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4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的通项公式
探究点一 等差数列的通项公式及运用
探究点二 等差数列的判定与证明
探究点三 等差数列的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解等差数列的通项公式,能说出等差数列通项公式的特征,并
能灵活求解等差数列的基本量.
2.能用等差数列的有关知识解决简单的实际问题.
知识点 等差数列的通项公式
1.通项公式:若等差数列的首项为,公差为 ,则其通项公式为
_____________.
2.等差数列的图象:等差数列 的通项公式可写成
.各点分布在一条以 为斜率的直线上,是这
条直线上一列__________.
孤立的点
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列满足,为常数,则数列 一定是等
差数列.( )
√
（2）若数列满足则 是等差数列.( )
×
（3）在等差数列中,,则等差数列 的公差是3.( )
√
（4）各项都为正数的等差数列的公差一定大于0.( )
×
2.等差数列的通项公式对应的函数一定是关于 的一次函数吗
解:不一定,当公差为0时,等差数列 的通项公式对应的函数不是关
于 的一次函数,而是常函数.
探究点一 等差数列的通项公式及运用
例1 设等差数列的公差为 .
（1）已知，，，求 ；
解: .
（2）已知，，，求 ；
解:由得，解得 .
（3）已知，，求 ；
解:由得，解得 .
（4）已知，，求和 .
解:由得，解得 ，
所以 .
例1 设等差数列的公差为 .
变式 在等差数列中，,，则 ( )
A.8 B.10 C.14 D.16
[解析] 设的公差为，则解得
所以 .故选D.
√
［素养小结］
等差数列首项、公差等基本量的计算主要利用等差数列的通项公式
列方程（组）求解.
探究点二 等差数列的判定与证明
例2 已知数列满足， ，且
.
（1）求证：数列 是等差数列；
证明：
是一个常数，所以数列 是等差数列.
（2）求数列 的通项公式.
解:由题得，数列 是公差为1的等差数列，
所以,故 .
例2 已知数列满足， ，且
.
变式 ［2025·江苏宿迁中学高二月考］已知数列满足 ，
.
（1）当时，求 及 的值.
解:， ，
又，， ，
则， .
（2）是否存在 ，使数列 为等差数列？若存在，求其通项公式；
若不存在，说明理由.
解:不存在.， ，
，
.
若数列为等差数列，则 ，即
，
，
则 ，
方程无实数解， 不存在 使 为等差数列.
［素养小结］
等差数列的常用判定与证明方法
1.定义法：对于数列
，若
（常数），则数
列
是等差数列；
2.等差中项：对于数列
，若
，则数列
是等差数列;
3.通项公式：
,
为常数,
是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同
一常数，即易忽视验证
这一关键条件.
探究点三 等差数列的实际应用
例3 ［2025·江苏如东中学高二月考］诺沃尔 在1740年发现
了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、…人类都可以看到这颗
彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在（2025年）开始到公元
3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为____．
12
[解析] 设彗星出现的年份依次构成数列 ，由题意可知，彗星出
现的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，所以
，
令 ，即，
解得，
又 ，所以,6, ,16，
所以从现在开始到公元3000年，
人类可以看到这颗彗星的次数为 （次）.
变式 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有
如下记载：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，
今三十日织迄.”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织
同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完.则该女子
第11天织布( )
A.尺 B.尺 C.尺 D. 尺
[解析] 设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知 为
等差数列，且,，则公差 ，故
，故选B.
√
［素养小结］
求解等差数列实际应用问题的关键是认真审题,挖掘出“等差”变化的
含义,明确首项、公差、项数等基本量后列方程求解.
1.等差数列通项公式的应用:
在等差数列的通项公式中有4个量,,, ,在
这4个量中可以“知三求一”.其作用为:
（1）可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;
（2）已知等差数列的任意两项,就可以求出首项和公差,从而可求等
差数列中的任一项;
（3）由等差数列的通项公式可求出数列中的任一项, 也可判断某数
是否为数列中的项或求某数是数列中的第几项.
2.等差数列的通项公式的拓展
（1）若等差数列的第项为,则其第项 可以表示为
.
