微突破(四) 抛物线的焦点弦
例1 (1)D (2)- [解析] (1)由题意知F,AB的方程为y=x-,代入C的方程,得x2-3px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=.因为FA=+x1,FB=+x2,且FA·FB=32,所以=32,整理得+(x1+x2)+x1x2=32,所以+·3p+=32,结合p>0,解得p=4.故选D.
(2)方法一:设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),x2>0,由已知得x1=-4x2,由得x2-8kx-16=0,则结合x1=-4x2(x2>0),得
方法二:设直线l与y轴的夹角为θ,由题得直线l的斜率k<0,抛物线的准线方程为y=-2,设准线与y轴交于点T,过点B作BM⊥准线,垂足为M,BM交x轴于点N,作BE⊥y轴于点E,如图,则ET=BM,由抛物线定义可得BF=BM=ET=FT-EF,其中FT=4,EF=BF·cos θ,故BF=4-BF·cos θ,解得BF=,同理可得AF=,因为=4,所以=4× cos θ=,则直线l与x轴夹角的正弦值为,正切值为,又k<0,所以k=-.
变式 C [解析] 如图所示,设∠AFx=θ,θ∈(0,π),BF=m,因为AF=3,所以点A到准线l:x=-1的距离为3,所以3=2+3cos θ,得cos θ=,因为m=2+mcos(π-θ),所以m=2-mcos θ,所以m=2-m,得m=,所以BF的值为,故选C.
例2 (1)D (2)A
[解析] (1)如图所示,由抛物线C:y2=4x,得F(1,0),设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,x1+x2=.由已知和抛物线定义知====2,则有x2+1=2(x1+1),即x2=2x1+1.由可得故选D.
(2)方法一:由题知直线DE的斜率存在且不为0,如图,不妨设直线DE的斜率为k(k>0),因为直线DE过抛物线的焦点(1,0),所以直线DE的方程为y=k(x-1),由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=2+,所以DE=x1+x2+p=2++2=4+,同理可得AB=4+4k2,则AB+DE=8++4k2≥16,当且仅当k=1时取等号,
此时S四边形ADBE=DE·AB=×8×8=32.故选A.
方法二:由题知p=2,因为AB⊥DE,所以当AB+DE取得最小值时,四边形ADBE的面积为8p2=8×2×2=32.
变式 ± [解析] 方法一:由已知得F(1,0),设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,则AB=|x1-x2|=·=,又O到直线AB的距离d=,所以S△AOB=AB·d=··=2,解得k=±.
方法二:由题知p=2,设直线l的倾斜角为θ,由S△AOB=2,S△AOB=得
sin θ===,则cos θ=±=±,所以直线l的斜率k=tan θ==±.
例3 ABC [解析] 如图,对于A,由抛物线定义可知AP=AF,BQ=BF,∵M为AB中点,∴MN=(AP+BQ)=(AF+BF)=AB,∴NA⊥NB,A正确;对于B,∵MN=AB=AM,∴∠MNA=∠MAN,∵AP∥MN,∴∠MNA=∠PAN,则∠PAN=∠MAN,又AF=AP,AN=AN,∴△ANP≌△ANF,∴∠AFN=∠APN=,即NF⊥AB,B正确;对于C,∵BF=BQ,AF=AP,∴∠BQF=∠BFQ,∠APF=∠AFP,∵AP∥OF∥BQ,∴∠APF=∠PFO,∠BQF=∠QFO,∴∠QFO=∠BFQ,∠PFO=∠AFP,∵∠AFO+∠BFO=2∠QFO+2∠PFO=π,∴∠QFO+∠PFO=,即FP⊥FQ,C正确;对于D,易知N为线段PQ的中点,若MP⊥MQ,则由FP⊥FQ知M,F在以N为圆心,NP为半径的圆上,∴MN=NF,又NF⊥AB,∴点M,F重合,∴点M,F不一定重合,∴MP⊥MQ不恒成立,D错误.故选ABC.
