(共73张PPT)
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的几何性质
第2课时 直线与双曲线的综合应用
探究点一 直线与双曲线的位置关系
探究点二 弦长问题
探究点三 中点弦问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.由直线与双曲线的方程,利用代数方法解决与直线和双曲线位置关
系有关的问题.
2.能初步运用双曲线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
知识点一 直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线 ,双曲线
,把①代入②得
.
（1）当,即时,直线与双曲线 的渐近线______,
直线与双曲线 ____________.
平行
相交于一点
（2）当,即 时,
.
判别式 位置关系 交点情况
直线与双曲线______ ____________
直线与双曲线______ ____________
直线与双曲线______ __________
相交
有两个交点
相切
有一个交点
相离
没有交点
知识点二 弦长公式
若斜率为的直线与双曲线相交于,两点,则 .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.( )
×
（2）直线与双曲线最多有两个公共点.( )
√
（3）直线与双曲线 有两个公共点.( )
√
（4）直线与双曲线 至多有一个交点.( )
√
2.设为双曲线的弦不平行
轴的中点，为坐标原点，则有 ，你能证明这个结论
吗？
证明：设，，,则有 ，
由两式相减得 ，
整理得 ，即 ，
因为是弦 的中点，
所以 ，
所以 .
探究点一 直线与双曲线的位置关系
例1 已知双曲线的方程为,直线过点,斜率为.当
为何值时,直线 与双曲线:有一个公共点 有两个公共点 无公共点
解:由题知直线 ,
即 .
由 得
.
当,即时,方程（*）只有一个解,直线 与双曲线只
有一个公共点.
当,即时,方程（*）的判别式 .
若,即,则方程（*）有两个相等的实根,直线 与双曲线只有
一个公共点;
若,即且,则方程（*）有两个不相等的实根,直线
与双曲线有两个公共点;
若,即,则方程（*）无解,直线 与双曲线无公共点.
综上所述,当或时,直线 与双曲线只有一个公共点;
当且时,直线 与双曲线有两个公共点;
当时,直线 与双曲线无公共点.
变式 已知双曲线及直线,若直线 与双曲
线有两个公共点,求实数 的取值范围.
解:由消去得 .
由题意得解得且 ,
故实数的取值范围为 .
［素养小结］
直线与双曲线位置关系的判断方法:
1.代数法:把直线的方程与双曲线的方程联立,通过消元后化为
（或
）的形式.
（1）当
时,讨论方程的判别式与0的大小关系.
①当
时,直线与双曲线有两个公共点;
②当
时,直线与双曲线只有一个公共点;
③当
时,直线与双曲线没有公共点.
（2）当 时,直线（不过双曲线的中心）与双曲线的一条渐近线
平行,直线与双曲线只有一个公共点.
2.几何法:求出渐近线的斜率,结合直线的斜率,作出图形,利用图形判
断直线与双曲线的位置关系.
注意：直线与双曲线有一个公共点包含两种情况:一是相切,二是直线
平行于渐近线.
探究点二 弦长问题
例2 ［2025·山东莱芜一中高二调研］过双曲线 的左焦点
作直线，与双曲线交于,两点，若，则这样的直线 有
( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
√
[解析] 由题意得双曲线左焦点坐标为，当直线垂直于 轴
时，,不符合题意.
双曲线渐近线方程为 ,故可设,,
，将直线 与双曲线方程联立可得消去得
，
则，, ，由弦长公式知
，
则或 ，故存在4条直线满足条件.故选D.
变式 过双曲线的右焦点作倾斜角为 的直线，直线
与双曲线交于不同的两点，，则 的长为_ ____.
[解析] 双曲线的右焦点为，所以直线 的方程为
.由得,则 .
，，则，，所以 .
［素养小结］
1.弦长公式：直线
与双曲线相交所得的弦
的长
其中
,
.
2.解决弦长问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
3.处理直线与双曲线相交弦有关问题时，利用方程根与系数的关系解
题的过程中，并没有条件确定直线与双曲线一定会相交，因此，最
后要代回去检验.
探究点三 中点弦问题
例3 已知双曲线的右焦点为 ，且
的一条渐近线经过点 .