（2）公式 也可以用以下方法（叠加法）导出:
将以上 个等式两边分别相加,可得
,移项得 ,又当
时,上式成立,故的通项公式为 .
“叠加法”是推导递推公式形如 的数列的通
项公式的一种重要方法.
3.等差数列的数学文化问题与实际应用
我国著名的宁夏一百零八塔就是根据等差数列的原理排列而成的.它
将108座塔排列成12行,每行依次有1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19座塔,这
都是一些奇数,而奥秘也正好隐藏在其中.通过计算,我们发现
,但是一共要建造
108座塔,就可以将剩下的8座拆分为3座和5座,正好能进行奇数排列.宁
夏一百零八塔就是等差数列在建筑中应用的一个经典案例.
由递推关系式可得到等差数列的常见形式如下:
（1）递推关系式可转化为 常数,则数
列 是等差数列.
（2）递推关系式可转化为常数,则数列 是等差数列.
（3）递推关系式可转化为常数,则数列 是等差
数列.
（4）递推关系式可转化为常数,则数列{ }是等差
数列.
（5）递推关系式可转化为常数,则数列 是等差数列.
例 已知数列满足, .
（1）求证:数列 为等差数列;
证明：因为 ,
,所以数列是以 为首项,3为公差的等差数列.
（2）求数列 的通项公式与最大项.
解：由（1）可得,即 .
当时,由反比例函数的性质知 为递减数列,所以
,
又,,所以,所以数列 的最大项是 .
例 已知数列满足, .
练习册
1.等差数列0,,, 的第 项是( )
A. B. C. D.
[解析] 等差数列中,,
为公差,， ，故
选A.
√
2.已知等差数列中，，，则 等于( )
A.13 B.14 C.15 D.16
[解析] 等差数列中，，，设的公差为 ,所以
，即，则 ．故
选B.
√
3.数列是首项为的等差数列，若，则 的通项
公式是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题知,设的公差为 ，则
，解得，所以数列 的通项公式是
．故选A.
√
4.［2025·江苏镇江中学高二期中］等差数列 中，若
，，则 等于( )
A.9 B.10 C.11 D.12
[解析] 设等差数列的公差为，由， ，
得 ，所以
.故选C.
√
5.［2025·江苏南通中学高二月考］已知是等差数列，且 是
和的等差中项，则 的公差为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 设等差数列的公差为 .由已知条件，得
，即 ，解得
.故选A.
√
6.在数列中，，，则 ( )
A.100 B.1000 C.10 000 D.100 000
[解析] 由得，令 ，则
，所以数列是以 为首项，1为公差的
等差数列，
所以，即 ，所以
，则 ,故选C.
√
7.已知等差数列中，,，则公差 的值为____.
[解析] 等差数列中，,，
设的公差为 ,则,即,解得 .
8.若数列满足，，若 ，
则 _____.
683
[解析] ，， 是以19为首
项，为公差的等差数列，
则 ,
则，解得 ．
9.（13分）在等差数列中，， ．
（1）求 的值.
解：由题意，设等差数列的公差为,由， ，
得解得
所以数列的通项公式为 ，
所以 ．
（2）2026是否为数列 中的项？若是，则为第几项？
解：是.理由如下：令，解得 ，所以2026
是数列 中的项，且为第507项．
10.（13分）［2025·江苏启东中学高二检测］ 已知数列 满足
，且 .
（1）求， ；
解：由题得， .
（2）证明：数列 是等差数列；
证明：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以数列是首项为，公差 的等差数列.
（3）求数列 的通项公式.
解：由（2）得，所以 .
11.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积（单位：升）成等差数
列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为
( )
A.升 B.升 C.升 D. 升
√
[解析] 设此等差数列为，其公差为 ，由
得 解得
，即第5节的容积为 升.
故选B.
12.［2025·江苏苏州中学高二质检］若，，， ， 为各项
都大于0的等差数列，公差 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，， ，得
， ，
即 .故选B.
√
13.（多选题）［2025·江苏常州中学高二质检］ 等差数列 中,
,公差,且,则实数 的值可能为
( )
A. B. C. D.
[解析] 等差数列中,,公差,且 ,
,整理得,
解得，结合选项可知选 .
