(共58张PPT)
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
探究点一 抛物线的几何性质
探究点二 抛物线的几何性质的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、
对称性、顶点等几何性质及其代数表达.
知识点 抛物线的几何性质
标准方程
图形 ___________________________ ____________________________ __________________________ __________________________
范围 ， ， ， ，
标准 方程
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点 坐标 _ ______ ______
准线方程 _______ ______
顶点
离心率 ___
通径长 ____
1
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）抛物线关于原点对称.( )
×
（2）抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心.( )
√
（3）是抛物线上一点, 是抛物线的焦点,则
.( )
×
（4）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 .( )
×
2.“抛物线， 的焦点到准线的距离是相同的，离心率
也相同”这种说法是否正确？
解：这种说法正确.抛物线， 的焦点到准线的距离都
是2，离心率都是1.
探究点一 抛物线的几何性质
例1 （多选题）［2025·江苏南京一中高二月考］ 对于抛物线
，下列描述正确的是( )
A.开口向上，对称轴为轴 B.开口向上，焦点为
C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为
[解析] 由可化为 ，可知抛物线的开口向上，对称轴
为轴，焦点坐标为 ，焦点到准线的距离为4，准线方程为
.故选 .
√
√
变式 ［2025·安徽黄山一中高二质检］ 下列说法中正确的是( )
A.抛物线的焦点坐标为
B.抛物线的准线方程为
C.抛物线关于 轴对称
D.抛物线关于 轴对称
[解析] 抛物线的焦点坐标为 ，故A错误；
抛物线的准线方程为 ，故B错误；
抛物线关于轴对称,不关于 轴对称,故C正确,D错误.
故选C.
√
［素养小结］
运用抛物线的几何性质时要把握三个要点:
（1）定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二
次项是还是,一次项的系数是正还是负.
（2）定量:确定焦点到准线的距离.
（3）转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题
时适时转化可起到事半功倍的效果.
探究点二 抛物线的几何性质的应用
例2（1）［2025·湖南湘潭一中高二质检］点 到抛物线
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
√
[解析] 将转化为,当 时，抛物线开口向上，准
线方程为，点到准线的距离为 ，解得
，所以抛物线方程为，即；
当 时，抛物线开口向下，准线方程为，点 到准线
的距离为，解得或 （舍去），所以抛物线
方程为，即.
所以抛物线的标准方程为 或 .故选D.
（2）［2025·江苏通州中学高二调研］,是抛物线 上的两
点，为坐标原点.若，且的面积为 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，,两点关于轴对称，设 ，则
，，解得 ，，
设 ,， ，
. 故选C.
√
变式 已知抛物线的焦点为，准线为，点在 上，过
点作准线的垂线，垂足为，若，则 ( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 如图，因为，所以 ，
设准线与轴交于点，因为 ，所以
.
因为，所以 ，
所以在等边三角形中， .
√
［素养小结］
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直
观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数
形结合思想解题的优越性.
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线.
2.对称性:抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.
3.抛物线的焦半径（其中点为抛物线的焦点,点 为抛物线上任意一
点）
抛物线, ;
抛物线, ;
抛物线, ;
抛物线, .
4.焦点弦
（1）定义:过焦点的直线被抛物线所截得的弦.
（2）焦点弦长公式:设两交点分别为, ,可以通过使
用两次焦半径公式得到.
当抛物线的焦点在 轴上时,焦点弦的长只和两交点的横坐标有关:
抛物线, ;
抛物线, .
当抛物线的焦点在 轴上时,焦点弦的长只和两交点的纵坐标有关:
抛物线, ;
抛物线, .
（3）特殊的焦点弦——通径
定义:过焦点且垂直于对称轴的弦.
直接应用抛物线的定义,得到通径长， 越大,抛物线的张口越大.
5.在标准形式下,椭圆、双曲线和抛物线性质的比较
椭圆 双曲线 抛物线
对称轴 轴和 轴 轴和 轴 轴或 轴
对称中心 无
顶点 4个 2个 1个
焦点 2个 2个 1个
准线 不研究 不研究 1条
渐近线 无 2条 无
离心率
1.抛物线的性质问题常常结合定义求解.
例1 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点， 是圆
上一动点，则 的最小值为___．
4
[解析] 由抛物线，可得焦点为，准线 ，圆
的标准方程为 ，
可得圆心为，半径，过点作，垂足为，
过点 作，垂足为，交抛物线于 .
