(共61张PPT)
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
探究点一 椭圆的几何性质
探究点二 由椭圆的几何性质求椭圆标准
方程
探究点三 与椭圆离心率有关的问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导
出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
2.能说明椭圆特征量的几何意义.
3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性
质的代数表达.
知识点一 椭圆的简单几何性质
标准方程
图形 ___________________________________________ ______________________________________
标准方程
性质 焦点 ________________ _________________
焦距 范围 ______________ _______________
对称性 关于________________对称 轴长 顶点 ______________ ______________
,
,
,
,
轴、轴和原点
,
,
续表
知识点二 离心率
（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率,记为 .
（2）范围： .
（3）离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示,
在中,,记 ,则
,越大,越小,椭圆越____; 越
小, 越大,椭圆越____.
扁
圆
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）椭圆的长轴长等于 .( )
×
（2）设为椭圆的一个焦点, 为椭圆上任意
一点,则的最大值为为椭圆的半焦距 .( )
√
（3）椭圆的离心率 越大,椭圆就越圆.( )
×
（4）若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的
方程为 .( )
×
探究点一 椭圆的几何性质
例1 已知椭圆,椭圆与椭圆 的长轴长、短轴长均
相等,且椭圆的焦点在 轴上.
（1）求椭圆 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
解:由椭圆,可得, ,
则,故椭圆 的长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐
标为,,离心率 .
（2）写出椭圆的方程,并写出,的取值范围及椭圆 的对称性、
顶点、焦点和离心率.
解:椭圆的方程为 .
①,的取值范围为, .
②对称性:关于轴、 轴、原点对称.
③顶点为,,, .
④焦点为, .
⑤离心率为 .
例1 已知椭圆,椭圆与椭圆 的长轴长、短轴长均
相等,且椭圆的焦点在 轴上.
变式 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点
坐标：
（1） ；
解:由，得,， ，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为 ，离心率
，顶点坐标为,,, ，焦点坐标
为, .
（2） ；
解:由，得,， ，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率 ，
顶点坐标为,,,，焦点坐标为 ,
.
变式 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点
坐标：
（3） .
解:由，得 ，
则,， ，所以椭圆的长轴长
为，短轴长为，离心率 ，
顶点坐标为,,,，焦点坐标为, .
变式 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点
坐标：
［素养小结］
由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:
（1）已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则
先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.
（2）焦点位置不确定时要分类讨论,找准与,正确利用
求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不
是,,,而应是,,.
探究点二 由椭圆的几何性质求椭圆标准方程
例2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
解:设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为 ，
由题意可知可得
因为不确定焦点在哪个坐标轴上，
所以所求椭圆的标准方程为或 .
（2）经过点，且离心率 .
解:①当椭圆的焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为
，
由题意得 ，
因为，所以，从而 ，
所以所求椭圆的标准方程为 .
例2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
②当椭圆的焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为
，
由题意得 ，
因为，所以，从而 ，
所以所求椭圆的标准方程为 .
综上，所求椭圆的标准方程为或 .
变式 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴是短轴的3倍且经过点 ；
解:若焦点在轴上，则设方程为 ，
椭圆过点，，得，， ，
所求椭圆的标准方程为 .
若焦点在轴上，则设方程为， 椭圆过点
，，解得 ，
又，， 所求椭圆的标准方程为 .
综上所述，椭圆的标准方程为或 .
（2）短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶
点的距离为 .
解:由题意得解得
，
若焦点在轴上，则椭圆的标准方程为 ，
若焦点在轴上，则椭圆的标准方程为 ，
所求椭圆的标准方程为或 .
［素养小结］
利用椭圆的几何性质求标准方程的一般步骤：
（1）确定焦点位置;
（2）设出相应椭圆的标准方程;
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程（组）求参数;
（4）写出椭圆的标准方程.
探究点三 与椭圆离心率有关的问题
例3（1）设椭圆， 的离心率分
别为，.若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆，可得， ，
， 椭圆的离心率，
,,, ，
或（舍去），即 .故选A.
√
（2）［2025·江苏无锡一中高二期中］已知椭圆
的左焦点为，若关于直线 的对
称点为，且在上或内，则椭圆 的离心率的取值范围为_______.
[解析] 设的半焦距为，则，所以关于直线 的对
称点的坐标为，因为在上或内，所以 ，所以
，则，
两边同时除以，得 ,可得 .
