(共54张PPT)
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
探究点一 用定义判断等差数列
探究点二 等差数列基本量的计算
探究点三 等差中项及其应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解等差数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述
等差数列的概念,能根据等差数列的定义判断已知数列是否是等差数
列或证明等差数列.
知识点一 等差数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第____项起，每一项减去它
的________所得的差都等于____________，那么这个
数列就叫作等差数列，这个______叫作等差数列的公
差，公差通常用字母___表示
符号语言 为常数，
二
前一项
同一个常数
常数
说明：（1）“从第二项起”是因为首项没有“前一项”.
（2）一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差即使等于常数，
这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是
等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件.
知识点二 等差中项
条件：如果，， 成等差数列.
结论：那么叫作与 的等差中项.
满足的关系式是____________________.
或
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）数列1,1,1,1， 不是等差数列.( )
×
（2）任意两个实数都存在等差中项.( )
√
（3）若,,是等差数列,则 .( )
√
（4）当数列为常数列时,数列 不是等差数列.( )
×
2.某数列中相邻两项后一项减去前一项是常数，这个数列是等差数列么？
解：不是，这个常数是相同的才是等差数列.
探究点一 用定义判断等差数列
例1（1）下列数列中，不是等差数列的是( )
A.2，5，8，11
B.，，，
C.，，，
D.，，，
√
[解析] 对于A，因为第2项起，每项与前一项的差是同一个常数3，
所以此数列是等差数列，所以A不合题意;
对于B，因为， ，即
，所以此数列不是等差数列,所以B符合题意;
对于C，因为第2项起，每项与前一项的差是同一个常数0，
所以此数列是等差数列，所以C不合题意;
对于D，数列， ，，可表示为，，
， ，因为第2项起，每项与前一项的差是同一个常数1，
所以此数列是等差数列，所以D不合题意.
故选B.
（2）判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？
①在数列中 ；
解:因为
所以数列 为等差数列，
所以数列的首项，公差 ．
（2）判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？
②在数列中 ；
解:因为 ，不是常数，
所以数列 不是等差数列．
（2）判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？
③在数列中，其中， 为常数．
解:因为 ，
所以 ，
则， 为常数，所以数列
是等差数列,
所以数列的首项，公差 ．
变式 若数列的通项公式为 ，则此数列( )
A.是公差为的等差数列 B.是公差为 的等差数列
C.是公差为3的等差数列 D.是首项为3的等差数列
[解析] 由 可得
，又，所以 是
首项为1，公差为 的等差数列.故选B.
√
［素养小结］
利用定义法判断是否为等差数列时,从第2项起检验每一项与它的前一
项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不
是等差数列.
探究点二 等差数列基本量的计算
例2 求出下列等差数列中的未知项.
（1）,,，, ；
解：等差数列,,，,中，公差满足 ,
则，所以 ,
，
.
（2）,，， .
解：等差数列,，， 中，
公差 ，
则 ,
.
例2 求出下列等差数列中的未知项.
变式 等差数列,，， 的第四项等于___.
9
[解析] 由题得，则 ，
所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3,所以等差数列的第四项为9．
［素养小结］
若干个数成等差数列，求其中的未知项时，要严格按照等差数列的
定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知项.
探究点三 等差中项及其应用
例3（1）［2025·江苏泰州中学高二质检］已知和 的等差中项是
4，和的等差中项是5，则和 的等差中项是( )
A.8 B.6 C.4.5 D.3
[解析] ，， ，
，
和 的等差中项是 .故选D.
√
（2）在与7之间依次插入三个数,, ,使这五个数成等差数列,则
这个数列为__________.
,1,3,5,7
[解析] 方法一:由题意知解得 所以所求数列为
,1,3,5,7.
方法二:根据题意,设组成的等差数列为,其公差为 ,
则,,又,所以 ,则
,,,所以所求数列为 ,
1,3,5,7.
变式（1）已知等差数列满足，则 等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] ， ．故选B.
（2）［2025·湖南长沙一中高二月考］已知在各项均为正数的等差
数列中，有连续四项依次为，，，，则 等于( )
A. B. C. D.4
[解析] 因为，，，为等差数列，所以 ，
，所以，，所以 .故选A.
