微突破(五) 直线与圆锥曲线的综合
例1 解:(1)由y2=-4x,可得F1(-,0),∴椭圆C的半焦距c=,
又椭圆C的离心率为,
∴a=2,b2=2,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠-,x2≠-,
由可得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0,
∴Δ=(4mk)2-4(2k2+1)(2m2-4)>0,可得m2<2+4k2,
x1+x2=-,x1x2=,
∵直线F1A与F1B关于x轴对称,
∴+=0,
即+=0,
∴y1(x2+)+y2(x1+)=(kx1+m)(x2+)+(kx2+m)(x1+)=0,
即2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m=0,∴2k×+(k+m)+2m=0,
可得m=2k,代入m2<2+4k2,得-∴直线l的方程为y=k(x+2),
则直线l恒过定点(-2,0).
变式 解:(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
所以=1,所以p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:①当直线AB的斜率不存在时,
设A,B.
因为直线OA,OB的斜率之积为-,
所以·=-,化简得t2=32.
所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8.
②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(xA,yA),B(xB,yB),
由消去x,化简得ky2-4y+4b=0,所以Δ=16-16kb>0,即kb<1,
则yAyB=,因为直线OA,OB的斜率之积为-,所以·=-,
整理得xAxB+2yAyB=0,
即·+2yAyB=0,
解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32,
所以yAyB==-32,即b=-8k,
所以直线AB的方程为y=kx-8k,即y=k(x-8).综上所述,直线AB过x轴上的定点(8,0).
例2 证明:(1)不妨设弦AB,MN过椭圆的左焦点,由题知a=3,b=2,c==1.
当弦AB,MN中有一条为长轴,另一条为过左焦点且平行于短轴的弦时,
由可得故过左焦点且平行于短轴的弦长为,
则+=+=.
当弦AB,MN中没有一条为长轴时,直线AB,MN的斜率均存在且不为0,设kAB=k,则kMN=-,联立直线AB与椭圆方程得可得(9k2+8)x2+18k2x+9k2-72=0,
则Δ=324k4-4(9k2+8)(9k2-72)=482(k2+1)>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,
根据弦长公式得AB=
=·=.
用-替换上式中的k即得MN==,
因此+=+=.
综上,+=,为定值.
(2)分以下两种情况讨论:
当直线OP的斜率存在且不为0时,设直线OP的斜率为m(m≠0),
由可得x2=,y2=,则OP2=x2+y2=.
用-替换上式中的m即得OQ2==,
因此+=+=.
当直线OP,OQ中有一条斜率不存在,另一条斜率为0时,
+=+=.
综上所述,+=,为定值.
变式 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),F(x4,y4),
因为2(+)=3(+),所以x1+x2=(x3+x4).
易知双曲线的渐近线方程为y=bx或y=-bx,由得x=,
由得x=-,
所以x1+x2=.
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,所以x3+x4=-,
所以=-,即3k2-3b2=1+2k2,由k2=10,得b=,所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:由(1)得A,B,
所以OA==,OB==,
又易知两条渐近线的夹角为,所以S△OAB=OA·OB·sin∠AOB=××=.
由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,
因为直线l与双曲线C相切,所以k2≠3,且Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=0,即m2-k2+3=0,
所以S△OAB==,为定值.
例3 解:(1)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=.
又焦点(c,0)到直线y=x的距离d==,所以c=,
又c2=a2+b2,所以a2=3,b2=39,
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)证明:由消去y,并整理得(13-k2)x2-18k2x-3(27k2+13)=0(13-k2≠0).
设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠-9,x2≠-9,则x1+x2=,x1x2=-.
设A(-9,t)(t≠0),则B(-9,-t),得直线AM的方程为y-t=(x+9),
直线BN的方程为y+t=(x+9),
两个方程相减得2t=(x+9)①,
因为-=-=,
把上式代入①得2=
(x+9),
所以x==
=-,
因此直线AM与BN的交点在定直线x=-上.
变式 解:(1)设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-2pmy-p2=0,
所以y1+y2=2pm.由抛物线定义,得
AB=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1).