（1）求 的标准方程.
解：因为双曲线的右焦点为 ，
所以，可得 .
由双曲线的一条渐近线经过点，可得，即 .
由解得所以双曲线的标准方程为 .
（2）是否存在过点的直线，使得直线与交于， 两点，
且线段的中点为？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说
明理由.
解：假设存在符合条件的直线，易知直线 的斜率存在，
设直线的斜率为，且,，则 两式相减
得 ，
所以 ，
因为线段的中点为 ，
所以, ，
所以，解得，则直线的方程为 ，即
.
把代入，整理得 ，
可得 ，
则方程 没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线，使得直线与交于, 两点，且线段
的中点为 .
变式 ［2025·江苏徐州一中高二调研］ 过点的直线 与双曲线
相交于,两点，若是线段的中点，则直线 的方程
是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设,，则两式相减得直线 的斜
率，又直线过点，所以直线 的
方程为，经检验此时 与双曲线有两个交点.故选A.
［素养小结］
1.解决双曲线的中点弦问题，一般选用“点差法”.
2.过椭圆内一点
作直线，与椭圆交于
，
两点，使点
为弦
的中
点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定，
要注意检验.
当直线的斜率不存在时，设，当直线 的斜率存在时，设直
线，双曲线，联立直线
与双曲线的方程，得（ 的斜率不存在）
或（ 的斜率存在）.
（1）若，当 时，直线与双曲线交于两点
（左支上一个点，右支上一个点）；
当或或直线 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.
（2）若 ，
当直线的斜率存在时，若，即，则直线 与双
曲线一条渐近线平行，直线 与双曲线相交于一点.
，
当时， ，直线与双曲线相交于两点；
当时， ，直线与双曲线没有交点；
当时，，即 ，直线与双曲线有
一个交点.
当直线的斜率不存在时，若，即 ，则直线
与双曲线没有交点；
若或 ，则直线与双曲线相交于两点.
双曲线的第二定义
平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数 的点的轨迹
称为双曲线.定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线, 为双曲线
的离心率.双曲线准线的方程为（焦点在轴上）或
（焦点在 轴上）.
例1 双曲线的离心率为2, 为双曲线上任意
一点,则点到右焦点的距离与到直线 的距离之比为___.
2
[解析] 双曲线上任意一点 到右焦点的距离与到直线
的距离之比是该双曲线的离心率,即为2.
例2 已知双曲线，过其左顶点 且斜率为
的直线与双曲线在第一象限交于点，双曲线的右焦点为 ，
，则双曲线的离心率 __.
[解析] 设,，则，所以 ，
又在第一象限，即，故.
过作轴于 ，
因为 ，，所以 ，故
，即 ，
故 ，
解得 （负值舍去）.
练习册
1.若直线平行于双曲线的一条渐近线，则 与双曲线的公共点的个数
为( )
A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2
[解析] 因为渐近线与双曲线没有公共点，所以若直线 平行于双曲线
的一条渐近线，则 与双曲线的公共点的个数为1，故选B.
√
2.过双曲线的一个焦点且与 轴垂直的弦长为( )
A. B. C. D.
[解析] ，将代入，可得 ，
则过双曲线的一个焦点且与轴垂直的弦长为 .
√
3.直线被双曲线 所截得的弦的中点坐标是
( )
A. B. C. D.
[解析] 设弦的两个端点为,,将 代入
，得 ，由此可得弦的中点的横坐标为
，所以 ，故弦的中点
的纵坐标为，所以弦的中点坐标是 .故选C.
√
4.过点且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
( )
A.0条 B.2条 C.3条 D.4条
[解析] 双曲线的渐近线方程为.
①过点 且与一条渐近线平行的两条直线
与双曲线有且仅有一个公共点；
②设过点 且与双曲线相切的直线方程为，
由可得 ，
√
则,，解得 ，
则切线， 分别与双曲线有且仅有一个公
共点.
综上可知，过点且与双曲线 仅有一个公共
点的直线共有4条.故选D.
