(共73张PPT)
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
探究点一 由双曲线方程研究几何性质
探究点二 由双曲线的简单几何性质求方程
探究点三 求双曲线的离心率
探究点四 双曲线的渐近线
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能类比椭圆几何性质的研究方法得到双曲线的范围、对称性、
顶点、渐近线、离心率等几何性质及其代数表达.
2.能认识双曲线特征量的几何意义.
知识点一 双曲线的几何性质
焦点的位置
图象 __________________________________________ _______________________________
标准方程
焦点的位置
范围
顶点
实（半）轴长、 虚（半）轴长 实轴长为____，虚轴长为____，实半轴长为 ___，虚半轴长为___ 焦点
续表
焦点的位置
焦距 对称性 对称轴：______，对称中心：______ 离心率 渐近线
,轴
原点
续表
知识点二 等轴双曲线
________________________叫作等轴双曲线,其渐近线方程为_______
______,离心率为____.
实轴和虚轴等长的双曲线
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）双曲线的焦点在 轴上.( )
×
（2）双曲线 与双曲线
的渐近线方程相同.( )
×
（3）双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( )
√
（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直.( )
√
2.（1）双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗
解:不能.当渐近线确定时,只有实轴长与虚轴长的比值确定，它对应
无数条双曲线,且焦点可能在轴上,也可能在 轴上.
（2）椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同
解:不相同.双曲线的离心率的取值范围是 ,椭圆的离心率的取
值范围是 .
探究点一 由双曲线方程研究几何性质
例1 （多选题）［2025·江苏兴化中学高二月考］ 下列关于双曲线
的说法正确的是( )
A.实轴长为6
B.与双曲线 有相同的渐近线
C.一个焦点到一条渐近线的距离为4
D.与椭圆 有同样的焦点
√
√
√
[解析] 对于A，由题意，双曲线的实半轴长,虚半轴长
满足,,即,,于是实轴长 ,A选项正确；
对于B，双曲线的焦点在 轴上，故其渐近线方程为
，而双曲线的焦点也在 轴上，故其渐近线
方程为，即 ，即它们的渐近线相同，B选项正确；
对于C，双曲线的焦点为 ，不妨取其中一个焦点
和一条渐近线 ，根据点到直线的距离公式，得一个焦
点到一条渐近线的距离为 ，C选项错误；
对于D，椭圆的焦点为 ，根据C选项可知，椭圆
和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选 .
变式 （多选题）［2025·广东惠州中学高二月考］ 已知双曲线
，则不因 的值改变而改变的是( )
A.焦距 B.顶点坐标 C.离心率 D.渐近线方程
[解析] 由方程 ，得双曲线的标准方程为
，即,， ，
则焦距为，顶点坐标为，离心率 ，渐近线
方程为,则焦距与顶点坐标会因 的值改变而改变,离心率与渐
近线方程不因的值改变而改变.故选 .
√
√
［素养小结］
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤:
探究点二 由双曲线的简单几何性质求方程
例2（1）［2025·江苏新海中学高二月考］一双曲线的虚轴长为4，
离心率与椭圆 的离心率互为倒数，且焦点所在坐标轴相
同，则该双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为椭圆的焦点在轴上，其离心率 ，所以
所求双曲线的焦点也在轴上，其离心率（其中, 分别为
双曲线的半焦距、实半轴长），所以 ，
又因为双曲线的虚轴长，所以，即，
所以 ，所以所求双曲线的方程为 .故选C.
（2）（多选题）［2025·山东菏泽一中高二质检］ 已知双曲线
的渐近线方程为 ，则该双曲线的方
程可以是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由题知，双曲线的焦点可能在轴上，也可能在 轴上.对于
A项，双曲线的渐近线方程为 ，故A项错误；
对于B项，双曲线的渐近线方程为 ，故B项正确；
对于C项，双曲线的渐近线方程为 ，故C项正确；
对于D项，双曲线的渐近线方程为 ，故D项错误.
故选 .
变式 双曲线的离心率为 ，且点
在双曲线上，则 的方程为___________.
