(共63张PPT)
4.1 数列
第1课时 数列的概念及通项公式
探究点一 数列的概念与分类
探究点二 已知通项公式求数列的项
探究点三 已知数列的项求通项公式
探究点四 数列通项公式的简单应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解数列的概念,知道什么是数列,能说出数列的项.
2.了解数列的表示方法,会用表格、图象、通项公式表示数列,能
用通项公式求任意项或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
3.了解数列与函数的关系,能用函数的观点看待数列,并能说出数
列与函数的共性与差异.
知识点一 数列及其有关概念
1.数列的定义
（1）按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作
这个数列的____.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第___项，
常用符号表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第___项，用
表示， ，第个位置上的数叫作这个数列的第 项，用____表示.
其中第1项也叫作______.
项
1
2
首项
（2）数列的一般形式是，，， ，， ，简记为_____.
2.数列的分类
分类标准 名称 含义 举例
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3, ,
无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,
按项的变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大 于它的前一项的数列 3,4,5,6, ,
分类标准 名称 含义 举例
按项的变化 趋势 递减数列 从第2项起，每一项都小 于它的前一项的数列 ,,, ,
常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,
摆动数列 从第2项起，有些项大于 它的前一项，有些项小于 它的前一项的数列 1,,3,,
续表
知识点二 数列的通项公式
1.定义:一般地，如果数列的第 项与序号___之间的关系可以用
一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列的__________.
通项公式
2.作用:①求数列的任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.
3.数列的通项公式与函数解析式的关系比较
函数 数列
定义域 或 的真子集 正整数集或它的有限子集 ,2,3,
,
解析式
值域 的取值范围 由自变量从小到大依次取值时对应的
一列函数值构成的集合
表示方法 解析法、列表 法、图象法 通项公式（解析法）、列表法、图象
法
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）李萍从6岁到18岁,每年生日那天测量体重,依次排成一列数,可以
构成数列.( )
√
（2）数列,,,, ,…是递减数列且是无穷数列.( )
×
（3）数列1,3,5,7,9与数列9,7,5,3,1是同一个数列.( )
×
（4）若数列的通项公式是 ,则11是数列中的项.( )
√
2.数列和函数有何区别与联系？
解：数列通项公式就是数列对应的函数解析式，以前我们学过的函数
的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
探究点一 数列的概念与分类
例1 已知下列数列:
,,,;,4,6,8,10, ,, ;,7,7,7, ;,,, ,
,,…;,2,3,4,5,6,7,8,9,10;,,2,,4,, .
其中有穷数列是______,无穷数列是__________,递增数列是______,递
减数列是______,常数列是____.（填序号）
①⑤
②③④⑥
②⑤
①④
③
[解析] ①是有穷递减数列;②是无穷递增数列;③是无穷数列,也是常
数列;④是无穷递减数列;⑤是有穷递增数列;⑥是无穷摆动数列.
［素养小结］
判断数列的类型应注意两个方面:（1）判断一个数列是有穷数列还
是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的;（2）判
断一个数列的单调性一般是根据数列中第
项与第
项的大小来
判断,即①若数列
满足
,则是递增数列,②若数列
满
足
,则是递减数列.
探究点二 已知通项公式求数列的项
例2（1）已知数列的通项公式为， ，则该
数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.，0， ，0 D.2,0,2,0
[解析] 把,2,3,4依次代入通项公式，得 ，
，， .
√
（2）已知数列的通项公式为则数列 的
前5项依次为_________.
2,3,2,5,2
[解析] 因为
所以数列 的前5项依次为2,3,2,5,2.
变式 若数列的通项公式是，，则 _____
____， __.
[解析] 因为，
所以 ， .
［素养小结］
数列
的通项公式给出了第
项
与它的位置序号
之间的关系,只
要用序号代替公式中的
,就可以求出数列中相应的项.
探究点三 已知数列的项求通项公式
例3 写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：
（1）3，5，9，17，33；
解:数列的前五项依次可记为，，， ，
，所以该数列的一个通项公式为 .
（2），，， ；
解:数列的前四项依次可记为，，， ,
所以该数列的一个通项公式为 .
（3）5，55，555，5555；
解:数列的前四项依次可记为，，， ，
易知数列9，99，999，9999， 的一个通项公式为 ，
所以原数列的一个通项公式为 .