√
√
14.［2025·江苏南京一中高二月考］已知等差数列中， ，
从第10项起开始大于1，那么公差 的取值范围是 ________.
[解析] 在等差数列 中，因为从第10项起开始大于1，所以
,即公差的取值范围是 .
15.（多选题）［2025·江苏靖江中学高二调研］ 已知数列 满足
，当时，，则关于数列
的说法正确的是( )
A. B. 是递增数列
C. D.数列 为周期数列
√
√
√
[解析] 数列满足，当 时，
，，
数列{}是首项为 ，公差为1的等差数列，则
， ，故C正确；
，故A正确；
易知函数 在上单调递增，则 是递增数列，
故B正确，D错误．
故选 .
16.（15分）［2025·江苏徐州一中高二检测］ 已知无穷等差数列
的首项，公差 ，依次取出序号能被4除余3的项组
成数列 ．
（1）求和 ；
解：因为， ，
所以 ，
因为数列 中序号能被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11
项， ，
所以， .
（2）求 的通项公式；
解：设中的第项是的第项，即 ，则
，
所以，所以 的通项
公式为 .
（3）中的第110项是 中的第几项？
解： ，
设它是中的第 项，
则，则 ，
所以是 中的第439项．
快速核答案（导学案）
课前预习 1.
2.孤立的点
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ （4）×
2.解:不一定,当公差为0时,等差数列
的通项公式对应的函数不是关于
的一次
函数,而是常函数.
课中探究 例1 （1）
. （2）
（3） （4）
，
变式 D 例2 （1）略（2）
变式 （1），（2）不存在
例3 12 变式 B
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.
8.683
9.（1）
（2）2026是数列
中的项，且为第507项．
10.（1）
，
（2）略（3）
11.B 12.B 13.AB 14.
15.ABC
16.（1）
，
（2）
（3
是
中的第439项4.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列的通项公式,能说出等差数列通项公式的特征,并能灵活求解等差数列的基本量.
2.能用等差数列的有关知识解决简单的实际问题.
◆ 知识点 等差数列的通项公式
1.通项公式:若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an= .
2.等差数列的图象:等差数列{an}的通项公式可写成an=dn+(a1-d).各点(n,an)分布在一条以d为斜率的直线上,是这条直线上一列 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}满足an=kn+b(k,b为常数),则数列{an}一定是等差数列. ( )
(2)若数列{an}满足an=则{an}是等差数列. ( )
(3)在等差数列{an}中,an=3n+8,则等差数列{an}的公差是3. ( )
(4)各项都为正数的等差数列的公差一定大于0. ( )
2.等差数列{an}的通项公式对应的函数一定是关于n的一次函数吗
◆ 探究点一 等差数列的通项公式及运用
例1 设等差数列{an}的公差为d.
(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;
(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)已知a1=12,a6=27,求d;
(4)已知d=-,a7=8,求a1和an.
变式 在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a9= ( )
A.8 B.10 C.14 D.16
[素养小结]
等差数列首项、公差等基本量的计算主要利用等差数列的通项公式列方程(组)求解.
◆ 探究点二 等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}满足a1=2,an+1=2-(n∈N*),且bn=.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
变式 [2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*).
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)是否存在λ,使数列{an}为等差数列 若存在,求其通项公式;若不存在,说明理由.
[素养小结]
等差数列的常用判定与证明方法
1.定义法:对于数列{an},若an+1-an=d(n∈N*)(常数),则数列{an}是等差数列;
2.等差中项:对于数列{an},若2an+1=an+an+2(n∈N*),则数列{an}是等差数列;
3.通项公式:an=pn+q(p,q为常数,n∈N*) {an}是等差数列.
提醒:判断时易忽视定义中从第2项起,以后每项与前一项的差是同一常数,即易忽视验证a2-a1=d这一关键条件.
◆ 探究点三 等差数列的实际应用
例3 [2025·江苏如东中学高二月考] 诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星,并推算出在1823年、1906年、…人类都可以看到这颗彗星,即该彗星每隔83年出现一次.从现在(2025年)开始到公元3000年,人类可以看到这颗彗星的次数为 .
