滚动习题(三)
1.B [解析] 若点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,则根据椭圆的定义可知MF1+MF2=2a (a>0,且a为常数)成立,且是定值.若MF1+MF2=2a (a>0,且a为常数),则当2a≤F1F2时,点M的轨迹不是椭圆.所以“MF1+MF2是定值”是“点M的轨迹是椭圆”的必要且不充分条件.故选B.
2.D [解析] 由已知可得,椭圆的标准方程为+=1,则a=7,b=2,c==3,所以椭圆的长轴长为2a=14,短轴长为2b=4,离心率e==.故选D.
3.D [解析] 因为m+3>m-2,所以椭圆的焦点在y轴上,且c2=m+3-(m-2)=5,可得c=,故椭圆的焦点为(0,±),故选D.
4.D [解析] 根据椭圆的对称性可知P3,P4在椭圆上,P1不在椭圆上,P2(0,)在椭圆上.将P2(0,),P3的坐标代入椭圆方程得解得故椭圆C的标准方程为+=1.故选D.
5.A [解析] 设该弦与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则kAB=,因为点(2,2)为线段AB的中点,所以由题意知+=1,+=1,两式作差可得+=0,所以=·=-,即kAB×=-,可得kAB=-,所以直线AB的方程为y-2=-(x-2),即x+4y-10=0.故选A.
6.C [解析] 不妨设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦点F1(c,0),F2(-c,0),离心率为e,将x=c代入椭圆方程得+=1,可得y=±,所以AB=,又△ABF2是等腰直角三角形,所以AB==2F1F2=4c,所以=2c,则c2-a2+2ac=0,所以e2+2e-1=0,解得e=-1(负值舍去).故选C.
7.BC [解析] 由题可得a=5,c==3,则2=a-c≤PF≤a+c=8.故选BC.
8.BD [解析] 因为e=,即=,所以=,则=,故A错误;因为=,所以c=a,ac=a2,由=,得b2=a2,故b2=ac,故B正确;因为AB2=a2+b2,BF2=b2+c2,AF2=(a+c)2,所以AB2+BF2-AF2=a2+b2+b2+c2-(a+c)2=2(b2-ac)=0,即AB2+BF2=AF2,故∠ABF=90°,C错误;将x=c 代入+=1中,得y=±,故PQ=,又OF=c==PQ,所以∠POQ=90°,D正确,故选BD.
9.+=1 [解析] 由题可知,椭圆的焦距是2,焦点在x轴上,则其焦点坐标为(-,0)与(,0),其中c=,又椭圆经过点(,),所以2a=+=+=+=6,即a=3,则b2=a2-c2=9-6=3,则椭圆的标准方程+=1.
10.x+2y-4=0 [解析] 易知点P在椭圆上,且切线斜率存在,设切线方程为y-=k(x-1),将切线方程与+=1联立,消去y得(3+4k2)x2+8kx+4k2-12k-3=0,令Δ=64·k2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,化简得(2k+1)2=0,解得k=-,故所求切线方程为x+2y-4=0.
11.2-7 [解析] 由圆M:x2+(y-4)2=1,可知圆心为M(0,4),半径r=1,设椭圆C:+y2=1的左焦点为F1,则F1(-2,0),且2a=6,则PQ-PF≥PM-r-PF=PM-PF-1,再由椭圆的定义可知PF=2a-PF1=6-PF1,则PQ-PF≥PM-PF-1=PM+PF1-7≥MF1-7,当且仅当点P,Q在线段MF1上时,等号成立,又MF1==2,所以PQ-PF的最小值为2-7.
12.解:(1)由题意得可得所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由消去y得x2+3(x+)2=3,化简得4x2+6x+3=0,则Δ=(6)2-4×4×3=24,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),故x1+x2=-,x1·x2=,所以PQ==×=.
13.解:(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意得a-c=OA-OF2=F2A≈6371+200=6571,a+c=OB+OF2=F2B≈6371+350=6721.
解得a=6646,c=75,所以a2=44 169 316,b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=6721×6571=44 163 691,所以椭圆的方程为+=1.
(2)21小时23分是21×3600+23×60=76 980(秒),
b=≈6645.58,所以总飞行距离为14×L=14[2π×6645.58+4(6646-6645.58)]≈584 302.91,
则平均速度是≈7.59(千米/秒),即飞船巡天飞行的平均速度是7.59千米/秒.