[解析] 由，得，即 ，
则，即，
即双曲线 的方程为，
将点坐标代入得，解得 ，
所以双曲线的方程为 .
［素养小结］
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法.当焦点位
置明确时直接设出双曲线的标准方程即可；当焦点位置不明确时,应
注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成
.
探究点三 求双曲线的离心率
例3（1）在平面直角坐标系 中，若双曲线
的右焦点到一条渐近线的距离为 ，
则其离心率 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为双曲线的右焦点到一条渐近线 ，即
的距离为，所以 ，因此
，即，所以离心率 .
√
（2）［2025·湖北黄冈中学高二调研］双曲线
的焦距为，已知点 ，
，点到直线的距离为，点到直线 的距离为
，且 ，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，直线，即 ，又
，所以， ，所以
，
所以 ，
即，即，解得 ，
又，所以 .故选B.
变式 已知为双曲线的右焦点，为 的
右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为6，则 的离
心率为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
[解析] 由题意得，，将 代入双曲线方程得
，解得，因为的斜率为6，所以 点位于第一
象限，则，
由，整理得 ，
因为，所以，方程两边同除以 得
，解得或 （舍去）.故选A.
［素养小结］
求双曲线的离心率时建立方程的一般方法:
（1）利用双曲线的几何性质得到关于,,的等式;
（2）利用焦点三角形,借助图形特点得到关于,,的等式;
（3）将已知条件采用代数法转化得到关于,,的等式.
将用含,的式子表示，即可得到关于,的等式，进而得到关于离
心率的方程,解题时要注意双曲线离心率的取值范围.
探究点四 双曲线的渐近线
例4（1）［2025·江苏盐城中学高二月考］已知双曲线
与双曲线有相同的焦点，则 的渐近线
方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，由题得 ，解
得，所以，所以的渐近线方程为 ，即
.故选C.
√
（2）［2025·广东中山中学高二质检］已知双曲线
两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线的离心率
为( )
A.2 B. C. D.
[解析] 双曲线的渐近线方程为，
由双曲线两条渐近线的夹角为 ，可得
， 双曲线的离心率 .故选C.
√
（3）已知直线是双曲线 的一条渐近线，
则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.16
[解析] 由双曲线可知，其渐近线方程为 ，
又直线是一条渐近线，所以，即 ，故选B.
√
变式（1）已知双曲线 的离心率为2，则它
的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由 得双曲线的渐近线方程为
双曲线的离心率为2， ，可
得， 双曲线的渐近线方程为 .故选A.
√
（2）［2025·黑龙江哈尔滨高二月考］已知双曲线的标准方程为
，则其一个焦点到一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C.4 D.5
[解析] 由双曲线方程，得,, ,
则该双曲线的焦点为，渐近线方程为 ，即
，因此该双曲线一个焦点到一条渐近线的距离
.故选B.
√
［素养小结］
求解与双曲线的渐近线有关问题时，常利用方程的思想，其思维流
程如下：
注意：焦点在轴上的双曲线渐近线的斜率与离心率 的关系为
；
焦点在轴上的双曲线渐近线的斜率与离心率 的关系为
.
1.因为，所以双曲线的离心率 .
由，可得，所以 决定
双曲线的开口大小，越大， 也越大，双曲线开口就越开阔，所以
离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度.
2.双曲线 的左、右焦点分别为
,，左、右顶点分别为,,与焦点, 对应的准
线分别为，，过双曲线上一点 向
准线作垂线，交,分别于,，,与 轴交点分
别为, ，如图.
（1）实轴长，虚轴长为,焦距 .
（2）离心率： .
（3）顶点到焦点的距离：， .
（4）中结合定义 与余弦定理，将有关线段
，， 和角结合起来.
（5）解决与焦点三角形 有关的计算问题时，常考虑到用双曲
线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式
相结合的方法进行计算与解题，将有
关线段，，及角结合起来，建立 ，
之间的关系.
1.已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为
，则其渐近线方程为 ，即
，即 .