当直线l的倾斜角为30°时,m==,AB=2p(m2+1)=8p=16,所以2p=4,即抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)证明:由(1)得y1+y2=4m,y1·y2=-4.
连接OA,OB,因为△PAB的垂心为原点O,所以OA⊥PB,OB⊥PA.
因为kBO=,所以kAP=-.
所以直线AP的方程为y-y1=-(x-x1),即y=-x+y1.
同理可得,直线BP的方程为y=-x+y2.
由
解得即P(-3,3m),所以点P在定直线x=-3上.
例4 解:(1)∵抛物线C上的点到准线的最小距离为1,∴=1,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)可知F(1,0),
由已知可得AB⊥DE,∴两直线AB,DE的斜率都存在且不为0,
设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线DE的斜率为-,
∴直线AB的方程为y=k(x-1),
由消去x得ky2-4y-4k=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,
∵M(xM,yM)为弦AB的中点,∴yM=(y1+y2)=,
由yM=k(xM-1),得xM=+1=+1,∴点M,
同理可得N(2k2+1,-2k),
∴NF==2,MF=,
∴MF·NF=×2=4×≥4×2=8,
当且仅当|k|=,即k=±1时,等号成立,∴MF·NF的最小值为8.
变式 解:(1)证明:设P(x0,y0),A,B.
因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为关于y的方程=4·,即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实根,所以y1+y2=2y0,
因此PM垂直于y轴.
(2)由(1)可知所以PM=(+)-x0=-3x0,
|y1-y2|=2,
因此S△PAB=PM·|y1-y2|=(-4x0.
因为+=1且-1≤x0<0,
所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5],所以△PAB面积的取值范围是.微突破(五) 直线与圆锥曲线的综合
1.解:(1)根据题意可得可得a2=1,b2=2,
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)如图,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1≠1,x2≠1,
由得(k2-2)x2+2kmx+m2+2=0,
则k2-2≠0,Δ=8(m2-k2+2)>0,
x1+x2=,x1x2=,
又M(1,0),所以kMP·kMQ=·==
=
=
==-,
所以m=2k,所以直线PQ的方程为y=k(x+2),则直线PQ恒过定点(-2,0).
2.解:(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),
则解得
故椭圆E的方程为+=1.
(2)证明:如图,依题可设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
由方程组得(2m2+1)y2-4my-6=0,
则y1+y2=,y1y2=.
直线AP的方程为y=(x+2),直线BQ的方程为y=(x-2),
由方程组得x=x0==
,
由y1+y2=,y1y2=,得2my1y2=-3(y1+y2),
所以x0==
=
=-4,
故点M在定直线x=-4上.
3.解:(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,1),其离心率为,
∴b=1,=,则1-=,∴=,∴a=2,
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)当直线l斜率不存在时,M与O重合,不合题意.
当直线l斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则x0=,y0=,直线l的斜率为=,
由A,B两点在椭圆上,得+=1,+=1,两式相减得=-(-),即=-,
得=-,化简得=-4-y0,
∴MO===,
当y0=-时,MO取得最大值,最大值为.
4.解:(1)显然直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+4,
由消去y得x2-8kx-32=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k,x1x2=-32,则S△OAB=OM·|x1-x2|=×4×=2=16,
当k=0时,S△OAB取得最小值,最小值为16,即△OAB面积的最小值为16.
(2)由(1)得y1+y2=k(x1+x2)+8=8k2+8,y1y2=·===16,
则+=+=+=+=,
+=(y1+y2)2-2y1y2=(8k2+8)2-32=64k4+128k2+32,
所以+===,
所以+为定值.微突破(五) 直线与圆锥曲线的综合
一、定点问题
定点问题的解题策略
(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;
(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线或曲线方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;
(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式y-y0=k(x-x0)或截距式y=kx+b来证明.
例1 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,一个焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m交C于A,B两点,直线F1A与F1B关于x轴对称,证明:直线l恒过一定点.