5.已知双曲线，过点的直线与双曲线 交于
，两点，若为线段的中点，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，直线的斜率必存在，设过的直线 方程为
，与双曲线方程联立，消去 得
,则 ,
,可得 且，
设,，则 ，
,因为，所以，解得 ，
则， ,故
.故选D.
6.（多选题）［2025·江苏无锡一中高二月考］ 已知双曲线
，直线 ，则下列说法正确的是
( )
A.若，则与 仅有一个公共点
B.若，则与 仅有一个公共点
C.若与有两个公共点，则
D.若与没有公共点，则
√
√
√
[解析] 因为双曲线的方程为 ，所以双曲线的渐近线方
程为 ，又因为直线过定点，所以当时，
直线 与双曲线 有且只有一个交点，故A正确；
由消去得 ，
当时，，且 ，所以直
线与双曲线有且只有一个交点，故B正确；
若与 有两个公共点，则
解得或，故C错误；
若与 没有公共点，则
解得，故D正确.
故选 .
7.［2025·福建厦门一中高二调研］已知双曲线 ，过
右焦点且与一条渐近线垂直的直线交双曲线于，两点，则 ，
两点的纵坐标之和为_____.
[解析] 双曲线的右焦点 ，渐近
线方程为.
如图所示，当直线 垂直于直线时，
直线的斜率为，所以直线 的方程为，
将直线与双曲线 的方程联立，
消去得,设, ,则；
同理可得，当直线 垂直于直线时，.
故 .
8.［2025·江苏淮安中学高二月考］过双曲线 的左焦点作
直线交双曲线于，两点，若满足 的直线恰有3条，则
___.
4
[解析] 因为左支内最短焦点弦的长为 ，
与左、右两支相交的焦点弦长不小于，
且满足 的直线 恰有3条，所以根据双曲线对称性可知，
其中一条与轴垂直，另两条关于 轴对称，如图所示（图中
），故 .
9.（13分）［2025·江苏启东中学高二月考］ 已知双曲线
的一条渐近线方程为 ，一个焦点
到该渐近线的距离为1.
（1）求 的方程；
解：双曲线的渐近线方程为 ，
所以，又焦点到直线的距离 ，
所以，
又,所以, ,所以双曲线的方程为 .
（2）经过点的直线交于,两点，且为线段 的中点，
求 的方程.
解：易知直线的斜率存在，设，，直线 的斜率为 ，
则， ，
， ，
可得 ，
即，即 ，
所以，解得，所以直线的方程为 ，即
，
经检验直线与双曲线 有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为 .
10.［2025·江苏靖江中学高二质检］已知双曲线
与直线相交于， 两点，弦
的中点的横坐标为，则双曲线 的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，则 由点差法得
.
易知， ，
，，
又 ，
， 双曲线的渐近线方程为，即 .
11.（多选题）［2025·浙江学军中学高二调研］ 已知双曲线
的离心率为，过其右焦点的直线 与
交于点, ，下列结论正确的是( )
A.若，则
B.的最小值为
C.若满足的直线恰有一条，则
D.若满足的直线恰有三条，则
√
√
√
[解析] 对于A，当时，因为 ，所以
，故A正确；
对于B,当过右焦点的直线与 交于左、右两支时,的最小值为
（此时, 为双曲线的两顶点），当过右焦点的直线与 交于同一
支时，最短弦为通径，将代入双曲线方程得，解得
，则 的最小值为，由于不一定小于或等于 ，故B错误；
对于C，若满足的直线 恰有一条，由选项B可知直线与双曲
线的左、右支分别交于一点，所以，即 ，此时
，故C正确；
对于D，若满足的直线 恰有三条，则其中一条与双曲线的两
支分别相交，另两条仅与双曲线的一支相交，所以,即 ，
所以，又，所以 ，
故D正确.
故选 .
12.［2025·江苏南京一中高二质检］已知双曲线 的右
焦点为，过原点的直线与双曲线交于， 两点，且
， 则 的面积为_ ___.
[解析] 由双曲线的方程知，， ，设双曲线的左焦点
为，连接，，则四边形 是平行四边形，
， ，则，
，
即 ，则 ，
则 .
13.［2025·江苏扬州中学高二质检］已知曲线 ，过
它的右焦点作直线交曲线于，两点，弦的垂直平分线交
轴于点，则 ___.