即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分
解即得渐近线方程.
2.已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为 ，
则可设双曲线方程为 ，根据已知条件，求出 即可.
3.与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设
为（若，则焦点在轴上；若 ，则焦点
在 轴上），特别地，等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其方程为
，因此等轴双曲线方程可设为 .
例 根据下列条件，求双曲线方程.
（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点 ；
解：方法一：当焦点在 轴上时，设所求双曲线的方程为
,
由题意得解得
所以所求双曲线的方程为;
当焦点在 轴上时，设所求双曲线的方程为 ,
由题意得解得 （舍去）.
综上可得，所求双曲线的方程为 .
方法二：设所求双曲线方程为，将 代入
得 ，
所以所求双曲线的方程为，即 .
（2）一条渐近线方程为，且双曲线过点 .
解：依题意知，双曲线两渐近线的方程是 ，故设双曲线方
程为 ，
因为点 在双曲线上，
所以，解得 ，故所求双曲线的方程为
.
练习册
1.已知双曲线的方程为 ，则该双曲线的( )
A.实轴长为，虚轴长为2 B.实轴长为 ，虚轴长为4
C.实轴长为2，虚轴长为 D.实轴长为4，虚轴长为
[解析] 双曲线方程可化为，可得 ,
，所以该双曲线的实轴长为 ，虚轴长为4.故选B.
√
2.已知双曲线的离心率为 ，则其渐近线
方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，双曲线的离心率为 ，可
得，即，解得 ，即双曲线的渐近线的
方程为 故选B.
√
3.［2025·浙江绍兴一中高二月考］若双曲线的渐近线方程为
，实轴长，且焦点在 轴上，则该双曲线的标准方程
为( )
A.或 B.
C. D.
[解析] 由题可得解得因为焦点在 轴上，所以双曲线
的标准方程为 .故选C.
√
4.［2025·湖北郧阳中学高二质检］若实数满足 ，则曲线
与曲线 的( )
A.离心率相等 B.焦距相等 C.实轴长相等 D.虚轴长相等
√
[解析] 因为，所以, ，所以曲线
与曲线都是焦点在 轴上的双曲线，因为
,所以两曲线的焦距相等,故B正确；
因为 ，所以离心率不相等，故A错误；
因为，所以实轴长不相等，故C错误；
因为 ，所以虚轴长不相等，故D错误.
故选B.
5.［2025·江苏泰州中学高二月考］设 为实数，已知双曲线
的离心率，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为方程表示双曲线，所以，因此 ,
,，
因为 ，所以由，得，
即，即 ，
解得，即的取值范围为 ，故选A.
√
6.（多选题）［2025·江苏盐城中学高二月考］ 已知双曲线
的右焦点为，直线是 的一条渐
近线，是 上一点，则( )
A.的虚轴长为 B.的离心率为
C.的最小值为2 D.直线的斜率不等于
√
√
[解析] 双曲线的渐近线方程为 ，依题
意，，可得.
对于A，的虚轴长 ，A正确；
对于B，,则的离心率 ，B错误；
对于C，点到直线的距离，
即 的最小值为，C错误；
对于D，直线的斜率为 ，而点不在上，点在上，
则直线的斜率不等于，D正确.
故选 .
7.已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为
5，则该双曲线的渐近线方程为__________.
[解析] 双曲线 的一条渐近线方程为 ，一
个焦点为，
因为双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为5，
所以，可得 ，
所以该双曲线的渐近线方程为，即 .
8.［2025·山东莱芜一中高二月考］若双曲线 的离心率
不大于，则 的虚轴长的取值范围为________.
[解析] 因为,，所以 ，所以
，所以，解得，则 ，
故虚轴长.故的虚轴长的取值范围为 .
9.（13分）已知双曲线 的左、右焦点分别
为, ，焦距为8，离心率为2.
（1）求双曲线的标准方程；
解：由题知解得所以 ，
所以双曲线的标准方程为 .
（2）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程.
解：由（1）知,,，双曲线焦点在 轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为 ，实轴长
，虚轴长，渐近线方程为，即 .