根据抛物线的定义,可得,要使取得最小值，
只需点与 重合，在线段上，此时与重合，
所以 的最小值为，即 的最小值为4.
2.解决抛物线与几何结合的图形，要考虑到对称性.
例2 （多选题）［2025·阜阳三中高二月考］ 如图，曲线 可以看成
是抛物线一部分和抛物线 的一部分所组成，
点，在曲线 上，定点 ，则下列说法中正确的是 ( )
A.对任意，存在点，，使得
B.对任意，存在点，，使得点， 关于点 对称
C.存在，当点， 运动时，使得
D.对任意，恰有三对不同的点， ，
满足点，关于点 对称
√
√
√
[解析] 抛物线和抛物线的对称轴都为 轴，
因此曲线关于轴对称，且易知抛物线与 轴的交点
坐标为 .
对于A，如图①，对任意，点在轴上，在曲线 上
取关于轴对称的两点，，则有 ，故A正确.
对于B，如 图②，过点作垂直于轴的直线与曲线的交点为，，
则， 关于点对称，故B正确.
对于C，由得 或取，即，
可化为 ，则该抛物线的焦点为，准线方程为，
当点 在曲线上运动时， ，由抛物线上
的点到焦点的距离与到准线的距离相等，得 .
抛物线 可由抛物线 向上平移5个单位而得，
可化为，则抛物线的焦点为 ，
准线方程为,则抛物线的焦点为 ,
准线方程为，
当点在曲线 上运动时， ，
由抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，
得，因此当点，运动时， ，
，恒有，故C正确.
，直线与抛物线的两个交点
关于点 对称，则在此抛物线上关于点 对称的两点只有一对，此时在
抛物线上不存在两点关于点对称.
假设关于点 对称的两点分别在抛物线和上，
不妨令 ，则点关于点对称的点在抛物
线 上，而方程，即 无
实数解，则此时不存在关于点对称的两点分别在抛物线和
上，故D错误.
故选 .
3.抛物线的焦点弦的性质
例3 （多选题）已知抛物线，为其焦点，直线 与抛物线
交于， 两点，则下列说法正确的是( )
A.若点为抛物线上的一点，点，则 的最小值为3
B.若直线过焦点，则以为直径的圆与直线 相切
C.若直线过焦点，为坐标原点，则当时，
D.设线段的中点坐标为，则直线的斜率与
无关，与 有关
√
√
√
[解析] 对于A选项，抛物线的焦点为，准线，设点
在直线上的射影为点，由抛物线的定义可得 ，则
，当且仅当，，三点共线，即 时，
取得最小值，最小值为 ，故A错误；
对于B选项，若直线过焦点，则，线段的中点
到直线 的距离，所以，因此，以 为直径
的圆与直线相切，故B正确；
对于C选项，当时，直线 的方程为，由
可得不妨取， ， 则，
此时 ，故C正确；
对于D选项，线段的中点坐标为，若轴，
则线段 的中点在轴上，不符合题意，所以直线 的斜率存在，
由题意可得由
作差得 ，
所以，故D正确.
故选 .
练习册
1.下列关于抛物线 的描述中正确的是( )
A.开口向上，焦点坐标为 B.开口向右，焦点坐标为
C.开口向上，焦点坐标为 D.开口向右，焦点坐标为
[解析] 抛物线，即 ，可知抛物线开口向上，焦点坐
标为 .故选A.
√
2.下列方程表示的抛物线中，开口最小的是( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线的开口最小说明其标准方程中一次项的系数的绝对值最
小，观察四个选项发现，A选项中一次项的系数的绝对值最小，故选A.
√
3.［2025·江苏无锡一中高二月考］抛物线的顶点在原点，对称轴是
轴，点 在抛物线上，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意设抛物线的方程为 ，因为点
在抛物线上，所以，解得 ，所以抛物线
的方程是 ，故选B.
√
4.［2025·广东广州高二期末］斜率为1的直线经过抛物线 的
焦点，且与抛物线交于，两点，则线段 的长为( )
A.8 B. C. D.4
[解析] 由题知，抛物线方程为，所以抛物线焦点为 ，
所以直线的方程为，即 .
由得，设, ，则
，所以 .故选A.
