第2课时 直线与抛物线的综合应用
【课前预习】
知识点一
(1)相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点
(2)一个 平行或重合
知识点二
(1)·=·
(2)x1+x2+p -p2 (3)2p (4)
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.解:不是.当直线与抛物线只有一个交点时,直线与抛物线相切或相交(直线与抛物线的对称轴平行或重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点.因此“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要且不充分条件.
【课中探究】
探究点一
例1 AC [解析] 由直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,可得=1,所以p=2,所以A正确;抛物线方程为y2=4x,将直线y=-(x-1)的方程代入抛物线方程可得3x2-10x+3=0,可得xM+xN=,所以MN=xM+xN+p=,所以B不正确;MN的中点的横坐标为,则MN的中点到抛物线的准线的距离为1+=,所以以MN为直径的圆与l相切,所以C正确;不妨设N在第一象限,则由对B的分析可得xM=3,xN=,yM=-2,yN=,所以OM==,ON==,又MN=,所以△OMN不是等腰三角形,所以D不正确.故选AC.
变式 [解析] 如图所示,不妨设点P在第一象限,由解得
则点P(1,),易知PH⊥y轴,则PH∥x轴,则∠xFP=∠HPF=60°,所以直线PF的倾斜角为60°,易知点F,所以kPF==,整理可得2=(2-p),且2-p>0,故0
例2 解:(1)设直线l的方程为x=my+n,联立x=my+n与y2=x,
可得y2-my-n=0,需满足Δ=m2+4n>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=m,y1y2=-n,
由题知y1y2<0,∴n>0.
由·=6可得x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=n2-n=6,
解得n=3或n=-2(舍去),
则直线x=my+3过x轴正半轴上一点(3,0),即点M的坐标为(3,0).
(2)由题意知F,结合(1)知y1y2=-3,
不妨设y1>0,∴y2=-<0,
则S△OAB=OM·|y1-y2|=(y1-y2)=,
由于C,F关于直线OB对称,故S△OBC=S△OBF=OF·|y2|=,
故S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=y1+=≥×2=,当且仅当4y1=,即y1=时,等号成立,
故四边形OABC面积的最小值为.
变式 C [解析] 由题意可知,直线l不可能与x轴平行,设直线l的方程为x=my+n(n≠0),由消去x得y2-4my-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2×(-4n)+mn×4m+n2=n2,因为·=0,所以x1x2+y1y2=n2-4n=0,解得n=4或n=0(舍),则AB==
=
=
4=4≥8,当且仅当m2=0,即m=0时,AB取得最小值8,所以AB的最小值为8,故选C.
探究点二
例3 D [解析] 抛物线C的焦点为F(2,0),p=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,2),∴=2,=8x1,=8x2,∴-=8x1-8x2,即(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),则y1-y2=2(x1-x2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则k==2,故l:y=2(x-2),∴x0=3,∴AB=x1+x2+p=2x0+p=6+4=10.故选D.
变式 C [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=4x1,=4x2,所以-=4x1-4x2,由于线段AB的中点坐标为(3,2),所以由抛物线对称性可知直线l的斜率存在,即x1≠x2,且y1+y2=2×2=4,则=4,即==1,所以直线l的斜率为1.故选C.
探究点三
例4 解:由题可知抛物线的焦点为F(1,0),显然直线l的斜率不为0,
设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去x整理得y2-4my-4=0,
所以Δ=16m2+16>0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1.
因为B(-1,2),所以=(x1+1,y1-2),=(x2+1,y2-2).
因为∠MBN=90°,所以·=(x1+1)(x2+1)+(y1-2)(y2-2)=0,
即x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0,
即1+4m2+2+1-4-8m+4=0,解得m=1,
所以直线l的方程为x=y+1,
即x-y-1=0.
变式 解:(1)因为点A(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上,
所以42=4p,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x,焦点F的坐标为(2,0).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得x2+(2m-8)x+m2=0,所以Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m<2,
所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2.
如图,因为OP⊥OQ,所以·=0,
则x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
所以2m2+m(8-2m)+m2=0,即m2+8m=0,解得m=0或m=-8,
又当m=0时,直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合,不符合题意,故舍去,所以实数m的值为-8.第2课时 直线与抛物线的综合应用
1.C [解析] 因为点A在C上,所以过点A且与C相切的直线只有1条,该切线满足题意.过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点,所以满足题意的直线有2条.故选C.
