(共66张PPT)
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
探究点一 求抛物线的标准方程
探究点二 抛物线的定义及应用
探究点三 抛物线的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛
物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.
2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛
物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.
3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出
标准方程中一次项系数的意义.
4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.
知识点一 抛物线的定义
平面内到一个定点和一条定直线不在上 的距离______的点的
轨迹叫作抛物线，定点叫作抛物线的______,定直线 叫作抛物线的
______.
相等
焦点
准线
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向
_________________________ _________________ 向右
_________________________ _________________ _ ________ 向左
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向
________________________ ________________ _ _______ ______
________________________ _________________ 向下
向上
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）抛物线的焦点到准线的距离是 .( )
√
（2）抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( )
√
（3）抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( )
√
（4）平面内与定点和一条定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线.
( )
×
2.方程表示的曲线的焦点坐标是 吗？准线方程
是 吗？
解：不是，方程变形为 ，其表示的曲线的焦
点坐标是，准线方程是 .
探究点一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）焦点到准线的距离是4;
解:由题意可知,故抛物线的标准方程为或 或
或 .
（2）焦点在轴上,且经过点 ;
解:设抛物线的标准方程为,将点 的坐标代
入,得,所以,所以抛物线的标准方程为 .
（3）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点.
解:双曲线的标准方程为,其左顶点的坐标为 ,
设抛物线的标准方程为,则,所以 ,
所以抛物线的标准方程为 .
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
变式 ［2025·江苏南京一中高二月考］ 准线方程为 的抛物线
的标准方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，抛物线的准线方程为，则其焦点在 轴负半
轴上，设抛物线的标准方程为，则 ，得
，故抛物线的标准方程为 .故选D.
√
［素养小结］
（1）求抛物线的标准方程时要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求
方程的有关参数.
（2）求抛物线的标准方程的方法:
①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,
列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求,然后写出标准方程;③利
用待定系数法设标准方程,找有关的方程（组）求系数.
探究点二 抛物线的定义及应用
角度1 轨迹问题
例2（1）一动圆过点且与直线: 相切,则该动圆圆心的轨
迹为( )
A.抛物线 B.椭圆 C.直线 D.圆
[解析] 因为动圆圆心到点的距离与到直线 的距离相等,且
点不在直线 上，所以根据抛物线的定义知,动圆圆心的轨
迹为抛物线.故选A.
√
（2）［2025·江苏南通中学高二质检］在平面直角坐标系 中，动
点到直线的距离比它到定点的距离小1，则 的轨
迹方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知动点到直线的距离与定点 的距离
相等，由抛物线的定义知，的轨迹是以为焦点，直线
为准线的抛物线，
设其标准方程为，则 ，即，
所以所求轨迹方程为 ，故选D.
√
变式 已知圆，动点在轴的右侧，到 轴的距离比
它到圆心的距离小1，则动点的轨迹 的方程为_______________.
[解析] 由化为，可得圆 的圆心
，因为到轴的距离比它到圆心的距离小1，所以点 到定
点的距离与到定直线的距离相等，
又因为动点在 轴的右侧，
所以由抛物线的定义得动点的轨迹 的方程为 .
角度2 焦半径问题
例3（1）已知抛物线的焦点为,是 上一点,
,则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 由题意知,抛物线的准线方程为.因为 ,所以根
据抛物线的定义可得,解得 .故选A.
√
（2）［2025·山东济宁一中高二质检］为坐标原点， 为抛物线
的焦点，为上一点，若，则 的面积
为( )
A.2 B. C. D.4
[解析] 因为抛物线，所以 ，由抛物线的定义得
，解得 ，
则，所以 的面积
，故选A.
√
变式 ［2025·河北冀州中学高二月考］ 已知 是抛物线
的焦点，点在上且，则点 的坐
标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是抛物线的焦点，所以 ，
准线方程为，
又， ，所以由抛物线的定义可知，
解得，所以 .故选A.