变式 B [解析] 设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,则l:x=-,过点A,B分别作l的垂线,垂足分别为C,D,设AB的中点为M,过M作MN⊥l,垂足为N,如图,则MN=(AC+BD)=(AF+BF)=AB,即以AB为直径的圆与l:x=-相切,又以AB为直径的圆与直线x=-1相切,故直线x=-1即为抛物线的准线,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.由题知直线AB的方程为y=(x-1),代入y2=4x中,∴3(x-1)2=4x,即3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=,∴AB=AF+BF=x1+x2+p=+2=,故选B.微突破(四) 抛物线的焦点弦
1.D [解析] 由2x2=y得x2=y,则p=,焦点F,准线方程为y=-,设线段AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线的垂线,垂足分别为A',Q,B',由题意得AA'+BB'=AB=4,PQ==2.又PQ=y0+,∴y0+=2,∴y0=.
2.C [解析] 由题知p=2,由抛物线焦点弦的性质可得+==1.
3.D [解析] 易知p=,焦点F,由抛物线的性质可得AB==12,又O到直线AB的距离d=·sin 30°=,∴S△OAB=AB·d=.
4.ABD [解析] 对于A,把点B坐标(1,2)代入抛物线方程y2=2px,得p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1,故A正确;对于B,因为A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F(1,0),所以=(x1-1,y1),=(0,2),=(x2-1,y2),又由++=0,得x1+x2=2,所以||+||=x1+1+x2+1=4=2||,故B正确;对于C,因为A,F,C三点共线,所以弦AC是焦点弦,所以由抛物线焦点弦的性质得y1y2=-p2=-4,故C不正确;对于D,设AC的中点为M(x0,y0),因为AF+CF≥AC,AF+CF=x1+1+x2+1=2x0+2,所以2x0+2≥6,得x0≥2,即AC的中点到y轴距离的最小值为2,故D正确.故选ABD.
5.ACD [解析] 由题知F,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,∴由抛物线焦点弦的性质得y1y2=-p2,x1x2=,AB=,设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3y4=-p2,x3x4=,CD=.对于A,·=x3x4+y3y4=-p2=-,故A正确;对于B,四边形ACBD的面积S=CD·AB==≥8p2,故其最小值为8p2,故B错误;对于C,+=+=,故C正确;对于D,若AF·BF==x1x2+(x1+x2)+=4p2,则(x1+x2)=,∴x1+x2=7p,即7p+p=,∴sin2θ=,解得sin θ=(舍去负值),又θ∈,∴θ=,则直线CD的倾斜角为,其斜率为-,故D正确.故选ACD.
6.4 [解析] 方法一:抛物线y2=2px的焦点为F,设直线AB:x=ty+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2pty-p2=0,则y1+y2=2pt,y1y2=-p2,所以AB=AF+BF=x1+x2+p=t(y1+y2)+2p=2p(t2+1)=12,即p(t2+1)=6,|y1-y2|===2p,则S△OAB=OF·|y1-y2|=p2=4,则p2=8,因此p3=64,所以p=4.
方法二:如图,设直线AB的倾斜角为θ,因为AB==12,S△OAB==4,所以p=4.
7.16 [解析] 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),…,P8(x8,y8),则=(xi,yi-1)(i=1,2,…,8),所以++…+=(x1+x2+…+x8,(y1-1)+(y2-1)+…+(y8-1))=0,所以(y1-1)+(y2-1)+…+(y8-1)=0,即y1+y2+y3+…+y8=8,又准线为y=-1,所以||+||+…+||=(y1+1)+(y2+1)+…+(y8+1)=y1+y2+…+y8+8=16.
8.解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由可得y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,
所以AB=|yA-yB|=×=4,
即2p2-p-6=0,
因为p>0,所以p=2.
(2)方法一:设∠MFx=θ(0<θ≤π),由·=0,得∠MFN=,
由抛物线焦半径公式可得MF=,要求△MFN面积的最小值,则当直线NF的倾斜角α∈时,取N在第四象限,当α∈时,取N在第一象限,所以NF=,则S△MFN=MF·NF=··=,
令sin θ-cos θ=t,则t=sin,由θ∈(0,π],得θ-∈,所以t∈(-1,],sin θ·cos θ=,所以S△MFN===,
因为(t+1)2≤(+1)2,当且仅当t=,即θ=时取等号,
所以S△MFN≥=12-8,故当θ=时,△MNF的面积最小,最小值为12-8.
方法二:因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,
设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),由可得y2-4my-4n=0,
则Δ=16m2+16n>0,即m2+n>0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,
因为·=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,
将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入,得4m2=n2-6n+1,
即4(m2+n)=(n-1)2>0,
所以n≠1,且n2-6n+1≥0,解得n≥3+2或n≤3-2.