2.A [解析] 方法一:设抛物线上一点的坐标为(x,4x2),其中x∈R,则该点到直线y=4x-5的距离d==,所以当x=时,d取得最小值,此时该点的坐标为.
方法二:设与直线y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线的方程为y=4x+m,由得4x2-4x-m=0,则Δ=16-4×4×(-m)=0,得m=-1.易知切点为,故所求点的坐标为.
3.D [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则FA+FB=x1+x2+6.由
得x2-7x+4=0,∴x1+x2=7,∴FA+FB=13,故选D.
4.D [解析] 抛物线x2=4y的焦点F(0,1),则直线l的方程为y=x+1,由得3y2-10y+3=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,所以AB=y1+y2+2=.故选D.
5.C [解析] 由题意知M,N两点到准线x=-2的距离之和等于9,由抛物线定义得MN=9,而在抛物线y2=8x的焦点弦中,最短弦长为2p=8,所以根据抛物线的对称性知,长为9的焦点弦有且仅有两条,即所求直线有且仅有两条.故选C.
6.AC [解析] 由可得
或所以直线y=2x与抛物线C的交点坐标为(0,0)和(4p,8p),所以=4,解得p=1(负值舍去),故抛物线C的方程为x2=2y,焦点坐标为,准线方程为y=-,故A,C正确,B,D错误.故选AC.
7.y+1=0 [解析] 由消去y得x2-2px+2p=0,则Δ=(-2p)2-4×2p=0,可得p=2,则抛物线方程为x2=4y,所以抛物线的准线方程为y=-1,即y+1=0.
8.2x-y-3=0 [解析] 当x=2时,|y|=2>1,则P在抛物线内,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,易知x1≠x2,由两式相减得-=4x1-4x2,∴===2,即kAB=2,∴弦AB所在直线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
9.解:(1)由题意知,直线l的方程为y=x-3,由得x2-9x+9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=9,x1x2=9,所以AB=·=×=3.
(2)证明:设l的方程为x=3+my,由消去x得y2-3my-9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1y2=-9,所以x1x2=·=9,所以·=x1x2+y1y2=0,所以⊥,即OA⊥OB.
10.解:(1)由题知,xA=2,由抛物线的定义知,AF=xA+=2+=3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),由题知直线MN的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由题易知k≠0,∴x1+x2=,x1x2=1,∴MN=|x1-x2|=
=
=,
又∵原点O到直线MN的距离d=,∴S△MON=MN·d=××==,解得k=±2,
∴直线MN的方程为y=2x-2或y=-2x+2.
11.A [解析] 由题意得,抛物线的焦点为F(1,0),显然l1,l2斜率均存在且不为0,如图,设直线l1的方程为x=ty+1(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4ty-4=0,则y1+y2=4t,即AB=x1+x2+2=(ty1+1)+(ty2+1)+2=4t2+4.∵l1⊥l2,∴直线l2的方程为x=-y+1,设D(x3,y3),E(x4,y4),则y3+y4=-,即DE=x3+x4+2=+4,∴四边形ADBE的面积S=AB·DE=(4+4t2)=8≥8=32,当且仅当t2=,即t=±1时等号成立,∴Smin=32.故选A.
12.BD [解析] 由题易知θ≠,因为焦点F,所以设AB:x=my+(m≠0),令A(x1,y1),B(x2,y2),由消x可得y2-2pmy-p2=0,则Δ=(-2pm)2+4p2=4p2m2+4p2>0,y1+y2=2pm,y1·y2=-p2,因为=3,所以y1=-3y2,所以y2=-pm,y1=3pm,所以y1·y2=-3p2m2=-p2,解得m2=,所以l的斜率为tan θ==±,则θ=或θ=.故选BD.
13.ACD [解析] 由题意得p=4,则C的准线为x=-2,故A正确;F(2,0),C:y2=8x,设l:x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2),由可得y2-8my-16=0,所以y1+y2=8m,y1y2=-16,所以x1x2=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4,则·=x1x2+y1y2=4-16=-12<0,所以∠MON>,故B错误;MN==8(m2+1)≥8,当且仅当m=0时,MN取得最小值8,故C正确;因为x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4,x1x2=4,所以+=+=+==,所以MF·NF=2(MF+NF),故D正确.故选ACD.
