本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)A (2)D [解析] (1)设M(x,y),则P'(x,0),P(x,2y),因为P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+(2y)2=16(y>0),整理得点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A.
(2)由题意,|PF2|=2,∵焦点到任一条渐近线的距离为b,∴b=2.在△POF2(O为原点)中,由等面积法易得点P的坐标为,故===,化简可得(a-)2=0,故a=,∴双曲线的方程为-=1.
变式 (1)B (2)ACD (3)x2=-4y
[解析] (1)由题意得2a=10,解得a=5,因为离心率e==2,所以c=10,b==5,故双曲线方程为-=1.设A(m,n)(m>0,n>0),则B(m,-n),D(-m,n),连接AB,AD,因为AB=2n=30,所以n=15,则-=1,可得m=10,故AD=2m=20,即点A,D之间的距离为20 cm.故选B.
(2)因为α∈(0,π),所以cos α∈(-1,1).对于A,当cos α=0时,曲线C:x=±1为两条直线,故A正确;对于B,假设曲线C是圆,则cos α=1,矛盾,故曲线C不可能是圆,故B错误;对于C,当
cos α∈(0,1)时,曲线C方程可化为x2+=1,且>1,表示焦点在y轴上的椭圆,故C正确;对于D,当cos α∈(-1,0)时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,故D正确.故选ACD.
(3)根据题意,该抛物线开口向下,故设其方程为x2=-2py(p>0),因为抛物线上一点M(a,-4)(a>0)到焦点F的距离为5,所以M到准线y=的距离也为5,即+4=5,解得p=2,故抛物线方程为x2=-4y.
题型二
例2 (1)C (2)ABD (3)
[解析] (1)Q为PF2的中点,且F1Q⊥PF2,则PF1=F1F2=2c,由椭圆的定义得PF1+PF2=2a,则PF2=2a-2c,又Q为PF2的中点,所以PQ=a-c,因为F1Q=b,所以由勾股定理可得F1Q2+PQ2=P,即b2+(a-c)2=(2c)2,又b2+c2=a2,所以2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0,解得e=或e=-1(舍).故选C.
(2)点A(0,4)到准线l:x=-1的距离为1,圆A的半径为1,故l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,A(0,4),P(4,4),|PA|=4,则|PQ|==,选项B正确.当|PB|=2时,xP=1,得yP=±2,当点P的坐标为(1,2)时,B(-1,2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB;当点P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB,选项C不正确.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则满足|PA|=|PB|=|PF|的点P在线段AF的垂直平分线上,易知线段AF的垂直平分线的方程为y=x+,由得y2-16y+30=0,因为Δ=(-16)2-4×30=136>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,选项D正确.故选ABD.
(3)∵|AB|=10,∴|AF2|=5,又∵|AF1|=13,AF2⊥F1F2,∴|F1F2|==12,∴2c=12,∴c=6.∵2a=|AF1|-|AF2|=8,∴a=4,∴e==.
变式 (1)AB (2) [解析] (1)设AF1=BF2=2AF2=2m,则AB=AF2+BF2=3m,由双曲线的定义知,AF1-AF2=2m-m=2a,即m=2a,BF1-BF2=2a,即BF1-2m=2a,∴BF1=3m=AB,则∠AF1B=∠F1AB,故选项A正确;由余弦定理知,在△ABF1中,cos∠AF1B===,在△AF1F2中,cos∠F1AB===
cos∠AF1B=,化简整理得12c2=11m2=44a2,∴离心率e===,故选项B正确;双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,即y=±x,即y=±x,故选项C错误;假设原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上,则c=m=2a,与=相矛盾,故选项D错误.故选AB.
(2)由已知可得A(a,0),B(0,b),F(c,0),线段AF的垂直平分线方程为x=,过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,所以该圆圆心坐标为,该圆的半径为,所以经过A,B,F三点的圆的方程为+(y-b)2=,因为A(a,0)在该圆上,所以+(0-b)2=,整理得b2=ac,所以a2-c2=ac,所以c2+ac-a2=0,又C的离心率e=,所以e2+e-1=0,由0题型三
例3 解:(1)由已知得b=3,将点P的坐标代入椭圆C的方程,得+=1,解得a2=12,∴c2=a2-b2=3,
∴C的离心率e===.