例3 写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：
（4），，，， ；
解:数列的前五项中偶数项为负数，奇数项为正数，
将第2项改写成 后，该数列前五项分母依次为3，5，7，9，11，
即，，，, ,
分子依次为2，5，10，17，26，
即，，，， ,
所以该数列的一个通项公式为 .
例3 写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：
（5）0，，， ．
解:因为，， ，
所以该数列的一个通项公式为 ．
例3 写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：
变式 数列的前4项依次为,,, ，则它的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
[解析] ,,,可以写成,,,，
所以 的一个通项公式为 .故选C.
√
［素养小结］
根据数列的前几项猜想数列的一个通项公式,若所给前几项为分数,则
可分别观察分子组成的数列特征与分母组成的数列特征.若所给前几
项为正负相间的项,则可用
的幂进行符号调节.当猜想的难度较大,
不易猜出时,可尝试用以下方法将数列转化为易于猜想的数列:对数列
的各项同时进行加、减、乘、除同一数;对数列各项分别加、减、乘、
除该项的项数;将各项分解为若干项的和、差、积、商等形式.如猜想
数列2,5,9,17的通项公式,可采取各项减1变化为1,4,8,16.
探究点四 数列通项公式的简单应用
例4（1）已知数列1，，，，3， ，按此规律， 是该
数列的( )
A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项
[解析] 数列1，，，，3， 的一个通项公式为
,
， 由 ,解得 ,故选D.
√
（2）（多选题）［2025·江苏新海中学高二质检］ 数列 的通项
公式为 ，则( )
A.该数列仅有6个正数项
B.该数列有无限多个负数项
C.该数列的最大项就是函数 的最大值
D. 是该数列中的一项
√
√
√
[解析] 对于A，B，令，解得 ，所以数列
前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A,B正确；
对于C，，当时， 取到最大值，
而对函数,当时, 取到最大值,故C错误；
对于D，令，解得或 （舍去），
即是该数列的第10项，故D正确.
故选 .
变式 已知数列的通项公式为 .
（1） 和68是否为该数列中的项
解:令,解得或（舍去）,所以 ,即
是该数列的第7项.
令,解得或,因为, ,所以68
不是该数列中的项.
（2）数列 中有多少个负数项
解:令,可得,解得 ,
因为,所以,2,3,4,5,6,7,8,9,所以数列 中有9个负数项.
［素养小结］
判断某个数是否为数列中的项,需先假设它是数列中的项,然后列方程
求解.若方程有正整数解,则该数是数列中的项;若方程无解或解均不
是正整数,则该数不是数列中的项.
1.常见数列的通项公式
（1）1，2，3，4， 的一个通项公式为 .
（2）2，4，6，8， 的一个通项公式为 .
（3）3，5，7，9， 的一个通项公式为 .
（4）2，4，8，16， 的一个通项公式为 .
（5），1，，1， 的一个通项公式为 .
（6）1，0，1，0， 的一个通项公式为 .
（7），，，，的一个通项公式为
.
（8）9，99，999， 的一个通项公式为 .
2.给出数列的前几项求通项公式时，主要从以下几个方面来考虑：
（1）熟悉一些常见数列的通项公式，如，， ，
，， 等；
（2）分式形式的数列，分子、分母分别求出第项与 的关系，较复
杂的还要考虑分子、分母的关系；
（3）若第项和第项正负交错，那么用符号或 来
适配；
（4）对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，
将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再
进行归纳；
（5）注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，
的一个通项公式可写成或 ，甚至分段形式
等.
1.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，解决此类问题的关键
是观察、归纳各项与对应的序号 之间的联系.同时，要善于利用我
们熟知的一些基本数列，通过合理地联想、转化使问题得到解决.
例1（1）数列1，，，， 的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为数列的前四项依次可写成， ， ，
，所以可归纳得数列的一个通项公式为
.故选D.
√
（2）［2024·福建龙岩高二期中］数列,,1, ,…的一个通项公式
为 ______________.
[解析] ,,1,,…可写为,,,, ,所以可归纳得第
项的分子为,分母为 ,奇数项为正,偶数项为负,则该数列的
一个通项公式为 .
2.判断某数是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求 的值,若
存在正整数 使方程成立,则说明该数是数列中的项,否则该数就不是
数列中的项.