14. [解析] 设直线AB:y=kx+b(b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2pkx-2pb=0,则x1x2=-2pb,y1y2=·=b2,∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,则b(-2p+b)=0,∴b=2p,∴AB过定点C(0,2p),又D(2,4),∴=(2,4-2p),=(2,4),∵OD⊥AB,∴·=0,即4+4(4-2p)=0,解得p=.
15.AB [解析] 由题意知,抛物线C的焦点F,A(x1,2),如图,将(x1,2)代入y2=2x,得x1=2,所以A(2,2),则直线AB的斜率k==,则直线AB的方程为y-0=,即y=x-,由得8x2-17x+2=0,解得x1=2,x2=,所以x1x2=2×=,所以A正确;AB=x1+x2+1=2++1=,所以C错误;对于B,将x2=代入y2=x2-,得y2=-,则B,易知直线BQ∥x轴,则直线BQ的方程为y=-,又A(2,2),所以直线AO的方程为y=x,令x=-,得y=-,即D,则D在直线BQ上,所以D,B,Q三点共线,所以B选项正确;设直线PB的倾斜角为θ,斜率为k0,直线AB的倾斜角为α,若PB平分∠ABQ,即∠ABQ=
2∠PBQ,即α=2θ,所以kAB=tan α=tan 2θ=,则=,且k0>0,解得k0=,由k0==,解得m=,所以D错误.故选AB.
16.证明:(1)由得y2-2y1y+2x1=0,
因为A(x1,y1)在C上,所以=2x1,
所以Δ=(-2y1)2-4×2x1=4-8x1=0,
因此直线y1y=x1+x与C相切.
(2)设P(x0,y0),由(1)知,切线PA的方程为y1y=x1+x,切线PB的方程为y2y=x2+x,
由题知y1≠0,y2≠0且y1≠y2,
由得x=x0=,
又因为x1=,x2=,所以x0=.
因为·=-1,所以x1x2+y1y2=·+y1y2=-1,解得y1y2=-2,所以x0=-1,
故点P在定直线x=-1上.第2课时 直线与抛物线的综合应用
【学习目标】
1.由直线与抛物线的方程,利用代数方法解决与直线和抛物线位置关系有关的问题.
2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
◆ 知识点一 直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,则有
判别式 位置关系 交点情况
Δ>0 直线与抛物线
Δ=0 直线与抛物线
Δ<0 直线与抛物线
(2)若k=0,则直线与抛物线有 交点,此时直线与抛物线的对称轴 .
◆ 知识点二 弦长公式
设直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)若直线l的斜率为k,且k≠0,则AB= .
(2)若直线l过抛物线的焦点F,则AB= ,x1x2= ,y1y2= .
(3)若直线l过抛物线的焦点F且垂直于x轴,则AB= .
(4)若直线l过抛物线的焦点F且直线l的倾斜角为α,则AB= .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切. ( )
(2)抛物线y2=2px(p>0)过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. ( )
(3)直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为相交. ( )
(4)已知抛物线y2=16x与直线y=kx+1有且仅有一个交点,则k=4. ( )
2.“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充要条件吗
◆ 探究点一 直线与抛物线相交问题
角度1 焦点弦问题
例1 (多选题)[2025·江苏常州中学高二质检] 设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=2
B.MN=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
变式 [2025·江苏淮阴中学高二月考] 已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于P,Q两点,过P作C的准线的垂线,垂足为H.若∠HPF=60°,点P的横坐标为1,则p= .
[素养小结]
看到准线想到焦点,看到焦点想到准线,许多抛物线焦点弦问题均可根据焦半径获得简捷、直观的求解.
角度2 不过焦点的弦问题
例2 已知抛物线E:y2=x的焦点为F,过x轴正半轴上一点M的直线l与抛物线E交于A,B两点,O为坐标原点,且·=6.
(1)求点M的坐标;
(2)设点F关于直线OB的对称点为C,求四边形OABC面积的最小值.