变式（1）［2025·山东菏泽一中高二期末］已知点，，为椭圆
的三个顶点，若是正三角形，则 的离心率是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为点,,为椭圆的三个顶点, 是正三角形,所以
，即，则，即 ，则
，可得 .
√
（2）［2025·湖南长沙一中高二期中］已知椭圆关于轴、 轴均对
称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆 的
外部，则椭圆 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设椭圆的方程为，因为 不在
椭圆的外部，所以，
因为 ，所以，
化简得，
两边同的除以 得，
结合，可得 ，故 .
故选B.
［素养小结］
求椭圆离心率的值（或取值范围）的步骤:
（1）利用条件建立关于,,的关系式（等式或不等式）;
（2）借助消去,转化为关于,的齐次方程或不等式;
（3）将方程或不等式两边同时除以的最高次幂,得到关于的方程
或不等式;
（4）解方程或不等式即可求得的值或取值范围.
1.对椭圆几何性质的挖掘
（1）椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点（即椭圆上的点
到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长 ），到中心距离最大的点是
长轴的两个端点（即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半
轴长 ）.
（2）椭圆上到焦点距离最大的点（称为“远日点”）和最小的点
（称为“近日点”）是长轴的两个端点，距离的最大值为 ，最小
值为 .
（3）如图所示，设椭圆的中心为，其中一个焦点为， 是短轴
的一个端点，则， .
2.常用结论
（1）与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为
.
（2）与椭圆 有相同离心率的椭圆方程可设为
（，焦点在轴上）或（，焦点在
轴上）.
已知椭圆的左、右焦点分别是 和
，是椭圆上的任意一点，则 ，
，其中是离心率，， 都是椭圆上的点到焦点
的距离，习惯称为焦半径，， 称为焦半
径公式.
焦点在轴上的椭圆上任意一点 的两
条焦半径为，，其中， 分别是椭圆
的上、下焦点.
例 已知椭圆的长轴长，焦距 ，过椭圆的左焦点
作直线交椭圆于，两点，设，问 取
何值时， 等于椭圆的短轴长？
解:由题可知,，则，，故 ，所以
椭圆方程为 .
当时，可求得 ，不符合题意.
当，设过的直线方程为 ，
由整理得 ，
设，，则， ，
因为 ，
所以，解得 ，
所以，故或 .
练习册
1.椭圆 的长轴长为( )
A.1 B.2 C. D.4
[解析] 由,得,所以,所以 ,
所以该椭圆的长轴长为2.
√
2.［2025·江苏南通一中高二月考］已知椭圆 和椭圆
，则下列说法正确的为( )
A.与的长轴长相等 B.与 的短轴长相等
C.与的焦距相等 D.与 的顶点相同
√
[解析] 对于椭圆，有， ，
，，，， 长轴长为 ，
短轴长为4，焦距为.
对于椭圆，有 ，，，
，，， 长轴长为8，短轴长为，
焦距为. 椭圆 和椭圆 的长轴长和短
轴长均不相等，顶点不相同，焦距相等.
故选C.
3.椭圆上的点 的横、纵坐标的取值范围分别
为( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 由，得，则, ，
因为点在椭圆上，所以, .故选C.
√
4.［2025·江苏盐城中学高二月考］若椭圆 的离
心率为，则椭圆 的长轴长为( )
A.6 B.或 C. D.或
[解析] 当焦点在轴上时，由，解得 ，符合题意，
此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴上时，由 ，解得，符合题意，
此时椭圆的长轴长为 .故选D.
√
5.设椭圆的左、右焦点分别为，，点
在上，，且椭圆过点，则椭圆 的离心率为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为点在上，且 ，所以
，所以，
又椭圆过点，所以 ，
所以椭圆的离心率 ，故选C.
√
6.（多选题）已知椭圆 ，则( )
A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的一个焦点为
C.椭圆的短半轴长为6 D.椭圆的离心率为
[解析] 由题可知，,,，且椭圆的焦点在 轴上，
所以椭圆的长轴长为，焦点坐标为 ，短半轴长为3，
离心率.故选 .
√
√
7.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则
值为__.
[解析] 由，可得 ，
故椭圆的离心率为，解得 .