√
角度3 最值问题
例4（多选题）［2025·湖北武汉一中高二质检］ 已知抛物线
的焦点为，点，点 在抛物线上，则下列结论正确的是( )
A.的最小值为3 B. 的最大值为7
C.的最小值为 D. 的最大值为3
√
√
√
[解析] 由题知，准线方程为，点 在抛物线
外，连接，则与轴垂直，如图， ，
当且仅当在线段上时取等号， 故 的最小值为
，无最大值，A正确，B错误；
，当且仅当，，三点共线在,之间
时取等号，故的最大值为，D正确；
过作 轴平行线，与准线交于点，过作轴平行线，
交准线于，过作 轴平行线，交直线于，根据抛物线
定义得 ，则，
当且仅当,, 三点共线时等号同时成立，
故的最小值为 ，C正确.
故选 .
变式 ［2025·江苏新海中学高二质检］ 设是抛物线 上的一
个动点，是抛物线的焦点.若，则 的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
[解析] 由题知，准线方程为，点在抛物线内，过点作
垂直准线,交准线于点，过点作垂直准线，交准线于点 ，则
，则，当且仅当,, 三点
共线时取等号，故 的最小值为4.
√
［素养小结］
利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:
（1）点的轨迹问题:利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找
到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上
的条件.
（2）抛物线的焦半径问题:利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦
点的距离与到准线的距离相互转化.解决与抛物线焦半径有关的最大
（小）值问题时，要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、
三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等.
探究点三 抛物线的实际应用
例5 ［课本改编题］ 探照灯、汽车前灯的反光曲面、
手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物面.灯泡
放在抛物面的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行
光束，如图所示，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒
等的设计原理.已知某型号探照灯反射镜与轴截面的交
线是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点
A. B. C. D.
（即反射镜的焦点）处，灯口直径是，灯深 ，则光源到
反射镜顶点的距离为( )
√
[解析] 在一个轴截面上，以反射镜的顶点 为坐
标原点，过顶点且垂直于灯口直径的直线为 轴，
建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得点 在抛物线上.设抛物线的标
准方程为，于是 ，
，所以抛物线的焦点到顶点的距离为 ，即光源到反射
镜顶点的距离为 .故选B.
变式 青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有
“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知某盖碗的碗体
和碗盖内壁与轴截面的交线均近似为抛物线的一部分,
A. B. C. D.
碗盖深为,碗盖口直径为,碗体口直径为 ,碗体深
,则盖上碗盖后,碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为
（碗体和碗盖的厚度忽略不计） ( )
√
[解析] 如图所示,在一个轴截面上以碗体的最低
点为原点建立平面直角坐标系,设图中开口向上
的抛物线的方程为,将
代入,得,解得 ,则图中开口向
上的抛物线的方程为 .
设盖上碗盖后,碗 盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ,则两抛物线
在第一象限的交点坐标为,将代入,
得 ,解得 .故选C.
［素养小结］
求解抛物线实际应用题的五个步骤
（1）建系:建立适当的坐标系.
（2）假设:设出合适的抛物线的标准方程.
（3）计算:通过计算求出抛物线的标准方程.
（4）求解:求出所要求的量.
（5）还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.
1.要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形
状（焦点位置、开口方向等）.抛物线的标准方程中,有一个一次项和
一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为 .若一次项
的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在 轴的正半
轴上（开口向右）；若其系数是负的,则焦点就在 轴的负半轴上
（开口向左）.若一次项的字母是,则焦点就在 轴上,若其系数是正
的,则焦点就在 轴的正半轴上（开口向上）；若其系数是负的,则焦
点就在 轴的负半轴上（开口向下）.
2.焦点的横、纵坐标中非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3.准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
4.（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 ，此弦即为通径，
通径是过焦点最短的弦.
（2）
标准方 程
焦半径
1.利用抛物线定义求轨迹（方程）.
例1（1）若动圆与圆外切，且与直线 相
切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由圆可得圆心，半径 ，设所
求动圆圆心为，过点作垂直于直线， 为垂足，
连接，则，可得，因此点 的轨迹是到
定点的距离和到直线 的距离相等的点的集合，
由抛物线的定义可知点的轨迹是抛物线，定点 为焦点，定直线
是准线， 抛物线的方程为，
与圆外切，且与直线 相切的动圆圆心的
轨迹方程是 .故选C.