设点F到直线MN的距离为d,所以d=,
又MN==
|y1-y2|==
=
2|n-1|,所以△MFN的面积S=×MN×d=××2|n-1|=(n-1)2,
而n≥3+2或n≤3-2,所以当n=3-2时,△MFN的面积最小,Smin=(2-2)2=12-8.微突破(四) 抛物线的焦点弦
一、抛物线的焦点弦与焦半径
已知倾斜角为θ的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点(A在x轴上方),则
(1)AF=xA+,BF=xB+,AB=xA+xB+p.
(2)AF=,BF=,+=.
(3)AB=,当θ≠时,设k=tan θ,则AB=2p.
例1 (1)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A,B两点,若FA·FB=32,则p= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点(B在第一象限),若=4,则直线l的斜率为 .
变式 过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若AF=3,则BF的值为 ( )
A. B.2
C. D.
二、抛物线焦点弦与面积问题
(1)已知倾斜角为θ的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,O为原点,则S△OAB=,=.
(2)过抛物线焦点的两条相互垂直的弦的长度之和及以弦端点为顶点的四边形面积的最小值.
①已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)的过焦点F的两条相互垂直的弦,则AB+CD存在最小值,且最小值为8p.
②已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)的过焦点F的两条相互垂直的弦,则四边形ACBD的面积的最小值为8p2.
例2 (1)已知斜率为k(k>0)的直线过抛物线C:y2=4x的焦点F且与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作该抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,若△ABB1与△ABA1的面积之比为2,则k的值为 ( )
A. B. C. D.2
(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则当AB+DE取得最小值时,四边形ADBE的面积为 ( )
A.32 B.16 C.24 D.8
变式 经过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于两点A,B,若S△AOB=2(其中O为坐标原点),则直线l的斜率为 .
三、抛物线焦点弦与几何问题
(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,则x1x2=,y1y2=-p2.
(2)抛物线y2=2px(p>0)与直线l交于A,B两点,若直线l恒过定点M(m,0),则xAxB=m2,yAyB=-2pm.
(3)已知A,B两点在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,若OA⊥OB,则直线AB恒过定点(2p,0).
(4)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条弦AB,记准线与x轴的交点为E,则射线EF平分∠AEB,即kAE+kBE=0.
(5)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点.
①以线段AB为直径的圆M与准线相切(以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切);
②以线段AF为直径的圆C与y轴相切;
③以线段BF为直径的圆D与y轴相切;
④分别以线段AB,AF,BF为直径的圆M、圆C、圆D之间的关系:圆C与圆D外切,圆C、圆D既与y轴相切,又与圆M相内切.
例3 (多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的中点为M,A,B,M在l上的射影分别为P,Q,N,下列结论正确的为 ( )
A.NA⊥NB B.NF⊥AB
C.FP⊥FQ D.MP⊥MQ
变式 倾斜角为的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且与该抛物线交于点A,B,以AB为直径的圆与直线x=-1相切,则AB= ( )
A.4 B.
C. D.微突破(四) 抛物线的焦点弦
1.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若AB=4,则AB中点的纵坐标是 ( )
A.1 B.2
C. D.
2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l,交抛物线于P,Q两点,则+的值为 ( )
A. B.
C.1 D.2
3.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 ( )
A. B.
C. D.
4.(多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F为抛物线的焦点,则下列说法正确的是 ( )
A.抛物线的准线方程为x=-1
B.若++=0,则2||=||+||
C.若A,F,C三点共线,则y1y2=-1
D.若AC=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2
5.(多选题)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0,B,C两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列结论中正确的是 ( )
A.·=-p2
B.四边形ACBD面积的最小值为16p2
C.+=
D.若AF·BF=4p2,则直线CD的斜率为-
6.[2025·山东菏泽一中高二质检] 已知O为坐标原点,过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,若AB=12,△OAB面积为4,则p= .
7.[2025·广东梅州一中高二月考] 已知P1,P2,…,P8是抛物线x2=4y上不同的点,且F(0,1).若++…+=0,则||+||+…+||= .
8.(13分)[2025·江苏如东中学高二月考] 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且AB=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,·=0,求△MFN面积的最小值.(共42张PPT)
微突破（四） 抛物线的焦点弦
一、抛物线的焦点弦与焦半径
二、抛物线焦点弦与面积问题
三、抛物线焦点弦与几何问题
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
一、抛物线的焦点弦与焦半径
已知倾斜角为 的直线经过抛物线的焦点 ，且与
抛物线交于，两点在轴上方 ，则
（1）,, .
