(共66张PPT)
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
探究点一 椭圆定义的理解
探究点二 求椭圆的标准方程
探究点三 与椭圆有关的轨迹问题
探究点四 直线与椭圆的位置关系
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用文字语言和符号语言描述椭圆的定义、相关概念和几何特
征,能从圆与椭圆的定义中体会它们的内在联系和椭圆的本质属性.
2.能够根据椭圆的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据椭
圆定义的表达式推导椭圆的标准方程.
3.能描述焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程,能说明标准方
程中特征量的关系.
4.能灵活运用椭圆定义和标准方程解决一些关联问题.
知识点一 椭圆的定义
1.椭圆定义：平面内到两个定点, 的距离______等于常数
（__________）的点的轨迹叫作椭圆.两个定点, 叫作__________
__,两个焦点间的距离叫作____________.
之和
大于
椭圆的焦点
椭圆的焦距
2.椭圆定义的三个要点:
（1）在平面内,, 是两个______;
（2） 为______;
（3）定长___ .
定点
定长
知识点二 椭圆的标准方程
标准方程 _ ____________________ _ _____________________
图形 ___________________________________ ___________________
焦点坐标 ____________ _____________
焦距 _____________
,
,
知识点三 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆 的位置关系的判断方
法:
由消去,得到一个关于 的一元二次方程.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与 的取值的
关系如下表所示:
位置关系 解的个数
相交 ___ _______
相切 ___ _______
相离 ___ ______
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知,,则平面内到, 两点距离之和等于4的点
的轨迹是椭圆.( )
×
（2）已知椭圆的方程为,则椭圆的焦点在 轴上.( )
×
（3）直线与椭圆 的交点个数为2.( )
√
（4）若方程表示椭圆，则的取值范围为 .( )
×
2.在椭圆定义中，将“大于”改为“小于 ”，其他条件不变，动
点的轨迹是什么？
解:当平面内到两个定点,的距离之和小于 时，动点的轨迹不
存在.
探究点一 椭圆定义的理解
例1（1）已知平面内有一个动点及两定点，，则“ 为
定值”是“点的轨迹是以， 为焦点的椭圆”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 当为定值时，若定值大于，则点 的轨迹是椭圆，
若定值等于，则点的轨迹是线段，若定值小于，则 的轨迹
不存在；
反之，当点的轨迹是以，为焦点的椭圆时， 必为定值.
所以“为定值”是“点的轨迹是以， 为焦点的椭圆”的必要
且不充分条件.故选B.
（2）［2025·江苏南通如东中学高二月考］如果点 在运动过
程中，总满足关系式 ，则点
的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在
[解析] 表示平面内点
到点,的距离之和为 ，因为
，所以点 的轨迹是椭圆，故选B.
√
变式 已知，是两个定点，且，其中 是大于0的常数，
动点满足，则动点 的轨迹为( )
A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线
[解析] 因为 （当且仅当 时，等号成立），所以
.
当且时， ，此时动点的轨迹是椭圆；
当时，，此时动点 的轨迹是线段 .
故选C.
√
［素养小结］
对椭圆定义的三点说明
1.椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
2.定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
3.常数必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断
一曲线是否为椭圆的重要条件.
探究点二 求椭圆的标准方程
例2（1）求焦点在轴上,焦距是4,且经过点 的椭圆的标准方程.
解:根据题意可知,又焦点在轴上,所以焦点坐标为 .
椭圆经过点 ,
由椭圆的定义可得 ,即
, ,
故椭圆的标准方程为 .
（2）求经过两点, 的椭圆的标准方程.
解:方法一:若焦点在 轴上,设椭圆的标准方程为
.
由已知条件得解得
故椭圆的标准方程为 .
若焦点在轴上,设椭圆的标准方程为 .
由已知条件得解得
则,与 矛盾,舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程为 .
方法二:设椭圆的方程为 .
将,分别代入椭圆的方程,得 解得
所求椭圆的标准方程为 .
变式 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1），，焦点在 轴上；
解:因为，，所以 ，
因为椭圆的焦点在轴上，所以其标准方程为 .