（2）若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点 的
轨迹方程是__________.
[解析] 点到直线的距离比它到点的距离小2， 点
到直线的距离与它到点的距离相等， 点 的轨迹是以
为焦点，直线为准线的抛物线.
设点 的轨迹方程为，则,解得,则,
点 的轨迹方程为 .
2.根据抛物线定义进行到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，进
而求最大（小）值.
例2（1）已知直线和直线 ，则抛物线
上一动点到直线与直线 的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
√
[解析] 由题意可得，抛物线的焦点，准线 ，
设动点到直线,,的距离分别为,,，由题知点到直线 的距
离，
因为 ，所以，
当且仅当点在过点 与直线垂直的直线上且在与之间时，
等号成立，所以动点到直线 与直线 的距离之和的最小值是3.
故选B.
（2）已知为拋物线上一个动点，为圆
上一个动点，则点到点的距离与点 到抛物线的准线的距离之和
的最小值是( )
A.5 B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心，半径 ，
抛物线的焦点 ，根据抛物线的定义可
知，到抛物线准线的距离等于 到抛物线焦点的距
离，连接，
如图，根据圆的几何性质可知，当 , ，,四点共线
且,在,之间时，点到点 的距离与点 到抛物线
的准线的距离之和最小，
最小值为 .故选C.
练习册
1.抛物线 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得,，故焦点坐标为 ，故选B.
√
2.经过点 的抛物线的标准方程是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[解析] 设抛物线的方程为或 ，
将点坐标代入两方程，可得， ，解得
，，故抛物线的标准方程为或 ，故选C.
√
3.［2025·江苏如东中学高二月考］若抛物线 上的
点到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线 的标准方程是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由抛物线定义可得，解得，
所以抛物线 的标准方程为 .故选C.
√
4.已知点是抛物线的焦点,点, 分别
是抛物线上位于第一、四象限的点,若,则 ( )
A.10 B.12 C.14 D.16
[解析] 由抛物线的定义得,解得 ,则抛物线的
方程为,
又点, 分别是抛物线上位于第一、四象限的点,
所以,,可得 则 .故选B.
√
5.（多选题）［2025·江苏泰州中学高二质检］ 对于抛物线 ，
给出下列说法：
①焦点在轴上；②焦点在 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点
的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可以为
.其中正确的说法是( )
A.① B.② C.③ D.④
√
√
[解析] 抛物线的焦点在 轴上，②正确，①不正确；
设是抛物线上一点，则 ，
所以③不正确；
由于抛物线的焦点为 ，当过该焦点的直线斜率存在时，
设该直线方程为 ，由原点向该直线作垂线，若垂足坐标
为，则 ，此时满足条件的直线存在，所以④正确.
故选 .
6.（多选题）已知抛物线的焦点为,是抛物线 上的一点,
为坐标原点,若 ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为抛物线,即,所以 ,准线方程
为,故A正确,B不正确;
设,则 ,由题意得,且,
故,解得 （舍去）或,所以,
故C不正确,D正确.
故选 .
√
√
7.［2025·山东菏泽一中高二月考］已知动点 的坐标满足
，则动点 的轨迹方程为________.
[解析] 设，直线，则动点到点 的距离为
，动点到直线的距离为 ，
又因为，所以动点的轨迹是以 为焦点，
为准线的抛物线，则动点的轨迹方程为 .
8.［2025·福建福州一中高二月考］已知抛物线 同时满足以下三个条
件，则 的方程可以为___________________________.（写出一个满
足题意的方程即可）
的顶点在坐标原点；的对称轴为一条坐标轴；的焦点 在
圆 上.
（答案不唯一）
[解析] 由已知得，抛物线的焦点 在坐标轴上，若抛物线的焦点在
轴上，则将代入可得， 抛物线的
焦点为或，
当抛物线的焦点为 时，抛物线的方程为；
当抛物线的焦点为 时，抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在轴上，则将 代入可得
或， 抛物线的焦点为 或，
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为 ；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为 .
则可同时满足三个条件的抛物线的方程为或
或 或.