例2 某个软件公司对软件进行升级，将序列 升级
为新序列，中的第 项为
，若中的所有项都是3，且， ，则
___.
8
[解析] 由题意得，
， 中
的所有项都是3，， ，
，
又，， 由 ，得，
解得，
由 ，得，解得，
由 ，得，解得 .
练习册
1.下列说法正确的是( )
A.数列4，7，3，4的首项是4
B.数列中，若 ，则从第2项起，各项均不等于3
C.数列3，6，8可以表示为
D.，，，1， ，5，7，9，11一定能构成数列
√
[解析] 对于A,数列4，7，3，4的第1项就是首项，即为4,故A正确．
对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．
对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误．
对于D,因为数列是按确定的顺序排列的一列数,所以当, 都代表数时，
能构成数列,当, 中至少有一个不代表数时,不能构成数列,故D错误．
故选A.
2.若数列的通项公式为 ，则关于此数列的图象叙述
正确的是( )
A.此数列不能用图象表示
B.此数列的图象仅在第一象限
C.此数列的图象为直线
D.此数列的图象为直线上满足横坐标 的一系列孤立
的点
√
[解析] 数列的通项公式为 ，它的图象就是直线
上满足横坐标的一系列孤立的点.
当 时，，点,即在第四象限，
当且 时，，点 在第一象限.故选D.
3.在数列，，，， ，， 中， 是它的( )
A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项
[解析] 由题意可得，数列的通项公式为，
令 ，解得 .故选B.
√
4.［2025·江苏苏州常熟中学高二月考］数列,,, ,…的通项公式
可以为( )
A. B.
C. D.
[解析] 结合选项可知，当 时，A，C，D与已知显然不符合，
故，，,,…的通项公式可以为 .故选B.
√
5.［2025·江苏常州中学高二质检］据下列5个图（如图（1）（2）
（3）（4）（5））及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图
中点的个数为( )
A.81 B.91 C.101 D.121
√
[解析] 题图（1）只有1个点，无
分支；题图（2）除中间1个点外，
有2个分支，每个分支有1个点；
题图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；
题图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点……
猜想第 个图除中间1个点外,有个分支,每个分支有 个点，
则第个图中点的个数为，
又当 时，,所以第个图中点的个数为
,故第10个图中点的个数为 ．故选B.
6.（多选题）下列各式中，可以作为数列,0,,0,,0, 的通项公
式的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，，当 为奇数时，
，所以，当 为偶数时，
，所以 ，故A满足题意；
对于B,,当为奇数时,,所以 ，
当为偶数时，，所以 ，故B满足题意；
对于C，，则 ，
故C不满足题意；
对于D，当为奇数时，，
当 为偶数时，，故D满足题意.
故选 .
7.已知点在直线上，则数列的通项公式为
_______；依次写出数列 的前3项为_________．
3，5，7
[解析] 点在直线上，则 ，
所以数列的通项公式是，则,, .
8.数列的通项公式是 ，这个数列
从第___项起各项均为正数．
7
[解析] 由题意，数列的通项公式是，
令 ，即，解得或，
因为， ,所以且，
所以这个数列 从第7项起各项均为正数．
9.（13分）写出数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：
（1）1，3，7，15，31；
解：由，，， ，
，可得数列的一个通项公式为 .
（2），，，， ；
解：由，，，， ，可得数
列的一个通项公式为 .
（3），，，， ；
解：由，，，， ，可知数列前5项中奇数项为负数，偶数
项为正数，各项绝对值为 ,可得数列的一个通项公式为 .
（4），，，， .
解：由， ，
， ，
,可得数列的一个通项公式为
.
10.（15分）已知数列的通项公式为 .
（1）求这个数列的第10项．
解： .
令,则 .
（2） 是不是该数列中的项？为什么？
解： 令,解得 ,不是正整数，
因此 不是该数列中的项.
（3）在区间 内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，
请说明理由.
解： 令,解得 ,
又,所以 .
所以在区间 内有数列中的项，只有一项.
10.（15分）已知数列的通项公式为 .
11.［2025·山东菏泽一中高二调研］若一数列的前4项为1， ，
， ，按照这个规律，则( )
A.不在此数列中 B. 是这个数列的第13项
C.是这个数列的第14项 D. 是这个数列的第15项
[解析] 因为,,, ，所以数列的
通项公式为，
由，解得，所以 是这个数列的第15项.故选D.