（2）， ；
解:因为，，所以 ，
因为椭圆的焦点位置不确定，所以其标准方程为 或
.
（3）经过点与点 .
解:设椭圆的方程为 ，
因为椭圆经过点与点，所以 解得
所以椭圆的标准方程为 .
变式 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
［素养小结］
求椭圆标准方程的方法
（1）关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，
再利用定义及求出参数，，最后代入椭圆标准方程.
（2）待定系数法：利用，， 三者之间的关系，通过解方程组求
出， .但是要注意先确定焦点的位置，其主要步骤可归纳为“先定
位，后定量”.
当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为
.因为它包括焦点在 轴上
与焦点在轴上 两类情况，所以可以避免分类讨论，
从而达到了简化运算的目的.
探究点三 与椭圆有关的轨迹问题
例3（1）已知圆，及圆内一定点 ，
圆过点且与圆内切，则圆心 的轨迹方程为_ __________.
[解析] 设圆的半径为， 圆过点，.
又 圆与圆 内切，圆的半径为10， 两圆的圆心距 ，
，
，, 圆心 的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，,， ，
圆心的轨迹方程为 .
（2）已知是椭圆上的一个动点， 为坐标原点，则线段
中点 的轨迹方程为_ __________.
[解析] 设，，由点是线段的中点知 ，
，又,所以，即 .
变式 已知轴上一定点，为椭圆 上任意一点，求
线段的中点 的轨迹方程.
解:设中点的坐标为，点的坐标为 ,
则易得
在椭圆 上， .
将， 代入上式，得 ，
故线段的中点的轨迹方程为 .
［素养小结］
1.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有直接法、定义法和代入法.
2.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用
这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为
定义法.定义法在后续解题中被广泛使用，是一种重要的求轨迹方程
的方法.
3.相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
（1）建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为 ,其相关动点
的坐标为 .
（2）找出与之间的等量关系，用,表示, .
（3）将, 代入所在的曲线方程.
（4）化简可得所求方程.
探究点四 直线与椭圆的位置关系
例4 已知直线,椭圆.试问当 取何值时,直
线与椭圆
解:由得 ,
则 .
（1）相交;
当直线与椭圆相交时,,则 ,解得 .
（2）相切;
解： 当直线与椭圆相切时,,则 ,解得
.
（3）相离.
解： 当直线与椭圆相离时, ,
则,解得或 .
例4 已知直线,椭圆.试问当 取何值时,直
线与椭圆
变式 若直线与椭圆有且只有一公共点，则
的值为( )
A. B. C. D.1
[解析] 因为方程表示的曲线为椭圆，所以 ，由
可得 ，则
，可得 .故选C.
√
［素养小结］
1.判断直线与椭圆的位置关系时,由直线方程与椭圆方程构成方程组,
消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则
直线与椭圆相交， 直线与椭圆相切，
直线与椭圆相离.
2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外,
还可利用直线的某些特征,如过定点等,把“直线与椭圆的位置关系”转
化为“点与椭圆的位置关系”判断.
1.两种椭圆， 的相同点:形状、大小
都相同,都有, ;不同点:位置不同,它们的焦点坐
标也不同.
2.给出椭圆方程 ,判断该方程所表示
的椭圆的焦点位置的方法:若椭圆的焦点在轴上，则标准方程中
项的分母较大.若椭圆的焦点在轴上，则标准方程中 项的分母较
大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记为:焦点位置看
大小,焦点跟着大的跑.
3.椭圆的焦点三角形
“图形直观及定义转换法”解一类椭圆最值问题
已知椭圆，,分别为椭圆 的左、右焦
点，点在椭圆上， 为定点.
问题1 若点在椭圆内，则 的取值范围为___________.
[解析] 作直线，交椭圆于点, ，如图，由
三角形两边之差小于第三边得 ，
即.
当点在点 处时，，所以 的最小值为
；
当点在点处时，，所以 的最大值为.
所以的取值范围为 .
问题2 若点在椭圆内，则 的取值范围为________________
____.
[解析] 作直线，交椭圆于点, ，如图.