可取抛物线的方程为 （答案不唯一，只需填写
，，， 中的一个即可）.
9.（13分）根据下列条件写出抛物线的标准方程.
（1）经过点 ;
解：当焦点在轴上时，设抛物线的标准方程为 ,
将代入,得,则所求抛物线的标准方程为 ;
当焦点在轴上时，设抛物线的标准方程为 ,将
代入,得,则所求抛物线的标准方程为 .
综上, 抛物线的标准方程为或 .
（2）焦点在 轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6;
解：焦点在 轴的负半轴上,可设抛物线的标准方程为
,由焦点到准线的距离为6,知 ,
所以抛物线的标准方程为 .
9.（13分）根据下列条件写出抛物线的标准方程.
（3）已知焦点在轴上,直线过且垂直于轴,与抛物线交于, 两
点,为坐标原点, 的面积等于4.
解：由题意可设抛物线的方程为,则焦点 ,直
线,将直线的方程代入抛物线的方程中，得 ，所以
.
因为的面积为4,所以,所以 ,
故所求抛物线的标准方程为或 .
9.（13分）根据下列条件写出抛物线的标准方程.
10.［2025·江苏金陵中学高二质检］抛物线 绕其顶点按逆
时针方向旋转 之后，得到抛物线，则 ( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 抛物线即为抛物线 ，其开口向上，
将其绕顶点按顺时针方向旋转 ，得到抛物线
，其开口向右，其方程为，则 ，
故选B.
11.（多选题）已知抛物线上一点到准线的距离为 ，到直
线的距离为，则 的取值可以为
( )
A.3 B.4 C. D.
√
√
√
[解析] 抛物线上的点 到准线的距离等于到焦
点的距离，如图，连接，过焦点 作直线
的垂线，垂足为 ，则
（当且仅当在线段
上时取等号），
又 ，所以，结合选项可知选 .
12.［2025·江苏靖江中学高二调研］有一个隧道内设双行线公路，其
截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶
车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为
，若行车道总宽度为 ，则车辆通过隧道时的限制高度
为____ .
3.8
[解析] 由题意，建立如图所示的平面直角坐标
系，其中轴， ，由图可设
抛物线的方程为，将点 坐
标代入，可得 ，得
,故抛物线的方程为，
将 代入抛物线方程，可得 ，
故所求限制高度为 .
13.［2025·江苏淮阴中学高二质检］已知抛物线 的焦
点为，抛物线上有一动点，且，则 的最小值
为____.
11
[解析] 因为抛物线，所以抛物线的准线为 ，记
抛物线的准线为，作交于 ，如图所示.
因为，，
所以当，， 共线时，取得最小值，
最小值为 .
14.（15分）已知动点与点的距离比其到直线 的距离小1.
（1）求动点 的轨迹方程；
解：由题意知，动点到的距离与它到 的距离小1，即
与它到直线 的距离相等，
所以动点的轨迹为以为焦点，直线 为准线的抛物线，
因此动点的轨迹方程为 .
（2）求点与点的距离的最小值，并求出取最小值时点 的
坐标.
解：设 ，由两点间的距离公式得
当且仅当，即时，取得最小值 ，即当或
时，点与点 的距离最小，最小值为 .
，
15.已知,是过抛物线的焦点的直线 与抛物线
的交点，是坐标原点，且满足，，则
的值为___.
8
[解析] 不妨设直线的斜率，如图，过, 分别作抛物线准
线的垂线，垂足分别为,，过作，垂足为 ，
由，得， ，
，
，
且，，.
16.（15分）［2025·江苏锡山中学高二质检］
如图，已知点 ，抛物线
的焦点是，， 是抛物
线上两点，四边形 是矩形.
（1）求抛物线的方程；
解：因为抛物线的焦点是，所以 ，
解得，所以抛物线的方程为 .
解：设，，因为四边形 是矩形，
所以,，且 ，
即， ，
且 ，
所以，, ，且
,所以，解得 ，则
.
（2）求矩形 的面积.
