(共57张PPT)
4.1 数列
第2课时 数列的递推公式与数列的
函数特性
探究点一 由数列的递推公式求通项公式
探究点二 由数列的递推公式求数列的某
一项
探究点三 数列的单调性与最值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会用递推公式表示数列,能根据数列的递推公式写出数列的前几项.
2.了解数列的前项和,并能利用前项和与第 项的关系解决一
些简单问题.
知识点一 数列的递推公式
一般地，如果已知一个数列的第1项（或前几项），且任一项
与它的前一项______（或前几项）间的关系可以用__________来表
示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数
列的一种方法.
温馨提醒：递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，
需要知道首项（或前几项），即可求数列中的每一项.
一个公式
知识点二 数列的函数性质
1.单调性
如果对所有的，都有，那么称数列 为递增数列；
如果对所有的，都有，那么称数列 为递减数列.
2.周期性
如果对所有的，都有为正整数，那么称 是以
为周期的周期数列.
3.有界性
如果对所有的，都有，那么称 为有界数列，否则
称 为无界数列.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）所有的数列都有递推公式.( )
×
（2）数列的递推公式是关于 的函数关系式.( )
×
（3）已知数列满足,,则 .( )
√
（4）所有数列都具有单调性.( )
×
2.若数列满足 ,则这个数列是递增数列吗？
解：不一定是递增数列，可以是摆动数列.
探究点一 由数列的递推公式求通项公式
例1 分别根据下列条件，写出数列 的前4项，并归纳猜想数列
的通项公式．
（1）， ；
解：,, ,
，归纳猜想 .
（2）， ；
解：,,, ，
归纳猜想 .
（3），， ．
解：，， ，
，
归纳猜想 .
［素养小结］
某些用递推公式给出的数列,写出数列的前几项后,由前几项分析其特
点、规律,即可归纳总结出数列的通项公式.
探究点二 由数列的递推公式求数列的某一项
例2 ［2025·江苏南通中学高二月考］斐波那契数列 可以用如下
方法定义：，且 .若此数列各项除以4的
余数依次构成一个周期数列，则数列 的第100项为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由题意得，，，，， ，
，，，，，， ，则
数列是以6为周期的周期数列，
则 ，则数列 的第100项为3，故选D.
√
变式 在数列中，，，对所有的正整数 都有
，则 ( )
A. B.24 C. D.25
[解析] 由得 ，两式相加得
，，
是以6为周期的数列，而，
.故选B.
√
［素养小结］
解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求
解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数
列的“信号”.
探究点三 数列的单调性与最值
例3（1）已知数列的通项公式为,则数列 中的
最大项为( )
A.第2项 B.第3项 C.第2或3项 D.第4项
[解析] 根据题意，得， ，
,,
当 时， ,
所以,所以数列 中的最大项为第2或3项,故选C.
√
（2）［2025·江苏锡山中学高二质检］已知数列 满足
，若是递增数列，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 是递增数列，所以，
即 ．如图所示，作出函数
和 的图象，
，且．
故仅当 时,,且 ,依此类推可
得,满足是递增数列,即 的取值范围是 .
故选A.
变式（1）数列的通项公式为,则数列
中的最大项是( )
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
[解析] 函数 是图象开口向下的二次函数，有最
大值，易知当时，函数取得最大值，但是数列中的项数
只能是正整数，故当时， 取得最大值．故选B.
√
（2）［2025·山东青岛二中高二月考］数列 的通项公式为
，则“”是“ 为递增数列”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
[解析] 由题意得,数列为递增数列等价于对任意 ,
恒成立，即对任意恒成立，
因为 ，且当 时，，所以，
所以“”是“ 为递增数列”的必要且不充分条件，故选B.
√
［素养小结］
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法 根据的符号判断数列 的单调性
作商比较法 根据或 与1的大小关系判断数列
的单调性
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
拓展 ［2025·江苏苏州中学高二质检］已知数列 满足
, ，若数列
为递增数列，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，可得
，两式相减可得 ，则
，
当时，,可得,故 ，
所以.