（2）,, .
（3）,当时，设 ,则 .
例1（1）已知为抛物线的焦点，过 且斜率为1
的直线交于,两点，若，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题意知,的方程为，代入 的方程，得
，设,，则, .
因为,，且 ，所以
，整理得 ，所以
，结合，解得 .故选D.
√
（2）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线 交于
,两点在第一象限，若，则直线 的斜率为____.
[解析] 方法一：设直线的方程为 ，
，，，由已知得 ，
由得 ，则
结合，得
方法二：设直线与轴的夹角为 ，由题得直线 的
斜率，抛物线的准线方程为，设准线与
轴交于点，过点作 准线，垂足为， 交
轴于点，作轴于点，如图，则 ，
由抛物线定义可得 ，其中
, ，故 ，解得，
同理可得 ，因为，所以
，则直线与轴夹角的正弦值为，
正切值为 ，又，所以 .
变式 过抛物线焦点的直线交抛物线于， 两点，若
，则 的值为( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 如图所示，设 ,， ，
因为，所以点到准线 的距离为3，所以
，得 ，
因为，所以 ，所以
，得，所以的值为 ，故选C.
二、抛物线焦点弦与面积问题
（1）已知倾斜角为 的直线经过抛物线的焦点 ，
且与抛物线交于，两点，为原点，则, .
（2）过抛物线焦点的两条相互垂直的弦的长度之和及以弦端点为顶
点的四边形面积的最小值.
①已知，是抛物线的过焦点 的两条相互
垂直的弦，则存在最小值，且最小值为 .
②已知，是抛物线的过焦点 的两条相互
垂直的弦，则四边形的面积的最小值为 .
[解析] 如图所示，由抛物线，得 ，设
直线，， ，由
得 ，
所以， .
例2（1）已知斜率为的直线过抛物线的焦点 且
与抛物线相交于,两点，过, 分别作该抛物线准线的垂线，垂
足分别为，，若与的面积之比为2，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
由已知和抛物线定义知
，则有
，即 .
由可得 故选D.
（2）已知为抛物线的焦点，过 作两条互相垂直的直线
，，直线与交于，两点，直线与交于， 两点，则当
取得最小值时，四边形 的面积为( )
A.32 B.16 C.24 D.8
√
[解析] 方法一：由题知直线 的斜率存在且不为0，如图，不妨设
直线的斜率为，因为直线过抛物线的焦点 ，所以
直线的方程为，
由 可得，
设, ,则，
所以 ，
同理可得，则 ，当且仅当
时取等号，此时 .故选A.
方法二:由题知，因为，所以当
取得最小值时，四边形 的面积为
.
变式 经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点 ，
，若（其中为坐标原点），则直线 的斜率为____.
[解析] 方法一：由已知得，设直线的斜率为 ，则直
线的方程为，设,，由
得，所以， ，则
，
又到直线的距离 ，所以
，解得 .
方法二:由题知,设直线的倾斜角为 ，由 ，
得 ，则
，所以直线的斜率 .
三、抛物线焦点弦与几何问题
（1）抛物线的焦点为，,是过
的直线与抛物线的两个交点，则, .
（2）抛物线与直线交于，两点，若直线 恒过
定点,则, .
（3）已知，两点在抛物线上， 为坐标原点，
若，则直线恒过定点 .
（4）已知过抛物线的焦点的一条弦 ，记准线
与轴的交点为，则射线平分，即 .
（5）设抛物线的焦点为,过点 的直线与抛物线交
于, 两点.
①以线段为直径的圆 与准线相切（以抛物线焦点弦为直径的圆
与准线相切）;
②以线段为直径的圆与 轴相切；
③以线段为直径的圆与 轴相切；
④分别以线段,,为直径的圆、圆、圆之间的关系：圆
与圆外切，圆、圆既与轴相切，又与圆 相内切.
例3 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线为 ，
过的直线交抛物线于,两点，线段的中点为，,,在 上的
射影分别为,, ，下列结论正确的为( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 如图，对于A，由抛物线定义可知 ，
，为 中点，
，
，A正确；
,,
，则，又，，
，，即，B正确；
， ，
， ，
，
，即 ，C正确；
对于D，易知为线段的中点，若，则由 知,
在以为圆心，为半径的圆上， ，
又， 点,重合， 点， 不一定重
合，不恒成立，D错误.