由抛物线的定义得, ，所以矩
形 的面积
，
所以矩形 的面积为8.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 相等 焦点 准线
知识点二
向上
【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2.解：不是，方程变形为，其表示的曲线的焦点坐标是
，准线方程是.
课中探究 例1 （1）或或或
（2） （3）
变式 D 例2 （1）A （2）D 变式
例3 （1）A （2）A 变式 A 例4 ACD 变式 B
例5 B 变式 C
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.B 5.BD 6.AD 7. 8.（答案不唯一）
9.（1）或（2）（3）或
10.B 11.ABD 12.3.8 13.11
14.（1）
（2）当或时，点与点的距离最小，最小值为
15.8
16.（1） （2）83.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
【课前预习】
知识点一
相等 焦点 准线
知识点二
y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
y=- 向上 x2=-2py(p>0)
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.解:不是,方程y=ax2(a≠0)变形为x2=y,其表示的曲线的焦点坐标是,准线方程是y=-.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意可知p=4,故抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x或x2=8y或x2=-8y.
(2)设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),将点(-1,-3)的坐标代入,得1=6p,所以2p=,所以抛物线的标准方程为x2=-y.
(3)双曲线的标准方程为-=1,其左顶点的坐标为(-3,0),
设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则-=-3,所以2p=12,所以抛物线的标准方程为y2=-12x.
变式 D [解析] 根据题意,抛物线的准线方程为y=4,则其焦点在y轴负半轴上,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则=4,得p=8,故抛物线的标准方程为x2=-16y.故选D.
探究点二
例2 (1)A (2)D [解析] (1)因为动圆圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,且点(1,0)不在直线x=-1上,所以根据抛物线的定义知,动圆圆心的轨迹为抛物线.故选A.
(2)由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,直线x=2为准线的抛物线,设其标准方程为y2=-2px(p>0),则=2,即p=4,所以所求轨迹方程为y2=-8x,故选D.
变式 y2=4x(x>0) [解析] 由x2+y2=2x化为(x-1)2+y2=1,可得圆C的圆心C(1,0),因为P到y轴的距离比它到圆心C的距离小1,所以点P到定点C(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等,又因为动点P在y轴的右侧,所以由抛物线的定义得动点P的轨迹E的方程为y2=4x(x>0).
例3 (1)A (2)A [解析] (1)由题意知,抛物线的准线方程为x=-.因为AF=x0,所以根据抛物线的定义可得AF=x0+=x0,解得x0=1.故选A.
(2)因为抛物线C:y2=4x,所以 =,由抛物线的定义得PF=xP+=xP+=2,解得xP=,则yP=±=±2,所以△POF的面积S=OF·|yP|=××2=2,故选A.
变式 A [解析] 因为F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,所以F,准线方程为x=-,又PF=4,xP=2,所以由抛物线的定义可知PF=2+=4,解得p=4,所以F(2,0).故选A.
例4 ACD [解析] 由题知F(1,0),准线方程为x=-1,点A在抛物线外,连接AF,则AF与x轴垂直,如图,PF+PA≥AF,当且仅当P在线段AF上时取等号,故PA+PF的最小值为FA=3,无最大值,A正确,B错误;PA-PF≤AF,当且仅当F,P,A三点共线(F在A,P之间)时取等号,故PA-PF的最大值为FA=3,D正确;过A作x轴平行线,与准线交于点B,过P作x轴平行线,交准线于C,过P作y轴平行线,交直线AB于D,根据抛物线定义得PC=PF,则PA-PF=PA-PC≥AD-BD≥-AB,当且仅当A,B,P三点共线时等号同时成立,故PA-PF的最小值为-AB=-2,C正确.故选ACD.
变式 B [解析] 由题知,准线方程为x=-1,点B在抛物线内,过点B作BQ垂直准线,交准线于点Q,过点P作PP1垂直准线,交准线于点P1,则PP1=PF,则PB+PF=PB+PP1≥BQ=4,当且仅当B,P,Q三点共线时取等号,故PB+PF的最小值为4.