变式 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线OA,OB的斜率之积为-,求证:直线AB过x轴上一定点.
二、定值问题
定值问题的解题策略:
(1)常见类型:
①证明代数式为定值:依据题设条件,得出与代数式中参数有关的等式,代入代数式后再化简,即可得出定值;
②证明点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离函数解析式,再利用条件化简,即可证明;
③证明线段长度、面积、斜率(或以上量的和、差、积、商)等为定值:写出各量的目标函数解析式,再消参即可.
(2)常用策略:
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②直接推理、计算,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定值.
例2 已知椭圆+=1.
(1)过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦AB,MN,求证:+是定值;
(2)设O为坐标原点,若P,Q在椭圆上且OP⊥OQ,求证:+是定值.
变式 已知O为坐标原点,动直线l:y=kx+m(km≠0)与双曲线C:x2-=1(b>0)的渐近线交于A,B两点,与椭圆D:+y2=1交于E,F两点.当k2=10时,2(+)=3(+).
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 若动直线l与C相切,求证:△OAB的面积为定值.
三、定直线问题
定直线问题的解题策略:
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定动点的轨迹,主要方法如下.
(1)设点法:设点的轨迹,通过已知点的轨迹方程,消去参数,从而得到所求点的轨迹方程;
(2)待定系数法:设出含参数的直线方程,由已知条件求解出参数;
(3)验证法:通过特殊点的位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
例3 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程;
(2)设A,B是直线x=-9上关于x轴对称的两点,直线y=k(x+9)与C交于M,N两点,证明:直线AM与BN的交点在定直线上.
变式 如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,动点P满足△PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时,AB=16.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求证:点P在定直线上.
四、最值与范围问题
最值与范围问题的解题策略
(1)几何法:通过观察掌握几何量的变化规律,利用几何知识点找到几何量取到最值的位置,从而求出最值,这需要熟悉常见的几何模型.
(2)代数法:理解几何量之间的变化规律,找到“变化源头”,通过引入恰当的参数(一般与源头有关),把所求几何量表示成参数的式子,再利用求函数最值的方法(基本不等式、换元法、数形结合等)求得几何量的最值.
例4 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)如图,过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于D,E两点,M,N分别为弦AB,DE的中点,求MF·NF的最小值.
变式 如图,已知点P是y轴左侧一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.微突破(五) 直线与圆锥曲线的综合
1.(13分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且过点(,2).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=kx+m与双曲线C交于P,Q两点,M是C的右顶点,且直线MP与MQ的斜率之积为-,证明直线PQ恒过定点,并求出该定点的坐标.
2.(13分)椭圆E的中心为坐标原点,坐标轴为对称轴,左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),点(1,)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点(-1,0)的直线l与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A,B),记直线AP与直线BQ交于点M,求证:点M在一条定直线上运动.
3.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,1),且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点为O,线段AB的中点为M(与O不重合),求MO的最大值.
4.(15分)已知抛物线C的方程为x2=8y,点M(0,4),过点M的直线交抛物线于A,B两点.
(1)求△OAB面积的最小值(O为坐标原点).
(2)+是否为定值 若是,求出该定值;若不是,说明理由.(共51张PPT)
微突破（五） 直线与圆锥曲线的综合
一、定点问题
二、定值问题
三、定直线问题
四、最值与范围问题
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
一、定点问题
定点问题的解题策略
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化
为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择
参数，建立一个直线或曲线方程，再根据参数的任意性得到一个关
于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式
或截距式 来证明.
例1 已知椭圆的离心率为，一个焦点
与抛物线 的焦点重合.
（1）求椭圆 的方程；
解：由，可得， 椭圆的半焦距 ，
又椭圆的离心率为 ，
，， 椭圆的方程为 .
（2）若直线交于,两点，直线与关于 轴对
称，证明：直线 恒过一定点.
证明：设, ，
则, ，
由可得 ，
，可得 ，
, ，
,即 ，
，
即 ，
，
可得，代入，得 ，
直线的方程为 ，
则直线恒过定点 .