√
12.［2025·江苏徐州一中高二质检］大衍数列，来源于《乾坤谱》中
对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太
极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的
两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道
数列题目，该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18，24,32,40,50, ，
则( )
A.数列第16项为144 B.数列第16项为128
C.200是数列第18项 D.200不是数列中的项
√
[解析] 设题中数列为,由此数列的前10项的规律可知，当 为偶
数时，，当为奇数时， .
对于A，B， ，所以A错误，B正确；
对于C， ，所以C错误；
对于D，若200是数列中的偶数项，则令，得 ，
所以200是此数列的第20项，所以D错误.
故选B.
13.已知数列的通项公式为 ，
则它的前五项依次为_______________．
1，1，2，2，3
[解析] 因为数列 的通项公式为
，所以, ,
，, .
14.已知数列 的图象是一条抛物线上的一列孤立的点，且
，，，则 ____．
21
[解析] 设 ，由题设可得
解得所以， ，则
．
15.［2025·江苏无锡一中高二月考］对于一个树形图的生长过程，依
据如图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于_____.
377
[解析] 若将第1行中的0个实心圆点和1个空心圆点
用数对 表示，将第2行中的1个实心圆点和0个空
心圆点用数对 表示，则第3，4，5行的实心圆点
和空心圆点分别可用数对，， 表示.
根据上述得出的变化规律可知，从第2行开始每行数对的第一个数是
前一行数对中的两数之和，第二个数是前一行数对中的第一个数.
据此可以推算出第15行的数对为 .所以第15行的实心圆点的
个数等于377.
16.（15分）已知数列满足为正整数 ，
若，求 所有可能的取值．
解：若为奇数，则，即 ；
若为奇数，则，即 （舍去），
若为偶数，则，即 ；
若为奇数，则，即 （舍去），
若为偶数，则，即 .
若为偶数，则，即 ；
若为奇数，则，即 （舍去），
若为偶数，则，即 ；
若为奇数，则，即，若为偶数，则 ，
即 ．
故 所有可能的取值为4，5，32．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.（1）项 1 2
首项 （2）
知识点二 1.
通项公式 【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.解：数列通项公式就是数列对应的函数解析式，以前我们学过的函数的自变
量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
课中探究 例1 ①⑤ ②③④⑥ ②⑤ ①④ ③
例2 （1）A （2）2,3,2,5,2 变式
例3 （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
变式 C 例4 （1）D （2）ABD
变式 （1）
是该数列的第7项，68不是该数列中的项.
（2）数列
中有9个负数项
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 6.ABD 7.
3，5，7 8.7
9.（1）
（2）
（3）
（4）<
10. （1） （2）
不是该数列中的项
（3）在区间
内有数列中的项，只有一项
11.D 12.B 13.1，1，2，2，3 14.21 15.377
16. 4，5，32第4章 数列
4.1 数列
第1课时 数列的概念及通项公式
【课前预习】
知识点一
1.(1)项 1 2 an 首项 (2){an}
知识点二
1.n 通项公式
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.解:数列通项公式就是数列对应的函数解析式,以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的,而数列是自变量为离散的数的函数.
【课中探究】
探究点一
例1 ①⑤ ②③④⑥ ②⑤ ①④ ③
[解析] ①是有穷递减数列;②是无穷递增数列;③是无穷数列,也是常数列;④是无穷递减数列;⑤是有穷递增数列;⑥是无穷摆动数列.
探究点二
例2 (1)A (2)2,3,2,5,2 [解析] (1)把n=1,2,3,4依次代入通项公式,得a1==1,a2==0,a3==1,a4==0.
(2)因为an=所以数列{an}的前5项依次为2,3,2,5,2.
变式 3-4n [解析] 因为an=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,==.
探究点三
例3 解:(1)数列的前五项依次可记为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,
所以该数列的一个通项公式为an=2n+1(n∈N*).
(2)数列的前四项依次可记为1+,2+,3+,4+,
所以该数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N*).
(3)数列的前四项依次可记为×9,×99,×999,×9999,
易知数列9,99,999,9999,…的一个通项公式为bn=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N*).
(4)数列的前五项中偶数项为负数,奇数项为正数,
将第2项-1改写成-后,该数列前五项分母依次为3,5,7,9,11,即2+1,2×2+1,2×3+1,2×4+1,2×5+1,
分子依次为2,5,10,17,26,
即12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,
所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n+1·(n∈N*).
(5)因为5=22+1,10=32+1,17=42+1,所以该数列的一个通项公式为an=(n∈N*).