√
，得,整理得，
,，
当时， ，当时，，
可得是数列的最大项，即当 时，取得最大值，
从而得，所以 的取值范围为 ．故选A.
对递推公式的进一步认识
（1）用递推公式给出一个数列,必须给出:
①“基础”——数列 的第1项（或前几项）;
②递推关系——数列的任意一项与它的前一项
（或前几项）间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.
（2）递推公式完全一样的两个数列不一定是同一数列,这是因为首项
不同,就可得到两个不同的数列.
（3）递推是按照一定的规律来计算数列中的每项,通常是通过计算前
面的一些项来得出数列中的指定项的值,其基本思想是把一个复杂的
庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复.
一、求数列的最大项与最小项的常用方法
1.将数列视为函数当 时所对应的一列函数值，根据函数
的类型作出相应的图象，或利用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大（小）项．
2.通过通项公式研究数列的单调性，利用 确
定最大项，利用 确定最小项．
3.比较法：若或当 时
，即，则数列是递增数列，所以数列 的最
小项为；若或当 时
，即，则数列是递减数列，所以数列 的最
大项为 ．
例1 （多选题）数列的通项公式为 ，则下列
说法正确的是( )
A.是数列的最小项 B.是数列 的最大项
C.是数列的最大项 D.当时，数列 递减
√
√
√
[解析] 设第项为的最大项，则 即
所以又，所以
或，故数列中与均为最大项，且.
当 时，数列递减，当趋向正无穷大时，
无限趋向于0且大于0，又，所以不是数列 的最小项，
且数列无最小项.故选 .
例2 数列的通项公式为若是
中的最大项，则 的取值范围是_______．
[解析] 当时，随的增大而增大，因此当
时，取得最大值，
当 时，，
因为是 中的最大项，所以解得，
故 .
二、数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的
应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较法、作商比较法及
函数法.最大项可通过列不等式组求出.
（1）作差比较法：根据的符号判断数列 是递增数列、
递减数列还是常数列.
数列是递增数列， 数列
是递减数列， 数列 是常数列．
（2）作商比较法：根据或 与1的大小关系进行判断.
①当时， 数列是递增数列， 数列
是递减数列， 数列 是常数列．
②当时， 数列是递减数列， 数列
是递增数列， 数列 是常数列．
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断．
例3 已知各项均为整数的数列满足： ，
,2,3, ．
（1）若，求 ；
解：因为，而为奇数为偶数，所以 ，解得 ，
当为奇数时，，显然为奇数为偶数，
因此 ，解得，不满足 .
当为偶数时，，解得，若为奇数，则；
若 为偶数，则 .所以或 .
（2）求证：数列 中总有无穷多等于1的项.
证明：由题易知对任意,都有 ，
记为的最小项，则为奇数且是 中的项，
所以，解得，又，所以 ，
显然中第一个1后面的项依次为2，1，2，1，2， ，即1与2间
隔出现，
所以数列 中总有无穷多等于1的项.
练习册
1.已知数列满足，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，， ，
，， .故选A.
√
2.若数列满足，，则 ( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为,,所以 ，
所以，所以数列 的周期为3，
由，可得，所以 .故选D.
√
3.已知数列的通项公式是，则 ( )
A.不是单调数列 B.是递减数列 C.是递增数列 D.是常数列
[解析] 因为，
所以 是递增数列.故选C.
√
4.现有3个数列，， ，其中递增数列的个数为
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由一次函数的单调性可知，数列 为递增数列；
设函数，则在上单调递增，所以 为递
增数列；
由指数函数的单调性可知，数列 为递减数列.
故选C.
√
5.［2025·江苏如皋中学高二月考］如图中星星的个数构成一个数列
，图（1）（2）（3）（4）中星星的个数依次为数列的前4项，
按照这个规律，该数列的一个递推公式可以是( )
A.,
B.,,
C.,,
D.,,
√
[解析] 由题图易知，， ，
，按照此规律，得 .故
选B.
6.（多选题）若数列满足 ，
则 的值可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，， ，
，，因此数列 是周期为4的周
期数列，故的所有可能取值为,,,.故选 .