变式 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下记载:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十日织迄.”其大意为:有一女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织5尺,最后一天织一尺,三十天织完.则该女子第11天织布 ( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
[素养小结]
求解等差数列实际应用问题的关键是认真审题,挖掘出“等差”变化的含义,明确首项、公差、项数等基本量后列方程求解.4.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的通项公式
【课前预习】
知识点
1.a1+(n-1)d 2.孤立的点
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.解:不一定,当公差为0时,等差数列{an}的通项公式对应的函数不是关于n的一次函数,而是常函数.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)an=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)由a6=a1+5d得12+5d=27,解得d=3.
(4)由a7=a1+6d得a1-2=8,解得a1=10,所以an=a1+(n-1)d=10- (n-1)=-n+.
变式 D [解析] 设{an}的公差为d,则解得所以a9=a1+8d=16.故选D.
探究点二
例2 解:(1)证明:bn+1-bn=-=-=-==1是一个常数,所以数列{bn}是等差数列.
(2)由题得b1==1,数列{bn}是公差为1的等差数列,所以bn=1+(n-1)=n=,故an=1+.
变式 解:(1)∵an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*),∴a2=(λ-3)a1+2,
又a1=2,a2=-1,∴λ=,
则a3=-a2+22,∴a3=.
(2)不存在.∵a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.
若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2,即2+2λ2-10λ+16=2(2λ-4),
∴λ2-7λ+13=0,
则Δ=49-4×13<0,∴方程无实数解,∴不存在λ使{an}为等差数列.
探究点三
例3 12 [解析] 设彗星出现的年份依次构成数列{an},由题意可知,彗星出现的年份构成一个公差为83,首项为1740的等差数列,所以an=1740+83(n-1)=83n+1657,令2025≤an≤3000,即2025≤83n+1657≤3000,解得≤n≤,又n∈N*,所以n=5,6,…,16,所以从现在开始到公元3000年,人类可以看到这颗彗星的次数为16-5+1=12(次).
变式 B [解析] 设女子每天的织布数构成的数列为{an},由题设可知{an}为等差数列,且a1=5,a30=1,则公差d==-,故a11=a1+(11-1)×=5-=,故选B.4.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的通项公式
1.A [解析] 等差数列{an}中,a1=0,a2-a1=--0=-=d(d为公差),∴an=a1+(n-1)d=-(n-1),∴an+1=-n,故选A.
2.B [解析] 等差数列{an}中,a1=4,a5=12,设{an}的公差为d,所以4d=a5-a1=8,即d=2,则a6=a1+5d=4+5×2=14.故选B.
3.A [解析] 由题知a1=-2,设{an}的公差为d,则a2+a3=2a1+3d=8,解得d=4,所以数列{an}的通项公式是an=-2+4(n-1)=4n-6.故选A.
4.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由a2+a3=4,a3+a4=5,得2d=5-4=1,所以a9+a10=a3+6d+a4+6d=(a3+a4)+12d=5+6=11.故选C.
5.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d.由已知条件,得a2+a5=2(a3-1),即a1+d+(a1+4d)=2(a1+2d-1),解得d=-2.故选A.
6.C [解析] 由=+1得-=1,令bn=,则bn+1-bn=1,所以数列{bn}是以b1==1为首项,1为公差的等差数列,所以bn=1+(n-1)×1=n,即=n,所以an=n2,则a100=10 000,故选C.
7.-1 [解析] 等差数列{an}中,a3=9,a9=3,设{an}的公差为d,则a9=a3+6d,即3=9+6d,解得d=-1.
8.683 [解析] ∵a1=19,an+1-an=-3(n∈N*),∴{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,则an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,则am=22-3m=-2027,解得m=683.
9.解:(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d,由a2+a5=24,a17=66,
得解得
所以数列{an}的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2,
所以a2025=4×2025-2=8098.
(2)是.理由如下:令an=4n-2=2026,解得n=507,所以2026是数列{an}中的项,且为第507项.
10.解:(1)由题得a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.
(2)证明:因为an=2an-1+2n(n≥2),
所以=+1(n≥2),
即-=1(n≥2),
所以数列是首项为=,公差d=1的等差数列.
(3)由(2)得=+(n-1)×1=n-,所以an=·2n.