(2)方法一:设点B到直线AP的距离为d,由已知得S△ABP=|PA|·d=××d=9,解得d=.
kAP==-,易得直线AP的方程为y=-x+3.
设过点B且与直线AP平行的直线为l',又l'与直线AP间的距离为,点B在椭圆C上,∴l':y=-x-3.
联立y=-x-3和+=1,解得x1=0,x2=-3,
所以B(0,-3)或B.
当点B的坐标为(0,-3)时,l的方程为y=x-3;
当点B的坐标为时,l的方程为y=x.
∴l的方程为y=x-3或y=x.
方法二:①当l的斜率不存在时,B,∴|BP|=3,点A到直线BP的距离为3,
∴S△ABP=×3×3=≠9,不满足题意.
②当l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为y=k(x-3)+,
由得(3+4k2)x2+12k(1-2k)x+(3-6k)2-36=0,
∴Δ=36(2k+3)2>0,故k≠-,由根与系数的关系得3+xB=,∴xB=,
∴|BP|=·|3-xB|=·,
又点A到直线BP的距离d=,∴S△ABP=···=9,
∴|2k+3|·=3+4k2,
∴|2k+3|·|2k+1|=8k2+6,
∴4k2+8k+3=8k2+6或4k2+8k+3=-8k2-6,
即4k2-8k+3=0或12k2+8k+9=0,解得k=或,
∴l的方程为y=x-3或y=x.
例4 解:(1)由题意可得解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)证明:由题意可知,直线PQ的斜率存在,设直线PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0,
则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0,解得k<0,可得x1+x2=-,x1x2=.
因为A(-2,0),所以直线AP:y=(x+2),令x=0,解得y=,即M,同理可得N,则=
+=
=
=
=
=3,
所以线段MN的中点是定点(0,3).
变式 解:(1)由题意,当直线AB垂直于x轴时,x1=,
则=2px1得y1=±p,
则AB=2p,所以2p=2,即p=1,所以抛物线E的标准方程为y2=2x.
(2)①证明:由题得点A,B,C,D均与原点O不重合,设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB:x=my+,
将直线AB的方程与抛物线E:y2=2x的方程联立,得y2-2my-1=0,
因此y1+y2=2m,y1y2=-1.
设直线AC:x=ny+1,将直线AC的方程与抛物线E:y2=2x的方程联立,得y2-2ny-2=0,
因此y1+y3=2n,y1y3=-2,则y3=.同理可得y4=,
所以kCD=====-=,
因此直线CD的方程为x=2m(y-y3)+x3,由x=2m(y-y3)+x3,得x=2my-2my3+x3=2my-2my3+=2my-2m·+=2my++=2my++=2my+2+2=2my+2+2·=2my+2,则CD:x=2my+2,
所以直线CD过定点(2,0).
②设Q(2,0),因为S△PAB=PF·|y1-y2|=|y1-y2|,S△PCD=PQ·|y3-y4|====|y1-y2|,
所以S△PAB+S△PCD=|y1-y2|==≥,
当且仅当m=0时S△PAB+S△PCD取到最小值.
题型四
例5 解:(1)设l上两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
经伸缩变换后变为(x'1,y'1),(x'2,y'2),
则==b,==a,k=,k'=,则===.
(2)作x'=,y'=y的伸缩变换,椭圆Γ1变换后得到了单位圆x'2+y'2=1,
椭圆Γ2变换后得到了以原点O为圆心的圆x'2+y'2=2,
P,Q,R,S变换后得到P',Q',R',S',
则O,P',S'均在Q'R'中垂线上,如图.
OP'=1,OQ'=,则∠Q'OP'=45°,
则S'Q'=,OS'=2,
则S'的轨迹方程为x'2+y'2=4,
代入x'=,y'=y,则S的轨迹方程为+y2=4.
