滚动习题(四)
1.C [解析] 抛物线的方程可以转化为x2=y,则抛物线的准线方程为y=-.故选C.
2.D [解析] 因为双曲线C的一个焦点是F1(0,2),所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线方程为y=±x,由解得所以C的方程是-x2=1.故选D.
3.A [解析] 由-=1,得+=1,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则t-2>4-t>0,解得34.A [解析] 依题意,A(2,-2)在抛物线y=ax2(a<0)上,所以-2=a×22 a=-,所以抛物线方程为y=-x2,即x2=-2y,故p=1,即=,且抛物线开口向下,所以抛物线的焦点坐标为.故选A.
5.C [解析] 不妨设点A位于第一象限,对于y2=12x,令x=1可得y=±2,则A(1,2),B(1,-2),易知F(3,0),取H(1,0)(如图),∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,则∠AFB=120°.故选C.
6.C [解析] 如图,设BF1=m,则BF2=m,因为3AF2=2F2B,所以AF2=m,根据双曲线的定义得AF1=m+2a,因为AF1⊥BF1,所以由勾股定理得+m2=,即(m-3a)(m+a)=0,所以m=3a,则BF1=3a,AF2=2a,AF1=4a.在△AF1F2中,
cos∠AF1F2==.设O为原点,在△OF1B中,cos∠OBF1=.因为
∠AF1F2+∠BF1O=90°,∠BF1O+∠OBF1=90°,所以∠AF1F2=∠OBF1,从而cos∠AF1F2=
cos∠OBF1,即= (9a2-5c2)2=0 9a2=5c2,所以9a2=5(a2+b2) = =,所以双曲线渐近线的方程为y=±x.故选C.
7.BC [解析] 对于选项A,双曲线C1:-=1的实轴在x轴上,双曲线C2:-=1的实轴在y轴上,所以选项A错误;对于选项B,因为双曲线C1:-=1和C2:-=1的焦距均为2c=,所以选项B正确;对于选项C,双曲线C1:-=1的渐近线方程为y=±x,双曲线C2:-=1的渐近线方程为y=±x,所以选项C正确;对于选项D,双曲线C1:-=1的离心率e1==,双曲线C2:-=1的离心率e2==,因为a≠b,所以e1≠e2,故选项D错误.故选BC.
8.ABD [解析] 对选项A,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,所以p=4,则F(2,0),故A正确.对选项B,当直线l的斜率不存在时,l:x=2,所以x1x2=2×2=4,当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-2),由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1x2=4,故B正确.对选项C,AB=x1+x2+p=5+4=9,故C错误.对选项D,如图所示,过A,B,M分别向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,M1,因为AA1=AF,BB1=BF,所以AB=AF+BF=AA1+BB1=2MM1,即以线段AB为直径,M为圆心的圆与C的准线相切,故D正确.故选ABD.
9.4 [解析] 由题意得F(1,0),准线方程为x=-1,设A(m,n),则AF中点的横坐标为,由=2,解得m=3,由抛物线的定义可知AF=3+1=4.
10.{-1,1} [解析] 由离心率为可得=,解得a=1,则C:x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,又直线x+my-4=0不过原点,所以m=±1,故m的取值集合为{-1,1}.
11.4 [解析] 由题意可知,焦点F(0,1),抛物线的准线为y=-1,设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+1,则MF=y1+1=5,∴y1=4,代入y1=kx1+1,得x1=±4,由抛物线的对称
性,不妨设M在第一象限,则M(4,4).由得x2-4kx-4=0,∴x1·x2=-4,即x2=-1,∴==4.
12.解:(1)因为点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+3=0的距离小2,
所以点P与点F(0,1)的距离和它到直线y+1=0的距离相等,
则点P的轨迹C是以F(0,1)为焦点,直线y+1=0为准线的抛物线,
故轨迹C的方程为x2=4y.
(2)证明:设A,B在准线上的射影分别为A1,B1,如图,过点B作BM⊥BB1,BM与AA1交于点M,
因为AF=AA1,BF=BB1,AF-BF=2,所以AA1-BB1=AM=2,
又AB=3,所以BM===,
故直线AB的斜率k===.
13.解:(1)由题意知解得则b==4,
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)设双曲线C的左焦点为F0,
则F0(-5,0),如图,连接PF0,
由双曲线的定义知PF-PF0=2a=6,则PF=PF0+6,可得PA+PF=PA+PF0+6,当P,F0,A三点共线时,PA+PF0最小,且最小值为AF0=12+5=17.故PA+PF的最小值为17+6=23.