√
√
√
7.数列中，已知， ，且
，则 ___．
0
[解析] 因为，，且 ，
所以， ，
， ，
， ，
， ，
所以数列 为3，0，3，3，0，3，3，0，3， ,
所以数列 是以3为周期的周期数列，所以 .
8.［2025·湖南长沙一中高二月考］已知数列满足 ，
.若数列是常数列，则 ____.
[解析] 数列满足，， .
数列是常数列，，解得 .
9.（13分）根据下列数列的首项和递推公式，写出数列 的前
5项，并由此归纳出它的通项公式.
（1）， ；
解：， ，
，， ，
， ，
数列的前5项依次为2,8,26,80,242,数列 的通项公式为
.
（2）， .
解：， ，
，，，， ，
数列的前5项依次为1，，2，，3，数列 的通项公式为
.
10.（13分）如图甲，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边
上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”
（如图乙中的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，
便得到第2条“雪花曲线”（如图丙），这样一直继续下去，得到一系
列的“雪花曲线”. 设第条“雪花曲线”有 条边.
（1）写出， 的值；
解：， .
（2）求出数列 的递推公式.
解：由“雪花曲线”的作法可知，第 条“雪花曲线”的每条边都可得到
第 条“雪花曲线”的四条边.
， 数列的递推公式为 .
11.在数列中，已知，，则
( )
A.11 B.0 C.1 D.2
√
[解析] 由，得 ，所以
， ，
， ，
又的值以4为周期循环出现，所以数列 是以4为周期的
周期数列，所以 ，故选C.
12.［2025·安徽安庆一中高二调研］数列 是递增数列，且
，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为
是递增数列，所以
解得，所以实数的取值范围为 ，故选C.
13.［2025· 江苏启东中学高二质检］数列满足 ，
，写出符合上述条件的数列 的一个通项公式：
_________________________.
（答案不唯一）
[解析] 由得，当 时，
，，故 满足
，
又 ，即，
满足条件的数列的一个通项公式为 .（答案不唯一）.
14.［2025·江苏淮阴中学高二质检］九连
环（如图）是我国从古至今广泛流传的一
种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以
解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：
31
“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法
中，用表示解下前 个圆环所需的最少移动次数，
若 ，且
则解下前6个圆
环所需的最少移动次数为____.
[解析] ， ，
，， ，
， 解下前6个圆环所需的最少移动次数为31.
15.［2025·江苏南京一中高二调研］数列 是无穷数列，则“存在
，使且”是“ 存在最大项”
的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 根据题意可知，若存在，使 且
，不妨设,,且数列 满足
，此时存在,满足且 ，但数
列从第三项开始递增，无最大项，所以充分性不成立；
若 存在最大项，不妨设数列满足，此时的最大项
为 ，且为递减数列，所以不存在，
使 且 ，所以必要性不成立.
故选D.
16.［2025·湖北黄冈中学高二质检］斐波那契数列由意大利数学家斐
波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，
5，8，13，21，34，55，89，144，233， ．在实际生活中，很多花
朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，
斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契
数列满足， ，则
是斐波那契数列 中的第______项．
2025
[解析] 由可得 ，故其为第2025项.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
一个公式
知识点二【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.解：不一定是递增数列，可以是摆动数列.
课中探究 例1 （1）
,
,
,
，
.
（2）
,
,
,
，
.
（3）
，
，
，
，
.
例2 D 变式 B 例3 （1）C （2）A 变式 （1）B （2）B 拓展 A
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.ABC 7.0 8.
9.（1）
，
，，，，.
（2），，，，，.
10.（1），（2）
11.C 12.C 13.（答案不唯一） 14.31
15.D 16.2025第2课时 数列的递推公式与数列的函数特性
【课前预习】
知识点一
an-1 一个公式
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.解:不一定是递增数列,可以是摆动数列.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)a1=0,a2=a1+2×1-1=1,a3=a2+2×2-1=4,a4=a3+2×3-1=9,归纳猜想an=(n-1)2.
(2)a1=1,a2=a1+=,a3=a2+=2,a4=a3+=,
归纳猜想an=.
(3)a1=2,a2=3,a3=3a2-2a1=5,a4=3a3-2a2=15-6=9,
归纳猜想an=2n-1+1.