(3)作x'=,y'=y的伸缩变换,椭圆变换后得到了单位圆x'2+y'2=1,
点A变换后得到了A',
即A'(cos 45°,sin 45°),并设B,C变换后分别得到了B',C'.
易知在单位圆内接三角形中,面积最大为内接正三角形,
则,分别为绕O点按逆时针和顺时针方向旋转120°得到,
当B在第二象限内时,B',C'坐标分别为(cos(45°+120°),sin(45°+120°)),(cos(45°-120°),sin(45°-120°)),
即B',C'坐标分别为,,
则点B,C坐标分别为,;当B在第四象限内时,同理可得点B,C坐标分别为,.
单位圆内接正三角形面积为×××=,则△ABC的面积的最大值为×=.
综上,点B,C的坐标分别为,或,,△ABC面积的最大值为.
变式 解:(1)由题意可知,PE+PF=PA+PE=4>EF=2,
故点P的轨迹是以E,F为焦点,且长轴长2a=4的椭圆,焦距2c=EF=2,所以b2=a2-c2=1,
因此C的方程为+y2=1.
(2)由题意可设直线l的方程为x=my+1,G(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去x得(m2+4)y2+2my-3=0,
则Δ=4m2+12(m2+4)=16m2+48>0恒成立,y1+y2=-,y1y2=-.
如图,直线GM的方程为y=(x+2),
直线QN的方程为y=(x-2),由
可得x=-=-=
-=
=
=
=4,所以点B在定直线上,定直线方程为x=4.本章总结提升
◆ 题型一 圆锥曲线的标准方程与定义
[类型总述] (1)椭圆的定义与标准方程;(2)双曲线的定义与标准方程;(3)抛物线的定义与标准方程.
例1 (1)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
(2)[2023·天津卷] 双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
变式 (1)[2025·江苏盐城中学高二调研] 如图是一个“双曲狭缝”模型,直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面,双曲面的顶端到底部沿变曲的边缘划出的线为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2,曲线AB与曲线CD中间最窄处的距离为10 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且点A,B之间的距离为30 cm,则点A,D之间的距离为 ( )
A.10 cm B.20 cm
C.25 cm D.30 cm
(2)(多选题)[2025·江苏南京一中高二质检] 已知曲线 C:x2+y2cos α=1(0<α<π),则下列结论正确的是 ( )
A.曲线 C 可能是直线
B.曲线 C 可能是圆
C.曲线 C 可能是椭圆
D.曲线 C 可能是双曲线
(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,-4)(a>0)到焦点F的距离为5,则该抛物线的标准方程为 .
◆ 题型二 圆锥曲线的几何性质
[类型总述] (1)已知基本量求离心率的值或取值范围;(2)已知圆锥曲线的方程求参数的值或取值范围;(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或曲线的其他性质.
例2 (1)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在M上,Q为PF2的中点,且F1Q⊥PF2,F1Q=b,则M的离心率为 ( )
A. B. C. D.
(2)(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线, Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则 ( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
(3)[2024·新课标Ⅰ卷] 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
变式 (1)(多选题)[2025·江苏宿迁中学高二调研] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若AF1=BF2=2AF2,则 ( )
A.∠AF1B=∠F1AB
B.双曲线的离心率e=
C.双曲线的渐近线方程为y=±x
D.原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上
(2)已知A,B,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点,若过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,则C的离心率为 .
◆ 题型三 直线与圆锥曲线的综合应用
[类型总述] (1)焦点弦问题;(2)弦长的计算问题;(3)位置关系问题;(4)以直线与圆锥曲线相交为载体研究面积、最值、定点等核心问题.
例3 [2024·新课标Ⅰ卷] 已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
例4 [2023·全国乙卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
变式 [2025·江苏淮阴中学高二月考] 如图,设抛物线E:y2=2px(p>0),过焦点F的直线与抛物线E交于点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线AB垂直于x轴时,AB=2.
(1)求抛物线E的标准方程.
(2)已知点P(1,0),直线AP,BP分别与抛物线E交于另一点C,D.
①求证:直线CD过定点;
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值.