由，得 ，故
，由三角形两边之差小
于第三边得 ，即 .
当点在点处时, ,所以的最小值为；
当点在点 处时,,所以的最大值为.
所以 的取值范围为 .
问题3 若点在椭圆外，则 的取值范围为_______________.
[解析] 连接并延长，交椭圆于点,,连接
并延长，交椭圆于点, ，如图.由三角形两边之
差小于第三边得 ，即
.
，故的最大值为.
当点在点 处时，此处对应的不是最小值.
由 ，得，故
，
当点 在点处时，，故 的最小值为
.
故的取值范围为 .
问题4 若点在椭圆外，则 的取值范围为_______________.
[解析] 连接并延长，交椭圆于点, ，连
接并延长，交椭圆于点, ，如图.由三角
形两边之和大于第三边得 ，当
点在点处时， ，所以
的最小值为.
，故
，当点 在点处时，，
故 的最大值为.
故的取值范围为 .
【方法概述】
与椭圆相关的及 的最值问题的一般求解步骤：
首先，判断定点 是在椭圆内还是在椭圆外；
其次，作直线，交椭圆于, 两点，结合三角形两边之差小于
第三边，两边之和大于第三边，观察判断能否在或 处取得最值；
若不能，则利用定义转换为或 的最值问题.作直线
，交椭圆于,两点，最值一定会在或 处取得.
练习册
1.已知椭圆上任意一点 都满足关系式
，则椭圆 的标准方程为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的几何意义为点 到点
，的距离之和为4，故易知椭圆的焦点在 轴上，其焦点
坐标为，，且，故，，所以 ，所
以椭圆的标准方程为 .故选B.
2.若椭圆上一点到左焦点的距离为6，则 到右焦点的距
离为( )
A.5 B.6 C.4 D.12
[解析] 由，得，所以 ，根据椭圆的定义知，点
到右焦点的距离为 .故选C.
√
3.已知椭圆，直线，则直线
与椭圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
[解析] 由题意知，直线恒过点 ，因
为，所以点在椭圆内部，所以直线 与椭圆相交.故选C.
√
4.［2025·江苏新海中学高二质检］“”是“方程
表示椭圆”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 若方程表示椭圆，则解得且 ，
故“”是“方程 表示椭圆”的必要且不充分条件.
故选B.
√
5.过点且与椭圆 有相同焦点的椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由知，椭圆的焦点为，，即 .
设所求椭圆的方程为，则 ，
，解得,，故所求椭圆方程为 .
故选A.
√
6.（多选题）［2025·山东济宁一中高二质检］ 已知曲线
，则下列说法正确的是( )
A.若,则是椭圆，其焦点在 轴上
B.若,则是椭圆，其焦点在 轴上
C.若,则是圆，其半径为
D.若,,则 是两条直线
√
√
[解析] 对于A，B，可化为 ，因为
，所以，则曲线为焦点在 轴上的椭圆，故A
正确，B错误；
对于C，若，则 可化为，
此时曲线为圆心在原点，半径为 的圆，故C不正确；
对于D，若,，则可化为 ，即
，此时曲线为平行于轴的两条直线，故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏泰州中学高二月考］已知焦点在 轴上的椭圆
的焦距为2，则实数 的值为____.
[解析] 因为椭圆的焦点在轴上，所以 ，
根据题意可得且，可得 .
8.若直线与椭圆交于,两点，则,
与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为____.
20
[解析] 设椭圆的两个焦点为,，由题可得，
则, 与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为
.
9.（13分）根据下列条件分别求椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，焦距为4，且椭圆过点 ；
解：由题意知，，又椭圆的焦点在 轴上，
可设该椭圆的方程为 .
椭圆过点， ，
，， 椭圆的标准方程为 .
（2）焦点在坐标轴上，且椭圆过点和 .
解：设椭圆的方程为，, ,
则解得
所以椭圆的标准方程为 .
9.（13分）根据下列条件分别求椭圆的标准方程：
10.（15分）若椭圆上一点到焦点的距离为2， 是线
段的中点，为坐标原点，则 等于( )
A.2 B.4 C.8 D.
