2024-2025学年山东省泰安市肥城市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(答案不全)
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年山东省泰安市肥城市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(答案不全) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 178.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 11:53:23 | ||
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文档简介
2024-2025学年山东省泰安市肥城市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列多项式：①4x2+4x；②x2-2xy+4y2；③a2-ab+；④-a2+4b2中，能用公式法分解因式的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 七巧板
C. 斐波那契螺线 D. 谢尔宾斯基三角形
3.若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. m≥-4 B. m≥-4且m≠-3 C. m≥-3且m≠-2 D. m≥2
4.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置.若∠CAB'=25°，则B'C'与BC所在直线的夹角（锐角）的度数为（ ）
A. 25°
B. 40°
C. 65°
D. 70°
5.某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法不正确的是（ ）
A. 每月阅读课外书本数的众数是58
B. 每月阅读课外书本数的中位数是58
C. 从2到7月份阅读课外书的本数逐月下降
D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是50
6.如图，将菱形OACB绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点C′的坐标为（ ）
A. （2，4） B. （2，5） C. （5，2） D. （6，2）
7.中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点.从泰山站到北京站的距离是467千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省2小时30分钟.已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米/时，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.若凸多边形的每个外角均为30°，过该多边形一个顶点的所有对角线条数是（ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 36
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A. 2.5 B. 2.4 C. 3 D. 4
10.下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
11.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发沿A→D→C方向运动到点C停止，动点Q从点C出发沿C→A方向运动到点A停止，若点P，Q同时出发，点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s,设运动时间为x s,AP-CQ=y cm,y与x的函数关系图象如图2所示，则AC的长为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 14
12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S ABCD=AB AC；③OB=AB；④OE=BC．其中成立的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若a+b=-1，ab=-3，则a3b+2a2b2+ab3的值为 .
14.小明用计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+……+x10= ______.
15.若整式x3-ax-1有一项因式为x+1，那么a的值为 .
16.如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设.若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是 .
17.定义：|a,b|为分式（a≠0，a,b为实数）的“关联数”，若“关联数”|m,m-3|相对应的分式的值为0，则关于x的方程的解是 .
18.如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，已知△ABC的面积为1，按此规律，则△AnBnCn的面积是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
（1）分解因式：5ax2+20axy+20ay2；
（2）解方程：.
20.(本小题8分)
先化简，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
21.(本小题8分)
为了解八年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对八年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的大小为多少？
（2）【分析与估计】
平均数 众数 中位数
第1组 2.9 a 3
第2组 b 0 1
第3组 2.25 2 c
求上表中a,b,c值的大小；
（3）若该校八年级有600名学生，请你估计该校八年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有多少？
22.(本小题8分)
下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务.
10月30日星期一晴
今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度AB”进行了热烈讨论.
我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下.
小丽的方法：如（图1），在过点B且与AB垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接AD，在AB的延长线上确定一点C，使CD=AD，测出BC的长，则AB=BC.
小丽的理由：
∵CD=AD，DB⊥AC，
∴AB=BC.
小强的方法：如（图2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接AC，BC，在AC，BC，上分别取点D、E，使AD=CD，BE=CE，连接DE，测出DE的长，则AB=2DE.
小强的理由：
∵AD=CD，BE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
同时，小强根据课外学过的数学知识还知道这样的结论：
若AB∥DE
那么.
小亮的方法：如（图3），在BA的延长线上取一点C，在过点C且与AB垂直的直线a上确定一点D，使从点D可直接到达点B，在过点A且与AB垂直的直线b上确定一点E，使点B，E，D在同一条直线上，测出AC，AE，CD的长，即可求出AB的长.
我的方法：在过点A且与AB垂直的直线l上确定一点C，只需测得∠BCA的度数和CA的长度，就可求出池塘AB的宽度.
我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决.
任务：
（1）若按照小亮的方法（图3），测出AC=10m,AE=40m,CD=60m,请你结合小强的结论，求出池塘AB的宽度；
（2）小颖同学的方法如（图4），若测得∠BCA=30°，CA的长度为33米，求池塘AB的宽度.（结果精确到1米，参考数据：）
23.(本小题8分)
近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地的多25%，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.
24.(本小题8分)
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC=AE.
（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）求证：FH=ME.
25.(本小题8分)
一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=DE.作BM⊥AC于点M，作EN⊥DF于点N.如图1.
（1）求证：BM=EN；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转a后，延长BM交直线DF于点P.