√
5.［2025·山东莱芜一中高二质检］在同一坐标系中，方程
与 表示的曲线大致是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得方程表示焦点在 轴上的椭圆，
由，,得,，所以
表示焦点在 轴上且开口向左的抛物线.故选D.
√
6.（多选题）［2025·广东深圳中学高二调研］ 如图，在
平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 ，准
线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线
的斜率 ，则( )
A.准线方程为 B.焦点的坐标为
C.点的坐标为 D. 的长为3
√
√
[解析] 抛物线方程为， 焦点的坐标为 ，
准线方程为，A错误，B正确.
直线 的斜率为， 直线的方程为，
当 时，，，，为垂足，
点 的纵坐标为，可得点的坐标为 ，C正确.
根据抛物线的定义可知，D错误.
故选 .
7.已知点在抛物线上，则到 的准线的
距离为__.
[解析] 点在抛物线上， ，得
，
抛物线的准线方程是，
到 的准线的距离为 .
8.已知抛物线的焦点为，是上一点， 为坐标原点，
若，则 的面积为____.
[解析] 依题意作图,如图，设，因为 ，
所以，可得 ，
由，解得，
所以 或 ，
所以 .
9.（13分）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）关于轴对称，并且经过点 ；
解：由题可设抛物线的标准方程为 ，
抛物线过点，，即 ，
则抛物线的标准方程为 .
（2）关于轴对称，准线经过点 ；
解： 抛物线关于轴对称，且准线过点， 抛物线的焦点
在轴正半轴上，设抛物线的标准方程为 ，
由题知，抛物线的准线方程为 ，，得，
则抛物线的标准方程为 .
（3）准线在 轴的右侧，顶点到准线的距离是4；
解： 抛物线的准线在轴右侧， 可设抛物线的标准方程为
， 抛物线顶点到准线的距离是4， ，得
， 抛物线的标准方程为 .
9.（13分）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（4）焦点F在y轴负半轴上,经过横坐标为16的点P,且准线平行于FP.
解：抛物线的焦点F在y轴负半轴,
∴可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),
∵抛物线经过横坐标为16的点P,∴令x=16,得162=-2py,
∴y=-=-,则P,
又准线平行于FP,∴-=-,∴p=16,∴抛物线的标准方程为x2=-32y.
9.（13分）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
10.（15分）已知抛物线 .
（1）求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程、
变量 的取值范围；
解：抛物线 的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程、
变量的取值范围分别为，，，， .
（2）设为坐标原点，作抛物线的内接等腰三角形， ，
若焦点是的重心，求 的周长.
解：由可知轴，设垂足为点，因为焦点是
的重心，所以 .
因为，所以 ，所以 .
不妨设，将点坐标代入得 ，
所以或，所以， ，
则 ，所以的周长为 .
11.［2025·山东聊城一中高二月考］已知点 为抛物线
的焦点，点在抛物线上且横坐标为8， 为坐标原
点，若的面积为 ，则该抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 抛物线的焦点，将点的横坐标
代入抛物线方程得，可得，
不妨令 ，
则，解得 ，则抛物线方程为
，其准线方程为 .故选B.
12.［2025·江苏宿迁中学高二质检］已知 是抛物线
上一点，是抛物线的焦点，若， 是
抛物线的准线与轴的交点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，点的坐标为 ，又抛物线的准线方程为
，所以，则，
所以在直角三角形 中，，所以 ,故选B.
√
13.已知直线过抛物线 的焦点，且与该抛物线交
于，两点.若线段的长是20，线段中点到 轴的距离是8，
为坐标原点，则( )
A.抛物线的焦点坐标是 B.抛物线的离心率
C.直线的斜率为 D.的面积为
[解析] 记抛物线焦点为，线段的中点为 ，如图，
过，， 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为
，，，则 ,所以
，又，所以 ,
√
√
√
即，所以抛物线方程为 ，抛物线的焦
点坐标为, 易知离心率 ,故选项A，B正确；
显然直线斜率存在且不为0，设直线 的方程为
,与抛物线方程 联立，
消去得，
设 ,，则 ,而
,则
，所以，即 ,
解得，故选项C不正确；
，
可得坐标原点到直线 的距离，
所以 的面积 ，
故选项D正确.
故选 .
14.［2025·湖北黄冈中学高二质检］已知抛物线 的
焦点为，点为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，若
为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.
[解析] 为等边三角形，则，由抛物线的定义得 垂
直于抛物线的准线，设，则点.
