单元素养测评卷(三)
1.B [解析] 双曲线-y2=1的渐近线方程是y=±x.故选B.
2.C [解析] 由题可得,p=4,点P到该抛物线的准线的距离为6+=8,根据抛物线的定义可知,点P到该抛物线焦点的距离是8,故选C.
3.C [解析] ∵椭圆+=1的焦点在y轴上且长半轴长a1=7,短半轴长b1=2,半焦距c1==5,∴椭圆+=1的焦点为(0,5),(0,-5),上、下顶点分别为(0,7),(0,-7),∴双曲线的顶点为(0,5),(0,-5),焦点为(0,7),(0,-7),∴双曲线的实半轴长a2=5,半焦距c2=7,虚半轴长b2=2, ∴双曲线方程是-=1.故选C.
4.C [解析] 由题可得椭圆C:+=1的长半轴长a=2,所以AF1+AF2=2a=4,BF1+BF2=2a=4,所以平行四边形AF1BF2的周长为8.故选C.
5.A [解析] 连接PF,如图所示,设M为准线与x轴的交点,因为∠PQF=30°,且PF=PQ,所以∠PFQ=30°,∠QPF=120°,因为FM∥PQ,所以∠QFM=30°,而cos 30°===,所以QF=,所以PF=PQ=÷cos 30°=÷=.故选A.
6.A [解析] 双曲线的渐近线方程为y=±x,记椭圆和双曲线的半焦距分别为c1,c2,因为-4=2,所以-4×=-4×=-4×=+1-4=2,令=k(07.D [解析] 如图,延长QF2,与双曲线交于点P',因为F1P∥F2P',所以根据对称性可知F1P=F2P',设F2P'=F1P=t,则F2P=F2Q=3t,可得F2P-F1P=2t=2a,即t=a,所以P'Q=4t=4a,连接F1P',QF1,则QF1=QF2+2a=5a,则F1P'=F2P=3a,所以P'Q2+F1P'2=Q,可知∠F1P'Q=
∠F1PF2=90°,在△P'F1F2中,由勾股定理得F2P'2+F1P'2=F1,即a2+(3a)2=4c2,解得e==(e为双曲线C的离心率).故选D.
8.B [解析] 因为椭圆C的离心率e==,所以a=c.因为a2=b2+c2,所以b=2c,所以椭圆C的蒙日圆的半径为=3c.因为MP⊥MQ,所以PQ为蒙日圆的直径,所以PQ=6c,所以MP2+MQ2=PQ2=36c2.因为MP·MQ≤=18c2,当且仅当MP=MQ=3c时,等号成立,所以△MPQ面积的最大值为(MP·MQ)max=9c2.由△MPQ面积的最大值为36,得9c2=36,可得c=2,所以a=2,故椭圆C的长轴长为4.故选B.
9.ABD [解析] 当α∈时,cos α>0>sin α,方程x2cos α+y2sin α=1表示双曲线;当α=0时,方程为x2=1,即x=±1,表示两条直线;当α∈时,010.ACD [解析] 如图,kAB·kFB=·=-,因为e==,所以可设a=2t,则c=(-1)t,所以a2-c2=ac,即b2=ac,所以kAB·kFB=-1,则FB⊥AB.因为=1-=>,所以tan∠BAF=>,即∠BAF>30°.由b2=ac得c2-ab=c2-a=(-)≠0,所以c2≠ab.故选ACD.
11.AC [解析] 设P(x1,y1),Q(x2,y2),O为坐标原点.A:+=1表示的曲线是椭圆,既关于x轴对称,也关于y轴对称,且曲线是封闭图形,连接OP,OQ,所以对于曲线上任意的点P,在曲线上都存在点Q使得OP⊥OQ,所以A满足题意;B:x2-y2=1表示的曲线是双曲线,且双曲线的渐近线斜率为±1,所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域,连接OP,OQ,当点P,Q在双曲线同一支上时,∠POQ<90°,当P,Q不在双曲线同一支上时,∠POQ>90°,所以∠POQ≠90°,即OP与OQ不垂直,所以B不满足题意;C:y2=2x表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且关于x轴对称,设P,Q为抛物线上两点,当点P与O重合时,x1x2+y1y2=0成立,当点P与O不重合时,连接OP,过点O作OP的垂线,且垂线与抛物线的一个交点为Q,所以∠POQ=90°或点Q与O重合,此时x1x2+y1y2=0成立,所以C满足题意;D:设P,Q为曲线|y|=|x|+1上两点,取P(0,1),连接OP,OQ,假设OP⊥OQ,则y2=0,显然与|y2|≥1矛盾,假设不成立,所以D不满足题意.故选AC.