探究点三
例5 B [解析] 在一个轴截面上,以反射镜的顶点O为坐标原点,过顶点且垂直于灯口直径的直线为x轴,建立直角坐标系,如图所示,由题意可得点A(40,40)在抛物线上.设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),于是402=2p·40,解得p=20,所以抛物线的焦点到顶点的距离为=10,即光源到反射镜顶点的距离为10 cm.故选B.
变式 C [解析] 如图所示,在一个轴截面上以碗体的最低点为原点建立平面直角坐标系,设图中开口向上的抛物线的方程为x2=2py(p>0),将(5,6.25)代入,得52=2p×6.25,解得p=2,则图中开口向上的抛物线的方程为x2=4y.设盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm,则两抛物线在第一象限的交点坐标为(4,h-3),将(4,h-3)代入x2=4y,得42=4(h-3),解得h=7.故选C.3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
1.B [解析] 由y2=-4x得2p=-4,∴p=-2,故焦点坐标为(-1,0),故选B.
2.C [解析] 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0),将点P坐标(4,-2)代入两方程,可得4=8p,16=4p',解得p=,p'=4,故抛物线的标准方程为y2=x或x2=-8y,故选C.
3.C [解析] 由抛物线定义可得6+=8,解得p=4,所以抛物线C的标准方程为x2=8y.故选C.
4.B [解析] 由抛物线的定义得AF=10=2+,解得p=16,则抛物线的方程为y2=32x,又点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,所以y1>0,y2<0,可得则|y1-y2|=12.故选B.
5.BD [解析] 抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②正确,①不正确;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点,则MF=1+=1+=≠6,所以③不正确;由于抛物线y2=10x的焦点为,当过该焦点的直线斜率存在时,设该直线方程为y=k,由原点向该直线作垂线,若垂足坐标为(2,1),则k=-2,此时满足条件的直线存在,所以④正确.故选BD.
6.AD [解析] 因为抛物线C:y=4x2,即C:x2=y,所以F,准线方程为y=-,故A正确,B不正确;设P(m,n),则n=4m2,由题意得=,且n≥0,故n2+-=0,解得n=-(舍去)或n=1,所以PF=n+=,故C不正确,D正确.故选AD.
7.y2=8x [解析] 设F(2,0),直线l:x=-2,则动点M到点F的距离为,动点M到直线l:x=-2的距离为|x+2|,又因为=|x+2|,所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,则动点M的轨迹方程为y2=8x.
8.x2=-4y(答案不唯一) [解析] 由已知得,抛物线C的焦点F在坐标轴上,若抛物线的焦点在y轴上,则将x=0代入(x-2)2+y2=9可得y=±,∴抛物线的焦点为(0,-)或(0,),当抛物线的焦点为(0,-)时,抛物线的方程为x2=-4y;当抛物线的焦点为(0,)时,抛物线的方程为x2=4y.若抛物线的焦点在x轴上,则将y=0代入(x-2)2+y2=9可得x=-1或x=5,∴抛物线的焦点为(-1,0)或(5,0),当抛物线的焦点为(-1,0)时,抛物线的方程为y2=-4x;当抛物线的焦点为(5,0)时,抛物线的方程为y2=20x.则可同时满足三个条件的抛物线C的方程为x2=-4y或x2=4y或y2=-4x或y2=20x.可取抛物线C的方程为x2=-4y(答案不唯一,只需填写x2=-4y,x2=4y,y2=-4x,y2=20x中的一个即可).
9.解:(1)当焦点在x轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为y2=-x;
当焦点在y轴上时,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为x2=-y.综上,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-y.
(2)焦点在x轴的负半轴上,可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),由焦点到准线的距离为6,知p=6,
所以抛物线的标准方程为y2=-12x.
(3)由题意可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F,直线l:x=,将直线l的方程代入抛物线的方程中,得y=±|a|,所以AB=2|a|.
因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以a=±2,
故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x.
10.B [解析] 抛物线y=2x2即为抛物线x2=y,其开口向上,将其绕顶点按顺时针方向旋转90°,得到抛物线y2=2mx,其开口向右,其方程为y2=,则m=,故选B.
11.ABD [解析] 抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,如图,连接PF,过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线EF,垂足为E,则d1+d2=d2+PF≥EF(当且仅当P在线段EF上时取等号),又F(1,0),所以d1+d2≥=3,结合选项可知选ABD.