因为焦点，是等边三角形，所以
解得 因此抛物线方程为 .
15.设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点，沿 轴正方向
作射线轴，若的平分线所在直线的斜率为，则点
的坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，抛物线的焦点 ，
准线方程为，如图，设射线 所在直线与
准线交于点，则 ,
，根据题意得， ，
所以，则，所以，
又，连接 ，
所以四边形为平行四边形，则 ，
得，所以点的坐标为 .故选D.
16.（15分）［2025·江苏南通海安实验中学高二月考］ 已知抛物线
的焦点为，为抛物线上一点，连接 并延长，
交抛物线于点，抛物线的准线与轴的交点为， ,
.
（1）求抛物线的方程；
解：因为，所以 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）求 的面积.
解：将代入抛物线方程可得，又，所以 .
如图，因为，所以 ，
所以 ，
由可得 ，所以
，所以 .
因为，所以点到直线
的距离 ，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）× （4）×
2.解：这种说法正确.抛物线，的焦点到准线的距离都是2，离心
率都是1.
课中探究 例1 AC 变式 C
例2 （1）D （2）C 变式 D
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.B 4.A 5.D 6.BC 7. 8.
9.（1）（2）（3（4）
10.（1）抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程、
变量的取值范围分别为，，，，.
（2）
11.B 12.B 13.ABD 14. 15.D
16.（1）（2）3.3.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
【课前预习】
知识点
x= y=
1 2p
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.解:这种说法正确.抛物线x2=4y,y2=4x 的焦点到准线的距离都是2,离心率都是1.
【课中探究】
探究点一
例1 AC [解析] 由x2=y可化为x2=8y,可知抛物线的开口向上,对称轴为y轴,焦点坐标为(0,2),焦点到准线的距离为4,准线方程为y=-2.故选AC.
变式 C [解析] 抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(-1,0),故A错误;抛物线C:y2=-4x的准线方程为x=1,故B错误;抛物线E:y2=2px(p>0)关于 x 轴对称,不关于y轴对称,故C正确,D错误.故选C.
探究点二
例2 (1)D (2)C [解析] (1)将y=ax2转化为x2=y,当a>0时,抛物线开口向上,准线方程为y=-,点M(5,3)到准线的距离为3+=6,解得a=,所以抛物线方程为y=x2,即x2=12y;当a<0时,抛物线开口向下,准线方程为y=-,点M(5,3)到准线的距离为=6,解得a=-或a=(舍去),所以抛物线方程为y=-x2,即x2=-36y.所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-36y.故选D.
(2)∵OA=OB,∴A,B两点关于y轴对称,设A,则B,∴S△AOB=×2a×=12,解得a=2,∴B(2,6),设∠BOF=θ,∴tan θ==,∴θ=30°,∴∠AOB=2θ=60°.故选C.
变式 D [解析] 如图,因为PF=PA,所以∠PAF=∠PFA=,设准线l与x轴交于点Q,因为PA∥QF,所以∠AFQ=∠PAF=.因为QF=p=1,所以AF=2,所以在等边三角形PAF中,PF=2.3.3.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
1.A [解析] 抛物线y=2x2,即x2=y,可知抛物线开口向上,焦点坐标为.故选A.
2.A [解析] 抛物线的开口最小说明其标准方程中一次项的系数的绝对值最小,观察四个选项发现,A选项中一次项的系数的绝对值最小,故选A.
3.B [解析] 根据题意设抛物线的方程为y2=mx(m≠0),因为点(-5,2)在抛物线上,所以20=-5m,解得m=-4,所以抛物线的方程是y2=-4x,故选B.
4.A [解析] 由题知,抛物线方程为x2=4y,所以抛物线焦点为(0,1),所以直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.由得x2-4x-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,所以AB=x1+1+x2+1+2=8.故选A.
5.D [解析] 由a>b>0,得方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,由ax+by2=0,a>b>0,得y2=-x,-<0,所以y2=-x表示焦点在x轴上且开口向左的抛物线.故选D.
6.BC [解析] ∵抛物线方程为y2=6x,∴焦点F 的坐标为,准线方程为x=-,A错误,B正确.∵直线AF 的斜率为-,∴直线AF 的方程为y=-,当x=- 时,y=3,∴A,∵PA⊥l,A 为垂足,∴点P 的纵坐标为3,可得点P 的坐标为,C正确.根据抛物线的定义可知PF=PA=-=6,D错误.故选BC.