9.（13分）已知双曲线 的左、右焦点分别
为, ，焦距为8，离心率为2.
10.［2025·湖南湘潭一中高二调研］双曲线 的左、右
顶点分别为,，双曲线上的一点（与顶点不重合）关于 轴的对
称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则
( )
A.3 B. C. D.
√
[解析] 如图，,,不妨设 ，则
，依题意，, ，
因为点在双曲线上，所以 ，
所以 .
11.［2025·江苏淮阴中学高二质检］已知双曲线
的左顶点为，左、右焦点分别为 ，
，过作轴的垂线，交于，两点，若为锐角，则 的
离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知，,令，得，解得 ，
不妨设,则.
因为为锐角，所以 ，
因为，，所以 ，
即，即，
结合 ，解得 .
12.（多选题）［2025·江苏如东中学高二月考］ 已知双曲线
的左、右焦点分别为,，过点 作直
线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线的右支于点 ，
若，则双曲线 的渐近线方程可能为( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 因为,，所以, .
如图（1）所示，当点在第一象限时， ，由余弦定
理可得，化简得 ，
可得，此时双曲线的渐近线方程为 ；
如图（2）所示，当点在第四象限时， ，由余弦
定理可得，化简得 ，
可得，此时双曲线的渐近线方程为.故选 .
13.［2025·江苏南通中学高二质检］已知，是双曲线 的两个焦
点，为上一点，且 ，，若 的离
心率为，则 ___.
3
[解析] 因为 ，所以由双曲线的定义可得
，所以， .
因为,所以由余弦定理可得 ，
整理可得，所以 ，即
,解得或,
又因为,所以 .
14.（15分）已知双曲线的中心在原点，焦点， 在坐标轴上，离
心率为，且过点 .
（1）求双曲线方程；
解:因为，所以可设双曲线方程为 .
因为双曲线过点 ，
所以 ，即，所以双曲线方程为 ，即
.
（2）若点在双曲线上，求证： ；
证明：由（1）可知，双曲线方程中，所以 ，不
妨设， 分别为双曲线的左、右焦点，
则， .
方法一：， ，
则 ，
因为点在双曲线上，所以，即 ，
所以,所以，所以 .
方法二：因为， ，
所以 .
因为点在双曲线上，所以，即 ，所以
.
（3）在（2）的条件下，求 的面积.
解:的边的长为，的边 上的高
，所以 .
15.［2025·山东师大附中高二调研］如图①为陕西历史博物馆收藏的国宝——
唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细
作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线
的右支与轴及平行于 轴的两条直线围成的曲边四边形绕
轴旋转一周得到的几何体，如图②，若为右
支上的一点，为的左焦点，到 的一条渐近
线的距离为,则 的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 由题意可知,，解得 ，
,则双曲线的方程为 ，其一条渐近线方
程为，
右焦点到渐近线 的距离为，
，则 ，所以 .
16.（15分）［2025·浙江温州中学高二调研］ 已知， 分别为双曲
线和双曲线 上不与顶点重合的点，且
的中点在双曲线的渐近线上,为坐标原点，, 的斜率分
别为, .
（1）求证： 为定值.
证明：设,，则, ，
由的中点在双曲线的渐近线上，得 ，
即 ，
, 为定值.
（2）判断 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果
不是，说明理由.
解：①, ,
联立①②得 ,同理， .
设到直线的距离为，则 ,
,
由（1）知 ,
，为定值.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 ,轴 原点
知识点二 实轴和虚轴等长的双曲线
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.（1）解:不能.当渐近线确定时,只有实轴长与虚轴长的比值确定，它对应无数
条双曲线,且焦点可能在轴上,也可能在轴上. （2）不相同.双曲线的离心率的
取值范围是,椭圆的离心率的取值范围是.
课中探究 例1 ABD 变式 CD
例2 （1）C （2）BC 变式
例3 （1）A （2）B 变式 A
例4 （1）C （2）C （3）B 变式 （1）A （2）B
快速核答案（练习册）
1.B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.AD 7. 8.