[解析] 由，得，则， .
易知弦所在直线的斜率存在，设 ，由
得,则, .
设，，则， ，
.由 ，
，得弦的中点坐标为 ，
则弦的垂直平分线方程为 或
,当时，令 ，可得
，则， .
当时，，，则， .
综上可得 .
14.（15分）［2025·河北保定中学高二质检］ 已知双曲线
的一条渐近线方程为 ，焦距为
.
（1）求双曲线 的标准方程；
解：由题意得，，，解得 ，
， ，
双曲线的标准方程为 .
（2）若为坐标原点，过的直线交双曲线于， 两点，且
的面积为，求直线 的方程.
解：由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线 的方程为
，， ，
由方程组消去整理得 ，
则， ，
， ，
，
又原点到直线的距离 ，
，解得或 ，
则或 ，
故直线的方程为或 .
15.［2025·江苏张家港中学高二调研］已知直线 与曲线
仅有三个交点，则实数 的取值范围是_______.
[解析] 由题意得曲线 ，即
，可得
.
当 时， ，即 ；
当时， .由以上分析可
得曲线如图中实线所示，易知 且直线
与双曲线 的一条渐近线
平行，直线过点 ，直线与曲线有两
个交点，则 .
设直线与椭圆 的上半部分相切，
则 ,
联立直线 与椭圆的方程得
消去得 ，则
，即或
（舍），则. 由图可得 .
16.（15分）［2025·江苏苏州中学高二调研］ 已知 ，如图，
曲线 由曲线和曲线
组成，其中点,为曲线所在圆锥曲线的焦点，点,为曲线
所在圆锥曲线的焦点.
（1）若,，求曲线 的方程；
解：, ，
解得
则曲线 的方程为和 .
（2）作直线平行于曲线 的一条渐近线，交
曲线于点,，求证：弦的中点 必在曲
线 的另一条渐近线上；
证明：由题意得曲线的渐近线方程为 ，
当直线与渐近线平行时，设直线 ，
由得 ，
，解得 ，
由数形结合知 .
设点,, ，则 ，
， ，，
即点 在直线 上.
由曲线与曲线的对称性可知，当直线 与渐近线平行时，
点在直线 上.故弦的中点必在曲线 的另一条渐近线上.
（3）对于（1）中的曲线 ，若直线
（斜率不为0）过点且交曲线于点, ，求
面积的最大值.
解：由（1）知，曲线，点 ，
设直线的方程为 ，
由得 ，
，得 ，
设, ，
， ，
，
的面积
，
令，， ,
，
当且仅当，即 时等号成立，
面积的最大值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一（1）平行 相交于一点 （2）相交 有两个交点 相切
有一个交点 相离 没有交点
知识点二【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2.略
课中探究 例1 当
或
时,直线
与双曲线只有一个公共点;
当
且
时,直线
与双曲线有两个公共点;
当
时,直线
与双曲线无公共点.
变式
.
例2 D 变式
例3 （1）
（2）不存在过点
的直线
,使得直线
与
交于
,
两点,且线段
的中点为
.
变式 A
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.C 4.D 5.D 6.ABD 7.
8.4
9.（1）
（2）
10.A 11.ACD 12.
13.
14.（1）
（2）
或
15.
16.（1）
和
.
（2）略（3）
【课前预习】
知识点一
(1)平行 相交于一点
(2)相交 有两个交点 相切
有一个交点 相离 没有交点
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,则有kAB=,
由两式相减得-=0,
整理得=,
即=,
因为M(x0,y0)是弦AB的中点,
所以kOM===,
所以kAB·kOM=.
【课中探究】
探究点一
例1 解:由题知直线l:y-1=k(x-1),
即y=kx+(1-k).
由得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0(*).
当k2-2=0,即k=±时,方程(*)只有一个解,直线l与双曲线只有一个公共点.
当k2-2≠0,即k≠±时,方程(*)的判别式Δ=24-16k.