①当a=30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°＜a＜60°时，写出线段MP，DP，DN的数量关系，并证明；
当60°＜a＜120°时，如图4所示，画出P点的位置，并直接写出线段MP，DP，DN的数量关系.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】-3
14.【答案】20
15.【答案】2
16.【答案】6
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】5a（x+2y）2；
20.【答案】解：原式=（-）÷
=÷
=
=，
∵x-1≠0且x-2≠0，
∴x≠1且x≠2，
∴x=3，
则原式==-5．
21.【答案】补全的条形统计图如下：
“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为36°；
a=4．b=1.1，c=2；
该校八年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有110人
22.【答案】20米；
19米
23.【答案】菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
本次购买最少花费2250元
24.【答案】证明：（1）∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，
∴△ADF≌△AGF，
∴AD=AG，∠AGF=∠ADF=90°，
∴∠AGE=∠ADC=90°，
在Rt△ADC和Rt△AGE中：
，
∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），
∴∠ACD=∠E，
在矩形ABCD中，对角线互相平分，
∴OA=OB，
∴∠CAB=∠ABD，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD=∠E，
∴DB∥FE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形．
（2）∵四边形DBEF是平行四边形，
∴DF=EB，
又∵DF=FG，
∴FG=EB，
∵DC∥AE，
∴∠HFG=∠E，
在△FGH和△EBM中：
，
∴△FGH≌△EBM（ASA），
∴FH=ME．
25.【答案】∵∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，
∴∠A=∠C=45°，
∴AB=BC，
∵BM⊥AC，
∴，
∵∠EDF=30°，EN⊥DF，
∴，
∵AC=DE，
∴BM=EN；
①∵∠D=30°，CN⊥DF，
∴∠CND=90°，∠DCN=90°-30°=60°，
∵α=∠ACD=30°，
∴∠ACN=90°
∵BM⊥AC，
∴∠PMC=∠BMC=90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM=EN，即BM=CN，BM=CM，
∴CM=CN
∴四边形PMCN是正方形；
②当30°＜α＜60°时，MP+DP=DN；
证明：如图4.1，当30°＜α＜60°时，连接CP，
由①可得：CM=CN，∠PMC=∠PNC=90°
在Rt△PMC和Rt△PNC中，
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL），
∴PM=PN，
∴MP+DP=PN+DP=DN；
当60°＜α＜120°时，点P的位置如图4.2即为所求；线段MP，DP，CD的数量关系为MP-DP=DN；
证明：由①可得：CM=CN，∠PMC=∠PNC=90°，
在Rt△PMC和Rt△PNC中，
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL），
∴PM=PN，
∴DN=PN-DP=MP-DP
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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列多项式：①4x2+4x；②x2-2xy+4y2；③a2-ab+；④-a2+4b2中，能用公式法分解因式的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 七巧板
C. 斐波那契螺线 D. 谢尔宾斯基三角形
3.若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. m≥-4 B. m≥-4且m≠-3 C. m≥-3且m≠-2 D. m≥2
4.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置.若∠CAB'=25°，则B'C'与BC所在直线的夹角（锐角）的度数为（ ）
A. 25°
B. 40°
C. 65°
D. 70°
5.某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法不正确的是（ ）
A. 每月阅读课外书本数的众数是58
B. 每月阅读课外书本数的中位数是58
C. 从2到7月份阅读课外书的本数逐月下降
D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是50
6.如图，将菱形OACB绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点C′的坐标为（ ）
A. （2，4） B. （2，5） C. （5，2） D. （6，2）
7.中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点.从泰山站到北京站的距离是467千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省2小时30分钟.已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米/时，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.若凸多边形的每个外角均为30°，过该多边形一个顶点的所有对角线条数是（ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 36
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A. 2.5 B. 2.4 C. 3 D. 4
10.下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
11.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发沿A→D→C方向运动到点C停止，动点Q从点C出发沿C→A方向运动到点A停止，若点P，Q同时出发，点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s,设运动时间为x s,AP-CQ=y cm,y与x的函数关系图象如图2所示，则AC的长为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 14
12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S ABCD=AB AC；③OB=AB；④OE=BC．其中成立的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若a+b=-1，ab=-3，则a3b+2a2b2+ab3的值为 .
14.小明用计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+……+x10= ______.
15.若整式x3-ax-1有一项因式为x+1，那么a的值为 .
16.如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设.若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是 .
17.定义：|a,b|为分式（a≠0，a,b为实数）的“关联数”，若“关联数”|m,m-3|相对应的分式的值为0，则关于x的方程的解是 .
18.如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，已知△ABC的面积为1，按此规律，则△AnBnCn的面积是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
（1）分解因式：5ax2+20axy+20ay2；
（2）解方程：.