8.已知椭圆的左、右焦点分别为,，过
作轴的垂线，交椭圆于点，若 ，则该椭圆的离心率
是_______.
[解析] 由题意可知, ，因为
，所以，可得 ，所
以该椭圆的离心率 .
9.（13分）［2025·厦门高二期中］ 已知椭圆
的焦距为2，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意得,，所以, ，
故 ，
故椭圆的方程为 .
（2）若椭圆的左焦点为，椭圆上的点的横坐标为，求椭圆
的长轴长、短轴长及（其中 为坐标原点）的面积.
解：椭圆的长轴长为，短轴长为 .
由题意得，将代入，得 ，
不妨设，显然 轴，故
.
9.（13分）［2025·厦门高二期中］ 已知椭圆
的焦距为2，离心率 .
10.（13分）已知，分别是椭圆 的左、
右焦点，为上一点， 为坐标原点.
（1）若为等边三角形，求 的离心率；
解：连接，由为等边三角形可知，在 中，
，， ，
于是，故椭圆 的离心率
.
（2）若存在点，使得，且的面积等于16，求 的
值和 的取值范围.
解：由题意可知，若满足条件的点存在，则 ，
， ，
即①， ， .
由②③及得 ，
10.（13分）已知，分别是椭圆 的左、
右焦点，为上一点， 为坐标原点.
又由①知，所以 .
由②③得，所以 ，
从而 ，
故，所以当，时，存在满足条件的点 .
11.（多选题）如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平
面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面半径为2， ，则
( )
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的标准方程可以是
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
√
√
√
[解析] 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为 ，半
焦距为 ，由题意知椭圆长轴在圆柱底面上的射
影为圆柱底面的直径，则 ，
解得，故A不正确；
，离心率 ，故B正确；
当以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为 轴建立平面直
角坐标系时，椭圆的标准方程为 ，故C正确；
椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为,故D正确.
故选 .
12.［2025·江苏启东中学高二月考］已知椭圆 经过点
，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为椭圆经过点，所以 ，所以
，则 .
因为椭圆经过点，所以，则 ，
所以,即的取值范围是 .故选D.
√
13.［2025·湖北黄冈中学高二月考］已知， 分别是椭圆
的左、右焦点，是 上一点，若
，且 ，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在中， ，设 ，由题意知
, ，由余弦定理得
,所以 .
由椭圆定义知，即 ,则离心率
.故选C.
14.［2025·江苏宿迁中学高二月考］若椭圆上存在点，使得 到椭
圆两个焦点的距离之比为 ，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则“倍径
椭圆”的离心率 的取值范围是__________.
[解析] 由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为, ，所以
，解得，
又，所以 ，可得，故 .
15.［2025·江苏南京一中高二月考］如图，
一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面
（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）
的一部分.灯丝位于椭圆的一个焦点 上，
卡门位于另一个焦点 上.由椭圆一个焦点
发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集
A. B. C. D.
中到另一个焦点.已知此椭圆的离心率为，且 ，则灯
丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为( )
√
[解析] 设椭圆的方程为
，因为此椭圆的离
心率为，且，所以 ,
，所以, ，
根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜
面反射后到达卡门时所经过的路程为 .故选A.
16.（15分）［2025·江苏淮阴中学高二月考］
一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半
圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐
标系 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆
所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短
轴与半圆的直径重合，且直线与半圆交于点 ，与半椭
圆交于点 .
（1）求半椭圆所在椭圆的离心率；
解：由题意得半圆的方程为
，设半椭圆的方程为
，
因为，所以 ，则半椭圆的
方程为 ，则半椭圆所在椭
圆的离心率 .
（2）求线段 长度的取值范围；
解：因为直线与半圆交于点，与半椭圆交于点 ，
所以线段长度的取值范围是 .
（3）求 面积的最大值.
解：不妨设, ，则由
，可得 ；
由 ，
可得 .
则 （当且仅当 时等号成立）.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 , , ,
, 轴、轴和原点 , ,
知识点二 扁 圆
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
课中探究 例1 （1）长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为, ,离心率.
（2）①,的取值范围为,.②对称性:关于轴、轴、原点对称.
③顶点为,,,.④焦点为,.⑤离心率为.
变式 （1）长轴长为，短轴长为，离心率，顶点坐标
为,,,，焦点坐标为,.