◆ 题型四 圆锥曲线的创新问题
[类型总述] 在新定义的背景下研究圆锥曲线的综合问题.
例5 对于椭圆+=1(a>b>0),令x'=,y'=,那么在平面直角坐标系x'Oy'中,椭圆经伸缩变换得到了单位圆x'2+y'2=1,在这样的伸缩变换中,有些几何关系保持不变,例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等,而有些几何量则等比例变化,例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的,由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题.
(1)在原平面直角坐标系中斜率为k的直线l经过x'=,y'=的伸缩变换后斜率变为k',求k与k'满足的关系式;
(2)设动点P在椭圆Γ1:+y2=1(a>1)上,过点P作椭圆Γ1的切线,与椭圆Γ2:+y2=2(a>1)交于点Q,R,再过点Q,R分别作椭圆Γ2的切线交于点S,求点S的轨迹方程;
(3)点A在椭圆+y2=1上,求椭圆上点B,C的坐标,使得△ABC的面积取得最大值,并求出该最大值.
变式 “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图).
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合);
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE的交点为P;
步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为2,按上述方法折纸,以线段EF的中点为原点,线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)M(-2,0),N(2,0),过点D(1,0)作斜率不为0的直线l,直线l与曲线C交于G,Q两点,直线GM与直线NQ交于点B,求证点B在定直线上,并求出定直线的方程.(共49张PPT)
本章总结提升
题型一 圆锥曲线的标准方程与定义
题型二 圆锥曲线的几何性质
题型三 直线与圆锥曲线的综合应用
题型四 圆锥曲线的创新问题
答案核查
题型一 圆锥曲线的标准方程与定义
［类型总述］（1）椭圆的定义与标准方程;（2）双曲线的定义与标
准方程;（3）抛物线的定义与标准方程.
例1（1）［2024· 新课标Ⅱ卷］已知曲线 ，从
上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点 的轨
迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,则,,因为 在曲线
上，所以 ,整理得点
的轨迹方程为 .故选A.
√
（2）［2023·天津卷］双曲线 的左、右焦点
分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为 .已知
，直线的斜率为 ，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，, 焦点到任一条渐近线的距离为, .
在为原点中，由等面积法易得点的坐标为 ,
故，化简可得,故,
双曲线的方程为 .
√
变式（1）［2025·江苏盐城中学高二调研］如图是一个“双曲狭缝”模
型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面
的顶端到底部沿变曲的边缘划出的线为双曲线.已知该模型左、右两
侧的两段曲线曲线与曲线所在的双曲线离心率为2，曲线
与曲线中间最窄处的距离为，点与点，点与点 均关于
该双曲线的对称中心对称，且点,之间的距离为，则点,
之间的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，解得，因为离心率 ，所以
，，故双曲线方程为 .
设，则，，连接, ，因
为，所以，则，可得 ，故
，即点,之间的距离为 .故选B.
（2）（多选题）［2025·江苏南京一中高二质检］ 已知曲线
，则下列结论正确的是( )
A.曲线可能是直线 B.曲线 可能是圆
C.曲线可能是椭圆 D.曲线 可能是双曲线
√
√
√
[解析] 因为，所以.对于A，当 时，
曲线为两条直线，故A正确；
对于B，假设曲线 是圆，则，矛盾，故曲线 不可能是圆，
故B错误；
对于C，当时,曲线方程可化为,且 ，
表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；
对于D，当 时,曲线为焦点在轴上的双曲线,故D正确.
故选 .
（3）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，抛物线上一点
到焦点 的距离为5，则该抛物线的标准方程为
__________.
[解析] 根据题意，该抛物线开口向下，故设其方程为
，因为抛物线上一点到焦点 的
距离为5，所以到准线的距离也为5，即 ，解得
，故抛物线方程为 .
题型二 圆锥曲线的几何性质
［类型总述］（1）已知基本量求离心率的值或取值范围;（2）已知
圆锥曲线的方程求参数的值或取值范围;（3）已知曲线的某些性质
求曲线方程或曲线的其他性质.