变式 [2025·江苏镇江中学高二质检] 已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,O为坐标原点,且A,B两点与O不重合,若·=0,则AB的最小值为 ( )
A.4 B.4
C.8 D.16
[素养小结]
有关直线与抛物线相交所得弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式;若不过焦点,则用一般的弦长公式,弦长AB= ==|x1-x2|==(其中A(x1,y1),B(x2,y2),k为弦AB所在直线的斜率).
◆ 探究点二 中点弦问题
例3 已知点F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F的直线l与C交于A,B两点.若AB中点的纵坐标为2,则AB= ( )
A.6 B.7
C.9 D.10
变式 [2025·湖北黄冈中学高二月考] 抛物线G:y2=4x,直线l交该抛物线于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(3,2),则直线l的斜率为( )
A. B.
C.1 D.2
[素养小结]
中点弦问题解题方法
◆ 探究点三 抛物线的综合问题
例4 [2025·湖南长郡中学高二月考] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线l与抛物线C交于M,N两点,若点B(-1,2)满足∠MBN=90°,求直线l的方程.
变式 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,4)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的方程与焦点坐标;
(2)不过原点O的直线l:y=x+m与抛物线交于两点P,Q,若OP⊥OQ,求m的值.
[素养小结]
与抛物线有关的综合问题,体现在最值、定点和定值方面,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这些问题的关键是代换和转化.(共81张PPT)
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的几何性质
第2课时 直线与抛物线的综合应用
探究点一 直线与抛物线相交问题
探究点二 中点弦问题
探究点三 抛物线的综合问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.由直线与抛物线的方程,利用代数方法解决与直线和抛物线位置关
系有关的问题.
2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
知识点一 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方
程联立,整理成关于的方程 .
（1）若 ,则有
判别式 位置关系 交点情况
直线与抛物线______ __________
直线与抛物线______ __________
直线与抛物线______ __________
相交
两个交点
相切
一个交点
相离
没有交点
（2）若 ,则直线与抛物线有______交点,此时直线与抛物线的对
称轴____________.
一个
平行或重合
知识点二 弦长公式
设直线与抛物线交于, 两点.
（1）若直线的斜率为，且,则
_ __________________________________________________________.
（2）若直线过抛物线的焦点,则___________, _ __,
_____.
（3）若直线过抛物线的焦点且垂直于轴,则 ____.
（4）若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ,则 _ ____.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( )
×
（2）抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是 .
( )
√
（3）直线与抛物线 的位置关系为相交.( )
√
（4）已知抛物线与直线 有且仅有一个交点，则
.( )
×
2.“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充要条件吗
解：不是.当直线与抛物线只有一个交点时,直线与抛物线相切或相交
（直线与抛物线的对称轴平行或重合）;当直线与抛物线相切时,直线
与抛物线只有一个交点.因此“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与
抛物线相切”的必要且不充分条件.
探究点一 直线与抛物线相交问题
角度1 焦点弦问题
例1 （多选题）［2025·江苏常州中学高二质检］ 设 为坐标原点，
直线过抛物线的焦点，且与 交
于，两点，为 的准线，则( )
A. B.
C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
√
√
[解析] 由直线过抛物线 的焦点，
可得，所以，所以A正确；
抛物线方程为 ，将直线的方程代入抛物线方
程可得 ，可得，
所以 ，所以B不正确；
的中点的横坐标为，则 的中点到抛物线的准线的距离为
，所以以为直径的圆与相切，所以C正确；
，所以， ，又
，所以不是等腰三角形，所以D不正确.
故选 .
变式 ［2025·江苏淮阴中学高二月考］ 已知过抛物线
的焦点的直线与抛物线交于，两点，过 作
的准线的垂线，垂足为.若 ，点 的横坐标为1，则
__.
，所以直线的倾斜角为 ，
易知点，所以 ，整理可得
，且，故 .
等式两边平方可得 ，
即，解得或 （舍去）.
［素养小结］
看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，许多抛物线焦点弦问题均
可根据焦半径获得简捷、直观的求解.
角度2 不过焦点的弦问题
例2 已知抛物线的焦点为，过轴正半轴上一点 的直线
与抛物线交于,两点，为坐标原点，且 .
（1）求点 的坐标；
解：设直线的方程为，联立与 ，
可得，需满足，设 ,
，
则, ，
由题知, .