若Δ=0,即k=,则方程(*)有两个相等的实根,直线l与双曲线只有一个公共点;
若Δ>0,即k<且k≠±,则方程(*)有两个不相等的实根,直线l与双曲线有两个公共点;
若Δ<0,即k>,则方程(*)无解,直线l与双曲线无公共点.
综上所述,当k=±或k=时,直线l与双曲线只有一个公共点;
当k<且k≠±时,直线l与双曲线有两个公共点;
当k>时,直线l与双曲线无公共点.
变式 解:由消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0.
由题意得解得-故实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
探究点二
例2 D [解析] 由题意得双曲线左焦点坐标为(-2,0),当直线l垂直于x轴时,AB=2,不符合题意.双曲线渐近线方程为y=±x,故可设l:y=k(x+2)(k≠±1),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l与双曲线方程联立可得消去y得(1-k2)x2-4k2x-4k2-2=0,则Δ>0,x1+x2=,x1·x2=,由弦长公式知AB=|x1-x2|=·=4 k2+1=|k2-1|,则k=±(-1)或k=±(+1),故存在4条直线满足条件.故选D.
变式 [解析] 双曲线-=1的右焦点为F2(3,0),所以直线l的方程为y=(x-3).由得5x2+6x-27=0,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以AB==×=.
探究点三
例3 解:(1)因为双曲线C的右焦点为F(,0),
所以c=,可得a2+b2=6.
由双曲线C的一条渐近线经过点D(,1),可得=,即a2=2b2.
由解得所以双曲线C的标准方程为-=1.
(2)假设存在符合条件的直线l,易知直线l的斜率存在,
设直线l的斜率为k,且A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得-=2(-),
所以·=,
因为线段AB的中点为P(2,1),
所以x1+x2=4,y1+y2=2,
所以k×=,解得k=1,则直线l的方程为y-1=x-2,即y=x-1.
把y=x-1代入-=1,整理得x2-4x+6=0(*),
可得Δ=(-4)2-4×6<0,
则方程(*)没有实根,所以假设不成立,
即不存在过点P(2,1)的直线l,使得直线l与C交于A,B两点,且线段AB的中点为P.
变式 A [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得直线l的斜率k====6,又直线l过点P(2,1),所以直线l的方程为6x-y-11=0,经检验此时l与双曲线有两个交点.故选A.第2课时 直线与双曲线的综合应用
1.B [解析] 因为渐近线与双曲线没有公共点,所以若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为1,故选B.
2.A [解析] c==,将x=代入-=1,可得y2=,则过双曲线-=1的一个焦点且与x轴垂直的弦长为2=.
3.C [解析] 设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦的中点的横坐标为==-1,所以y1+y2=(x1+x2)-2=-4,故弦的中点的纵坐标为-2,所以弦的中点坐标是(-1,-2).故选C.
4.D [解析] 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.①过点M(0,-1)且与一条渐近线平行的两条直线y=x-1,y=-x-1与双曲线有且仅有一个公共点;②设过点M(0,-1)且与双曲线相切的直线方程为y=kx-1,由可得(9-4k2)x2+8kx-40=0,则9-4k2≠0,Δ=(8k)2+4×40×(9-4k2)=0,解得k=±,则切线y=x-1,y=-x-1分别与双曲线有且仅有一个公共点.综上可知,过点M(0,-1)且与双曲线-=1仅有一个公共点的直线共有4条.故选D.
5.D [解析] 由题知,直线l的斜率必存在,设过P(1,2)的直线MN方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,消去y得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k2-4k+6)=0,则k2≠2,Δ=[2k(k-2)]2+4(2-k2)(k2-4k+6)>0,可得k<且k≠±,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,因为x1+x2=2,所以-=2,解得k=1,则x1+x2=2,x1x2=-3,故MN=·=×=4.故选D.
6.ABD [解析] 因为双曲线的方程为4x2-y2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,又因为直线l:y=kx+1过定点(0,1),所以当k=2时,直线l与双曲线C有且只有一个交点,故A正确;由消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0,当k=2时,4-k2≠0,且Δ=(2k)2+8(4-k2)=0,所以直线l与双曲线C有且只有一个交点,故B正确;若l与C有两个公共点,则
解得2解得k>2,故D正确.故选ABD.