（2）长轴长为，短轴长为，离心率，
顶点坐标为,,,，焦点坐标为,.
（3）长轴长为，短轴长为，离心率，
顶点坐标为,,,，焦点坐标为,.
例2 （1）或（2）或
变式 （1）或（2）或.
例3 （1）A （2） 变式 （1）C （2）B
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.D 5.C 6.AD 7. 8.
9.（1）
（2）椭圆的长轴长为，短轴长为..
10.（1）（2），
11.BCD 12.D 13.C 14. 15.A
16.（1）（2）（3）3.1.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
【学习目标】
1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
2.能说明椭圆特征量的几何意义.
3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性质的代数表达.
◆ 知识点一 椭圆的简单几何性质
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
性 质 焦点
焦距 F1F2=2c(c=)
范围
对称性 关于 对称
轴长 长轴A1A2= ,短轴B1B2=
顶点
◆ 知识点二 离心率
(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率,记为e.
(2)范围:e=∈(0,1).
(3)离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a. ( )
(2)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为椭圆上任意一点,则MF的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). ( )
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( )
(4)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. ( )
◆ 探究点一 椭圆的几何性质
例1 已知椭圆C1:+=1,椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长均相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并写出x,y的取值范围及椭圆C2的对称性、顶点、焦点和离心率.
变式 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标:
(1)+=1;(2)x2+=1;(3)4x2+9y2=36.
[素养小结]
由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:
(1)已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.
(2)焦点位置不确定时要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.
◆ 探究点二 由椭圆的几何性质求椭圆标准方程
例2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6;
(2)经过点(3,0),且离心率e=.
变式 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);
(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为.
[素养小结]
利用椭圆的几何性质求标准方程的一般步骤:
(1)确定焦点位置;
(2)设出相应椭圆的标准方程;
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数;
(4)写出椭圆的标准方程.
◆ 探究点三 与椭圆离心率有关的问题
例3 (1)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·江苏无锡一中高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线y=-x的对称点为P,且P在C上或C内,则椭圆C的离心率的取值范围为 .
变式 (1)[2025·山东菏泽一中高二期末] 已知点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若△ABC是正三角形,则D的离心率是 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·湖南长沙一中高二期中] 已知椭圆C关于x轴、y轴均对称,焦点在y轴上,且焦距为2c(c>0),若点A不在椭圆C的外部,则椭圆C的离心率的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
求椭圆离心率的值(或取值范围)的步骤:
(1)利用条件建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式);
(2)借助a2=b2+c2消去b,转化为关于a,c的齐次方程或不等式;
(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式;
(4)解方程或不等式即可求得e的值或取值范围.3.1.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
【课前预习】
知识点一
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c) |x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a x轴、y轴和原点
2a 2b (±a,0),(0,±b)
(0,±a),(±b,0)
知识点二
(3)扁 圆
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由椭圆C1:+=1,可得a2=100,b2=64,
则c2=a2-b2=36,故椭圆C1的长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e1=.
(2)椭圆C2的方程为+=1.
①x,y的取值范围为-8≤x≤8,-10≤y≤10.
②对称性:关于x轴、y轴、原点对称.
③顶点为(0,10),(0,-10),(8,0),(-8,0).
④焦点为(0,6),(0,-6).
⑤离心率为e2=.
变式 解:(1)由+=1,得a==2,b==2,c==2,
所以椭圆的长轴长为2a=4,短轴长为2b=4,离心率e==,顶点坐标为(-2,0),(2,0),(0,-2),(0,2),焦点坐标为(2,0),(-2,0).
(2)由x2+=1,得a==3,b=1,c==2,
所以椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=2,离心率e==,
顶点坐标为(-1,0),(1,0),(0,-3),(0,3),焦点坐标为(0,2),(0,-2).
(3)由4x2+9y2=36,得+=1,
则a==3,b==2,c==,所以椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=4,离心率e==,
顶点坐标为(-3,0),(3,0),(0,-2),(0,2),焦点坐标为(-,0),(,0).
探究点二
例2 解:(1)设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
由题意可知可得
因为不确定焦点在哪个坐标轴上,
所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2)①当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由题意得a=3,
因为e==,所以c=,从而b2=a2-c2=3,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
②当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由题意得b=3,
因为e====,所以c2=18,从而a2=27,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
综上,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
变式 解:(1)若焦点在x轴上,则设方程为+=1(a>b>0),
∵椭圆过点A(3,0),∴=1,得a=3,∵2a=3×2b,∴b=1,∴所求椭圆的标准方程为+y2=1.