20.(本小题8分)
先化简，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
21.(本小题8分)
为了解八年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对八年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的大小为多少？
（2）【分析与估计】
平均数 众数 中位数
第1组 2.9 a 3
第2组 b 0 1
第3组 2.25 2 c
求上表中a,b,c值的大小；
（3）若该校八年级有600名学生，请你估计该校八年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有多少？
22.(本小题8分)
下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务.
10月30日星期一晴
今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度AB”进行了热烈讨论.
我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下.
小丽的方法：如（图1），在过点B且与AB垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接AD，在AB的延长线上确定一点C，使CD=AD，测出BC的长，则AB=BC.
小丽的理由：
∵CD=AD，DB⊥AC，
∴AB=BC.
小强的方法：如（图2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接AC，BC，在AC，BC，上分别取点D、E，使AD=CD，BE=CE，连接DE，测出DE的长，则AB=2DE.
小强的理由：
∵AD=CD，BE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
同时，小强根据课外学过的数学知识还知道这样的结论：
若AB∥DE
那么.
小亮的方法：如（图3），在BA的延长线上取一点C，在过点C且与AB垂直的直线a上确定一点D，使从点D可直接到达点B，在过点A且与AB垂直的直线b上确定一点E，使点B，E，D在同一条直线上，测出AC，AE，CD的长，即可求出AB的长.
我的方法：在过点A且与AB垂直的直线l上确定一点C，只需测得∠BCA的度数和CA的长度，就可求出池塘AB的宽度.
我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决.
任务：
（1）若按照小亮的方法（图3），测出AC=10m,AE=40m,CD=60m,请你结合小强的结论，求出池塘AB的宽度；
（2）小颖同学的方法如（图4），若测得∠BCA=30°，CA的长度为33米，求池塘AB的宽度.（结果精确到1米，参考数据：）
23.(本小题8分)
近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地的多25%，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.
24.(本小题8分)
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC=AE.
（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）求证：FH=ME.
25.(本小题8分)
一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=DE.作BM⊥AC于点M，作EN⊥DF于点N.如图1.
（1）求证：BM=EN；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转a后，延长BM交直线DF于点P.
①当a=30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°＜a＜60°时，写出线段MP，DP，DN的数量关系，并证明；
当60°＜a＜120°时，如图4所示，画出P点的位置，并直接写出线段MP，DP，DN的数量关系.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】-3
14.【答案】20
15.【答案】2
16.【答案】6
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】5a（x+2y）2；
20.【答案】解：原式=（-）÷
=÷
=
=，
∵x-1≠0且x-2≠0，
∴x≠1且x≠2，
∴x=3，
则原式==-5．
21.【答案】补全的条形统计图如下：
“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为36°；
a=4．b=1.1，c=2；
该校八年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有110人
22.【答案】20米；
19米
23.【答案】菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
本次购买最少花费2250元
24.【答案】证明：（1）∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，
∴△ADF≌△AGF，
∴AD=AG，∠AGF=∠ADF=90°，
∴∠AGE=∠ADC=90°，
在Rt△ADC和Rt△AGE中：
，
∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），
∴∠ACD=∠E，
在矩形ABCD中，对角线互相平分，
∴OA=OB，
∴∠CAB=∠ABD，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD=∠E，
∴DB∥FE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形．
（2）∵四边形DBEF是平行四边形，
∴DF=EB，
又∵DF=FG，
∴FG=EB，
∵DC∥AE，
∴∠HFG=∠E，
在△FGH和△EBM中：
，
∴△FGH≌△EBM（ASA），
∴FH=ME．
25.【答案】∵∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，
∴∠A=∠C=45°，
∴AB=BC，
∵BM⊥AC，
∴，
∵∠EDF=30°，EN⊥DF，
∴，
∵AC=DE，
∴BM=EN；
①∵∠D=30°，CN⊥DF，
∴∠CND=90°，∠DCN=90°-30°=60°，
∵α=∠ACD=30°，
∴∠ACN=90°
∵BM⊥AC，
∴∠PMC=∠BMC=90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM=EN，即BM=CN，BM=CM，
∴CM=CN
∴四边形PMCN是正方形；
②当30°＜α＜60°时，MP+DP=DN；
证明：如图4.1，当30°＜α＜60°时，连接CP，
由①可得：CM=CN，∠PMC=∠PNC=90°
在Rt△PMC和Rt△PNC中，
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL），
∴PM=PN，
∴MP+DP=PN+DP=DN；
当60°＜α＜120°时，点P的位置如图4.2即为所求；线段MP，DP，CD的数量关系为MP-DP=DN；
证明：由①可得：CM=CN，∠PMC=∠PNC=90°，
在Rt△PMC和Rt△PNC中，
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL），
∴PM=PN，
∴DN=PN-DP=MP-DP
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