7.± [解析] 双曲线C:-y2=1的右焦点F(2,0),渐近线方程为y=±x.如图所示,当直线l垂直于直线y=x时,直线l的斜率为-,所以直线l的方程为y=-(x-2),将直线l与双曲线C的方程联立,消去x得-y2-y+1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-;同理可得,当直线l垂直于直线y=-x时,y1+y2=.故y1+y2=±.
8.4 [解析] 因为左支内最短焦点弦的长为=4,与左、右两支相交的焦点弦长不小于2a=2,且满足AB=λ的直线l恰有3条,所以根据双曲线对称性可知,其中一条与x轴垂直,另两条关于x轴对称,如图所示(图中AB=A1B1=A2B2),故λ=4.
9.解:(1)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
所以=2,又焦点(0,c)到直线y=2x的距离d==1,
所以c=,又c2=a2+b2,所以a2=4,b2=1,
所以双曲线C的方程为-x2=1.
(2)易知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,
则x1+x2=2,y1+y2=8,
-=1,-=1,
可得--+=0,
即=(x1+x2)(x1-x2),即=4,
所以4k=4,解得k=1,所以直线l的方程为y-4=x-1,即y=x+3,
经检验直线l:y=x+3与双曲线C有两个交点,满足条件,
所以直线l的方程为y=x+3.
10.A [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则由点差法得-=0.易知M(-1,3),∴x1+x2=-2,y1+y2=6,∴-=0,又kAB==-1,∴b2=3a2,∴双曲线C的渐近线方程为y=±x,即y=±x.
11.ACD [解析] 对于A,当a=b时,因为c2=a2+b2,所以e===,故A正确;对于B,当过右焦点F的直线l与Γ交于左、右两支时,AB的最小值为2a(此时A,B为双曲线的两顶点),当过右焦点F的直线l与Γ交于同一支时,最短弦为通径,将x=c代入双曲线方程得-=1,解得y=±,则AB的最小值为,由于a不一定小于或等于b,故B错误;对于C,若满足AB=2a的直线l恰有一条,由选项B可知直线与双曲线的左、右支分别交于一点,所以2a<,即b2>a2,此时e===>,故C正确;对于D,若满足AB=2a的直线l恰有三条,则其中一条与双曲线的两支分别相交,另两条仅与双曲线的一支相交,所以2a>,即b21,所以112. [解析] 由双曲线的方程知a=4,b=3,c=5,设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形AFBF1是平行四边形,∵∠AFB=60°,∴∠F1AF=120°,则S△BOF==,由余弦定理得100=A+AF2-2AF·AF1cos 120°=(AF1-AF)2+3AF1·AF=64+3AF1·AF,则3AF1·AF=100-64=36,即AF1·AF=12,则=AF1·AFsin 120°=×12×=3,则S△BOF==.
13. [解析] 由C:2x2-2y2=1,得a2=b2=,则c=1,∴F(1,0).易知弦MN所在直线的斜率存在,设MN:y=t(x-1),由得(2-2t2)x2+4t2x-2t2-1=0,则t2≠1,Δ>0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴MN=·|x1-x2|=·=
·=.由=,=t·=,得弦MN的中点坐标为,则弦MN的垂直平分线方程为x=0(t=0)或y-=-(t≠0),当t≠0时,令y=0,可得x=xP=,则PF==,∴==.当t=0时,MN=,P(0,0),则PF=1,∴=.综上可得=.
14.解:(1)由题意得=,2c=2,a2+b2=c2,解得c=,a=2,b=,
∴双曲线C的标准方程为-=1.
(2)由题意可知,直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组消去y整理得(3k2-4)x2+24kx+36=0,
则3k2-4≠0,Δ=(24k)2-4×36(3k2-4)>0,x1+x2=,x1x2=,
∴AB=·=·=12·,
又原点到直线AB的距离d=,
∴S△AOB=AB·d=××12·==24,解得k2=1或k2=,
则k=±1或k=±,
故直线l的方程为y=±x+4或y=±x+4.