由可得 ，
解得或 （舍去），
则直线过轴正半轴上一点，即点的坐标为 .
（2）设点关于直线的对称点为，求四边形 面积的最小值.
解：由题意知，结合（1）知 ，
不妨设, ，
则 ，
由于,关于直线对称，故 ，
故，当且仅当，即 时，等号成立，
故四边形面积的最小值为 .
变式 ［2025·江苏镇江中学高二质检］ 已知直线 与抛物线
相交于,两点，为坐标原点，且,两点与 不重合，
若，则 的最小值为( )
A.4 B. C.8 D.16
[解析] 由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线 的方程为
，由消去得 ，
设,，则, ，所以
，
因为，所以，
解得 或 （舍），
√
则 ，
当且仅当，即时，取得最小值8,所以 的最小值为
8,故选C.
［素养小结］
有关直线与抛物线相交所得弦长问题，要注意直线是否过抛物线的
焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式；若不过焦点，则
用一般的弦长公式，弦长
<
其中,,为弦所在直线的斜率.
探究点二 中点弦问题
例3 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于，
两点.若中点的纵坐标为2，则 ( )
A.6 B.7 C.9 D.10
[解析] 抛物线的焦点为，，设,, 的
中点为，,, ，
，即 ，则
，
√
由题意可知直线的斜率存在，设直线 的斜率为，
则，故， ，
.故选D.
变式 ［2025·湖北黄冈中学高二月考］ 抛物线，直线 交
该抛物线于,两点.若线段的中点坐标为，则直线 的斜率为
( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析]设,，则, ，
所以，
由于线段的中点坐标为 ，
所以由抛物线对称性可知直线的斜率存在，即，
且 ，
则，即，所以直线 的斜率为1.故选C.
［素养小结］
中点弦问题解题方法
探究点三 抛物线的综合问题
例4 ［2025·湖南长郡中学高二月考］已知抛物线 的焦点
为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点 满足
，求直线 的方程.
解：由题可知抛物线的焦点为，显然直线 的斜率不为0，
设直线的方程为，， ，
由消去整理得 ，
所以，则， ，
所以 ，
.
因为，所以 ，
.因为 ，所以 ，即 ，即，解得 ，
所以直线的方程为 ，即 .
变式 已知抛物线的焦点为，点 为抛物线上
一点.
（1）求抛物线的方程与焦点坐标；
解：因为点在抛物线 上，
所以，解得，所以抛物线方程为，焦点 的坐
标为 .
（2）不过原点的直线与抛物线交于两点， ，若
，求 的值.
解：设, ，
由得 ，所以
，所以 ，
所以, .
如图，因为，所以 ，
则 ，
所以，即，解得 或
，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点 重合，不符
合题意，故舍去，所以实数的值为 .
［素养小结］
与抛物线有关的综合问题，体现在最值、定点和定值方面，解决这
类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决
这些问题的关键是代换和转化.
1.直线与抛物线公共点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得
到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数
为0的情况.
2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是
不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、
弦所在直线的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转
化为关于或 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避
免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
3.直线与抛物线相交所得弦的长
弦长公式:,其中和 分别是直线方程 与
抛物线方程联立后得到的方程 中的二次项系
数和判别式.
当代入消元消掉的是时,得到 ,此时弦长公式相应地
变为 .
1.直线与抛物线交点个数的判断方法
例1 已知直线,抛物线,当为何值时,直线 与
抛物线 满足下列条件？
①有一个公共点;
②有两个公共点;
③没有公共点.
解：由
消去,整理得 .
当时,方程（*）只有一个解,为,此时,直线 与抛物线
有一个公共点 .
当时,方程（*）为一元二次方程, .
当,即且时,直线与抛物线 有两个公共点;
当,即时,直线与抛物线 有一个公共点;
当,即时,直线与抛物线 没有公共点.
综上所述,①当或时,直线与抛物线 有一个公共点;②当
且时,直线与抛物线有两个公共点;③当时,直线 与
抛物线 没有公共点.
2.应用抛物线性质解题的常用技巧
（1）抛物线的中点弦问题用点差法比较简便.
（2）轴对称问题,一是抓住以两对称点为端点的连线的中点在对称轴
上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴的斜率的关系.