例2（1）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，，点在上，为的中点，且，，则
的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 为的中点，且，则 ，由椭圆
的定义得，则，
又为 的中点，所以，
因为 ，所以由勾股定理可得，
即，
又 ，所以，即，
解得或（舍）.
故选C.
（2）（多选题）［2024· 新课标Ⅱ卷］ 抛物线 的准线为
，为上动点，过作的一条切线， 为切
点，过作的垂线，垂足为 ，则( )
A.与 相切
B.当，，三点共线时，
C.当时，
D.满足的点 有且仅有2个
√
√
√
[解析] 点到准线的距离为1,圆的半径为1，故 与
相切，选项A正确.
当，，三点共线时，， ，，
则，选项B正确.
当 时，,得,当点的坐标为时， ,
，不满足；
当点的坐标为 时，,,
不满足 ，选项C不正确.
设抛物线的焦点为，则，连接， ,由抛物线的定义可得
，则满足的点在线段 的垂直平分
线上，易知线段的垂直平分线的方程为 ,
由得 ,
因为,所以满足的点 有且
仅有2个，选项D正确.
故选 .
（3）［2024· 新课标Ⅰ卷］设双曲线 的
左、右焦点分别为,,过作平行于轴的直线交于， 两点，
若,,则 的离心率为__．
[解析] ，,又, ,
, ,
,, .
变式（1）（多选题）［2025·江苏宿迁中学高二调研］ 已知双曲线
的左、右焦点分别为，，过点 的
直线与双曲线的右支交于，两点，若 ，则
( )
A.
B.双曲线的离心率
C.双曲线的渐近线方程为
D.原点在以为圆心， 为半径的圆上
√
√
[解析] 设，则 ，由双
曲线的定义知，，即 ，
，即， ，则
，故选项A正确；
由余弦定理知，在 中，
，在 中，
，化简整理
得, 离心率 ,故选项B正确；
双曲线的渐近线方程为，即 ，即
，即，故选项C错误；
假设原点在以 为圆心，为半径的圆上，则，
与 相矛盾，故选项D错误.
故选 .
（2）已知,,分别是椭圆 的右顶点、上
顶点和右焦点，若过,,三点的圆恰与轴相切，则 的离心率为
_____.
[解析] 由已知可得,,，线段 的垂直平分线方
程为，过,,三点的圆恰与 轴相切，所以该圆圆心坐标为
，该圆的半径为，所以经过,, 三点的圆的方程为
，
因为在该圆上，所以 ，整理得
，所以，所以，
又 的离心率,所以，由，可得 .
题型三 直线与圆锥曲线的综合应用
［类型总述］（1）焦点弦问题;（2）弦长的计算问题；（3）位置
关系问题；（4）以直线与圆锥曲线相交为载体研究面积、最值、定
点等核心问题.
例3 ［2024· 新课标Ⅰ卷］已知点和点 分别为椭圆
上的两点.
（1）求 的离心率；
解：由已知得,将点的坐标代入椭圆 的方程，
得,解得, ,
的离心率 .
（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为9，求 的方程.
解：方法一：设点到直线的距离为 ,由已知得
,解得 .
,易得直线的方程为 .
设过点且与直线平行的直线为，又与直线间的距离为 ，
点在椭圆上， .
联立和,解得, ,
所以或 .
当点的坐标为时，的方程为 ;
当点的坐标为时，的方程为 .
的方程为或 .
方法二：①当的斜率不存在时，,，点 到直线
的距离为3，
，不满足题意.
②当的斜率存在时，设斜率为,则的方程为 ,
由 得
，
,故 ,由根与系数的关系得
, ，
，
又点到直线的距离 ，
，
,
,
或
，
即 或
,解得或 ，
的方程为或 .
例4 ［2023·全国乙卷］已知椭圆 的离心
率为,点在 上.
（1）求 的方程；
解：由题意可得解得
所以椭圆的方程为 .
（2）过点的直线交于，两点，直线，与 轴的交点
分别为，，证明：线段 的中点为定点.
