故B错误；
，，，
所以圆 与圆的公切线长为 ，
故C正确；
对于D，根据题意可知，线段的中垂线就是直线 ，因为
，所以直线的方程为 ，即
，故D正确.
故选 .
题型四 直线与圆、圆与圆的综合运用
［类型总述］ 直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题研究.
例4 ［2025·江苏南师附中高二期中］已知圆
，圆 ，
过点作圆的切线，切点为（ 在第二象限），
如图.
（1）求 的正弦值.
解:连接，因为与圆相切于点 ，所以
.
又， ，
所以在中， .
（2）已知点，过点 分别作两圆的切线，
若切线长相等，求, 关系.
解:过点 作两圆的切线，因为切线长相
等，所以
，整
理得，故, 的关系为
.
（3）是否存在定点，使过点有无数对相互垂直的直线,
满足，且它们分别被圆、圆 所截得的弦长相等？若存在，
求出所有的点 ；若不存在，请说明理由.
解:设的斜率为，且 ，
则的方程为, 的方程为
.
因为它们分别被圆、圆 所截得的弦长相等且
两圆半径相等，所以到直线的距离等于 到
直线的距离，故 对任意
,且恒成立，即 对任意
,且 恒成立，
所以对任意且 恒成立,
故解得
或故满足题意的点 存在且其坐标为
或 .
变式 ［2025·江苏淮阴高二期中］ 已知圆 的方程为
，直线的方程为，点在直线上，过
作圆的切线，，切点分别为， .
（1）若点的坐标为，求 .
解:因为点的坐标为，所以 ，
又因为，所以 ,故 .
（2）经过，，三点的圆是否经过异于点 的定点？若经过，求
出定点坐标；若不经过，请说明理由.
解:设,则线段的中点为 ，
因为为圆 的切线，
所以经过，，三点的圆是以为圆心， 为半径的圆，
变式 ［2025·江苏淮阴高二期中］ 已知圆 的方程为
，直线的方程为，点在直线上，过
作圆的切线，，切点分别为， .
故其方程为 ，化简得
，
由解得（舍）或
所以经过，，三点的圆经过异于点的定点 .
题型五 圆的实际应用
例5 在一次重大军事联合演习中,以点 为中心的5海里以内海域被设
为警戒区域,任何船只不得经过该区域.已知点的正北方向 海里
处有一个雷达观测站,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点
的北偏东 方向,且与点相距100海里的位置 ,经过4小时又测得
该船已行驶到位于点的北偏东 方向,且与点相距 海里的
位置 .
（1）求该船的行驶速度（单位:海里/时）.
解:设一个单位长度为10海里,以 为坐标原点,以正东、正北方向分别
为, 轴的正方向建立平面直角坐标系,
则在平面直角坐标系中,,, ,且
, ,
则,,, ,
所以 ,
所以,两地间的距离为 海里,
所以该船的行驶速度为 （海里/时）.
（2）该船能否不改变方向继续直线航行 请说明理由.
解:直线的斜率为 ,
所以直线的方程为,即 ,
所以点到直线的距离为 ,
所以直线会与以为圆心,以 为半径的圆相交,因此该船应改变航
行方向,否则会进入警戒区域.
变式 （多选题）［2025·江苏启东实验中学高二期
末］ 如图，是连接河岸与 的一座古桥，
因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥 ，
同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥与河岸 垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段 上；
③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于 .
经测量，点，分别位于点正北方向、正东方向 处，
，则下列结论正确的是( )
A.新桥的长为
B.圆心可以在点 处
C.圆心到点的距离至多为
D.当长为 时，圆形保护区的面积最大
√
√
[解析] 如图，分别以,所在直线为, 轴建立平面
直角坐标系，则， ，依题意得，直线
的斜率，则直线 方程为
，直线的斜率 ，
则直线方程为，由
解得 即 ，故
，A正确.
，直线 的一般方程为，圆的半径 ，显然
由，得 ，则
解得，即，B错误，C正确；
当，即 长为时，圆的半径 最大，圆形保护区的面积
最大，D错误.
故选 .
快速核答案
例1 （1）B （2）C 变式 （1）A （2）D （3）
例2 （1）BCD （2）B 变式 （1）D （2）AD
例3 BC 变式 ACD
例4 （1）（2）（3）或
变式 （1） （2）
例5 （1）（海里/时）（2）该船应改变航行方向,否则会进入警戒区域.
变式 AC