11.B [解析] 设此等差数列为{an},其公差为d,由得解得∴a5=a1+4d=+4×=,即第5节的容积为升.故选B.
12.B [解析] 由a8=a1+7d,a4=a1+3d,a5=a1+4d,得a1+a8=a4+a5,a1a8-a4a5=a1(a1+7d)-(a1+3d)(a1+4d)=+7a1d--7a1d-12d2=-12d2<0,即a1a8
13.AB [解析] 等差数列{an}中,a1=1,公差d∈[1,2],且a3+λa9+a15=15,∴1+2d+λ(1+8d)+1+14d=15,整理得d=,∴解得-≤λ≤-,结合选项可知选AB.
14. [解析] 在等差数列{an}中,因为从第10项起开始大于1,所以
15.ABC [解析] 数列{an}满足a1=2,当n≥2时,an+2=(+1)2,∴=+1,∴数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列,则=2+(n-1)×1=n+1,∴an=n2+2n-1,故C正确;a2=22+2×2-1=7,故A正确;易知函数y=x2+2x-1在(-1,+∞)上单调递增,则{an}是递增数列,故B正确,D错误.故选ABC.
16.解:(1)因为a1=3,d=-5,
所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n,
因为数列{an}中序号能被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,
所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设{an}中的第m项是{bk}的第k项,即bk=am,则m=3+4(k-1)=4k-1(k∈N*),
所以bk=am=a4k-1=8-5(4k-1)=13-20k,所以{bk}的通项公式为bk=13-20k(k∈N*).
(3)b110=13-20×110=-2187,
设它是{an}中的第r项,
则-2187=8-5r,则r=439,
所以b110是{an}中的第439项.4.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的通项公式
1.等差数列0,-,-7,…的第n+1项是 ( )
A.-n
B.-(n+1)
C.-n+1
D.-(n-1)
2.已知等差数列{an}中,a1=4,a5=12,则a6等于 ( )
A.13 B.14
C.15 D.16
3.数列{an}是首项为-2的等差数列,若a2+a3=8,则{an}的通项公式是 ( )
A.an=4n-6
B.an=4n-2
C.an=-4n-2
D.an=-4n+2
4.[2025·江苏镇江中学高二期中] 等差数列{an}中,若a2+a3=4,a3+a4=5,则a9+a10等于 ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
5.[2025·江苏南通中学高二月考] 已知{an}是等差数列,且a3-1是a2和a5的等差中项,则{an}的公差为 ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
6.在数列{an}中,a1=1,=+1,则a100= ( )
A.100 B.1000
C.10 000 D.100 000
7.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为 .
8.若数列{an}满足a1=19,an+1=an-3(n∈N*),若am=-2027,则m= .
9.(13分)在等差数列{an}中,a2+a5=24,a17=66.
(1)求a2025的值.
(2)2026是否为数列{an}中的项 若是,则为第几项
10.(13分)[2025·江苏启东中学高二检测] 已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2).
(1)求a2,a3;
(2)证明:数列是等差数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
11.现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积(单位:升)成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 ( )
A.升 B.升
C.升 D.升
12.[2025·江苏苏州中学高二质检] 若a1,a2,a3,…,a8为各项都大于0的等差数列,公差d≠0,则 ( )
A.a1a8>a4a5 B.a1a8C.a1+a8>a4+a5 D.a1+a813.(多选题)[2025·江苏常州中学高二质检] 等差数列{an}中,a1=1,公差d∈[1,2],且a3+λa9+a15=15,则实数λ的值可能为 ( )
A.- B.-
C.- D.-2
14.[2025·江苏南京一中高二月考] 已知等差数列{an}中,a1=,从第10项起开始大于1,那么公差d的取值范围是 .
15.(多选题)[2025·江苏靖江中学高二调研] 已知数列{an}满足a1=2,当n≥2时,an+2=(+1)2,则关于数列{an}的说法正确的是 ( )
A.a2=7
B.{an}是递增数列
C.an=n2+2n-1
D.数列{an}为周期数列
16.(15分)[2025·江苏徐州一中高二检测] 已知无穷等差数列{an}的首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bk}.
(1)求b1和b2;
(2)求{bk}的通项公式;
(3){bk}中的第110项是{an}中的第几项