12.3.8 [解析] 由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,其中EF∥x轴,E(-4.8,-4.8),由图可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),将点E坐标代入,可得(-4.8)2=-2p·(-4.8),得p=2.4=,故抛物线的方程为x2=-y,将x=3.6代入抛物线方程,可得y=-×(3.6)2=-2.7,故所求限制高度为7.2-0.7-2.7=3.8(m).
13.11 [解析] 因为抛物线C:x2=-20y,所以抛物线C的准线为y=5,记抛物线C的准线为l,作PT⊥l交l于T,如图所示.因为PF+PQ=PT+PQ,Q(-3,-6),所以当P,Q,T共线时,PF+PQ取得最小值,最小值为6+5=11.
14.解:(1)由题意知,动点M到F(2,0)的距离与它到x=-3的距离小1,即与它到直线x=-2的距离相等,
所以动点M的轨迹为以F(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,
因此动点M的轨迹方程为y2=8x.
(2)设M,
由两点间的距离公式得MA===,
当且仅当m2=16,即m=±4时,MA取得最小值4,
即当M(2,4)或M(2,-4)时,点M与点A的距离最小,最小值为4.
15.8 [解析] 不妨设直线MN的斜率k>0,如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,过N作NK⊥MG,垂足为K,由=3,得MF=3FN,∴MG=3NH,∴MK=2NH=2NF=MN,∴NK==MN.∵S△OMN=S△OMF+S△ONF=OF·NK=p·MN,且S△OMN=MN,∴p·MN=MN,∴p=8.
16.解:(1)因为抛物线x2=2py(p>0)的焦点是F(0,1),所以=1, 解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.
(2)设A(2t1,),B(2t2,),因为四边形FAPB是矩形,
所以=,=,且·=0,即=,==3,
且2t1·2t2+(-1)(-1)=0,所以t1+t2=,+=6,t1t2=-3,且t4-16t2-512=0,所以(t2-32)(t2+16)=0,解得t2=32,则t1t2=1.
由抛物线的定义得FA=+1,FB=+1,所以矩形FAPB的面积S=FA·FB=(+1)(+1)=+++1=1+6+1=8,
所以矩形FAPB的面积为8.3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
【学习目标】
1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.
2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.
3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出标准方程中一次项系数的意义.
4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.
◆ 知识点一 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫作抛物线,定点F叫作抛物线的 ,定直线l叫作抛物线的 .
◆ 知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向
x=- 向右
x= 向左
y= 向下
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线的焦点到准线的距离是p(p>0). ( )
(2)抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1. ( )
(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定. ( )
(4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线. ( )
2.方程y=ax2(a≠0) 表示的曲线的焦点坐标是吗 准线方程是x=- 吗
◆ 探究点一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点到准线的距离是4;
(2)焦点在y轴上,且经过点(-1,-3);
(3)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
变式 [2025·江苏南京一中高二月考] 准线方程为y=4的抛物线的标准方程是 ( )
A.y2=16x B.y2=8x
C.x2=16y D.x2=-16y
[素养小结]
(1)求抛物线的标准方程时要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.
(2)求抛物线的标准方程的方法:
①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求p,然后写出标准方程;③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.
◆ 探究点二 抛物线的定义及应用
角度1 轨迹问题
例2 (1)一动圆过点A(1,0)且与直线:x=-1相切,则该动圆圆心的轨迹为 ( )
A.抛物线 B.椭圆
C.直线 D.圆
(2)[2025·江苏南通中学高二质检] 在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为 ( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-4x D.y2=-8x
变式 已知圆C:x2+y2=2x,动点P在y轴的右侧,P到y轴的距离比它到圆心C的距离小1,则动点P的轨迹E的方程为 .