√
√
［素养小结］
三个数
,
,
成等差数列的条件是
（或
）,利用该条
件可进行等差数列的判定或求解有关等差中项的计算问题.若需证明
为等差数列,则可通过证明
来实现.
拓展 ［2025·北京东城区高二期末］ 做一个木梯需要7根横梁，这7
根横梁的长度从上到下成等差数列．现有长为 的一根木杆刚好
可以截成最上面的三根横梁，长为 的一根木杆刚好可以截成最下
面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是( )
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列为,由题意可得， ,
,所以,,故 ，
则所求横梁长度为 .故选B.
√
等差数列定义的注意点
（1）对给定的等差数列,其公差 一定是由相邻两项后一项减前一项
所得的差,而不能用前一项减后一项;
（2）定义中“从第2项起”是说必须从第2项起才能保证数列中各项均
与其前面一项作差,如若不然,从第 项起作差,则势必
遗漏前面的若干项;
（3）定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个,其一是强调作
差的顺序,即后面的项减前面的项,其二是强调这两项必须相邻.
连续 项成等差数列的设法技巧
当已知数列有项时，可设为， ， ，
，，， ，，此时公差为 ；
当已知数列有项时，可设为，， ，
，，， ，，，此时公差为 .
例1 （多选题）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项
的积为40，则这四个数依次可以为( )
A.，4，10，16 B.16，10，4，
C.2，5，8，11 D.11，8，5，2
[解析] 设这四个数依次为，，， ，
则解得或 所
以这四个数依次为，4，10，16或16，10，4，.故选 .
√
√
例2 已知五个数组成一个递减等差数列，且它们的和为5，平方和为
165，则这个等差数列的第1项为___.
9
[解析] 设这个等差数列中的五个数依次为，， ，
， .由题意，得
解得或
因为这个数列是递减数列，所以公差 ，
则所以这个等差数列的第1项为 .
练习册
1.下列数列中，不是等差数列的是( )
A.2，4，8，16，32 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.，， ，0，1
√
[解析] 对于A，显然 ，所以该数列不是等差数列；
对于B，设数列为,显然满足 ，所以该
数列是等差数列；
对于C，设数列为 ,显然满足 ，
所以该数列是等差数列；
对于D，设数列为,显然满足 ，
所以该数列是等差数列．
故选A.
2.已知数列是一个等差数列，，公差,则
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] ,，公差 ,
．故选A.
√
3.已知等差数列满足，则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 等差数列满足，则 ，
．故选B.
√
4.若等差数列的公差为，为常数且 ，则( )
A.数列是公差为 的等差数列
B.数列是公差为 的等差数列
C.数列是首项为 的等差数列
D.数列 不是等差数列
[解析] 由题意可知 ，
所以数列是以 为公差的等差数列，故选B.
√
5.［2025·江苏兴化中学高二月考］已知等差数列 的前三项分别
为，， ，则此数列的第四项为( )
A.12 B.13 C.10 D.15
[解析] 因为等差数列的前三项分别为，， ，所
以，解得 ,
所以该等差数列的前三项分别为1,5,9，公差为4，
所以此数列的第四项为 .故选B.
√
6.（多选题）［2025·江苏镇江中学高二质检］ 已知数列 为等差
数列，则下列说法正确的是( )
A.为常数 B.数列 是等差数列
C.数列是等差数列 D.是与 的等差中项
√
√
√
[解析] 对于A，因为数列是等差数列，所以
（常数为公差），所以A正确；
对于B，因为数列 是等差数列，所以
，所以数列 是等差数列，故B正确；
对于C， ，不是常数，
所以数列 不是等差数列，故C不正确；
对于D，根据等差数列的性质可知，所以是
与 的等差中项，故D正确.
故选 .
7.在等差数列中，,，则 ____.
14
[解析] 因为等差数列中，,，所以 .
8.已知三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为 ，则这三个
数分别为_______________.
,2,6或6,2,
[解析] 设这三个数分别为,, ．由题意可得
解得
或故这三个数依次为，2，6或6，2， ．
9.（13分）已知数列 是等差数列．
（1）如果，，求公差和 ；
解:由等差数列的定义，可知公差 ，
．
（2）如果，，求公差和 ；
解:，，， ．
（3）如果，，求公差和 ．
解:，,， ，故
.