14.解:(1)由题可设直线AB的方程为+=1,即bx-ay-ab=0,
由题意得可得
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由得(1+3k2)x2+12kx+9=0,
所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)=144k2-108k2-36=36k2-36>0(*),
设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
因为EC⊥ED,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=0,
所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
所以(x1+1)(x2+1)+(kx1+2)(kx2+2)=0,所以(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x1)+5=0,
将x1+x2=-,x1x2=代入上式,解得k=,满足(*)式,所以k=.滚动习题(三)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2025·江苏徐州一中高二调研] 平面内有两个定点F1,F2和一个动点M,则“MF1+MF2是定值”是“点M的轨迹是椭圆”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.椭圆4x2+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )
A.7,2, B.14,4,
C.7,2, D.14,4,
3.[2025·山东济宁一中高二质检] 椭圆+=1(m>2)的焦点坐标为 ( )
A.(±5,0) B.(0,±5)
C.(±,0) D.(0,±)
4.[2025·安徽黄山一中高二调研] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1,P2(0,),P3,P4中恰有三点在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.[2025·广东佛山高二期中] 椭圆+=1的一条弦被点(2,2)平分,则这条弦所在的直线的方程为 ( )
A.x+4y-10=0
B.x-4y-10=0
C.4x-4y+10=0
D.4x-y-10=0
6.[2025·湖南株洲一中高二月考] 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C.-1 D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知椭圆C:+=1的左焦点为F,点P是椭圆C上的动点,则PF的值可能是 ( )
A.1 B.3
C.6 D.10
8.[2025·江苏盐城中学高二期末] 黄金比例被公认为是最具美感的比例,其值为K=.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=K,设坐标原点为O,椭圆的右焦点为F,左顶点为A,下顶点为B,过点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点P和Q,则 ( )
A.=
B.b2=ac
C.∠ABF>90°
D.∠POQ=90°
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.[2025·江苏新海中学高二期中] 已知椭圆的中心在坐标原点O,对称轴是坐标轴,焦点在x轴上,焦距为2,且经过点(,),该椭圆的标准方程是 .
10.过点P的椭圆+=1的切线方程为 .
11.已知F为椭圆C:+y2=1的右焦点,P为C上一点,Q为圆M:x2+(y-4)2=1上一点,则PQ-PF的最小值为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为2,且点M在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线y=x+与椭圆E交于不同的两点P和Q,求PQ的值.
13.(15分)神舟飞船是中国自行研制的航天器.其中神舟五号的轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆,选取坐标系如图所示,椭圆中心在坐标原点,近地点A距地面200千米,远地点B距地面350千米,O为坐标原点,已知地球半径R≈6371千米.
(1)求飞船飞行的椭圆轨道方程.
(2)神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈,历时21小时23分,若椭圆周长的一个近似公式为L=2πb+4(a-b)(a,b分别为椭圆的长半轴与短半轴的长),求神舟五号飞船的平均飞行速度(单位:千米/秒,结果精确到0.01,π取3.14).
14.(15分)[2025·江苏镇江中学高二期中] 已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C,D两点.问:是否存在k的值,使EC⊥ED 请说明理由.(共28张PPT)
滚动习题（三）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.［2025·江苏徐州一中高二调研］平面内有两个定点, 和一个动
点，则“是定值”是“点 的轨迹是椭圆”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 若点的轨迹是以, 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可
知，且为常数 成立，且是定值.
若，且为常数，则当时，点 的轨
迹不是椭圆.
所以“是定值”是“点 的轨迹是椭圆”的必要且不充分条件.
故选B.
2.椭圆 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.7,2, B.14,4, C.7,2, D.14,4,
[解析] 由已知可得，椭圆的标准方程为，则 ，
，，所以椭圆的长轴长为 ，短轴长
为，离心率 .故选D.
√
3.［2025·山东济宁一中高二质检］椭圆 的焦
点坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以椭圆的焦点在 轴上，且
，可得，故椭圆的焦点为 ，
故选D.
√
4.［2025·安徽黄山一中高二调研］已知椭圆
,四点,, ,
中恰有三点在椭圆上,则椭圆 的标准方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据椭圆的对称性可知, 在椭圆上,
不在椭圆上,在椭圆上.