探究点二
例2 D [解析] 由题意得,b1=1,b2=1,b3=2,b4=3,b5=1,b6=0,b7=1,b8=1,b9=2,b10=3,b11=1,b12=0,则数列{bn}是以6为周期的周期数列,则b100=b16×6+4=b4=3,则数列{bn}的第100项为3,故选D.
变式 B [解析] 由an+1=an+an+2得an+2=an+1+an+3,两式相加得an+3=-an,∴an+6=-an+3=an,∴{an}是以6为周期的数列,而2024=337×6+2,∴a2024=a2=24.故选B.
探究点三
例3 (1)C (2)A [解析] (1)根据题意,得a1=1×=,a2=2×=,a3=3×==a2,a4=4×=(2)因为{an}是递增数列,所以an变式 (1)B (2)B [解析] (1)函数y=-2x2+15x-1是图象开口向下的二次函数,有最大值,易知当x=时,函数取得最大值,但是数列{an}中的项数n只能是正整数,故当n=4时,an取得最大值.故选B.
(2)由题意得,数列{an}为递增数列等价于对任意n∈N*,an+1-an=[k(n+1)2+n+2]-(kn2+n+1)=2kn+k+1>0恒成立,即k>-对任意n∈N*恒成立,因为-<0,且当n→+∞时,-→0,所以k≥0,所以“k>-”是“{an}为递增数列”的必要且不充分条件,故选B.
拓展 A [解析] 由++…+=n(n∈N*),可得++…+=n-1(n≥2),两式相减可得=1(n≥2),则an=2n(n≥2),当n=1时,=1,可得a1=2,故an=2n(n∈N*),所以bn=λ(2n-1)-n2+4n.由数列{bn}为递增数列,即 n∈N*,bn+1-bn>0,得λ(2n+1-1)-(n+1)2+4(n+1)-[λ(2n-1)-n2+4n]=λ·2n-2n+3>0,整理得λ>,令cn=,则cn+1-cn=-=,n∈N*,当n≤2时,cn+1>cn,当n≥3时,cn+1,所以λ的取值范围为.故选A.第2课时 数列的递推公式与数列的函数特性
【学习目标】
1.会用递推公式表示数列,能根据数列的递推公式写出数列的前几项.
2.了解数列的前n项和,并能利用前n项和与第n项的关系解决一些简单问题.
◆ 知识点一 数列的递推公式
一般地,如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用 来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数列的一种方法.
温馨提醒:递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系,需要知道首项(或前几项),即可求数列中的每一项.
◆ 知识点二 数列的函数性质
1.单调性
如果对所有的n∈N*,都有an+1>an,那么称数列{an}为递增数列;如果对所有的n∈N*,都有an+12.周期性
如果对所有的n∈N*,都有an+k=an(k为正整数),那么称{an}是以k为周期的周期数列.
3.有界性
如果对所有的n∈N*,都有|an|≤M,那么称{an}为有界数列,否则称{an}为无界数列.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有的数列都有递推公式. ( )
(2)数列的递推公式是关于n的函数关系式.( )
(3)已知数列{an}满足a1=3,=2an-2,则a2=4. ( )
(4)所有数列都具有单调性. ( )
2.若数列{an}满足a3>a2,则这个数列是递增数列吗
◆ 探究点一 由数列的递推公式求通项公式
例1 分别根据下列条件,写出数列{an}的前4项,并归纳猜想数列{an}的通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N,n≥1);
(2)a1=1,an+1=an+(n∈N,n≥1);
(3)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N,n≥1).
[素养小结]
某些用递推公式给出的数列,写出数列的前几项后,由前几项分析其特点、规律,即可归纳总结出数列的通项公式.
◆ 探究点二 由数列的递推公式求数列的某一项
例2 [2025·江苏南通中学高二月考] 斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且a1=a2=1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个周期数列{bn},则数列{bn}的第100项为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
变式 在数列{an}中,a1=7,a2=24,对所有的正整数n都有an+1=an+an+2,则a2024= ( )
A.-7 B.24
C.-13 D.25
[素养小结]
解决数列周期性问题,一般先写出前几项确定周期,再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式,都是周期数列的“信号”.