10.（13分）已知,,,四个数，其中,, 成等差数列，且
,，若,,成等差数列，求 的值．
解:因为,，所以 ，
因为,,成等差数列，所以，即 ，即
，
因为,, 成等差数列，
所以，即，解得 ．
11.［2025·江苏徐州一中高二月考］已知数列满足 ，
且，，则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 因为，故 是以4为公差的等差数列，所以
，，因为，所以 .故选A.
√
12.已知数列是无穷数列，则“”是“数列 为等差
数列”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 若数列为等差数列，则 ，必要性成立；
若，则不能断定“数列 为等差数列”成立，必须满足
对任意的，都有 成立才可以，充分性不成立.
故“”是“数列 为等差数列”的必要且不充分条件．
√
13.［2025·广东梅州中学高二质检］在数列 中，
且，，则 等
于( )
A. B. C. D.3
[解析] 由知，数列 是等差数列，
则其公差，所以 ，
故 .故选B.
√
14.［2025·江苏扬州中学高二月考］在中，内角，， 的对
边分别是，，，且，，成等差数列，，则 的取值
范围为______.
[解析] 在中，由，，成等差数列，可得 ，由
，得 ，即 ，
由余弦定理得,可得 ，
即 ，则
（当且仅当 时取等号），可得
，又，的取值范围是 .
15.［2025·山东泰安一中高二月考］数列2，4，7，11，16从第二项
起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，
5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列.现有二阶
等差数列 ，其前六项依次为2，5，9，14，20，27,记该数列的后
一项与前一项之差组成新数列，则 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
[解析] 方法一：根据题意知， ，令
,得 .
方法二：由题意得，新数列为3，4，5，6，7， ，且 为等
差数列，故 .故选D.
16.（多选题）［2025·江苏启东中学高二调研］ 在数列 中，若
，，为常数，则 称为“等方差数列”.
下列对“等方差数列”的说法正确的是( )
A.若是等方差数列，则 一定是等差数列
B.若是等方差数列，则 可能是等差数列
C. 是等方差数列
D.若是等方差数列，则 也是等方差数列
√
√
√
[解析] 若，则，所以是等方差数列，但 不是
等差数列，A错误；
若，则 ，所以，则是等方差
数列， 是等差数列，B正确；
若，则，所以 是等方差数列，C正确；
若是等方差数列，则 是常数，因此
是常数，
所以也是等方差数列，D正确．
故选 .
17.单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数
学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数
的和．例如，.现已知 可以表
示成4个单分数的和，记，其中，， 是以101
为首项的等差数列，则 的值为( )
A.505 B.404 C.303 D.202
√
[解析] 依题意，对于拆分后的分数，其分子都是1，分母依次变大，
，且 ，
，，是以101为首项的等差数列，所以,, ，
故 .故选A.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 二 前一项 同一个常数 常数
知识点二
或
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.解：不是，这个常数是相同的才是等差数列.
课中探究 例1 （1）B
（2）①数列
为等差数列，所以数列
的首项
，公差
．
②数列
不是等差数列．
③数列
是等差数列,所以数列
的首项
，公差
．
变式 B 例2 （1）
,
，
（2）
,
.
变式 9 例3 （1）D （2）
,1,3,5,7 变式 （1）B （2）A 拓展 B
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.B 4.B 5.B 6.ABD 7.14 8.
,2,6或6,2,
9.（1）
，
，
（3），
10.
11.A 12.B 13.B 14.
15.D 16.BCD 17.A4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
【课前预习】
知识点一
二 前一项 同一个常数 常数 d
知识点二
a+b=2A或A=
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.解:不是,这个常数是相同的才是等差数列.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B [解析] 对于A,因为第2项起,每项与前一项的差是同一个常数3,所以此数列是等差数列,所以A不合题意;对于B,因为1.01-1.1=-0.09,1.001-1.01=-0.009,即1.01-1.1≠1.001-1.01,所以此数列不是等差数列,所以B符合题意;对于C,因为第2项起,每项与前一项的差是同一个常数0,所以此数列是等差数列,所以C不合题意;对于D,数列lg 2,lg 20,lg 200,lg 2000可表示为lg 2,1+lg 2,2+lg 2,3+lg 2,因为第2项起,每项与前一项的差是同一个常数1,所以此数列是等差数列,所以D不合题意.故选B.