（3）在直线和抛物线的综合题中,对于设直线和设点体现得比较明显.
（4）圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一个参数来表示要研究问
题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值
法找定点、定值.
例2 已知动点到点的距离与点到直线 的距离相等.
（1）求点的轨迹 的方程；
解：设点，根据题意有 ，
上式两边同时平方得，化简得 ，
点的轨迹的方程为 .
（2）设点，为点的轨迹上不同的两点，若线段 的中垂线
方程为，求线段 的长.
解：设，，线段 的中点为
，如图，
线段的中垂线方程为 ，
由点，在抛物线上，可知
两式相减得 ，
直线的斜率 .
又，故 ，
，故 ，
直线的方程为，即 .
由消去整理得 ，
易知，, ，
,
即线段的长为 .
例3 已知抛物线的焦点为，点在上，且
的最小值为1.
（1）求 的方程.
解：设，则,，又 ,所以
，当且仅当
时取等号，
则的最小值为，所以，得，所以的方程为 .
（2）过点的直线与相交于，两点，过点 的直
线与相交于，两点，且，不重合，判断直线 是否过定点？
若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
解：因为，不重合，所以直线，， 的斜率必然存在.
设，，，则直线 的斜率
，
直线的斜率 ，
可得， ，
由，可得 .
因为直线的斜率 ，
所以直线的方程为，即 ，即
,
故直线过定点 .
3.抛物线的切线
（1）过抛物线上的点 的切线方程是
.
（2）抛物线的斜率为 的切线方程是
.
例4 已知，是抛物线上的两点，是线段 的中点，
过点和分别作的切线，，两切线交于点 .
（1）证明： 轴；
证明：设，，则的中点为 ，
若，则，即点， 重合，不合乎题意，
所以 .
由题意可知，直线的方程为，直线 的方程为
，
联立直线，的方程得 可得
，
所以点，的纵坐标相等，故 轴.
（2）若点的坐标为，求 的面积.
注：抛物线在点 处的切线方程为
.
解：如图，
由（1）可知， ，可得
，
由，可得 .
由于 轴，则
，即 的面积为54.
练习册
1.过点且与抛物线 只有1个公共点的直线有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
[解析] 因为点在上，所以过点且与 相切的直线只有1条，该切
线满足题意.
过点且斜率为0的直线与 也只有1个公共点，
所以满足题意的直线有2条.故选C.
√
2.已知抛物线上一点到直线 的距离最短，则该点
的坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：设抛物线上一点的坐标为，其中 ，则
该点到直线的距离 ，所以当
时，取得最小值，此时该点的坐标为 .
√
方法二：设与直线平行的抛物线 的切线的方程为
，由得 ，则
，得.易知切点为 ，故所求
点的坐标为 .
3.若抛物线与直线交于，两点， 是抛物
线的焦点，则 ( )
A.2 B.9 C.5 D.13
[解析] 设，，则 .
由
得，， ，故选D.
√
4.［2024·北京大兴区期末］过抛物线的焦点作倾斜角为
的直线与抛物线交于,两点，则 ( )
A. B.4 C. D.
[解析] 抛物线的焦点，则直线的方程为 ，
由得，，
设 ，，则，所以 .
故选D.
√
5.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若 ，
两点到直线 的距离之和等于11，则这样的直线( )
A.不存在 B.有且仅有一条 C.有且仅有两条 D.有无穷多条
[解析] 由题意知，两点到准线 的距离之和等于9，由抛物
线定义得，而在抛物线 的焦点弦中，最短弦长为
，所以根据抛物线的对称性知，长为9的焦点弦有且仅有两条，
即所求直线有且仅有两条.故选C.
√
6.（多选题）［2024·安徽芜湖高二期末］ 已知抛物线
，且直线被抛物线所截得的弦长为 ，
则( )
A.抛物线的焦点坐标为 B.抛物线的准线方程为
C.抛物线的方程为 D.抛物线的方程为
√
√
[解析] 由可得 或
所以直线与抛物线的交点坐标为和 ，
所以，解得（负值舍去），
故抛物线 的方程为，焦点坐标为，准线方程为 ，
故A，C正确，B，D错误.
故选 .