◆ 探究点三 数列的单调性与最值
例3 (1)已知数列{an}的通项公式为an=n×,则数列{an}中的最大项为 ( )
A.第2项 B.第3项
C.第2或3项 D.第4项
(2)[2025·江苏锡山中学高二质检] 已知数列{an}满足an+1=log2(an+1),若{an}是递增数列,则a1的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,)
C.(-1,0) D.(1,+∞)
变式 (1)数列{an}的通项公式为an=-2n2+15n-1,则数列{an}中的最大项是 ( )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
(2)[2025·山东青岛二中高二月考] 数列{an}的通项公式为an=kn2+n+1,则“k>-”是“{an}为递增数列”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
[素养小结]
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法 根据an+1-an的符号判断数列{an}的单调性
作商比较法 根据(an>0或an<0)与1的大小关系判断数列{an}的单调性
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
拓展 [2025·江苏苏州中学高二质检] 已知数列{an}满足++…+=n(n∈N*),bn=λ(an-1)-n2+4n,若数列{bn}为递增数列,则λ的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.第2课时 数列的递推公式与数列的函数特性
1.已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则a5= ( )
A. B. C. D.
2.若数列{an}满足an+1=1-,a1=2,则a2024= ( )
A.-1 B.2
C. D.
3.已知数列{an}的通项公式是an=,则{an} ( )
A.不是单调数列 B.是递减数列
C.是递增数列 D.是常数列
4.现有3个数列{3n-1},{n2-n},{2-n},其中递增数列的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
5.[2025·江苏如皋中学高二月考] 如图中星星的个数构成一个数列{an},图(1)(2)(3)(4)中星星的个数依次为数列的前4项,按照这个规律,该数列的一个递推公式可以是 ( )
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
6.(多选题)若数列{an}满足an+1=a1=,则an的值可能为 ( )
A. B. C. D.
7.数列{an}中,已知a1=3,a2=0,且an=|an-1-an-2|(n≥3,n∈N),则a2024= .
8.[2025·湖南长沙一中高二月考] 已知数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N*).若数列{an}是常数列,则a= .
9.(13分)根据下列数列{an}的首项和递推公式,写出数列{an}的前5项,并由此归纳出它的通项公式.
(1)a1=2,an+1=3an+2;
(2)a1=1,an+1=an.
10.(13分)如图甲,将正三角形的每一条边三等分,并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形,便得到第1条“雪花曲线”(如图乙中的实线部分),对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法,便得到第2条“雪花曲线”(如图丙),这样一直继续下去,得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有an条边.
(1)写出a1,a2的值;
(2)求出数列{an}的递推公式.
11.在数列{an}中,已知a1=1,an+1-an=sin,则a2025= ( )
A.11 B.0
C.1 D.2
12.[2025·安徽安庆一中高二调研] 数列{an}是递增数列,且an=n∈N*,则实数t的取值范围是 ( )
A.(2,3) B.[2,3)
C. D.(1,3)
13.[2025·江苏启东中学高二质检] 数列{an}满足an+1>an,a2n=2an+1,写出符合上述条件的数列{an}的一个通项公式: .
14.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 九连环(如图)是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一”.在某种玩法中,用an表示解下前n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的最少移动次数,若a1=1,且an=则解下前6个圆环所需的最少移动次数为 .
15.[2025·江苏南京一中高二调研] 数列{an}是无穷数列,则“存在n0∈N*(n0≥2),使≥且≥”是“{an}存在最大项”的( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
16.[2025·湖北黄冈中学高二质检] 斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),则1+a3+a5+a7+a9+…+a2024是斐波那契数列{an}中的第 项. 第2课时 数列的递推公式与数列的函数特性
1.A [解析] ∵a1=2,an=2-(n≥2),∴a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=,a5=2-=.故选A.
2.D [解析] 因为an+1=1-,a1=2≠1,所以an+2=1-=-,所以an+3=1-=1+=an,所以数列{an}的周期为3,由a1=2,可得a2=,所以a2024=a674×3+2=a2=.故选D.