(2)解:①因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*).
所以数列{an}为等差数列,
所以数列{an}的首项a1=5,公差d=3.
②因为bn+1-bn=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,
所以数列{bn}不是等差数列.
③因为cn=pn+q,
所以cn+1=p(n+1)+q,
则cn+1-cn=p(n+1)+q-(pn+q)=p,p为常数,所以数列{cn}是等差数列,
所以数列{cn}的首项c1=p+q,公差d=p.
变式 B [解析] 由an=3-2n可得an+1-an=3-2(n+1)-(3-2n)=-2,又a1=1,所以{an}是首项为1,公差为-2的等差数列.故选B.
探究点二
例2 解:(1)等差数列a,b,-10,c,-20中,公差d满足-20-(-10)=2d,
则d=-5,所以c=-20-(-5)=-15,
b=-10-(-5)=-5,
a=-5-(-5)=0.
(2)等差数列x,lg 3,lg 6,y中,
公差d=lg 6-lg 3=lg 2,
则x=lg 3-lg 2=lg ,
y=lg 6+lg 2=lg 12.
变式 9 [解析] 由题得3x+3-x=6x+6-(3x+3),则x=0,所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3,所以等差数列的第四项为9.
探究点三
例3 (1)D (2)-1,1,3,5,7
[解析] (1)∵m+2n=8,2m+n=10,∴3m+3n=18,∴m+n=6,∴2m-n和2n-m的等差中项是==3.故选D.
(2)方法一:由题意知解得所以所求数列为-1,1,3,5,7.
方法二:根据题意,设组成的等差数列为{an}(n=1,2,3,4,5),其公差为d,则a1=-1,a5=7,又a1+d+d+d+d=a5,所以d==2,则a=(-1)+2=1,b=a+2=3,c=b+2=5,所以所求数列为-1,1,3,5,7.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)∵a6+a7+a8=3a7=6,∴a7=2.故选B.
(2)因为m,a,4m,b为等差数列,所以2a=m+4m,8m=a+b,所以a=,b=,所以=.故选A.
拓展 B [解析] 设等差数列为{an},由题意可得,a1+a2+a3=1.5,a5+a6+a7=2,所以a2=0.5=,a6=,故a4===,则所求横梁长度为 m.故选B.4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
1.A [解析] 对于A,显然4-2≠8-4,所以该数列不是等差数列;对于B,设数列为{an},显然满足an+1-an=3(n=1,2,…,4),所以该数列是等差数列;对于C,设数列为{bn},显然满足bn+1-bn=(n=1,2,…,4),所以该数列是等差数列;对于D,设数列为{cn},显然满足cn+1-cn=1(n=1,2,…,4),所以该数列是等差数列.故选A.
2.A [解析] ∵a3=a2+d=a1+2d,a3=2,公差d=-,∴a1=a3-2d=2+1=3.故选A.
3.B [解析] 等差数列{an}满足a6+a7+a8=6,则3a7=6,∴a7=2.故选B.
4.B [解析] 由题意可知bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd,所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列,故选B.
5.B [解析] 因为等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,所以2(2a+1)=(a-1)+(a+7),解得a=2,所以该等差数列的前三项分别为1,5,9,公差为4,所以此数列的第四项为9+4=13.故选B.
6.ABD [解析] 对于A,因为数列{an}是等差数列,所以an+1-an=d(常数d为公差),所以A正确;对于B,因为数列{an}是等差数列,所以(-an+1)-(-an)=-(an+1-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;对于C,-==,不是常数,所以数列不是等差数列,故C不正确;对于D,根据等差数列的性质可知2an+1=an+an+2,所以an+1是an与an+2的等差中项,故D正确.故选ABD.
7.14 [解析] 因为等差数列{an}中,a2=7,a6=21,所以a4==14.