若焦点在y轴上,则设方程为+=1(a>b>0),∵椭圆过点A(3,0),
∴=1,解得b=3,
又2a=3×2b,∴a=9,∴所求椭圆的标准方程为+=1.
综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
(2)由题意得解得
∴b2=a2-c2=9,
若焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为+=1,
若焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为+=1,
∴所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
探究点三
例3 (1)A (2) [解析] (1)由椭圆C2:+y2=1,可得a2=2,b2=1,∴c2==,∴椭圆C2的离心率e2=,∵e2=e1,∴e1=,∴=,∴=4=4(-)=4(-1),∴a1=或a1=-(舍去),即a=.故选A.
(2)设C的半焦距为c,则F(-c,0),所以F关于直线y=-x的对称点P的坐标为(0,c),因为P在C上或C内,所以b≥c,所以a2-c2=b2≥c2,则a2≥2c2,两边同时除以a2,得1≥2e2,可得e∈.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)因为点A,B,C为椭圆D的三个顶点,△ABC是正三角形,所以2b=,即a2=3b2,则a2=3(a2-c2),即2a2=3c2,则e2=,可得e=.
(2)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为A不在椭圆C的外部,所以+≤1,因为b2=a2-c2,所以+≤1,化简得6c4-14a2c2+4a4≥0,两边同的除以a4得6e4-14e2+4≥0,结合e∈(0,1),可得0第1课时 椭圆的简单几何性质
1.B [解析] 由4x2+y2=1,得+y2=1,所以a2=1,所以a=1,所以该椭圆的长轴长为2.
2.C [解析] 对于椭圆C1:+=1,有=12,=4,=12-4=8,∴a1=2,b1=2,c1=2,∴长轴长为4,短轴长为4,焦距为4.对于椭圆C2:+=1,有=16,=8,=16-8=8,∴a2=4,b2=2,c2=2,∴长轴长为8,短轴长为4,焦距为4.∴椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1的长轴长和短轴长均不相等,顶点不相同,焦距相等.故选C.
3.C [解析] 由9x2+25y2=225,得+=1,则a=5,b=3,因为点P(x,y)在椭圆上,所以|x|≤5,|y|≤3.故选C.
4.D [解析] 当焦点在y轴上时,由e==,解得m=,符合题意,此时椭圆C的长轴长为2;当焦点在x轴上时,由e==,解得m=6,符合题意,此时椭圆C的长轴长为2=2.故选D.
5.C [解析] 因为点P在C上,且PF1=5-PF2,所以PF1+PF2=10=2a,所以a=5,又椭圆过点M(0,4),所以b=4,所以椭圆的离心率e====,故选C.
6.AD [解析] 由题可知,a=3,b=3,c=3,且椭圆C的焦点在y轴上,所以椭圆C的长轴长为6,焦点坐标为(0,±3),短半轴长为3,离心率e==.故选AD.
7. [解析] 由x2+my2=1,可得x2+=1,故椭圆的离心率为=,解得m=.
8.2- [解析] 由题意可知PF1=2F1F2=4c,PF2=F1F2=2c,因为PF1+PF2=2a,所以4c+2c=2a,可得==2-,所以该椭圆的离心率e==2-.
9.解:(1)由题意得2c=2,=,所以c=1,a=2,故b2=a2-c2=4-1=3,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)椭圆C的长轴长为2a=4,短轴长为2b=2.
由题意得F1(-1,0),将x=-1代入+=1,得y=±,
不妨设A,显然AF1⊥x轴,故=OF1·AF1=×1×=.
10.解:(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知,在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,PF2=c,PF1=c,
于是2a=PF1+PF2=c+c,故椭圆C的离心率e===-1.
(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,+=1,
即c|y|=16①,x2+y2=c2②,
+=1③.
由②③及a2=b2+c2得y2=,
又由①知y2=,所以b=4.
由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,
故a≥4,所以当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
11.BCD [解析] 设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,由题意知椭圆长轴在圆柱底面上的射影为圆柱底面的直径,则2a===8,解得a=4,故A不正确;显然b=2,则c==2,离心率e==,故B正确;当以椭圆长轴所在直线为y轴,短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为+=1,故C正确;椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为a-c=4-2,故D正确.故选BCD.