9.（1）
（2）顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长
，渐近线方程为，即.
10.B 11.B 12.AB 13.3
14.（1） （2）略（3） 15.C
16.（1）略（2），为定值.3.2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
1.B [解析] 双曲线方程x2-8y2=32可化为-=1,可得a=4,b=2,所以该双曲线的实轴长为8,虚轴长为4.故选B.
2.B [解析] 由题意,双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,可得=,即=1+=,解得=,即双曲线的渐近线的方程为y=±x.故选B.
3.C [解析] 由题可得解得因为焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选C.
4.B [解析] 因为00,15-m>0,所以曲线-=1与曲线-=1都是焦点在x轴上的双曲线,因为15+5-m=20-m=15-m+5,所以两曲线的焦距相等,故B正确;因为≠,所以离心率不相等,故A错误;因为15≠15-m,所以实轴长不相等,故C错误;因为5-m≠5,所以虚轴长不相等,故D错误.故选B.
5.A [解析] 因为方程-=1表示双曲线,所以k>0,因此a=2,b=,c==,因为e==,所以由e∈(2,3),得2<<3,即4<<6,即16<4+k<36,解得126.AD [解析] 双曲线C:-=1的渐近线方程为bx±2y=0,依题意,-=-,可得b=.对于A,C的虚轴长2b=2,A正确;对于B,a=2,则C的离心率e==,B错误;对于C,点F(,0)到直线l:x+y=0的距离d==,即PF的最小值为,C错误;对于D,直线l:x+y=0的斜率为-,而点F不在l上,点P在l上,则直线PF的斜率不等于-,D正确.故选AD.
7.y=±x [解析] 双曲线 -=1(b>0)的一条渐近线方程为y=x,一个焦点为 F(,0),因为双曲线 -=1 的一个焦点到一条渐近线的距离为5,所以=5,可得b=5,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x.
8.[4,+∞) [解析] 因为a2=2,b2=λ>0,所以c2=2+λ,所以e2==,所以e=≤,解得λ≥4,则b2≥4,故虚轴长2b≥4.故C的虚轴长的取值范围为[4,+∞).
9.解:(1)由题知解得所以b===2,
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)由(1)知c=4,a=2,b=2,双曲线焦点在x轴上,
所以双曲线的顶点坐标为(±2,0),焦点坐标为(±4,0),实轴长2a=4,虚轴长2b=4,渐近线方程为y=±x,即y=±x.
10.B [解析] 如图,A(-1,0),B(1,0),不妨设C(x0,y0),则D(x0,-y0),依题意,m=,n=,因为点C(x0,y0)在双曲线上,所以-=1,所以mn=·===-3.
11.B [解析] 由题可知,M(-a,0),令x=c,得-=1,解得y=±,不妨设A,则B.因为∠AMB为锐角,所以·>0,因为=,=,所以(c+a)2->0,即c2-ac-2a2<0,即e2-e-2<0,结合e>1,解得112.AB [解析] 因为MF1-MF2=2a,MF1=3MF2,所以MF2=a,MF1=3a.如图(1)所示,当点M在第一象限时,cos∠MF2F1=,由余弦定理可得(3a)2=a2+(2c)2-2a·2c·,化简得c2-2a2-ab=0,可得=,此时双曲线C的渐近线方程为y=±x;如图(2)所示,当点M在第四象限时,cos∠MF2F1=-,由余弦定理可得(3a)2=a2+(2c)2+2a·2c·,化简得c2-2a2+ab=0,可得=,此时双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选AB.
13.3 [解析] 因为PF1=λPF2(λ>1),所以由双曲线的定义可得PF1-PF2=(λ-1)PF2=2a,所以PF2=,PF1=.因为∠F1PF2=60°,所以由余弦定理可得4c2=,整理可得4c2=,所以e2===,即3λ2-10λ+3=0,解得λ=3或λ=,又因为λ>1,所以λ=3.
14.解:(1)因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
因为双曲线过点P(4,-),
所以16-10=λ,即λ=6,所以双曲线方程为x2-y2=6,即-=1.