故选 .
变式 倾斜角为的直线过抛物线的焦点 且与该抛
物线交于点,，以为直径的圆与直线相切，则
( )
A.4 B. C. D.
√
[解析] 设抛物线的准线为 ,则
，过点,分别作的垂线，垂足分别为, ,
设的中点为，过作，垂足为 ，如图，
则,即以 为
直径的圆与相切，
又以为直径的圆与直线 相切，
故直线即为抛物线的准线，, 抛物线方程为 .
由题知直线的方程为，代入 中，
，即，设, ，
， ，故选B.
练习册
1.已知是过抛物线的焦点的弦.若，则 中点的纵
坐标是( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 由得,则，焦点 ，准线方程为
，设线段的中点为，分别过，， 三点作准线
的垂线，垂足分别为，，，
由题意得 ，
.又，， .
√
2.已知抛物线的焦点为，过点作斜率为1的直线 ,交抛物线
于，两点，则 的值为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 由题知,由抛物线焦点弦的性质可得 .
√
3.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为 的直线交
于，两点，为坐标原点，则 的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知，焦点 ，由抛物线的性质可得
，又到直线的距离 ，
.
√
4.（多选题）已知抛物线上三点， ，
， 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( )
A.抛物线的准线方程为
B.若，则
C.若，，三点共线，则
D.若，则的中点到 轴距离的最小值为2
[解析] 对于A，把点坐标代入抛物线方程，得 ，
所以抛物线的准线方程为 ，故A正确；
√
√
√
，，，，
所以 ，，，
又由 ，得，
所以 ，故B正确；
对于C，因为，，三点共线，所以弦 是焦点弦，
所以由抛物线焦点弦的性质得 ，故C不正确；
对于D，设的中点为，因为 ，
，所以，得 ，
即的中点到轴距离的最小值为2，故D正确.
故选 .
5.（多选题）已知点是抛物线的焦点，， 是
经过点的弦且，直线的斜率，，两点在 轴上
方， 为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A.
B.四边形面积的最小值为
C.
D.若，则直线的斜率为
√
√
√
[解析] 由题知，设，，直线 的倾斜角为
， 由抛物线焦点弦的性质得， ，
，设，，同理可得 ，
， .
对于A， ，故A正确；
对于B，四边形 的面积
， 故其最小值为，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，若 ，
则，，即， ，
解得（舍去负值），又，，则直线 的倾
斜角为，其斜率为，故D正确.
故选 .
6.［2025·山东菏泽一中高二质检］已知 为坐标原点，过抛物线
焦点的直线与该抛物线交于， 两点，若
，面积为，则 ___.
4
[解析] 方法一：抛物线的焦点为 ，设
直线，点, ，
由消去得 ，则
,，
方法二：如图，设直线的倾斜角为 ，因为
，
,所以 .
所以 ，即 ， ，
则 ，则
，因此，所以 .
7.［2025·广东梅州一中高二月考］已知，， ， 是抛物线
上不同的点，且.若 ，则
____.
16
[解析] 设,,, ， ，则
，所以 ，所以
，即
，
又准线为，所以 .
8.（13分）［2025·江苏如东中学高二月考］ 已知直线
与抛物线交于, 两点，且
.
（1）求 ；
解：设,，由 可得
，所以, ，
所以 ，
即 ，
因为，所以 .
（2）设为的焦点，，为上两点，，求 面
积的最小值.
解：方法一：设,由,得 ，
由抛物线焦半径公式可得,要求 面积的最小值，
则当直线的倾斜角时，取在第四象限，当 时，
取在第一象限，所以 ,则
，
令,则,由 ,得,
所以, ，
所以 ,
因为,当且仅当,即 时取等号，
所以，故当时, 的面积最小，
最小值为 .
方法二：因为，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线，,，由 可得
，
则，即 ，
所以, ，
因为，所以 ，
即 ，
即 ，
将,代入，得 ，
即 ，
所以，且，解得或 .
设点到直线的距离为，所以 ，
又
，
而或，所以当时， 的面
积最小， .
，
快速核答案（导学案）
例1 （1）D （2） 变式 C
例2 （1）D （2）A 变式
例3 ABC 变式 B
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.D 4.ABD 5.ACD 6.4 7.16
8.（1）（2）