7. [解析] ∵点A(1,)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,∴5=2p,得p=,∴抛物线的准线方程是x=-,∴A到C的准线的距离为+1=.
8. [解析] 依题意作图,如图,设A(x1,y1),因为F(1,0),所以AF=OF+3=4=x1+1,可得x1=3,由=4×3=12,解得y1=±2,所以A(3,2)或A(3,-2),所以S△AOF=·OF·|y1|=×1×2=.
9.解:(1)由题可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
∵抛物线过点M(5,-4),∴16=10p,即p=,
则抛物线的标准方程为y2=x.
(2)∵抛物线关于y轴对称,且准线过点E(5,-5),∴抛物线的焦点在y轴正半轴上,设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),由题知,抛物线的准线方程为y=-5,
∴=5,得p=10,则抛物线的标准方程为x2=20y.
(3)∵抛物线的准线在y轴右侧,∴可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),∵抛物线顶点到准线的距离是4,∴=4,得p=8,∴抛物线的标准方程为y2=-16x.
(4)抛物线的焦点F在y轴负半轴,∴可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),∵抛物线经过横坐标为16的点P,
∴令x=16,得162=-2py,∴y=-=-,则P,
又准线平行于FP,∴-=-,
∴p=16,∴抛物线的标准方程为x2=-32y.
10.解:(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程、变量x的取值范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,y=0,x≥0.
(2)由OA=OB可知AB⊥x轴,设垂足为点M,因为焦点F是△OAB的重心,所以OF=OM.
因为F(2,0),所以OM=OF=3,
所以M(3,0).
不妨设A(3,m)(m>0),将点A坐标代入y2=8x得m2=24,所以m=2或m=-2,所以A(3,2),B(3,-2),则OA=OB=,
所以△OAB的周长为2+4.
11.B [解析] 抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,将点P的横坐标x=8代入抛物线方程得y2=16p,可得y=±4,不妨令P(8,4),则S△OFP=××4=p=2,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
12.B [解析] 由题意得,点M的坐标为,又抛物线的准线方程为x=-,所以K,则KF=p,所以在直角三角形MFK中,MF=KF=p,所以∠MKF=45°,故选B.
13.ABD [解析] 记抛物线焦点为F,线段MN的中点为A,如图,过M,N,A分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为P,Q,T,则MP+NQ=MF+NF=MN=20,所以AT=(MP+NQ)=10,又AT=8+,所以=2,即p=4,所以抛物线方程为y2=-8x,抛物线的焦点坐标为(-2,0),易知离心率e=1,故选项A,B正确;显然直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x+2)(k≠0),与抛物线方程y2=-8x联立,消去y得k2x2+(4k2+8)x+4k2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,而MN=-x1-x2+p=-x1-x2+4=20,则x1+x2=-16,所以-=-16,即k2=,解得k=±,故选项C不正确;由直线l的方程为y=±(x+2),可得坐标原点O到直线l的距离d==,所以△MON的面积S=MN×d=×20×=4,故选项D正确.故选ABD.
14.x2=4y [解析] △FPM为等边三角形,则PM=PF,由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线,设P,则点M.因为焦点F,△FPM是等边三角形,所以解得
因此抛物线方程为x2=4y.
15.D [解析] 根据题意,抛物线y2=2x的焦点F,准线方程为x=-,如图,设射线PQ所在直线与准线交于点A,则P,由抛物线定义得PA=PF,根据题意得∠QPR=∠FPR,∠QPR=∠PRF,所以∠FPR=∠PRF,则FR=PF,所以PA=RF,又PA∥FR,连接AF,所以四边形APRF为平行四边形,则kPR=kAF=-2=,得a=2,所以点P的坐标为(2,2).故选D.
16.解:(1)因为AF=xA+=+==,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)将代入抛物线方程可得m2=,又m>0,所以m=.
如图,因为F(1,0),所以kAF==-2,
所以AF:y=-2(x-1),
由可得6x2-13x+6=0,所以xA+xB=,所以AB=xA++xB+=xA+xB+2=.
因为K(-1,0),所以点K到直线AF:2x+y-2=0的距离d==,所以S△ABK=·AB·d=××=.3.3.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
【学习目标】
能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质及其代数表达.