7.［2025·江苏徐州一中高二月考］已知拋物线,
的一条切线方程为，则 的准线方程为__________.
[解析] 由消去得 ，则
，可得，则抛物线方程为 ，
所以抛物线的准线方程为，即 .
8.已知点，若抛物线的一条弦恰好是以 为中点，
则弦 所在直线的方程是______________.
[解析] 当时，，则在抛物线内，设 ,
，则，易知,
由 两式相减得，
，即，
弦 所在直线的方程为，即 .
9.（13分）［2024·江苏南通高二期中］ 在平面直角坐标系 中，
过点的直线与抛物线相交于点， .
（1）若直线的斜率为1，求 ;
解：由题意知，直线的方程为，由 得
，
设点， ，
则， ，所以
.
（2）求证： .
证明：设的方程为，由消去 得
，
设点， ，则，所以 ，
所以，所以，即 .
9.（13分）［2024·江苏南通高二期中］ 在平面直角坐标系 中，
过点的直线与抛物线相交于点， .
10.（13分）［2024·河南商丘高二期中］ 已知 是抛物线
的焦点，在上且位于第一象限，点在 轴
上，轴，， ．
（1）求 的方程；
解：由题知， ，由抛物线的定义知，
，，的方程为 ．
（2）过作斜率为的直线与交于，两点， 的面积为
为坐标原点，求直线 的方程．
解：由（1）知，设，，由题知直线 的
方程为，与 联立，整理得
，
由题易知，， ，
，
又 原点到直线的距离 ，
，解得
，
直线的方程为或 ．
11.［2025·湖南长沙一中高二质检］已知抛物线 的焦点为
，过点作两条互相垂直的直线，，且直线， 分别与抛物线
交于，和，，则四边形 面积的最小值是( )
A.32 B.64 C.128 D.256
√
[解析] 由题意得，抛物线的焦点为，显然 ，
斜率均存在且不为0，如图，设直线 的方程为
，， ，
由得，则 ，
即, 直线的方程为 ，
， 四边形的面积 ，
当且仅当，即 时等号成立，
.故选A.
12.（多选题）［2025·山东菏泽一中高二月考］ 过抛物线
的焦点的直线与交于,两点，若 ，
则的倾斜角 可以为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题易知,因为焦点 ，所以设
，令，，由
消可得 ,
√
√
,，
，
因为，所以，所以 , ,
所以，解得，
所以 的斜率为，则或.故选 .
13.（多选题）［2025·江苏江宁高级中学高二质检］ 已知 为坐标
原点，抛物线的焦点 到其准线的距离为4，过点
作直线交于， 两点，则( )
A.的准线为 B.的大小可能为
C.的最小值为8 D.
[解析] 由题意得，则的准线为，故A正确；
,,设,,,由
可得，所以, ，
√
√
√
，则
，所以 ，故B错误；
，
当且仅当时， 取得最小值8，故C正确；
因为, ,
所以 ，
所以，故D正确.
故选 .
14.［2025·江苏江阴中学高二调研］如图，已知
为原点，一条直线与抛物线 交于
，两点，且，,与 交于
点，点的坐标为，则 的值为__.
[解析] 设直线, , ,由
得 ,则 ,
,
， ,则,
,过定点 ，
又，， ，
，，即 ，
解得 .
15.（多选题）［2025·安徽安庆一中高二质检］ 抛物线有如下光学
性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射
后必过抛物线的焦点.已知抛物线， 为坐标原点，一束平
行于轴的光线从点射入，经过上的点 反射后,再经
过上另一点反射后，沿直线射出并经过点 ，则( )
A. B.延长交直线于点，则，， 三点共线
C. D.若平分，则
√
√
[解析] 由题意知，抛物线的焦点， ，
如图，将代入，得，所以 ，
则直线的斜率，则直线 的方程为 ，
即，
由 得，
解得， ，所以 ，所以A正确；
，所以C错误；
对于B，将代入，得 ，则
，易知直线轴，则直线 的方程为 ，
又，所以直线的方程为 ，令，得，
即，则在直线 上，所以，，三点共线，
所以B选项正确；
设直线 的倾斜角为，斜率为，
直线 的倾斜角为 ，若平分，
即 ，即 ，
所以 ，则，且，
解得，由 ，解得，所以D错误.