[解析] 设椭圆的另一个焦点为，连接， ,且
,,
又为 的中点， .故选B.
√
11.［2025·江苏海门中学高二质检］已知点为椭圆 上
的动点，,分别是椭圆的左、右焦点，则 的最大值为
( )
A.2 B.3 C. D.4
[解析] 由椭圆，可得，所以 ，
由椭圆的定义可得，
所以 ，
当且仅当时，等号成立，即 的最大值为4.
故选D.
√
12.［2025·江苏徐州一中高二期中］我们把由半椭圆
与半椭圆 合成
的曲线称作“果圆”（其中 ，
），如图所示，其中点，， 是
A.，1 B. ，1 C.5，3 D.5，4
相应椭圆的焦点，是坐标原点.若 是边长为1的等边三角形，
则， 的值分别为( )
√
[解析] ， ，
，
，则 ，故选A.
13.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点 在
圆上，则 的最小值为___.
3
[解析] 由,得,则圆 的圆
心为，半径.
因为椭圆，所以 ,,,可得,
则 ，可得,
当且仅当，，， 四点共线，且，在，之间时取等号，
所以 的最小值为3.
14.（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别为
,，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
解： 椭圆的左、右焦点分别为,， .
又 椭圆经过点 ，
,则 ，
故椭圆的方程为 .
（2）若椭圆上的点满足，求点 的坐标.
解：设点， ，
，即 ，
由解得
当时， ，
当时，， 点的坐标为或 或
或 .
15.已知点在椭圆上，， 分别是椭圆的左、
右焦点，若，且的面积为1，则 的最小值为
_____.
[解析] 不妨设，， ，则
， ，两式相除可
得，所以，
又，所以 ，可得.
由椭圆的定义，得 （当且仅当时等号成立），
所以 ，所以，则的最小值为 ．
16.（15分）已知点是椭圆上的一点,点, 分别是椭圆
的上、下焦点,有一个内角为,求 的面积.
解:由题可知,, ,,, ,
, .
当 时, ②,
得 ,
.
当 时,由余弦定理可得
,
,此时 .
当时,同理可得.
综上所述, 的面积为或 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.之和 大于 椭圆的焦点 椭圆的焦距
2.（1）定点 （2）定长 （3）
知识点二 , ,
知识点三
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）× 2.略
课中探究 例1 （1）B （2）B 变式 C
例2 （1）（2）
变式 （1）（2）或（3）
例3 （1） （2） 变式
例4 （1）（2）（3）或
变式 C
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.AD 7. 8.20
9.（1）（2）
10.B 11.D 12.A 13.3
14.（1）
（2）或或或
15.
16. 或第3章 圆锥曲线与方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
【课前预习】
知识点一
1.之和 大于F1F2 椭圆的焦点
椭圆的焦距
2.(1)定点 (2)定长 (3)>
知识点二
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0) (-c,0),(c,0)
(0,-c),(0,c) 2c a2=b2+c2
知识点三
2 Δ>0 1 Δ=0 0 Δ<0
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.解:当平面内到两个定点F1,F2的距离之和小于F1F2时,动点的轨迹不存在.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B [解析] (1)当MA+MB为定值时,若定值大于AB,则点M的轨迹是椭圆,若定值等于AB,则点M的轨迹是线段,若定值小于AB,则M的轨迹不存在;反之,当点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆时,MA+MB必为定值.所以“MA+MB为定值”是“点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”的必要且不充分条件.故选B.
(2)+=4表示平面内点M(x,y)到点(0,-3),(0,3)的距离之和为4,因为3-(-3)=6<4,所以点M的轨迹是椭圆,故选B.
变式 C [解析] 因为a2+1≥2a (当且仅当a=1 时,等号成立),所以PF1+PF2≥F1F2.当a>0 且a≠1 时,PF1+PF2>F1F2,此时动点P的轨迹是椭圆;当a=1 时,PF1+PF2=F1F2,此时动点P 的轨迹是线段F1F2.故选C.