12.-=1 [解析] 由3x±4y=0 y=±x,所以设双曲线的方程为-=λ(λ≠0),因为点M(-2,3)在双曲线上,所以-=λ λ=-,所以该双曲线的标准方程为-=1.
13. [解析] 设直线AB的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-2my-2t=0,则y1y2=-2t.由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=+y1y2=0,即y1y2=-4,∴t=2,即直线AB过定点(2,0),∴抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-=.
14. [解析] 如图,∵椭圆C的焦点在x轴上,两个顶点分别为点A(-2,0),B(2,0),∴a=2.∵椭圆C的离心率e==,∴c=,∴b2=a2-c2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.设D(x0,0),M(x0,y0),N(x0,-y0),|x0|<2,y0>0,可得=1-,则直线AM的方程为y=(x+2),∵DE⊥AM,∴kDE=-,则直线DE的方程为y=-(x-x0),直线BN的方程为y=(x-2).将直线DE与直线BN的方程联立可得 可得(x-x0)=(x-2),即(-4)(x-x0)=(x-2),即(-4)(x-x0)=(x-2),可得x=xE=,代入直线DE的方程可得y=yE=-.=-=-y0,则==,故===.
15.解:(1)由题意,设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
因为A,B(1,0)在椭圆上,
所以解得
故椭圆C的标准方程为x2+=1.
(2)由题意得,直线l的斜率存在且设为k,
则直线l的方程为y=k(x-2),即y=kx-2k,
与椭圆C方程联立得消去y得(4+k2)x2-4k2x+4k2-4=0,
因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=(4k2)2-4(4+k2)(4k2-4)=0,
解得k2=,所以k=或k=-.
所以直线l的斜率为或-.
16.解:(1)由题意知解得
∴椭圆的方程为+=1.
(2)由(1)知椭圆的半焦距c==,∴F1F2=2c=2,
又∵P为椭圆+=1上一点,∴PF1+PF2=2a=6,
∴焦点三角形F1PF2的周长=6+2.
在△F1PF2中,由余弦定理得F1=P+P-2PF1·PF2cos 60°,
即P+P-PF1·PF2=12①,
由PF1+PF2=6两边平方,得P+P+2PF1·PF2=36②,
由②-①,整理得PF1·PF2=8,
∴三角形F1PF2的面积=PF1·PF2sin 60°=×8×=2.
17.解:(1)抛物线C的准线方程为x=-,
∵MF=3,∴点M(1,n)到准线的距离为3,
∴1+=3,解得p=4,
∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明:如图,由题知直线l不与x轴重合,
设直线l的方程为x=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-8my+16=0,
则Δ=64m2-64>0,解得m>1或m<-1,∴y1y2=16.
又点A关于x轴的对称点为D,∴D(x1,-y1),连接BD,
则直线BD的方程为y-y2=(x-x2),
即y-y2=(x-x2)=,
令y=0,得x=-y2·==2,
∴直线BD恒过定点(2,0),而点F(2,0),因此B,F,D三点共线.
18.解:(1)由题意,设双曲线E的方程为-x2=λ(λ≠0),
因为双曲线E过点M(2,-),
所以-22=λ,解得λ=-3,
所以双曲线E的方程为-=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得x2-2mx-m2-6=0,
因为Δ=(-2m)2+4(m2+6)>0,
所以x1+x2=2m,x1x2=-6-m2,
所以y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=-6-m2+2m2+m2=2m2-6,
所以·=x1x2+y1y2=-6-m2+2m2-6=m2-12=4,
解得m=4或m=-4.
19.解:(1)因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点A(3,2),且直线y=2x是C的一条渐近线,
所以解得所以C的标准方程为-=1.
(2)证明:如图①,由题知·m-·n=-=-=1,
这表明了点M(m,n)也在直线l上,也可以得到4m2-n2=32.
联立直线l的方程与椭圆C的方程得
化简并整理得(n2-4m2)x2+64mx-256-8n2=0,
而n2-4m2=-32≠0,且Δ=(64m)2+4(n2-4m2)×8(n2+32)=(64m)2-322×4m2=0,
故l与双曲线C相切于点M.