(2)证明:由(1)可知,双曲线方程中a=b=,所以c=2,不妨设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,
则F1(-2,0),F2(2,0).
方法一:=,=,
则·==-,
因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3,
所以·=-1,所以MF1⊥MF2,所以·=0.
方法二:因为=(-2-3,-m),=(2-3,-m),
所以·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.
因为点M在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3,所以·=0.
(3)△F1MF2的边F1F2的长为4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,所以=6.
15.C [解析] 由题意可知a=1,e==,解得c=,b2=c2-a2=4,则双曲线C的方程为x2-=1,其一条渐近线方程为2x-y=0,右焦点F1(,0)到渐近线2x-y=0的距离为=2,PF=2a+PF1,则(PF1+d)min=2,所以(PF+d)min=2a+2=4.
16.解:(1)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则-=1,-=-1,
由MN的中点在双曲线C1的渐近线上,得-=0,
即++=0,
∴-2y1y2=0,∴k1k2==为定值.
(2)OM:y=k1x①,C1:-y2=1②,
联立①②得=,
同理,=.
设N到直线OM的距离为d,则d==,
∴S△MON=·OM·d=·|x1|·=
=,
由(1)知k1k2=,
∴S△MON==
=
==
=1,为定值.3.2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
【课前预习】
知识点一
2a 2b a b x,y轴 原点
知识点二
实轴和虚轴等长的双曲线 y=±x
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.解:(1)不能.当渐近线确定时,只有实轴长与虚轴长的比值确定,它对应无数条双曲线,且焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.
(2)不相同.双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞),椭圆的离心率的取值范围是(0,1).
【课中探究】
探究点一
例1 ABD [解析] 对于A,由题意,双曲线-=1的实半轴长a,虚半轴长b满足a2=9,b2=4,即a=3,b=2,于是实轴长2a=6,A选项正确;对于B,双曲线-=1的焦点在y轴上,故其渐近线方程为y=±x,而双曲线4y2-9x2=1的焦点也在y轴上,故其渐近线方程为y=±x,即y=±x,即它们的渐近线相同,B选项正确;对于C,双曲线-=1的焦点为(0,±),不妨取其中一个焦点(0,)和一条渐近线y=x,根据点到直线的距离公式,得一个焦点到一条渐近线的距离为=2,C选项错误;对于D,椭圆+=1的焦点为(0,±),根据C选项可知,椭圆和双曲线焦点一样,D选项正确.故选ABD.
变式 CD [解析] 由方程-y2=m2(m≠0),得双曲线的标准方程为-=1,即a2=3m2,b2=m2,c2=a2+b2=4m2,则焦距为4|m|,顶点坐标为(±|m|,0),离心率e==,渐近线方程为y=±x,则焦距与顶点坐标会因m的值改变而改变,离心率与渐近线方程不因m的值改变而改变.故选CD.
探究点二
例2 (1)C (2)BC [解析] (1)因为椭圆+=1的焦点在y轴上,其离心率e1=,所以所求双曲线的焦点也在y轴上,其离心率e2==2(其中c,a分别为双曲线的半焦距、实半轴长),所以c2=4a2,又因为双曲线的虚轴长2b=4,所以b=2,即c2-a2=3a2=4,所以a2=,所以所求双曲线的方程为-=1.故选C.
(2)由题知,双曲线C的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.对于A项,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,故A项错误;对于B项,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,故B项正确;对于C项,双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,故C项正确;对于D项,双曲线-=1的渐近线方程为y=±2x,故D项错误.故选BC.
变式 -=1 [解析] 由e=,得=,即c=a,则b2=c2-a2=(a)2-a2=a2,即a=b,即双曲线E的方程为-=1,将点(2,)坐标代入得-=1,解得a2=2,所以双曲线E的方程为-=1.
探究点三
例3 (1)A (2)B [解析] (1)因为双曲线的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x,即bx-ay=0的距离为==b,所以b=c,因此a2=c2-b2=c2-c2=c2,即a=c,所以离心率e==2.