探究点二
例2 解:(1)根据题意可知c=2,又焦点在y轴上,所以焦点坐标为(0,±2).
∵椭圆经过点M(3,2),
∴由椭圆的定义可得2a=+=8,即a=4,∴b2=a2-c2=16-4=12,
故椭圆的标准方程为+=1.
(2)方法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得解得
故椭圆的标准方程为+=1.
若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾,舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二:设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
将(2,-),分别代入椭圆的方程,得解得
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
变式 解:(1)因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,
因为椭圆的焦点在y轴上,所以其标准方程为+x2=1.
(2)因为a=10,c=6,所以b2=a2-c2=100-36=64,
因为椭圆的焦点位置不确定,所以其标准方程为+=1或+=1.
(3)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
因为椭圆经过点P(-2,0)与点Q(0,2),所以解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
探究点三
例3 (1)+=1 (2)x2+=1
[解析] (1)设圆P的半径为r,∵圆P过点B,∴PB=r.又∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10,∴两圆的圆心距PA=10-r,∴PA+PB=10,∵AB=6,∴PA+PB>AB,∴圆心P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,其中2a=10,2c=AB=6,∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.∴圆心P的轨迹方程为+=1.
(2)设Q(x,y),P(x0,y0),由点Q是线段OP的中点知x0=2x,y0=2y,又+=1,所以+=1,即x2+=1.
变式 解:设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),
则易得∴
∵Q(x0,y0)在椭圆+y2=1上,
∴+=1.
将x0=2x-1,y0=2y代入上式,
得+(2y)2=1,
故线段AQ的中点M的轨迹方程为+4y2=1.
探究点四
例4 解:由得9x2+8mx+2m2-4=0,
则Δ=64m2-36(2m2-4)=144-8m2.
(1)当直线l与椭圆C相交时,Δ>0,则144-8m2>0,解得-3(2)当直线l与椭圆C相切时,Δ=0,则144-8m2=0,解得m=±3.
(3)当直线l与椭圆C相离时,Δ<0,
则144-8m2<0,解得m>3或m<-3.
变式 C [解析] 因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆,所以a>0,由可得4x2-6x+3-a=0,则Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12=0,可得a=.故选C.第3章 圆锥曲线与方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
1.B [解析] +=4的几何意义为点P到点(1,0),(-1,0)的距离之和为4,故易知椭圆C的焦点在x轴上,其焦点坐标为(1,0),(-1,0),且2a=4,故a=2,c=1,所以b2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.故选B.
2.C [解析] 由a2=25,得a=5,所以2a=10,根据椭圆的定义知,点P到右焦点的距离为10-6=4.故选C.
3.C [解析] 由题意知,直线l:x+my-m=0(m∈R)恒过点(0,1),因为+<1,所以点(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆相交.故选C.
4.B [解析] 若方程表示椭圆,则解得15.A [解析] 由+=1知,椭圆的焦点为(,0),(-,0),即c=.设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),则+=1,a2-b2=5,解得b2=10,a2=15,故所求椭圆方程为+=1.故选A.
6.AD [解析] 对于A,B,mx2+ny2=1可化为+=1,因为m>n>0,所以0<<,则曲线C为焦点在y轴上的椭圆,故A正确,B错误;对于C,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,此时曲线C为圆心在原点,半径为的圆,故C不正确;对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,即y=±,此时曲线C为平行于x轴的两条直线,故D正确.故选AD.
7. [解析] 因为椭圆的焦点在y轴上,所以m2<4,根据题意可得4-m2=1且m>0,可得m=.
8.20 [解析] 设椭圆的两个焦点为F1,F2,由题可得a=5,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为AF1+F1B+BF2+F2A=4a=20.
9.解:(1)由题意知2c=4,∴c=2,又椭圆的焦点在x轴上,
∴可设该椭圆的方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过点(0,2),∴b=2,
∵c2=a2-b2,∴a2=8,∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1,m>0,n>0,
则解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
10.B [解析] 设椭圆的另一个焦点为F2,连接MF2,∵MF1=2,且MF1+MF2=10,∴MF2=10-MF1=8,又O为F1F2的中点,∴ON=MF2=4.故选B.