14.解:(1)由题可知F(3,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为θ=,所以直线l的斜率k=,
则直线l的方程为x-y-5=0,
因此点O到直线l的距离d=.
由可得y2-4y-60=0,显然Δ1=(-4)2-4×(-60)>0,所以y1+y2=4,y1y2=-60,则AB=·=·=8,
所以S△OAB=d·AB=30.
(2)假设存在满足题意的直线l,设直线l的方程为y=x+b,即x=y-b,
由得y2-12y+12b=0,
故Δ2=144-48b>0,即b<3,y1+y2=12,y1y2=12b.
易知=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),因为FA⊥FB,所以·=0,
因为x1=y1-b,x2=y2-b,所以2y1y2-(b+3)(y1+y2)+(b+3)2=0,即b2+18b-27=0,解得b=-9+6或b=-9-6,故存在斜率为1的直线l,使得FA⊥FB,此时直线l的方程为y=x-9+6或y=x-9-6.滚动习题(四)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2025·江苏扬州中学高二期中] 抛物线3y=8x2的准线方程是 ( )
A.x=- B.x=
C.y=- D.y=
2.[2025·河北秦皇岛一中高二月考] 已知双曲线C的一个焦点是F1(0,2),渐近线方程为y=±x,则C的方程是 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.y2-=1 D.-x2=1
3.已知曲线C:-=1,则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分且不必要条件是 ( )
A.C.34.数学与建筑的结合造就建筑艺术品,已知某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y=ax2(a<0)的一部分,且点A(2,-2)在该抛物线上,则该抛物线的焦点坐标是 ( )
A. B.(0,-1)
C. D.
5.[2025·江苏徐州一中高二质检] F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
6.[2025·天津南开区期末] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上一点(在第一象限),直线AF2与y轴交于点B,若AF1⊥BF1,且3AF2=2F2B,则C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·山东菏泽一中高二月考] 已知双曲线C1:-=1 和C2:-=1,其中a>0,b>0,且a≠b,则 ( )
A.C1与C2有相同的实轴
B.C1与C2有相同的焦距
C.C1与C2有相同的渐近线
D.C1与C2有相同的离心率
8.[2025·福建厦门一中高二质检] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,直线l过它的焦点F且与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,M为弦AB的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.抛物线C的焦点坐标是(2,0)
B.x1x2=4
C.若x1+x2=5,则AB=7
D.若以M为圆心的圆与C的准线相切,则线段AB是该圆的一条直径
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A为C上的一点,AF中点的横坐标为2,则AF= .
10.已知直线x+my-4=0与离心率为的双曲线C:-y2=1(a>0)的一条渐近线平行,则m的取值集合为 .
11.[2025·浙江绍兴一中高二质检] 已知抛物线的方程为x2=4y,过其焦点F的直线与抛物线交于M,N两点,且MF=5,O为坐标原点,则△MOF的面积与△NOF的面积之比为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+3=0的距离小2.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若点P的轨迹C上有两点A,B均在第一象限,且AF-BF=2,AB=3,求证:直线AB的斜率是.
13.(15分)[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,F(c,0)为双曲线的右焦点,且点F到直线x=的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若点A(12,0),点P为双曲线C左支上一点,求PA+PF的最小值.
14.(15分)[2025·广东深圳中学高二调研] 已知顶点为原点O的抛物线y2=12x的焦点为F,直线l与抛物线交于A,B两点.
(1)若直线l过点M(5,0),且其倾斜角θ=,求S△OAB的值.
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得FA⊥FB 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.(共27张PPT)
滚动习题（四）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.［2025·江苏扬州中学高二期中］抛物线 的准线方程是
( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线的方程可以转化为 ，
则抛物线的准线方程为 .故选C.
√
2.［2025·河北秦皇岛一中高二月考］已知双曲线 的一个焦点是
，渐近线方程为，则 的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为双曲线的一个焦点是 ，所以设双曲线方程为
，则双曲线的渐近线方程为 ，
由解得所以的方程是 .故选D.
√
3.已知曲线，则为焦点在 轴上的椭圆的一个充分
且不必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，若曲线是焦点在 轴上的
椭圆，则，解得，结合选项可知，曲线
是焦点在轴上的椭圆的一个充分且不必要条件是 .故选A.
√
4.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，已知某大学的校门是一抛物线
形水泥建筑物，将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似
看成抛物线的一部分，且点 在该抛物线上，
则该抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，在抛物线 上，所以
，所以抛物线方程为,即 ，
故,即 ，且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为
.故选A.
5.［2025·江苏徐州一中高二质检］为抛物线 的焦点，
直线与抛物线交于,两点，则 为( )
A. B. C. D.
[解析] 不妨设点位于第一象限，对于，令
可得，则,，
易知 ，取（如图），
，
,则 .故选C.