(2)依题意,直线AB:+=1,即AB:bx+ay-ab=0,又a>2,所以d1==,d2==,所以d1+d2=+=≥c,所以5·a≥2c2,即25(c2-a2)·a2≥4c4,即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5,又e>1,所以e∈.故选B.
变式 A [解析] 由题意得F(c,0),A(a,0),将x=c代入双曲线方程得-=1,解得y=±,因为AB的斜率为6,所以B点位于第一象限,则B,由=6,整理得b2=6ac-6a2,因为b2=c2-a2,所以c2-6ac+5a2=0,方程两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=5或e=1(舍去).故选A.
探究点四
例4 (1)C (2)C (3)B [解析] (1)由x2-y2=6,得-=1,由题得m+2m+3=12,解得m=3,所以C:-=1,所以C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.故选C.
(2)∵双曲线-=1(a>b>0)的渐近线方程为y=±x,∴由双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为,可得=tan=,∴双曲线的离心率e===.故选C.
(3)由双曲线-=1(a>0)可知,其渐近线方程为y=±x,又直线x-y=0是一条渐近线,所以=1,即a=2,故选B.
变式 (1)A (2)B [解析] (1)由-=1(a>0,b>0)得双曲线的渐近线方程为y=±x.∵双曲线的离心率为2,∴===2,可得=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.
(2)由双曲线方程-=1,得a=4,b=3,c==5,则该双曲线的焦点为(±5,0),渐近线方程为y=±x,即3x±4y=0,因此该双曲线一个焦点到一条渐近线的距离d==3.故选B.3.2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
【学习目标】
1.能类比椭圆几何性质的研究方法得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质及其代数表达.
2.能认识双曲线特征量的几何意义.
◆ 知识点一 双曲线的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图象
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
实(半)轴长、虚(半)轴长 实轴长为 ,虚轴长为 , 实半轴长为 ,虚半轴长为
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 F1F2=2c
对称性 对称轴: ,对称中心:
离心率 e==(e>1)
渐近线 y=±x y=±x
◆ 知识点二 等轴双曲线
叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率为 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)双曲线-=1的焦点在y轴上. ( )
(2)双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)与双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)的渐近线方程相同. ( )
(3)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔. ( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ( )
2.(1)双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗
(2)椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同
◆ 探究点一 由双曲线方程研究几何性质
例1 (多选题)[2025·江苏兴化中学高二月考] 下列关于双曲线-=1的说法正确的是( )
A.实轴长为6
B.与双曲线4y2-9x2=1有相同的渐近线
C.一个焦点到一条渐近线的距离为4
D.与椭圆+=1有同样的焦点
变式 (多选题)[2025·广东惠州中学高二月考] 已知双曲线-y2=m2(m≠0),则不因m的值改变而改变的是 ( )
A.焦距 B.顶点坐标
C.离心率 D.渐近线方程
[素养小结]
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤:
◆ 探究点二 由双曲线的简单几何性质求方程
例2 (1)[2025·江苏新海中学高二月考] 一双曲线的虚轴长为4,离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数,且焦点所在坐标轴相同,则该双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)(多选题)[2025·山东菏泽一中高二质检] 已知双曲线C:-=1(mn>0)的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的方程可以是 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
变式 双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且点(2,)在双曲线E上,则E的方程为 .
[素养小结]
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法.当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可;当焦点位置不明确时,应注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0).
◆ 探究点三 求双曲线的离心率
例3 (1)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)[2025·湖北黄冈中学高二调研] 双曲线-=1(a>2,b>0)的焦距为2c(c>0),已知点A(a,0),B(0,b),点(2,0)到直线AB的距离为d1,点(-2,0)到直线AB的距离为d2,且d1+d2≥c,则双曲线离心率的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.[,2]
变式 已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为6,则C的离心率为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[素养小结]
求双曲线的离心率时建立方程的一般方法:
(1)利用双曲线的几何性质得到关于a,b,c的等式;
(2)利用焦点三角形,借助图形特点得到关于a,b,c的等式;
(3)将已知条件采用代数法转化得到关于a,b,c的等式.