将, 的坐标代入椭圆方程得
解得故椭圆 的标准方程为 .
故选D.
5.［2025·广东佛山高二期中］椭圆的一条弦被点 平
分，则这条弦所在的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设该弦与椭圆的两个交点分别为， ，则
，因为点为线段的中点，所以
由题意知，，两式作差可得 ，
所以，即，可得 ，
所以直线的方程为，即 .故选A.
6.［2025·湖南株洲一中高二月考］已知, 是椭圆的两个焦点，过
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,两点，若 是等腰直
角三角形，则这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 不妨设椭圆的标准方程为 ，焦点
,，离心率为，将代入椭圆方程得 ，
可得，所以,
又 是等腰直角三角形，所以，
所以，则 ，
所以，解得 （负值舍去）.故选C.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.已知椭圆的左焦点为，点是椭圆 上的动点，则
的值可能是( )
A.1 B.3 C.6 D.10
[解析] 由题可得， ，
则.故选 .
√
√
8.［2025·江苏盐城中学高二期末］黄金比例被公认为是最具美感的
比例，其值为.已知椭圆 的离心率
，设坐标原点为，椭圆的右焦点为，左顶点为 ，下顶点为
，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点和 ，则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为，即，所以 ，则
，故A错误；
因为，所以, ，
由，得，故 ，故B正确；
因为,, ，所以
，
即，故 ，C错误；
将 代入中，得，故，
又 ，所以 ，D正确，
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.［2025·江苏新海中学高二期中］已知椭圆的中心在坐标原点 ，
对称轴是坐标轴，焦点在轴上，焦距为，且经过点 ，
该椭圆的标准方程是_ __________.
[解析] 由题可知，椭圆的焦距是，焦点在 轴上，则其焦点坐标
为与，其中，
又椭圆经过点 ，所以
，即 ，则
，则椭圆的标准方程 .
10.过点的椭圆 的切线方程为______________.
[解析] 易知点 在椭圆上，且切线斜率存在，设切线方程为
，将切线方程与联立，消去 得
，
令 ，化简得
，解得，故所求切线方程为 .
11.已知为椭圆的右焦点，为上一点， 为圆
上一点，则 的最小值为_________.
[解析] 由圆，可知圆心为，半径 ，
设椭圆的左焦点为，则，且 ，
则 ，
再由椭圆的定义可知 ，则
,当且仅当点 ,在线段上时，
等号成立，
又 ,所以的最小值为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知椭圆的长轴长为 ，且
点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意得可得
所以椭圆 的方程为 .
（2）若直线与椭圆交于不同的两点和，求 的值.
解：由消去得 ，化简得
，则 ,
设,，故, ,所以
.
13.（15分）神舟飞船是中国自行研制的航天器.其中神舟五号的轨道
是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆
中心在坐标原点，近地点距地面200千米，远地点 距地面350千
米，为坐标原点，已知地球半径 千米.
（1）求飞船飞行的椭圆轨道方程.
解：设椭圆的方程为 ,
解得，,所以 ，
, 所以椭
圆的方程为 .
由题意得 ,
.
（2）神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分,若椭圆周
长的一个近似公式为， 分别为椭圆的长半轴
与短半轴的长 ，求神舟五号飞船的平均飞行速度（单位：千米/秒，
结果精确到， 取 ）.
解：21小时23分是（秒），
则平均速度是 （千米/秒），即飞船
巡天飞行的平均速度是7.59千米/秒.
,所以总飞行距离为 ，
14.（15分）［2025·江苏镇江中学高二期中］ 已知椭圆
的短轴长为2，过点和 的直线
与原点的距离为 .
（1）求椭圆的方程.
解：由题可设直线的方程为，即 ，
由题意得可得
所以椭圆的方程为 .
（2）已知定点，若直线与椭圆交于，
两点.问：是否存在的值，使 请说明理由.
解：由得 ，
所以 ，
设，，则， .
因为，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以
，
将，代入上式，解得，满足 式，
所以 .
快速核答案
1.B 2.D 3.D 4.D 5.A 6.C
7.BC 8.BD
9. 10. 11.
12.（1）（2）
13.（1）（2）7.59千米/秒.
14.（1）（2）