11.D [解析] 由椭圆C:+=1,可得a2=4,所以a=2,由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=4,所以PF1·PF2≤==4,当且仅当PF1=PF2=2时,等号成立,即PF1·PF2的最大值为4.故选D.
12.A [解析] ∵OF2==,OF0=c=,∴b=1, ∴a2=b2+c2=1+=,则a=, 故选A.
13.3 [解析] 由x2+y2-4y+7=0,得x2+(y-2)2=1,则圆E的圆心为E(0,2),半径r=1.因为椭圆C:+y2=1,所以a=3,b=1,c=2,可得F(-2,0),则FE==4,可得MF+MN≥EF-r=4-1=3,当且仅当E,N,M,F四点共线,且M,N在E,F之间时取等号,所以MF+MN的最小值为3.
14.解:(1)∵椭圆C的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),∴c=.
又∵椭圆C经过点B(0,1),
∴b=1,则a2=b2+c2=4,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设点P(x0,y0),∵PF1⊥PF2,
∴·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=0,即+=3,
由解得
当x0=时,y0=±,
当x0=-时,y0=±,∴点P的坐标为或或或.
15.2 [解析] 不妨设m=PF1,n=PF2(m>0,n>0),θ=∠F1PF2,则·=mncos θ=-2,=mnsin θ=1,两式相除可得tan θ=-,所以tan θ=-1,又θ∈(0,π),所以θ=,可得mn=2(m>0,n>0).由椭圆的定义,得2a=m+n≥2(当且仅当m=n时等号成立),所以4a2≥4mn=8,所以a2≥2,则a2的最小值为2.
16.解:由题可知,a2=45,b2=9,
∴a=3,b=3,c==6,
∴PF1+PF2=6,
∴(PF1+PF2)2=180①.
当∠F1PF2=时,P+P-2PF1·PF2cos=F1=122=144②,①-②得PF1·PF2=36,
∴=PF1·PF2sin=×36×=9.
当∠PF1F2=时,由余弦定理可得cos∠PF1F2===-,
∴PF1=,此时=PF1·F1F2sin=.
当∠PF2F1=时,同理可得=.综上所述,△F1PF2的面积为或9.第3章 圆锥曲线与方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
【学习目标】
1.能用文字语言和符号语言描述椭圆的定义、相关概念和几何特征,能从圆与椭圆的定义中体会它们的内在联系和椭圆的本质属性.
2.能够根据椭圆的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据椭圆定义的表达式推导椭圆的标准方程.
3.能描述焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程,能说明标准方程中特征量的关系.
4.能灵活运用椭圆定义和标准方程解决一些关联问题.
◆ 知识点一 椭圆的定义
1.椭圆定义:平面内到两个定点F1,F2的距离 等于常数( )的点的轨迹叫作椭圆.两个定点F1,F2叫作 ,两个焦点间的距离叫作 .
2.椭圆定义的三个要点:
(1)在平面内,F1,F2是两个 ;
(2)MF1+MF2=2a为 ;
(3)定长2a F1F2.
◆ 知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
焦距 F1F2=
a,b,c的关系
◆ 知识点三 直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:
由消去y,得到一个关于x的一元二次方程.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与Δ的取值的关系如下表所示:
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交
相切
相离
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知F1(-2,0),F2(2,0),则平面内到F1,F2两点距离之和等于4的点的轨迹是椭圆. ( )
(2)已知椭圆的方程为+=1,则椭圆的焦点在x轴上. ( )
(3)直线+=1与椭圆+=1的交点个数为2. ( )
(4)若方程+=1表示椭圆,则t的取值范围为(9,+∞). ( )
2.在椭圆定义中,将“大于F1F2”改为“小于F1F2”,其他条件不变,动点的轨迹是什么
◆ 探究点一 椭圆定义的理解
例1 (1)已知平面内有一个动点M及两定点A,B,则“MA+MB为定值”是“点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)[2025·江苏南通如东中学高二月考] 如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式+=4,则点M的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.不存在
变式 已知F1,F2是两个定点,且F1F2=2a,其中a是大于0的常数,动点P满足PF1+PF2=a2+1,则动点P的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.直线
[素养小结]
对椭圆定义的三点说明
1.椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.