8.-2,2,6或6,2,-2 [解析] 设这三个数分别为a-d,a,a+d.由题意可得解得
或故这三个数依次为-2,2,6或6,2,-2.
9.解:(1)由等差数列的定义,可知公差d=a2-a1=-3,a3=a2+d=-1.
(2)∵a2=4,a3=2,∴d=a3-a2=-2,a1=a2-d=6.
(3)∵a1=2,a3=4,∴2a2=a1+a3=6,∴a2=3,故d=a2-a1=1.
10.解:因为a+b=3,b+d=6,所以d=a+3,
因为b,d,e成等差数列,所以2d=b+e,即2a+6=3-a+e,即e=3a+3,
因为2a,d,e成等差数列,
所以2d=2a+e,即2a+6=2a+3a+3,解得a=1.
11.A [解析] 因为-=4,故{}是以4为公差的等差数列,所以=+4=5,=+4=9,因为an>0,所以a3=3.故选A.
12.B [解析] 若数列{an}为等差数列,则2a2=a1+a3,必要性成立;若2a2=a1+a3,则不能断定“数列{an}为等差数列”成立,必须满足对任意的n∈N*,都有2an+1=an+an+2成立才可以,充分性不成立.故“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的必要且不充分条件.
13.B [解析] 由=+(n∈N*,n≥2)知,数列是等差数列,则其公差d=-=1,所以=+d=+1=,故a2025=.故选B.
14.(2,4] [解析] 在△ABC中,由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C,由A+B+C=π,得3B=π,即B=,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B,可得4=a2+c2-2ac·cos ,即4=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,则(a+c)2-4=3ac≤(a+c)2(当且仅当a=c时取等号),可得0
b=2,∴a+c的取值范围是(2,4].
15.D [解析] 方法一:根据题意知,bn-1=an-an-1=n+1(n≥2),令n=7,得b6=8.
方法二:由题意得,新数列{bn}为3,4,5,6,7,…,且{bn}为等差数列,故b6=8.故选D.
16.BCD [解析] 若an=,则=n,所以{an}是等方差数列,但{an}不是等差数列,A错误;若an=5,则=25,所以-=0(n≥2),则{an}是等方差数列,{an}是等差数列,B正确;若an=(-1)n,则=1,所以{an}是等方差数列,C正确;若{an}是等方差数列,则-=d是常数,因此-=-+-=d+d=2d是常数,所以{a2n}也是等方差数列,D正确.故选BCD.
17.A [解析] 依题意,对于拆分后的分数,其分子都是1,分母依次变大,=+++,且=+=++=++=+++=+++,x,y,z是以101为首项的等差数列,所以x=101,y=202,z=303,故y+z=202+303=505.故选A.4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
【学习目标】
理解等差数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述等差数列的概念,能根据等差数列的定义判断已知数列是否是等差数列或证明等差数列.
◆ 知识点一 等差数列的概念
文字语言 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项减去它的 所得的差都等于 ,那么这个数列就叫作等差数列,这个 叫作等差数列的公差,公差通常用字母 表示
符号语言 an+1-an=d(d为常数,n∈N*)
说明:(1)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”.
(2)一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件.
◆ 知识点二 等差中项
条件:如果a,A,b成等差数列.
结论:那么A叫作a与b的等差中项.
满足的关系式是 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列1,1,1,1,…不是等差数列. ( )
(2)任意两个实数都存在等差中项. ( )
(3)若a,b,c是等差数列,则c+a=2b. ( )
(4)当数列{an}为常数列时,数列{an}不是等差数列. ( )
2.某数列中相邻两项后一项减去前一项是常数,这个数列是等差数列么
◆ 探究点一 用定义判断等差数列
例1 (1)下列数列中,不是等差数列的是 ( )
A.2,5,8,11
B.1.1,1.01,1.001,1.000 1
C.a,a,a,a(a∈R)
D.lg 2,lg 20,lg 200,lg 2000
(2)判断下列数列是否为等差数列,若是,首项和公差分别是多少
①在数列{an}中an=3n+2;
②在数列{bn}中bn=n2+n;
③在数列{cn}中cn=pn+q,其中p,q为常数.