变式 C [解析] ,,,可以写成,,,,所以{an}的一个通项公式为an=.故选C.
探究点四
例4 (1)D (2)ABD [解析] (1)数列1,,,,3,…的一个通项公式为an=(n∈N*),∵3=,∴由=,解得n=14,故选D.
(2)对于A,B,令-2n2+13n>0,解得0
变式 解:(1)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),所以n=7,即-49是该数列的第7项.
令3n2-28n=68,解得n=或n=-2,因为 N*,-2 N*,所以68不是该数列中的项.
(2)令an<0,可得3n2-28n<0,解得0因为n∈N*,所以n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,所以数列{an}中有9个负数项.第4章 数列
4.1 数列
第1课时 数列的概念及通项公式
1.A [解析] 对于A,数列4,7,3,4的第1项就是首项,即为4,故A正确.对于B,同一个数在一个数列中可以重复出现,故B错误.对于C,数列和数的顺序有关,集合中元素具有无序性,故C错误.对于D,因为数列是按确定的顺序排列的一列数,所以当a,b都代表数时,能构成数列,当a,b中至少有一个不代表数时,不能构成数列,故D错误.故选A.
2.D [解析] 数列{an}的通项公式为an=4n-5,它的图象就是直线y=4x-5上满足横坐标x∈N+的一系列孤立的点.当n=1时,a1=-1,点(n,an),即(1,-1)在第四象限,当n≥2且n∈N+时,an>0,点(n,an)在第一象限.故选D.
3.B [解析] 由题意可得,数列的通项公式为an=,令=,解得n=9.故选B.
4.B [解析] 结合选项可知,当n=1时,A,C,D与已知显然不符合,故-2,,-,,…的通项公式可以为an=(-1)n.故选B.
5.B [解析] 题图(1)只有1个点,无分支;题图(2)除中间1个点外,有2个分支,每个分支有1个点;题图(3)除中间1个点外,有3个分支,每个分支有2个点;题图(4)除中间1个点外,有4个分支,每个分支有3个点……猜想第n(n≥2)个图除中间1个点外,有n个分支,每个分支有(n-1)个点,则第n(n≥2)个图中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1,又当n=1时,n2-n+1=1,所以第n(n∈N*)个图中点的个数为n2-n+1,故第10个图中点的个数为100-10+1=91.故选B.
6.ABD [解析] 对于A,an=[1-(-1)n],当n为奇数时,[1-(-1)n]=2,所以an=×2=,当n为偶数时,[1-(-1)n]=0,所以an=×0=0,故A满足题意;对于B,an=,当n为奇数时,[1-(-1)n]=2,所以an=,当n为偶数时,[1-(-1)n]=0,所以an=0,故B满足题意;对于C,an=[1-(-1)n],则a1=[1-(-1)]=2≠,故C不满足题意;对于D,an=当n为奇数时,an=,当n为偶数时,an=0,故D满足题意.故选ABD.
7.2n+1 3,5,7 [解析] 点(n,an)在直线y=2x+1上,则an=2n+1,所以数列{an}的通项公式是an=2n+1,则a1=3,a2=5,a3=7.
8.7 [解析] 由题意,数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6,令an>0,即n2-7n+6>0,解得n>6或n<1,因为n∈N,n≥1,所以n>6且n∈N,所以这个数列{an}从第7项起各项均为正数.
9.解:(1)由1=2-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,可得数列的一个通项公式为an=2n-1.
(2)由=,=,=,=,=,可得数列的一个通项公式为an=.
(3)由-,,-,,-,可知数列前5项中奇数项为负数,偶数项为正数,各项绝对值为,可得数列的一个通项公式为an=(-1)n×.
(4)由2×3=(1+1)×(1+2),3×4=(2+1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2),5×6=(4+1)×(4+2),6×7=(5+1)×(5+2),可得数列的一个通项公式为an=(n+1)(n+2).
10.解:an===.
(1)令n=10,则a10==.
(2)令=,解得n=,不是正整数,
因此不是该数列中的项.
(3)令<<,解得又n∈N*,所以n=2.
所以在区间内有数列中的项,只有一项.
11.D [解析] 因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,所以数列的通项公式为an=37(n-1),由37(n-1)=398,解得n=15,所以398是这个数列的第15项.故选D.