(3)证明:如图②,不妨设T(m,n),P(p,q),
由(2)可知过点T的直线PT的方程为-=1,
因为点P(p,q)在直线-=1上,
所以-=1,即nq=4mp-32,
又a2+b2=40,从而F(2,0),
所以=(p-2,q),=(m-2,n),
若·=0,则·=(p-2)(m-2)+qn=pm-2(p+m)+40+4pm-32=5pm-2(p+m)+8=0,
整理得p(m-2)=2(m-2),
因为|m|≥a=2,所以m≠=,
所以m-2≠0,从而p==,
所以点P在定直线上x=上.单元素养测评卷(三)
第3章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·湖南长沙一中高二月考] 双曲线-y2=1的渐近线方程是 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
2.[2024·江苏镇江中学高二月考] 已知抛物线x2=8y上一点P到x轴的距离是6,则点P到该抛物线焦点的距离是 ( )
A.4 B.6
C.8 D.10
3.以椭圆+=1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,直线y=2x与C交于点A,B,则平行四边形AF1BF2的周长为 ( )
A.4 B.8
C.8 D.16
5.[2025·江苏通州中学高二月考] 设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,垂足为Q,若∠PQF=30°,则PQ= ( )
A. B.
C. D.
6.[2025·湖南衡阳一中高二月考] 椭圆+=1(a>b>0)的离心率记为e1,双曲线-=1的离心率记为e2,若-4=2,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x
7.[2025·山东青岛二中高二质检] 如图,已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P,Q为双曲线C上两点,满足F1P∥F2Q,且F2Q=F2P=3F1P,则双曲线C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
8.[2025·江苏南京一中高二月考] 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,C的离心率为,M为蒙日圆上一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于另一点P,Q,若△MPQ面积的最大值为36,则椭圆C的长轴长为 ( )
A.2 B.4 C.2 D.4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·湖北宜昌一中高二月考] 若α∈,则下列曲线中可以用方程x2cos α+y2sin α=1表示的是 ( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
10.[2025·福建宁德一中高二调研] 在椭圆C:+=1(a>b>0)中,F为椭圆C的右焦点,A为椭圆C的左顶点,B为椭圆C短轴上的一个顶点,若椭圆C的离心率为,则 ( )
A.FB⊥AB B.c2=ab
C.∠BAF>30° D.b2=ac
11.[2025·湖南湘潭一中高二月考] 已知曲线C的方程为F(x,y)=0,集合T={(x,y)|F(x,y)=0},若对于任意的(x1,y1)∈T,都存在(x2,y2)∈T,使得x1x2+y1y2=0成立,则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中,是Σ曲线的有 ( )
A.+=1 B.x2-y2=1
C.y2=2x D.|y|=|x|+1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.以直线3x±4y=0为渐近线,且过点M(-2,3)的双曲线的标准方程为 .
13.[2025·江苏海门中学高二月考] 已知抛物线C:y2=2x,过原点O作两条互相垂直的直线分别交C于点A,B(A,B均不与原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为 .
14.[2025·江苏盐城中学高二质检] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率为.点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E,则△BDE与△BDN的面积之比为 .
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且经过点A和B(1,0).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l经过点(2,0)且与椭圆C相切,求直线l的斜率.
16.(15分)[2025·广东广州高二期中] 设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,上顶点坐标为(0,).
(1)求椭圆的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求焦点三角形F1PF2的周长和面积.
17.(15分)[2025·江苏扬州中学高二月考] 若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(1,n)在抛物线C上,且MF=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点(-2,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点A关于x轴的对称点是D,证明:B,F,D三点共线.
18.(17分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)与双曲线-x2=1有相同的渐近线,且过点M(2,-).
(1)求E的方程;
(2)已知O为坐标原点,直线x-y+m=0与E交于P,Q两点,且·=4,求m的值.
19.(17分)[2025·河北保定一中高二调研] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点A(3,2),其右焦点为F,且直线y=2x是C的一条渐近线.
(1)求C的标准方程;
(2)设M(m,n)是C上任意一点,直线l:-=1,证明:l与双曲线C相切于点M;
(3)设直线PT与C相切于点T,且·=0,证明:点P在定直线上.