变式 若数列{an}的通项公式为an=3-2n,则此数列 ( )
A.是公差为-3的等差数列
B.是公差为-2的等差数列
C.是公差为3的等差数列
D.是首项为3的等差数列
[素养小结]
利用定义法判断是否为等差数列时,从第2项起检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列.
◆ 探究点二 等差数列基本量的计算
例2 求出下列等差数列中的未知项.
(1)a,b,-10,c,-20;
(2)x,lg 3,lg 6,y.
变式 等差数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于 .
[素养小结]
若干个数成等差数列,求其中的未知项时,要严格按照等差数列的定义列出等式,通过解方程或方程组的方法求出未知项.
◆ 探究点三 等差中项及其应用
例3 (1)[2025·江苏泰州中学高二质检] 已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是 ( )
A.8 B.6
C.4.5 D.3
(2)在-1与7之间依次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,则这个数列为 .
变式 (1)已知等差数列{an}满足a6+a7+a8=6,则a7等于 ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)[2025·湖南长沙一中高二月考] 已知在各项均为正数的等差数列中,有连续四项依次为m,a,4m,b,则等于 ( )
A. B.
C. D.4
[素养小结]
三个数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),利用该条件可进行等差数列的判定或求解有关等差中项的计算问题.若需证明{an}为等差数列,则可通过证明2an+1=an+an+2(n∈N*)来实现.
拓展 [2025·北京东城区高二期末] 做一个木梯需要7根横梁,这7根横梁的长度从上到下成等差数列.现有长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁,长为2 m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁,那么正中间的一根横梁的长度是 ( )
A. m B. m C. m D. m4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
1.下列数列中,不是等差数列的是 ( )
A.2,4,8,16,32
B.4,7,10,13,16
C.,,1,,
D.-3,-2,-1,0,1
2.已知数列{an}是一个等差数列,a3=2,公差d=-,则a1= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.已知等差数列{an}满足a6+a7+a8=6,则a7= ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
4.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则 ( )
A.数列{bn}是公差为d的等差数列
B.数列{bn}是公差为cd的等差数列
C.数列{bn}是首项为c的等差数列
D.数列{bn}不是等差数列
5.[2025·江苏兴化中学高二月考] 已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则此数列的第四项为 ( )
A.12 B.13
C.10 D.15
6.(多选题)[2025·江苏镇江中学高二质检] 已知数列{an}为等差数列,则下列说法正确的是( )
A.an+1=an+d(d为常数)
B.数列{-an}是等差数列
C.数列是等差数列
D.an+1是an与an+2的等差中项
7.在等差数列{an}中,a2=7,a6=21,则a4= .
8.已知三个数成等差数列,这三个数的和为6,积为-24,则这三个数分别为 .
9.(13分)已知数列{an}是等差数列.
(1)如果a1=5,a2=2,求公差d和a3;
(2)如果a2=4,a3=2,求公差d和a1;
(3)如果a1=2,a3=4,求公差d和a2.
10.(13分)已知a,b,d,e四个数,其中b,d,e成等差数列,且a+b=3,b+d=6,若2a,d,e成等差数列,求a的值.
11.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知数列{an}满足=+4,且a1=1,an>0,则a3= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
12.已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
13.[2025·广东梅州中学高二质检] 在数列{an}中,=+(n∈N*,n≥2)且a2023=,a2024=,则a2025等于 ( )
A. B. C. D.3
14.[2025·江苏扬州中学高二月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列,b=2,则a+c的取值范围为 .
15.[2025·山东泰安一中高二月考] 数列2,4,7,11,16从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{an},其前六项依次为2,5,9,14,20,27,记该数列的后一项与前一项之差组成新数列{bn},则b6= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
16.(多选题)[2025·江苏启东中学高二调研] 在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则{an}称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的说法正确的是 ( )
A.若{an}是等方差数列,则{an}一定是等差数列
B.若{an}是等方差数列,则{an}可能是等差数列
C.{(-1)n}是等方差数列
D.若{an}是等方差数列,则{a2n}也是等方差数列
17.单分数(分子为1,分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色,埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和.例如=+,=++++.现已知可以表示成4个单分数的和,记=+++,其中x,y,z是以101为首项的等差数列,则y+z的值为 ( )
A.505 B.404 C.303 D.202