将b用含a,c的式子表示,即可得到关于a,c的等式,进而得到关于离心率的方程,解题时要注意双曲线离心率的取值范围.
◆ 探究点四 双曲线的渐近线
例4 (1)[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知双曲线C:-=1与双曲线x2-y2=6有相同的焦点,则C的渐近线方程为 ( )
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
(2)[2025·广东中山中学高二质检] 已知双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为,则此双曲线的离心率为 ( )
A.2 B.
C. D.
(3)已知直线x-y=0是双曲线-=1(a>0)的一条渐近线,则a= ( )
A.1 B.2 C.4 D.16
变式 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则它的渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
(2)[2025·黑龙江哈尔滨高二月考] 已知双曲线的标准方程为-=1,则其一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )
A. B.3 C.4 D.5
[素养小结]
求解与双曲线的渐近线有关问题时,常利用方程的思想,其思维流程如下:
注意:焦点在x轴上的双曲线渐近线的斜率k与离心率e的关系为k=±=±=±=±;
焦点在y轴上的双曲线渐近线的斜率与离心率e的关系为k=±=±=±=±.3.2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
1.已知双曲线的方程为x2-8y2=32,则该双曲线的 ( )
A.实轴长为4,虚轴长为2
B.实轴长为8,虚轴长为4
C.实轴长为2,虚轴长为4
D.实轴长为4,虚轴长为8
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
3.[2025·浙江绍兴一中高二月考] 若双曲线的渐近线方程为y=±3x,实轴长2a=2,且焦点在x轴上,则该双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1或-x2=1
B.-x2=1
C.x2-=1
D.-y2=1
4.[2025·湖北郧阳中学高二质检] 若实数m满足0A.离心率相等 B.焦距相等
C.实轴长相等 D.虚轴长相等
5.[2025·江苏泰州中学高二月考] 设k为实数,已知双曲线-=1的离心率e∈(2,3),则k的取值范围为 ( )
A.(12,32) B.(14,32)
C.(12,36) D.(14,36)
6.(多选题)[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则 ( )
A.C的虚轴长为2
B.C的离心率为
C.PF的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于-
7.已知双曲线 -=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为5,则该双曲线的渐近线方程为 .
8.[2025·山东莱芜一中高二月考] 若双曲线C:-=1的离心率不大于,则C的虚轴长的取值范围为 .
9.(13分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为8,离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程.
10.[2025·湖南湘潭一中高二调研] 双曲线E:x2-=1的左、右顶点分别为A,B,双曲线E上的一点C(与顶点不重合)关于x轴的对称点为D,若直线AC的斜率为m,直线BD的斜率为n,则mn= ( )
A.3 B.-3
C. D.-
11.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为M,左、右焦点分别为F1,F2,过F2作x轴的垂线,交C于A,B两点,若∠AMB为锐角,则C的离心率的取值范围是 ( )
A.(1,) B.(1,2) C.(,+∞) D.(2,+∞)
12.(多选题)[2025·江苏如东中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作直线l垂直于双曲线C的一条渐近线,直线l交双曲线C的右支于点M,若MF1=3MF2,则双曲线C的渐近线方程可能为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
13.[2025·江苏南通中学高二质检] 已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,PF1=λPF2(λ>1),若C的离心率为,则λ= .
14.(15分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;
(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.
15.[2025·山东师大附中高二调研] 如图①为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线C:x2-=1(b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体,如图②,若P为C右支上的一点,F为C的左焦点,P到C的一条渐近线的距离为d,则PF+d的最小值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
16.(15分)[2025·浙江温州中学高二调研] 已知M,N分别为双曲线C1:-y2=1和双曲线C2:y2-=1上不与顶点重合的点,且MN的中点在双曲线C1的渐近线上,O为坐标原点,OM,ON的斜率分别为k1,k2.
(1)求证:k1k2为定值.
(2)判断△MON的面积是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,说明理由.