√
6.［2025·天津南开区期末］已知双曲线
的左、右焦点分别为,，是上一点（在第一象限），直线
与轴交于点，若，且，则 的渐近线方程
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设，则 ，因为
，所以 ，根据双曲线的定义得
，
，
即,所以 ，则,,.
在 中，.设 为原点，
在中， .
, ,
所以，从而 ,
即 ,
所以 ,
所以双曲线渐近线的方程为 .
故选C.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.［2025·山东菏泽一中高二月考］已知双曲线 和
，其中,，且 ，则( )
A.与有相同的实轴 B.与 有相同的焦距
C.与有相同的渐近线 D.与 有相同的离心率
√
√
[解析] 对于选项A，双曲线的实轴在 轴上，双曲线
的实轴在 轴上，所以选项A错误；
对于选项B，因为双曲线和的焦距均为
，所以选项B正确；
对于选项C，双曲线 的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为 ，所以选项C正确；
对于选项D，双曲线 的离心率，双曲线
的离心率 ，因为，所以，
故选项D错误.故选 .
8.［2025·福建厦门一中高二质检］已知抛物线
的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于 ，
两点，为弦 的中点，则下列说法正确的是( )
A.抛物线的焦点坐标是
B.
C.若，则
D.若以为圆心的圆与的准线相切，则线段 是该圆的一条直径
√
√
√
[解析] 对选项A，抛物线 的焦
点到准线的距离是4，所以，则 ，故A正确.
对选项B，当直线的斜率不存在时， ，
所以，当直线 的斜率存在时，
设，由 得
，所以 ，故B正确.
对选项C，，故C错误.
，
所以，
即以线段 为直径，为圆心的圆与 的准线相切，
故D正确.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.已知为抛物线的焦点，为上的一点， 中点的横坐
标为2，则 ___.
4
[解析] 由题意得，准线方程为，设，则 中点
的横坐标为，由，解得 ，由抛物线的定义可知
.
10.已知直线与离心率为 的双曲线
的一条渐近线平行,则 的取值集合为_______.
,
[解析] 由离心率为可得,解得,则 的
渐近线方程为,
又直线不过原点，所以 ,
故的取值集合为, .
11.［2025·浙江绍兴一中高二质检］已知抛物线的方程为 ，
过其焦点的直线与抛物线交于，两点，且， 为坐标原
点，则的面积与 的面积之比为___.
4
[解析] 由题意可知，焦点，抛物线的准线为 ，设
，,，则 ，
,代入,得 ，由抛物线的对称
性，不妨设在第一象限，则.
由 得,，即，
.
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知点与点的距离比它到直线 的距离小2.
（1）求点的轨迹 的方程；
解：因为点与点的距离比它到直线 的距离小2，
所以点与点的距离和它到直线 的距离相等，
则点的轨迹是以为焦点，直线 为准线的抛物线，
故轨迹的方程为 .
（2）若点的轨迹上有两点， 均在第一象限，且
，，求证：直线的斜率是 .
证明：设,在准线上的射影分别为, ，如图，
过点作，与交于点 ，
因为，， ，所以
，
又，所以 ，
故直线的斜率 .
13.（15分）［2025·江苏盐城中学高二月考］ 已知双曲线
的离心率为， 为双曲线的右焦点，
且点到直线的距离为 .
（1）求双曲线 的方程;
解：由题意知解得则 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）若点，点为双曲线左支上一点，求 的最小值.
解：设双曲线的左焦点为 ，
则，如图，连接 ,
由双曲线的定义知 ，则
，可得 ，
当，，三点共线时， 最小，且最小值为
.故的最小值为 .
14.（15分）［2025·广东深圳中学高二调研］ 已知顶点为原点 的
抛物线的焦点为，直线与抛物线交于, 两点.
（1）若直线过点，且其倾斜角，求 的值.
解：由题可知 ，
设,，因为，所以直线的斜率 ，
则直线的方程为 ，
因此点到直线的距离 .
由可得 ，显然
，所以, ，
则 ，
所以 .
（2）是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
解：假设存在满足题意的直线,设直线的方程为 ，即
，
由得 ，
故，即，, .
易知,,因为 ，所以
，
因为, ，所以
，即 ，解
得或，故存在斜率为1的直线 ，使得
，此时直线的方程为或 .
快速核答案
1.C 2.D 3.A 4.A 5.C 6.C
7.BC 8.ABD
9.4 10., 11.4
12.（1）（2）略
13.（1）（2）
14.（1）（2）或