12.B [解析] 设题中数列为{an},由此数列的前10项的规律可知,当n为偶数时,an=,当n为奇数时,an=.对于A,B,a16==128,所以A错误,B正确;对于C,a18==162≠200,所以C错误;对于D,若200是数列中的偶数项,则令=200,得n=20,所以200是此数列的第20项,所以D错误.故选B.
13.1,1,2,2,3 [解析] 因为数列{an}的通项公式为an=(k∈N,k≥1),所以a1==1,a2==1,a3==2,a4==2,a5==3.
14.21 [解析] 设an=an2+bn+c(a≠0,n∈N*),由题设可得
解得所以an=n2-n+1,n∈N*,则a5=52-5+1=21.
15.377 [解析] 若将第1行中的0个实心圆点和1个空心圆点用数对(0,1)表示,将第2行中的1个实心圆点和0个空心圆点用数对(1,0)表示,则第3,4,5行的实心圆点和空心圆点分别可用数对(1,1),(2,1),(3,2)表示.根据上述得出的变化规律可知,从第2行开始每行数对的第一个数是前一行数对中的两数之和,第二个数是前一行数对中的第一个数.据此可以推算出第15行的数对为(377,233).所以第15行的实心圆点的个数等于377.
16.解:若a3为奇数,则3a3+1=4,即a3=1;
若a2为奇数,则3a2+1=1,即a2=0(舍去),
若a2为偶数,则=1,即a2=2;
若a1为奇数,则3a1+1=2,即a1=(舍去),
若a1为偶数,则=2,即a1=4.
若a3为偶数,则=4,即a3=8;
若a2为奇数,则3a2+1=8,即a2=(舍去),
若a2为偶数,则=8,即a2=16;
若a1为奇数,则3a1+1=16,即a1=5,若a1为偶数,则=16,即a1=32.
故m所有可能的取值为4,5,32.第4章 数列
4.1 数列
第1课时 数列的概念及通项公式
【学习目标】
1.了解数列的概念,知道什么是数列,能说出数列的项.
2.了解数列的表示方法,会用表格、图象、通项公式表示数列,能用通项公式求任意项或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
3.了解数列与函数的关系,能用函数的观点看待数列,并能说出数列与函数的共性与差异.
◆ 知识点一 数列及其有关概念
1.数列的定义
(1)按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫作这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第 项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫作这个数列的第 项,用a2表示,…,第n个位置上的数叫作这个数列的第n项,用 表示.其中第1项也叫作 .
(2)数列的一般形式是a1,a2,a3,…,an,…,简记为 .
2.数列的分类
分类标准 名称 含义 举例
按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n
无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,…
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 3,4,5,6,…,n+2
递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 -1,-2,-3,…,-n
常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,…
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,…
◆ 知识点二 数列的通项公式
1.定义:一般地,如果数列{an}的第n项与序号 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列的 .
2.作用:①求数列的任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.
3.数列的通项公式与函数解析式的关系比较
函数 数列
定义域 R或R的真子集 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,k})
解析式 y=f(x) an=f(n)
值域 y的取值范围 由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成的集合
表示方法 解析法、列表法、图象法 通项公式(解析法)、列表法、图象法
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)李萍从6岁到18岁,每年生日那天测量体重,依次排成一列数,可以构成数列. ( )
(2)数列-1,-,-,-,-,…是递减数列且是无穷数列. ( )
(3)数列1,3,5,7,9与数列9,7,5,3,1是同一个数列. ( )
(4) 若数列{an}的通项公式是an=2n+3,则11是数列中的项. ( )
2.数列和函数有何区别与联系
◆ 探究点一 数列的概念与分类
例1 已知下列数列:
①1,0.84,0.842,0.843;②2,4,6,8,10,…,2n,…;③7,7,7,7,…;④,,,,…,,…;⑤1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;⑥0,-1,2,-3,4,-5,….
其中有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 .(填序号)
[素养小结]
判断数列的类型应注意两个方面:(1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的;(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中第n+1项与第n项的大小来判断,即①若数列{an}满足anan+1,则是递减数列.
◆ 探究点二 已知通项公式求数列的项
例2 (1)已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
(2)已知数列{an}的通项公式为an=则数列{an}的前5项依次为 .
变式 若数列{an}的通项公式是an=3-2n,n∈N*,则a2n= ,= .
[素养小结]
数列{an}的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列中相应的项.