角度2 焦半径问题
例3 (1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=x0,则x0= ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)[2025·山东济宁一中高二质检] O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若PF=2,则△POF的面积为 ( )
A.2 B.2
C.2 D.4
变式 [2025·河北冀州中学高二月考] 已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点P(2,t)在C上且PF=4,则点F的坐标为 ( )
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(4,0) D.(-4,0)
角度3 最值问题
例4 (多选题)[2025·湖北武汉一中高二质检] 已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(1,3),点P在抛物线上,则下列结论正确的是 ( )
A.PA+PF的最小值为3
B.PA+PF的最大值为7
C.PA-PF的最小值为-2
D.PA-PF的最大值为3
变式 [2025·江苏新海中学高二质检] 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线的焦点.若B(3,2),则PB+PF的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.8 D.16
[素养小结]
利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:
(1)点的轨迹问题:利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.
(2)抛物线的焦半径问题:利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.解决与抛物线焦半径有关的最大(小)值问题时,要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等.
◆ 探究点三 抛物线的实际应用
例5 [课本改编题] 探照灯、汽车前灯的反光曲面、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物面.灯泡放在抛物面的焦点位置,通过镜面反射就变成了平行光束,如图所示,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒等的设计原理.已知某型号探照灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点(即反射镜的焦点)处,灯口直径是80 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离为 ( )
A.20 cm B.10 cm
C.30 cm D.40 cm
变式 青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知某盖碗的碗体和碗盖内壁与轴截面的交线均近似为抛物线的一部分,碗盖深为3 cm,碗盖口直径为8 cm,碗体口直径为10 cm,碗体深6.25 cm,则盖上碗盖后,碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计) ( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8.25 cm
[素养小结]
求解抛物线实际应用题的五个步骤
(1)建系:建立适当的坐标系.
(2)假设:设出合适的抛物线的标准方程.
(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.
(4)求解:求出所要求的量.
(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
1.抛物线y2=-4x的焦点坐标是 ( )
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
2.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程是 ( )
A.y2=x或x2=y
B.y2=-x或x2=8y
C.x2=-8y或y2=x
D.x2=-8y或y2=-x
3.[2025·江苏如东中学高二月考] 若抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P到焦点的距离为8,到x轴的距离为6,则抛物线C的标准方程是( )
A.x2=4y B.x2=6y
C.x2=8y D.x2=16y
4.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若AF=10,则|y1-y2|= ( )
A.10 B.12
C.14 D.16
5.(多选题)[2025·江苏泰州中学高二质检] 对于抛物线y2=10x,给出下列说法:
①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可以为(2,1).其中正确的说法是 ( )
A.① B.②
C.③ D.④
6.(多选题)已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,若PO=,则 ( )
A.F B.F(0,1) C.PF=2 D.PF=
7.[2025·山东菏泽一中高二月考] 已知动点M(x,y)的坐标满足=|x+2|,则动点M的轨迹方程为 .
8.[2025·福建福州一中高二月考] 已知抛物线C同时满足以下三个条件,则C的方程可以为 .(写出一个满足题意的方程即可)
①C的顶点在坐标原点;②C的对称轴为一条坐标轴;③C的焦点F在圆(x-2)2+y2=9上.
9.(13分)根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-5);
(2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6;
(3)已知焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积等于4.
10.[2025·江苏金陵中学高二质检] 抛物线y2=2mx绕其顶点按逆时针方向旋转90°之后,得到抛物线y=2x2,则m= ( )
A.- B.
C.1 D.-1
11.(多选题)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的取值可以为 ( )
A.3 B.4
C. D.
12.[2025·江苏靖江中学高二调研] 有一个隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和抛物线构成,如图所示.为了保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7 m,若行车道总宽度AB为7.2 m,则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
13.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 已知抛物线C:x2=-20y的焦点为F,抛物线C上有一动点P,且Q(-3,-6),则PF+PQ的最小值为 .
14.(15分)已知动点M与点F(2,0)的距离比其到直线x=-3的距离小1.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值,并求出取最小值时点M的坐标.
15.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OMN=MN,则p的值为 .
16.(15分)[2025·江苏锡山中学高二质检] 如图,已知点P(t,5)(t>0),抛物线x2=2py(p>0)的焦点是F(0,1),A,B是抛物线上两点,四边形FAPB是矩形.
(1)求抛物线的方程;
(2)求矩形FAPB的面积.