12.D [解析] 因为椭圆+y2=1经过点P(m,n),所以+n2=1,所以n2=1-,则m2+n2=m2+1-=+1.因为椭圆+y2=1经过点P(m,n),所以-2≤m≤2,则0≤m2≤4,所以1≤+1≤4,即m2+n2的取值范围是[1,4].故选D.
13.C [解析] 在△PF2F1中,∠PF1F2=60°,设F1(-c,0),由题意知PF1=,F1F2=2c,由余弦定理得P=4c2+c2-2×2c×c×=c2,所以PF2=c.由椭圆定义知2a=PF1+PF2=c,即a=c,则离心率e==-2.故选C.
14.≤e<1 [解析] 由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m,m,所以2m+m=2a,解得m=a,又m≥a-c,所以a≥a-c,可得c≥a,故≤e<1.
15.A [解析] 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为此椭圆的离心率为,且F1F2=5 cm,所以e==,2c=5,所以a=,c=,根据题意,结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为2a=9 cm.故选A.
16.解:(1)由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0),设半椭圆的方程为+=1(a>b>0,x≥0),
因为b=c=3,所以a=3,则半椭圆的方程为+=1(x≥0),则半椭圆所在椭圆的离心率e==.
(2)因为直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,所以线段AB长度的取值范围是(0,3+3).
(3)不妨设A(x1,t),B(x2,t),则由+t2=9(x1≤0),可得x1=-;
由+=1(x2≥0),
可得x2=.
则S△ABF=(+)t=·t≤×=.3.1.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
1.椭圆4x2+y2=1的长轴长为 ( )
A.1 B.2
C. D.4
2.[2025·江苏南通一中高二月考] 已知椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1,则下列说法正确的为 ( )
A.C1与C2的长轴长相等
B.C1与C2的短轴长相等
C.C1与C2的焦距相等
D.C1与C2的顶点相同
3.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x,y)的横、纵坐标的取值范围分别为 ( )
A.|x|≤3,|y|≤5
B.|x|≤,|y|≤
C.|x|≤5,|y|≤3
D.|x|≤,|y|≤
4.[2025·江苏盐城中学高二月考] 若椭圆C:+=1(m>0)的离心率为,则椭圆C的长轴长为 ( )
A.6 B.或2
C.2 D.2或2
5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,PF1=5-PF2,且椭圆过点M(0,4),则椭圆C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选题)已知椭圆C:+=1,则 ( )
A.椭圆C的长轴长为6
B.椭圆C的一个焦点为(3,0)
C.椭圆C的短半轴长为6
D.椭圆C的离心率为
7.已知焦点在y轴上的椭圆x2+my2=1(m>0)的离心率为,则m值为 .
8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作x轴的垂线,交椭圆于点P,若∠F1PF2=30°,则该椭圆的离心率是 .
9.(13分)[2025·厦门高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的左焦点为F1,椭圆上的点A的横坐标为-1,求椭圆C的长轴长、短轴长及△AF1O(其中O为坐标原点)的面积.
10.(13分)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)若存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
11.(多选题)如图所示,用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若圆柱的底面半径为2,θ=,则 ( )
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的标准方程可以是+=1
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2
12.[2025·江苏启东中学高二月考] 已知椭圆+y2=1经过点P(m,n),则m2+n2的取值范围是 ( )
A.(0,1] B.(0,4]
C.[4,+∞) D.[1,4]
13.[2025·湖北黄冈中学高二月考] 已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是C上一点,若3PF1=2F1F2,且∠PF1F2=60°,则C的离心率为 ( )
A. B.2-
C.-2 D.3-2
14.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 若椭圆上存在点P,使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则“倍径椭圆”的离心率e的取值范围是 .
15.[2025·江苏南京一中高二月考] 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,卡门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知此椭圆的离心率为,且F1F2=5 cm,则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为 ( )
A.9 cm B.10 cm
C.14 cm D.18 cm
16.(15分)[2025·江苏淮阴中学高二月考] 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成,如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合,且直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B.
(1)求半椭圆所在椭圆的离心率;
(2)求线段AB长度的取值范围;
(3)求△ABF面积的最大值.