2.定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
3.常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的重要条件.
◆ 探究点二 求椭圆的标准方程
例2 (1)求焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2)的椭圆的标准方程.
(2)求经过两点(2,-),的椭圆的标准方程.
变式 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)b=1,c=,焦点在y轴上;
(2)a=10,c=6;
(3)经过点P(-2,0)与点Q(0,2).
[素养小结]
求椭圆标准方程的方法
(1)关键量代入法:先确定椭圆的焦点位置,明确其标准方程的形式,再利用定义及a2-b2=c2求出参数a,b,最后代入椭圆标准方程.
(2)待定系数法:利用a,b,c三者之间的关系,通过解方程组求出a,b.但是要注意先确定焦点的位置,其主要步骤可归纳为“先定位,后定量”.
当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而达到了简化运算的目的.
◆ 探究点三 与椭圆有关的轨迹问题
例3 (1)已知圆A:(x+3)2+y2=100,及圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,则圆心P的轨迹方程为 .
(2)已知P是椭圆+=1上的一个动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为 .
变式 已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆+y2=1上任意一点,求线段AQ的中点M的轨迹方程.
[素养小结]
1.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有直接法、定义法和代入法.
2.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在后续解题中被广泛使用,是一种重要的求轨迹方程的方法.
3.相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0).
(2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0.
(3)将x0,y0代入所在的曲线方程.
(4)化简可得所求方程.
◆ 探究点四 直线与椭圆的位置关系
例4 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)相交;(2)相切;(3)相离.
变式 若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一公共点,则a的值为 ( )
A. B. C. D.1
[素养小结]
1.判断直线与椭圆的位置关系时,由直线方程与椭圆方程构成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0 直线与椭圆相交,Δ=0 直线与椭圆相切,Δ<0 直线与椭圆相离.
2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外,还可利用直线的某些特征,如过定点等,把“直线与椭圆的位置关系”转化为“点与椭圆的位置关系”判断.第3章 圆锥曲线与方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
1.已知椭圆C上任意一点P(x,y)都满足关系式+=4,则椭圆C的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
2.若椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为6,则P到右焦点的距离为 ( )
A.5 B.6 C.4 D.12
3.已知椭圆+=1,直线l:x+my-m=0(m∈R),则直线l与椭圆的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
4.[2025·江苏新海中学高二质检] “1A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.过点(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.(多选题)[2025·山东济宁一中高二质检] 已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
C.若m=n>0,则C是圆,其半径为
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
7.[2025·江苏泰州中学高二月考] 已知焦点在y轴上的椭圆+=1(m>0)的焦距为2,则实数m的值为 .
8.若直线mx+y=0(m∈R)与椭圆+=1交于A,B两点,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为 .
9.(13分)根据下列条件分别求椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,焦距为4,且椭圆过点(0,2);
(2)焦点在坐标轴上,且椭圆过点M和N(,1).
10.(15分)若椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则ON等于 ( )
A.2 B.4 C.8 D.
11.[2025·江苏海门中学高二质检] 已知点P为椭圆C:+=1上的动点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,则PF1·PF2的最大值为( )
A.2 B.3 C.2 D.4
12.[2025·江苏徐州一中高二期中] 我们把由半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,O是坐标原点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为 ( )
A.,1 B. ,1
C. 5,3 D. 5,4
13.已知椭圆C:+y2=1的左焦点为F,点M在椭圆C上,点N在圆E:x2+y2-4y+7=0上,则MN+MF的最小值为 .
14.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),且经过点B(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上的点P满足PF1⊥PF2,求点P的坐标.
15.已知点P在椭圆+=1(a>b>0)上,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若·=-2,且△PF1F2的面积为1,则a2的最小值为 .
16.(15分)已知点P是椭圆+=1上的一点,点F1,F2分别是椭圆的上、下焦点,△F1PF2有一个内角为,求△F1PF2的面积.