15.(1,) [解析] 由题意得曲线C:y=,即C:2y=,可得C:4y2=|4-x2|(y≥0).当4-x2≥0时,4y2=4-x2(y≥0),即+y2=1(y≥0);当4-x2<0时,-y2=1(y≥0).由以上分析可得曲线C如图中实线所示,易知m>0且直线l:y=x+m与双曲线-y2=1的一条渐近线y=x平行,直线y=x+1过点(0,1),直线y=x+1与曲线C有两个交点,则m>1.设直线y=x+t与椭圆+y2=1的上半部分相切,则t>0,联立直线y=x+t与椭圆的方程得消去y得2x2+4tx+4t2-4=0,则Δ=16t2-8(4t2-4)=0,即t=或t=-(舍),则m<.由图可得116.解:(1)∵F2(2,0),F3(-6,0),
∴解得
则曲线Γ的方程为+=1(y≤0)和-=1(y>0).
(2)证明:由题意得曲线C2的渐近线方程为y=±x,
当直线l与渐近线y=x平行时,设直线l:y=(x-m)(m≠0),
由得2x2-2mx+(m2-a2)=0,∴Δ1=4m2-8(m2-a2)>0,解得-a由数形结合知a≤m设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=m,
∴x0=,y0=-,
∴y0=-x0,即点M在直线y=-x上.
由曲线C1与曲线C2的对称性可知,当直线l与渐近线y=-x平行时,点M在直线y=x上.故弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上.
(3)由(1)知,曲线C1:+=1(y≤0),点F4(6,0),
设直线l1的方程为x=ny+6(n>0),
由得(5+4n2)y2+48ny+64=0,∴Δ2=(48n)2-4×64×(5+4n2)>0,得n2>1,
设C(x3,y3),D(x4,y4),
∴y3+y4=-,y3y4=,
∴|y3-y4|==,∴△CDF1的面积S=F1F4·|y3-y4|=×8×=64×,
令t=,∴n2=t2+1,t>0,
∴S==≤,
当且仅当t=,即n=时等号成立,∴△CDF1面积的最大值为.第2课时 直线与双曲线的综合应用
1.若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为 ( )
A.0或1 B.1
C.0或2 D.1或2
2.过双曲线-=1的一个焦点且与x轴垂直的弦长为 ( )
A. B.
C. D.
3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(2,1)
4.过点(0,-1)且与双曲线-=1有且只有一个公共点的直线有 ( )
A.0条 B.2条
C.3条 D.4条
5.已知双曲线C:2x2-y2=2,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M,N两点,若P为线段MN的中点,则MN= ( )
A. B.
C.4 D.4
6.(多选题)[2025·江苏无锡一中高二月考] 已知双曲线C:4x2-y2=1,直线l:y=kx+1(k>0),则下列说法正确的是 ( )
A.若k=2,则l与C仅有一个公共点
B.若k=2,则l与C仅有一个公共点
C.若l与C有两个公共点,则2D.若l与C没有公共点,则k>2
7.[2025·福建厦门一中高二调研] 已知双曲线C:-y2=1,过右焦点F且与一条渐近线垂直的直线l交双曲线于M,N两点,则M,N两点的纵坐标之和为 .
8.[2025·江苏淮安中学高二月考] 过双曲线x2-=1的左焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若满足AB=λ的直线l恰有3条,则λ= .
9.(13分)[2025·江苏启东中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程;
(2)经过点M(1,4)的直线l交C于A,B两点,且M为线段AB的中点,求l的方程.
10.[2025·江苏靖江中学高二质检] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线y=-x+2相交于A,B两点,弦AB的中点M的横坐标为-1,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±3x
C.y=±x D.y=±x
11.(多选题)[2025·浙江学军中学高二调研] 已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,过其右焦点F的直线l与Γ交于点A,B,下列结论正确的是 ( )
A.若a=b,则e=
B.AB的最小值为2a
C.若满足AB=2a的直线l恰有一条,则e>
D.若满足AB=2a的直线l恰有三条,则112.[2025·江苏南京一中高二质检] 已知双曲线C:-=1的右焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点,且∠AFB=60°,则△BOF的面积为 .
13.[2025·江苏扬州中学高二质检] 已知曲线C:2x2-2y2=1,过它的右焦点F作直线交曲线C于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于点P,则= .