证明：由题意可知，直线 的斜率存在，设直线
,, ,
由消去 得
,
则 ,解得
,可得, .
因为，所以直线,令,解得 ,
即,同理可得，
则
,
所以线段的中点是定点 .
变式 ［2025·江苏淮阴中学高二月考］ 如图，设
抛物线，过焦点 的直线与抛
物线交于点，.当直线 垂直
于轴时， .
（1）求抛物线 的标准方程.
解：由题意，当直线垂直于轴时， ，
则得 ，
则，所以，即，所以抛物线 的标准方程为
.
（2）已知点，直线，分别与抛物线交于另一点， .
①求证：直线 过定点；
证明：由题得点,,,均与原点不重合，设， ，
直线 ，
将直线的方程与抛物线 的方程联立，得
，
因此， .
设直线，将直线的方程与抛物线 的方程
联立，得 ，
因此，，则.同理可得 ，
所以 ，
因此直线的方程为，
由 ，得
，则 ，
所以直线过定点 .
②求与 面积之和的最小值.
解： 设，因为 ，
，
所以 ，
当且仅当时取到最小值 .
题型四 圆锥曲线的创新问题
［类型总述］ 在新定义的背景下研究圆锥曲线的综合问题.
例5 对于椭圆，令， ，那么在平
面直角坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆 ，
在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲
线的位置关系以及点分线段的比等等，而有些几何量则等比例变化，
例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的 ，由此我们可以借
助圆的几何性质处理一些椭圆的问题.
（1）在原平面直角坐标系中斜率为的直线经过， 的伸
缩变换后斜率变为，求与 满足的关系式；
解：设上两点的坐标为， ,
经伸缩变换后变为， ，
则，，， ，
则 .
（2）设动点在椭圆上，过点作椭圆 的切
线，与椭圆交于点，，再过点， 分别作
椭圆的切线交于点，求点 的轨迹方程；
解：作，的伸缩变换，椭圆 变换后得到了单位圆
,
椭圆变换后得到了以原点为圆心的圆 ,
，，，变换后得到，，， ,
则，，均在 中垂线上，如图.
，，则 ，
则， ，
则的轨迹方程为 ，
代入，，则的轨迹方程为 .
（3）点在椭圆上，求椭圆上点， 的坐标，使
得 的面积取得最大值，并求出该最大值.
解：作， 的伸缩变换，椭圆变换后得到了单位圆
，
点变换后得到了 ，
即，并设，变换后分别得到了， .
易知在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形，
则，分别为绕点按逆时针和顺时针方向旋转 得到，
当在第二象限内时，， 坐标分别为
，
，
即，坐标分别为， ，
则点，坐标分别为，；
当 在第四象限内时，同理可得点,坐标分别为 ,
.
单位圆内接正三角形面积为，则 的面
积的最大值为 .
综上，点，的坐标分别为， 或
，，面积的最大值为 .
变式 “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物
品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴
含丰富的数学知识，例如用一张圆形纸片，按如下
步骤折纸（如图）.
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点 与
点 重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为 ；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心 的距离为
，按上述方法折纸，以线段 的中点为原点，线
段所在直线为轴建立平面直角坐标系 ，记动
点的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
解：由题意可知， ，
故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长 的椭
圆，焦距，所以 ，
因此的方程为 .
（2），，过点 作斜率不为0的
直线，直线与曲线交于,两点，直线 与直线
交于点，求证点 在定直线上，并求出定直线
的方程.
解：由题意可设直线的方程为，, ，
由消去得 ，
则 恒成立，
, .
如图，直线的方程为 ，
直线的方程为 ，由
可得
，所以点 在定直线上，定直线方程为 .
快速核答案
例1 （1）A （2）D 变式 （1）B （2）ACD （3）
例2 （1）C （2）ABD （3） 变式 （1）AB （2）
例3 （1）（2）或 例4 （1）（2）略
变式 （1）（2）①略 ② 例5 （1）（2）
（3）点，的坐标分别为，或
，，面积的最大值为.
变式 （1）（2）点在定直线上，定直线方程为.