故选 .
16.（15分）已知抛物线，，是 上两个
不同的点.
（1）求证：直线与 相切；
证明：由得 ，
因为在上，所以 ，
所以 ，
因此直线与 相切.
（2）若为坐标原点，，在，处的切线交于点 ，
证明：点 在定直线上.
证明： 设，由（1）知，切线的方程为 ，切
线的方程为 ，由题知,且 ,
由得 ，
又因为，，所以 .
因为，所以 ，解得
，所以 ，
故点在定直线 上.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 （1）相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 （2）一个 平行或重合
知识点二 （1） （2） （3） （4）
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ （4）× 2. 不是
课中探究 例1 AC 变式 例2 （1）（2）
变式 C 例3 D 变式 C 例4 . .
变式 （1）抛物线方程为，焦点的坐标为
（2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.D 4.D 5.C 6.AC 7. 8.
9.（1）（2）略
10.（1）（2）或
11.A 12.BD 13.ACD 14. 15.AB
16.略第2课时 直线与抛物线的综合应用
1.过点A(1,1)且与抛物线C:y2=x只有1个公共点的直线有 ( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
2.已知抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ( )
A. B.(0,0)
C.(1,2) D.(1,4)
3.若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A,B两点,F是抛物线的焦点,则FA+FB=( )
A.2 B.9
C.5 D.13
4.[2024·北京大兴区期末] 过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于A,B两点,则AB= ( )
A. B.4
C. D.
5.过抛物线y2=8x的焦点的直线与抛物线相交于M,N两点,若M,N两点到直线x=-3的距离之和等于11,则这样的直线 ( )
A.不存在
B.有且仅有一条
C.有且仅有两条
D.有无穷多条
6.(多选题)[2024·安徽芜湖高二期末] 已知抛物线C:x2=2py(p>0),且直线y=2x被抛物线所截得的弦长为4,则 ( )
A.抛物线C的焦点坐标为
B.抛物线C的准线方程为y=-
C.抛物线C的方程为x2=2y
D.抛物线C的方程为x2=y
7.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知拋物线C:x2=2py(p>0),C的一条切线方程为x-y-1=0,则C的准线方程为 .
8.已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线的方程是 .
9.(13分)[2024·江苏南通高二期中] 在平面直角坐标系xOy中,过点T(3,0)的直线l与抛物线C:y2=3x相交于点A,B.
(1)若直线l的斜率为1,求AB;
(2)求证:OA⊥OB.
10.(13分)[2024·河南商丘高二期中] 已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,A在C上且位于第一象限,点B在y轴上,AB⊥y轴,AB=2,AF=3.
(1)求C的方程;
(2)过F作斜率为k的直线与C交于M,N两点,△MON的面积为(O为坐标原点),求直线MN的方程.
11.[2025·湖南长沙一中高二质检] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,且直线l1,l2分别与抛物线C交于A,B和D,E,则四边形ADBE面积的最小值是 ( )
A.32 B.64
C.128 D.256
12.(多选题)[2025·山东菏泽一中高二月考] 过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与E交于A,B两点,若=3,则l的倾斜角θ可以为 ( )
A. B.
C. D.
13.(多选题)[2025·江苏江宁高级中学高二质检] 已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,过点F作直线l交C于M,N两点,则 ( )
A.C的准线为x=-2
B.∠MON的大小可能为
C.MN的最小值为8
D.MF·NF=2(MF+NF)
14.[2025·江苏江阴中学高二调研] 如图,已知O为原点,一条直线与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB,OD与AB交于点D,点D的坐标为(2,4),则p的值为 .
15.(多选题)[2025·安徽安庆一中高二质检] 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y2=2x,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(m,2)射入,经过C上的点A(x1,y1)反射后,再经过C上另一点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出并经过点Q,则( )
A.x1x2=
B.延长AO交直线x=-于点D,则D,B,Q三点共线
C.AB=
D.若PB平分∠ABQ,则m=
16.(15分)已知抛物线C:y2=2x,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两个不同的点.
(1)求证:直线y1y=x1+x与C相切;
(2)若O为坐标原点,·=-1,C在A,B处的切线交于点P,证明:点P在定直线上.