◆ 知识点 抛物线的几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标
准线方程 x=- y=-
顶点 O(0,0)
离心率 e=
通径长
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线关于原点对称. ( )
(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )
(3) P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则PF=x1+p. ( )
(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0). ( )
2.“抛物线x2=4y,y2=4x 的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同”这种说法是否正确
◆ 探究点一 抛物线的几何性质
例1 (多选题)[2025·江苏南京一中高二月考] 对于抛物线x2=y,下列描述正确的是 ( )
A.开口向上,对称轴为y轴
B. 开口向上,焦点为
C.焦点到准线的距离为4
D. 准线方程为y=-4
变式 [2025·安徽黄山一中高二质检] 下列说法中正确的是 ( )
A.抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(1,0)
B.抛物线C:y2=-4x的准线方程为x=-1
C.抛物线E:y2=2px(p>0)关于x轴对称
D.抛物线E:y2=2px(p>0)关于 y 轴对称
[素养小结]
运用抛物线的几何性质时要把握三个要点:
(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).
(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.
◆ 探究点二 抛物线的几何性质的应用
例2 (1)[2025·湖南湘潭一中高二质检] 点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是 ( )
A.x2=y或x2=-36y
B.x2=y或x2=-y
C.x2=12y或x2=-y
D.x2=12y或x2=-36y
(2)[2025·江苏通州中学高二调研] A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点.若OA=OB,且△AOB的面积为12,则∠AOB= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
变式 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作准线l的垂线,垂足为A,若∠FPA=,则PF= ( )
A.1 B. C. D.2
[素养小结]
应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的优越性.3.3.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
1.下列关于抛物线y=2x2的描述中正确的是( )
A.开口向上,焦点坐标为
B.开口向右,焦点坐标为
C.开口向上,焦点坐标为
D.开口向右,焦点坐标为
2.下列方程表示的抛物线中,开口最小的是 ( )
A.y2=x B.y2=x
C.y2=2x D.y2=4x
3.[2025·江苏无锡一中高二月考] 抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(-5,2)在抛物线上,则抛物线的方程为 ( )
A.y2=-2x B.y2=-4x
C.y2=2x D.y2=4x
4.[2025·广东广州高二期末] 斜率为1的直线经过抛物线y=x2的焦点,且与抛物线交于A,B两点,则线段AB的长为 ( )
A.8 B. C. D.4
5.[2025·山东莱芜一中高二质检] 在同一坐标系中,方程+=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致是 ( )
A B C D
6.(多选题)[2025·广东深圳中学高二调研] 如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y2=6x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.若直线AF 的斜率k=-,则 ( )
A.准线方程为x=-3
B.焦点F 的坐标为
C.点P 的坐标为
D.PF 的长为3
7.已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则A到C的准线的距离为 .
8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A是C上一点,O为坐标原点,若AF=OF+3,则△AOF的面积为 .
9.(13分)求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)关于x轴对称,并且经过点M(5,-4);
(2)关于y轴对称,准线经过点E(5,-5);
(3)准线在y轴的右侧,顶点到准线的距离是4;
(4)焦点F在y轴负半轴上,经过横坐标为16的点P,且准线平行于FP.
10.(15分)已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程、变量x的取值范围;
(2)设O为坐标原点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,OA=OB,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
11.[2025·山东聊城一中高二月考] 已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.x=- B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4
12.[2025·江苏宿迁中学高二质检] 已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若MF=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF= ( )
A.60° B.45° C.30° D.15°
13.已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点.若线段MN的长是20,线段MN中点到y轴的距离是8,O为坐标原点,则 ( )
A.抛物线C的焦点坐标是(-2,0)
B.抛物线C的离心率e=1
C.直线l的斜率为
D.△MON的面积为4
14.[2025·湖北黄冈中学高二质检] 已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,若△FPM为边长是4的等边三角形,则此抛物线的方程为 .
15.设点F是抛物线y2=2x的焦点,过抛物线上一点P,沿x轴正方向作射线PQ∥x轴,若∠FPQ的平分线PR所在直线的斜率为-2,则点P的坐标为 ( )
A. B.
C.(2,-2) D.(2,2)
16.(15分)[2025·江苏南通海安实验中学高二月考] 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线上一点,连接AF并延长,交抛物线于点B,抛物线的准线与x轴的交点为K,A(m>0),AF=.
(1)求抛物线的方程;
(2)求△ABK的面积.