3.C [解析] 因为an+1-an=-=>0,所以{an}是递增数列.故选C.
4.C [解析] 由一次函数的单调性可知,数列{3n-1}为递增数列;设函数f(x)=x2-x,则f(x)在上单调递增,所以{n2-n}为递增数列;由指数函数的单调性可知,数列{2-n}为递减数列.故选C.
5.B [解析] 由题图易知a1=1,a2=3=a1+2,a3=6=a2+3,a4=10=a3+4,按照此规律,得an=an-1+n(n∈N*,n≥2).故选B.
6.ABC [解析] 由题意得a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2=,a4=2a3=,a5=2a4-1==a1,因此数列{an}是周期为4的周期数列,故an的所有可能取值为,,,.故选ABC.
7.0 [解析] 因为a1=3,a2=0,且an=|an-1-an-2|(n≥3,n∈N),所以a3=|a2-a1|=|0-3|=3,a4=|a3-a2|=|3-0|=3,a5=|a4-a3|=|3-3|=0,a6=|a5-a4|=|0-3|=3,a7=|a6-a5|=|3-0|=3,a8=|a7-a6|=|3-3|=0,a9=|a8-a7|=|0-3|=3,…,所以数列{an}为3,0,3,3,0,3,3,0,3,…,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,所以a2024=a3×674+2=a2=0.
8.-2 [解析] ∵数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N*),∴a2=.∵数列{an}是常数列,∴a=,解得a=-2.
9.解:(1)∵a1=2,an+1=3an+2,∴a1=2=3-1,a2=8=32-1,a3=26=33-1,a4=80=34-1,a5=242=35-1,
∴数列{an}的前5项依次为2,8,26,80,242,数列{an}的通项公式为an=3n-1(n∈N*).
(2)∵a1=1,an+1=an,
∴a1=1=,a2=,a3=2=,a4=,a5=3=,
∴数列{an}的前5项依次为1,,2,,3,数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
10.解:(1)a1=12,a2=48.
(2)由“雪花曲线”的作法可知,第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n+1条“雪花曲线”的四条边.
∴an+1=4an,∴数列{an}的递推公式为an+1=4an.
11.C [解析] 由an+1-an=sin,得an+1=an+sin,所以a2=a1+sin π=1+0=1,a3=a2+sin=1+(-1)=0,a4=a3+sin 2π=0+0=0,a5=a4+sin=0+1=1=a1,又sin的值以4为周期循环出现,所以数列{an}是以4为周期的周期数列,所以a2025=a506×4+1=a1=1,故选C.
12.C [解析] 因为an=
{an}是递增数列,所以
解得13.an=n-1(答案不唯一) [解析] 由a2n=2an+1得a2n+1=2(an+1),当an=n-1时,an+1=n,a2n+1=2n,故an=n-1(n∈N*)满足a2n+1=2(an+1),又an+1-an=n-(n-1)=1>0,即an+1>an,∴满足条件的数列{an}的一个通项公式为an=n-1.(答案不唯一).
14.31 [解析] ∵a1=1,an=∴a2=2a1-1=1,a3=2a2+2=4,a4=2a3-1=7,a5=2a4+2=16,a6=2a5-1=31,∴解下前6个圆环所需的最少移动次数为31.
15.D [解析] 根据题意可知,若存在n0∈N*(n0≥2),使≥且≥,不妨设a1=1,a2=2,且数列{an}满足an=n-2(n≥3),此时存在n0=2,满足a2≥a3且a2≥a1,但数列从第三项开始递增,无最大项,所以充分性不成立;若{an}存在最大项,不妨设数列{an}满足an=,此时{an}的最大项为a1=,且{an}为递减数列,所以不存在n0∈N*(n0≥2),使≥且≥,所以必要性不成立.故选D.
16.2025 [解析] 由an+2=an+1+an(n∈N*)可得1+a3+a5+a7+a9+…+a2024=a2+a3+a5+a7+a9+…+a2024=a4+a5+a7+a9+…+a2024=a6+a7+a9+…+a2024=…=a2023+a2024=a2025,故其为第2025项.