◆ 探究点三 已知数列的项求通项公式
例3 写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数:
(1)3,5,9,17,33;
(2)1,2,3,4;
(3)5,55,555,5555;
(4),-1,,-,;
(5)0,,,.
变式 数列{an}的前4项依次为,,,,则它的一个通项公式是 ( )
A.an= B.an=
C.an= D.an=
[素养小结]
根据数列的前几项猜想数列的一个通项公式,若所给前几项为分数,则可分别观察分子组成的数列特征与分母组成的数列特征.若所给前几项为正负相间的项,则可用-1的幂进行符号调节.当猜想的难度较大,不易猜出时,可尝试用以下方法将数列转化为易于猜想的数列:对数列的各项同时进行加、减、乘、除同一数;对数列各项分别加、减、乘、除该项的项数;将各项分解为若干项的和、差、积、商等形式.如猜想数列2,5,9,17的通项公式,可采取各项减1变化为1,4,8,16.
◆ 探究点四 数列通项公式的简单应用
例4 (1)已知数列1,,,,3,…,按此规律,3是该数列的 ( )
A.第11项 B.第12项
C.第13项 D.第14项
(2)(多选题)[2025·江苏新海中学高二质检] 数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,则 ( )
A.该数列仅有6个正数项
B.该数列有无限多个负数项
C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值
D.-70是该数列中的一项
变式 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)-49和68是否为该数列中的项
(2)数列{an}中有多少个负数项
[素养小结]
判断某个数是否为数列中的项,需先假设它是数列中的项,然后列方程求解.若方程有正整数解,则该数是数列中的项;若方程无解或解均不是正整数,则该数不是数列中的项.第4章 数列
4.1 数列
第1课时 数列的概念及通项公式
1.下列说法正确的是 ( )
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列3,6,8可以表示为{3,6,8}
D.a,-3,-1,1,b,5,7,9,11一定能构成数列
2.若数列{an}的通项公式为an=4n-5,则关于此数列的图象叙述正确的是 ( )
A.此数列不能用图象表示
B.此数列的图象仅在第一象限
C.此数列的图象为直线y=4x-5
D.此数列的图象为直线y=4x-5上满足横坐标x∈N+的一系列孤立的点
3.在数列,,,,…,,…中,是它的( )
A.第8项 B.第9项
C.第10项 D.第11项
4.[2025·江苏苏州常熟中学高二月考] 数列-2,,-,,…的通项公式可以为 ( )
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n
C.an=(-1)n-1
D.an=(-1)n+1
5.[2025·江苏常州中学高二质检] 据下列5个图(如图(1)(2)(3)(4)(5))及相应点的个数的变化规律,可以得出第10个图中点的个数为 ( )
A.81 B.91 C.101 D.121
6.(多选题)下列各式中,可以作为数列,0,,0,,0,…的通项公式的是 ( )
A.an=[1-(-1)n]
B.an=
C.an=[1-(-1)n]
D.an=
7.已知点(n,an)在直线y=2x+1上,则数列{an}的通项公式为an= ;依次写出数列{an}的前3项为 .
8.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6(n∈N,n≥1),这个数列从第 项起各项均为正数.
9.(13分)写出数列的一个通项公式,使它的前5项分别是下列各数:
(1)1,3,7,15,31;
(2),,,,;
(3)-,,-,,-;
(4)2×3,3×4,4×5,5×6,6×7.
10.(15分)已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)求这个数列的第10项.
(2)是不是该数列中的项 为什么
(3)在区间内是否有数列中的项 若有,求出有几项;若没有,请说明理由.
11.[2025·山东菏泽一中高二调研] 若一数列的前4项为1,37,314,321,按照这个规律,则 ( )
A.398不在此数列中
B.398是这个数列的第13项
C.398是这个数列的第14项
D.398是这个数列的第15项
12.[2025·江苏徐州一中高二质检] 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则 ( )
A.数列第16项为144
B.数列第16项为128
C.200是数列第18项
D.200不是数列中的项
13.已知数列{an}的通项公式为an=(k∈N,k≥1),则它的前五项依次为 .
14.已知数列{an}的图象是一条抛物线上的一列孤立的点,且a1=1,a2=3,a3=7,则a5= .
15.[2025·江苏无锡一中高二月考] 对于一个树形图的生长过程,依据如图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数等于 .
16.(15分)已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=若a4=4,求m所有可能的取值.