4.4.1 借助一次函数表达式解决实际问题 课件(共18张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

(共18张PPT)
第四章 一次函数
八年级上│B S
4.4 一次函数的应用
4.4.1 借助一次函数表达式解决实际问题
1. 经历分析实际问题中两个变量之间的关系.
2. 会求一次函数和正比例函数的表达式，并会解决有关问题.
重点
学习目标：
思考 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的表达式吗？
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能根据具体的一次函数表达式画出它的图象吗？
两点法 —— 两点确定一条直线((0，b)和点( ，0)连线即可.
接下来，我们通过一些例题来探究一下！
新课导入：
问题1 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (单位：m/s) 与其下滑时间 t (单位：s) 的关系如图所示.
(1) 写出 v 与 t 的关系式；
过原点的直线
过 (2，5)
正比例函数的
表达式v = kt
从“形”到“数”
新知学习：
解： 设 v = kt，
将 (2 , 5) 代入得 5 = 2k
解得 k = 2.5，
故关系式为 v = 2.5t.
(2) 下滑 3s 时速度是多少？
解： 当 t = 3 时，v = 2.5×3 = 7.5 (m/s).
确定函数表达式.
待定系数法
设：(关系式)
代：(坐标代入)
解：方程
(1) 写出 v 与 t 的关系式；
问题2 在弹性限度内，弹簧的长度 y (单位：cm) 是所挂物体质量 x (单位：kg) 的一次函数. 某弹簧不挂物体时长 14.5 cm；当所挂物体的质量为 3kg 时，弹簧长 16 cm. 请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度.
(0，14.5)
(3，16)
解：设 y = kx + b ，由题意，得
14.5 = b ①
16 = 3k + b ②
将 ① 代入 ②，得 k = 0.5.
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.
当 x =-4 时，y=0.5×4+14.5=16.5.
因此，当所挂物体的质量为 4 kg 时，
弹箦的长度为 16.5 cm.
思考1 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数表达式呢？
一次函数y=kx＋b中有k 和b两个待定系数
正比例函数y=kx中有k一个待定系数
一个条件
两个条件
求一次函数关系式的步骤：
① 设函数表达式为 y = kx + b，正比例函数设为 y = kx；
② 代入已知点坐标列出有关方程 ( 一次函数需要两个条件，正比例函数需要一个除(0，0)外的条件即可求出k的值 )；
③ 解方程；
④ 确定函数表达式.
归纳总结
思考2 你知道一次函数表达式与一次函数图象之间的关系吗？
函数表达式
y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象（直线 l）
选取
解出
选取
画出
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：数形结合
问题3 某根蜡烛燃烧前长 30cm；燃烧时，剩下的长度y(单位:cm)是燃烧时间x(单位:h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度为18cm.
(1)写出y与x之间的关系式；
(0，30)
(2，18)
解：设 y = kx + b ，由题意，得
30 = b ①
18 = 2k + b ②
将 ① 代入 ②，得 k = -6.
即蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式是y=-6x+30.
问题3 某根蜡烛燃烧前长 30cm；燃烧时，剩下的医度y(单位:cm)是燃烧时海x(单位:h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度为18cm.
(2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间
y=-6x+30
解：令y=0时，0=-6x+30，
解得，x=5h .
因此这根蜡烛最多能燃烧5h.
2.(2024 扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为_______．
1. 若正比例函数的图象经过点(-2，2)，则这个图象必经过点( )
A.(1，2) B.(-1，-2)
C.(2，-1) D.(2，-2)
D
x=-2
课堂练习：
3. (跨物理学科) 已知声音在空气中的传播速度 y (米/秒) (简称：声速) 是气温 x (℃) 的一次函数，下表列出了一组不同气温条件下的声速．
气温x(℃) 0 5 10 15 …
声速y(米/秒) 331 334 337 340 …
小明看到远处一朵烟花燃放，4 秒后听到爆炸声，已知小明所处的地方当时的气温是 25 ℃，求小明与烟花燃放处的距离．
解：由题意，设 y＝kx＋331(k≠0).
将点(5，334)代入 y＝kx＋331，得 5k＋331＝334，
346×4＝1 384(米).
答：此人与烟花燃放地相距 1 384 米.
所以y 与 x 之间的函数关系式为
当 x = 25 时，
解得
4. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，求 l 与两坐标轴所围成的三角形面积.
点拨：设函数图象与 x、y 输的交点分别为点 A、点 B. 要求三角形 AOB 的面积即求出 A，B 两点的坐标.
解：设直线 l 为 y = kx + b.
由图像可知函数图象过点 ( 0，1 ) 和 ( 3 ，- 3 )，得
1 = b，-3 = 3k + b.
因为 k = ，
所以直线 l 的表达式为 y = x + 1.
所以当 y = 0 时，即 0 = x + 1，故 x= .
A
B
所以围成的三角形面积为 .
5. 某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示.
(1)求每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式;
解：设每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式为y=kx+b,
将(0，70)、(30，100)代入y=kx+b,
所以每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式为y=x+70．
(2)已知某“快递小哥"的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件
解：根据题意得：x+70≥110，
解得：x≥40．
答：某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送40件．
求一次函数的关系式的步骤：
① 设函数表达式为 y = kx + b，正比例函数设为 y = kx；
② 代入已知点坐标列出有关方程 ( 一次函数需要两个条件，正比例函数需要一个除(0，0)外的条件即可求出k的值 )；
③ 解方程；
④ 确定函数表达式.
课堂总结：