变式 已知抛物线的焦点为， 为坐标原
点，，是抛物线上异于 的两点.
（1）求抛物线 的方程；
解：因为抛物线的焦点为 ，
所以，所以 ,
所以抛物线的方程为 .
（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线过 轴上一定点.
证明：①当直线 的斜率不存在时，
设， .
因为直线，的斜率之积为 ，
所以，化简得 .
所以，，此时直线的方程为 .
②当直线的斜率存在时，设其方程为， ，
，
由消去，化简得 ，所以
，即 ,
则，因为直线，的斜率之积为，所以 ，
整理得 ，即 ，
解得（舍去）或 ，
所以，即 ，
所以直线的方程为，即 .
综上所述，直线过轴上的定点 .
二、定值问题
定值问题的解题策略：
（1）常见类型：
①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的
等式，代入代数式后再化简，即可得出定值；
②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离
函数解析式，再利用条件化简，即可证明；
③证明线段长度、面积、斜率（或以上量的和、差、积、商）等为
定值：写出各量的目标函数解析式，再消参即可.
（2）常用策略：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到
定值.
例2 已知椭圆 .
（1）过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦， ，求证：
是定值；
证明：不妨设弦，过椭圆的左焦点，由题知 ，
， .
当弦， 中有一条为长轴，另一条为过左焦点且平行于短轴的弦时，
由可得
故过左焦点且平行于短轴的弦长为 ，则 .
当弦，中没有一条为长轴时，直线, 的斜率均存在且不
为0,设，则，联立直线 与椭圆方程得
可得 ，
则 ，
设，，则， ，
.
用替换上式中的即得 ，
因此 .
综上， ，为定值.
（2）设为坐标原点，若，在椭圆上且 ，求证：
是定值.
解： 分以下两种情况讨论：
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为 ，
由可得， ，则
.
用替换上式中的即得 ，
因此 .
当直线， 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，
.
综上所述， ，为定值.
变式 已知为坐标原点，动直线 与双曲线
的渐近线交于， 两点，与椭圆
交于，两点.当 时，
.
（1）求双曲线 的方程；
解：设，，， ，
因为，所以 .
易知双曲线的渐近线方程为或，由 得
，
由得 ，所以 .
由得 ，所以
，
所以，即，
由 ，得，所以双曲线的方程为 .
（2）若动直线与相切，求证： 的面积为定值.
证明：由（1）得， ，
所以， ,
又易知两条渐近线的夹角为 ，所以
.
由得 ，
因为直线与双曲线相切，所以 ，且
，即 ，
所以 ，为定值.
三、定直线问题
定直线问题的解题策略：
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的
问题.这类问题的核心在于确定动点的轨迹，主要方法如下.
（1）设点法：设点的轨迹，通过已知点的轨迹方程，消去参数，从
而得到所求点的轨迹方程；
（2）待定系数法：设出含参数的直线方程，由已知条件求解出参数；
（3）验证法：通过特殊点的位置求出直线方程，对一般位置再进行
验证.
例3 已知双曲线 的一条渐近线方程为
，一个焦点到该渐近线的距离为 .
（1）求 的方程；
解：双曲线的渐近线方程为 ，
所以 .
又焦点到直线的距离，所以 ，
又，所以， ，
所以双曲线的方程为 .
（2）设，是直线上关于 轴对称的两点，直线
与交于，两点，证明：直线与 的交点在定
直线上.
证明：由消去 ，并整理得
.
设，，，,则 ，
.
设，则，得直线 的方程为
，直线的方程为 ，
两个方程相减得 ，
因为 ，
把上式代入①得 ，
所以 ，
因此直线与的交点在定直线 上.
变式 如图，已知抛物线的焦点为，过点 的直
线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点 .当直
线的倾斜角为 时， .
（1）求抛物线 的标准方程；
解：设直线的方程为， ，
.
由得 ，
所以 .
由抛物线定义，得 .
当直线的倾斜角为 时， ，
，所以，即抛物线 的标准方程
为 .
（2）求证：点 在定直线上.