14.(15分)[2025·河北保定中学高二质检] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,焦距为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若O为坐标原点,过P(0,4)的直线l交双曲线C于A,B两点,且△OAB的面积为24,求直线l的方程.
15.[2025·江苏张家港中学高二调研] 已知直线l:y=x+m与曲线C:y=仅有三个交点,则实数m的取值范围是 .
16.(15分)[2025·江苏苏州中学高二调研] 已知a>b>0,如图,曲线Γ由曲线C1:+=1(y≤0)和曲线C2:-=1(y>0)组成,其中点F1,F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点,点F3,F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点.
(1)若F2(2,0),F3(-6,0),求曲线Γ的方程;
(2)作直线l平行于曲线C2的一条渐近线,交曲线C1于点A,B,求证:弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上;
(3)对于(1)中的曲线Γ,若直线l1(斜率不为0)过点F4且交曲线C1于点C,D,求△CDF1面积的最大值.第2课时 直线与双曲线的综合应用
【学习目标】
1.由直线与双曲线的方程,利用代数方法解决与直线和双曲线位置关系有关的问题.
2.能初步运用双曲线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
◆ 知识点一 直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0)①,双曲线C:-=1(a>0,b>0)②,把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线l与双曲线C的渐近线 ,直线l与双曲线C .
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
判别式 位置关系 交点情况
Δ>0 直线与双曲线
Δ=0 直线与双曲线
Δ<0 直线与双曲线
◆ 知识点二 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则AB==
.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切. ( )
(2)直线与双曲线最多有两个公共点. ( )
(3)直线l:y=x与双曲线C:x2-=1有两个公共点. ( )
(4)直线y=2x+m与双曲线4x2-y2=1至多有一个交点. ( )
2.设M(x0,y0)为双曲线-=1(a>0,b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,O为坐标原点,则有kAB·kOM=,你能证明这个结论吗
◆ 探究点一 直线与双曲线的位置关系
例1 已知双曲线的方程为x2-=1,直线l过点P(1,1),斜率为k.当k为何值时,直线l与双曲线:有一个公共点 有两个公共点 无公共点
变式 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1,若直线l与双曲线C有两个公共点,求实数k的取值范围.
[素养小结]
直线与双曲线位置关系的判断方法:
1.代数法:把直线的方程与双曲线的方程联立,通过消元后化为ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的形式.
(1)当a≠0时,讨论方程的判别式与0的大小关系.
①当Δ>0时,直线与双曲线有两个公共点;
②当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;
③当Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
(2)当a=0时,直线(不过双曲线的中心)与双曲线的一条渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点.
2.几何法:求出渐近线的斜率,结合直线的斜率,作出图形,利用图形判断直线与双曲线的位置关系.
注意:直线与双曲线有一个公共点包含两种情况:一是相切,二是直线平行于渐近线.
◆ 探究点二 弦长问题
例2 [2025·山东莱芜一中高二调研] 过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若AB=4,则这样的直线l有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
变式 过双曲线-=1的右焦点作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的两点A,B,则AB的长为 .
[素养小结]
1.弦长公式:直线y=kx+b(k≠0)与双曲线相交所得的弦AB的长d=|x1-x2|=|y1-y2|(其中A(x1,y1),B(x2,y2)).
2.解决弦长问题时要注意是交在同一支,还是交在两支上.
3.处理直线与双曲线相交弦有关问题时,利用方程根与系数的关系解题的过程中,并没有条件确定直线与双曲线一定会相交,因此,最后要代回去检验.
◆ 探究点三 中点弦问题
例3 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(,0),且C的一条渐近线经过点D(,1).
(1)求C的标准方程.
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l,使得直线l与C交于A,B两点,且线段AB的中点为P 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
变式 [2025·江苏徐州一中高二调研] 过点P(2,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程是 ( )
A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0
C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-4=0
[素养小结]
1.解决双曲线的中点弦问题,一般选用“点差法”.
2.过椭圆内一点A作直线,与椭圆交于B,C两点,使点A为弦BC的中点,这样的直线一定存在,但在双曲线的这类问题中,则不能确定,要注意检验.