证明：由（1）得， .
连接,，因为的垂心为原点 ，所以
， .
因为，所以 .
所以直线的方程为 ，即
.
同理可得，直线的方程为 .
由
解得即，所以点 在
定直线 上.
四、最值与范围问题
最值与范围问题的解题策略
（1）几何法：通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到
几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.
（2）代数法：理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过
引入恰当的参数（一般与源头有关），把所求几何量表示成参数的
式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合
等）求得几何量的最值.
例4 已知抛物线的焦点为 ，
抛物线 上的点到准线的最小距离为1.
（1）求抛物线 的方程；
解: 抛物线 上的点到准线的最小距离为1，
，解得 ，
抛物线的方程为 .
（2）如图，过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线 交于
，两点，与抛物线交于,两点，,分别为弦, 的中点，
求 的最小值.
解:由（1）可知 ，
由已知可得， 两直线， 的斜率都
存在且不为0，
设直线的斜率为，则直线 的斜率为
，
直线的方程为 ，
由消去得 ，设点
，，则 ，
为弦 的中点，
，
由，得， 点
，同理可得 ，
， ，
，
当且仅当，即 时，等号成立，
的最小值为8.
变式 如图，已知点是轴左侧一点，抛物线 上存在不
同的两点，满足，的中点均在 上.
（1）设中点为，证明：垂直于 轴；
证明：设，， .
因为，的中点在抛物线上，所以， 为关
于的方程 ，
即 的两个不同的实根，所以
，
因此垂直于 轴.
（2）若是半椭圆上的动点，求 面积的取
值范围.
解：由（1）可知 所以
， ，
因此 .
因为且 ，
所以，所以
面积的取值范围是 .
练习册
1.（13分）已知双曲线的离心率为 ，
且过点 .
（1）求双曲线 的方程；
解：根据题意可得可得， ，
所以双曲线的方程为 .
（2）若直线与双曲线交于,两点，是 的右顶点，
且直线与的斜率之积为，证明直线 恒过定点，并求出该
定点的坐标.
解：如图，设， ，
则， ，由
得 ，
则， ，
， ，
又，所以
，
所以，所以直线的方程为，则直线 恒过定
点 .
2.（13分）椭圆 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点
分别为，，点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
解：设椭圆的方程为 ，
则解得
故椭圆的方程为 .
（2）过点的直线与椭圆交于，两点均异于点， ，
记直线与直线交于点，求证：点 在一条定直线上运动.
证明：如图，依题可设直线的方程为 ，
，， ，
由方程组 得
，
则， .
直线的方程为，直线 的方程为 ，
由方程组 得
，
由， ，得 ，
所以 ，
故点在定直线 上.
3.（15分）已知椭圆经过点 ,且离心
率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解： 椭圆经过点,其离心率为 ，
,，则,, ,
故椭圆的标准方程为 .
（2）设过点的直线与椭圆交于,两点,坐标原点为 ,线段
的中点为（与不重合）,求 的最大值.
解：当直线斜率不存在时,与 重合,不合题意.
当直线斜率存在时,设,, ,
则,,直线的斜率为 ,
由,两点在椭圆上,得, ,两式相减得
,即 ,
得,化简得 ,
,
当时,取得最大值，最大值为 .
4.（15分）已知抛物线的方程为,点,过点 的直线交
抛物线于， 两点.
（1）求面积的最小值为坐标原点 .
解：显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为 ,
由消去得,设, ,则
,,
则
,
当时,取得最小值,最小值为,即 面积的最小值为 .
（2） 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
解：由（1）得 ,
,
则 ,
,
所以 ,
所以为定值 .
快速核答案（导学案）
例1 （1）（2）略
变式 （1）（2）略
例2 略 变式 （1）（2）略
例3 （1）（2）略
变式 （1）（2）略
例4 （1）（2）8
变式 （1）略（2）
快速核答案（练习册）
1.（1）（2）直线恒过定点.
2.（1）（2）略
3.（1）（2）
4.（1）（2）为定值
