(共57张PPT)
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的通项公式
第2课时 等差数列的性质与应用
探究点一 等差数列性质的应用
探究点二 由等差数列构造新等差数列
探究点三 等差数列单调性的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解等差数列的一些基本性质,并利用其解决一些简单问题.
2.能用等差数列的单调性解决一些简单问题.
知识点一 等差数列通项公式的推广与运算性质
两项关系 多项关系（性质）
通项公式的推广: __________ 为公差,, 项的运算性质:若
,则
.
简记:若下标和相等,则对应项的和相等.
特别地,若 ,则
知识点二 由等差数列构造新数列
1.构造新数列的基本类型
（1）若是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差
为___的等差数列;
（2）若是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差为
____的等差数列;
（3）若,分别是公差为, 的等差数列,且它们的项数相同,
则数列,是常数是公差为 的等差数列.
2.等差数列部分项的性质
若数列为等差数列,则,,,, 仍为
等差数列.
知识点三 等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列 的单调
性受公差 影响.
（1）当 时，数列为递增数列，如图①所示；
①
（2）当 时，数列为递减数列，如图②所示；
②
（3）当 时，数列为常数列，如图③所示.
③
因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在等差数列中, .( )
√
（2）若等差数列的公差为,则数列的公差为 .( )
×
（3）在等差数列中, .( )
×
（4）若数列,,, 和,,, 都是公差为 的等差数列,则
,,, 也是等差数列.( )
×
2.在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍
然是一个等差数列吗
解:仍然是等差数列.
探究点一 等差数列性质的应用
例1（1）在等差数列中,已知,,则 ( )
A.4 B.8 C.3 D.6
[解析] 方法一:由等差数列的性质可知
,得 .
方法二:设等差数列的公差为,, ,
解得 ,故选B.
√
（2）在等差数列中,若,则 ___.
9
[解析] 方法一: 为等差数列,
,
.
方法二:设等差数列的公差为, ,
,即 ,
,即 .
（3）在等差数列中,,,则 ____.
24
[解析] 设等差数列的公差为, ,
, .
变式 在等差数列中，， ，
则 的值为( )
A.30 B.27 C.24 D.21
[解析] 设， ，
，
因为是等差数列，所以，， 也是等差数列，
得，所以 ，
即 .故选A.
√
［素养小结］
1.灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令
,
即变为
为等差数列
的
公差
,可以减少记忆负担.
2.等差数列运算的两种常用思路
（1）基本量法:根据已知条件,列出关于首项
和公差
的方程（组）,
确定
,
,然后求其他量.
（2）巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足
,则
.
探究点二 由等差数列构造新等差数列
例2 ［2025·江苏海门中学高二月考］已知 为等差数列，且
， ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的
数构成一个新的等差数列，问：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
解:设新数列为，则， ，根据
为的公差，有 ，即
，所以 ，
所以 ．
又因为 ，所以
．
即原数列的第项为新数列的第 项．
当时， ，故原数列的第12项为新数列的第45项．
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
解:由（1）得，令，得 ，
即新数列的第29项是原数列的第8项．
例2 ［2025·江苏海门中学高二月考］已知 为等差数列，且
， ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的
数构成一个新的等差数列，问：
变式 已知等差数列,1,4,7,10, ,现在其每相邻两项之间插入一个
数,使之成为一个新的等差数列 .
（1）求新数列 的通项公式.
解：依题意,得,,设等差数列的公差为,则 ,
故 .
（2）16是新数列 中的项吗 若是,求出是第几项;若不是,说明理由.
解：令,即,得,
故16是新数列 中的项,是第13项.
［素养小结］
1.对于任何形式的构造数列,判断其是否为等差数列,一般从两个方面
进行:（1）定义,即
是否为常数;（2）通项公式是否
为关于
的一次函数.
2.注意新构成的数列的首项与公差.
探究点三 等差数列单调性的应用
例3（1）已知等差数列的公差 ，给出下列四个命题：
①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列 是递
增数列；④数列 是递增数列.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于等差数列，， 数列 是递增
数列，故①是真命题．
对于数列，第项与第 项的差等于
，不一定是正实数，故②是假命题．
对于数列，第项与第项的差等于 ，不一定是正实数，
故③是假命题．
对于数列，第项与第 项的差等于
， 数列 是递增数列，故④是真命题．
故选B.
（2）［2025·江苏南京一中高二质检］设等差数列 满足
，，则使的 的最大值是___.
8
[解析] 因为 ，
，所以,,, ，故等差
数列是递减数列，所以使的 的最大值为8.
变式 ［2025·江苏南通中学高二质检］ 已知数列是首项为 ，
公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的 ，
都有成立，则实数 的取值范围是_________．
[解析] 因为对任意的，都有 成立，且
，所以,
又等差数列 的公差为1，所以数列为递增数列，
所以即解得 ,
即实数的取值范围是 .
［素养小结］
等差数列
的公差为
，则
为递增数列；
为递减数列；
为常数列．
1.等差数列的函数性质
设等差数列的公差为 .
（1）若,则等差数列 是常数列,是离散型常函数;
（2）若,则是关于的一次函数,从图象上看,数列 对应的
各点均在一次函数的图象上,一次项的系数 等于公
差,直线在轴上的截距等于 .
2.等差数列的等距离性质
（1）若数列 是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都
相等,且等于首末两项之和,即
.
（2）等差数列的等间隔项仍然组成等差数列,仍然具有（1）的性质.
（3）等差数列的等间隔等项数的项之和仍然组成等差数列.
（4）若数列是公差为的等差数列,则新数列
为常数,且是公差为 的等差数列.
（5）在等差数列 中,若
,则
.
由等差数列构造新数列
是等差数列 是等差数列;
,是等差数列,是常数 是等差数列;
是等差数列 相同间隔的项构成的新的数列也是等差数列.
例1 （多选题）下列说法中正确的是( )
A.若,,成等差数列,则,, 成等差数列
B.若,,成等差数列,则,, 成等差数列
C.若,,成等差数列,则,, 成等差数列
D.若,,成等差数列,则,, 成等差数列
[解析] 对于A,,,成等差数列,, ,
,,成等差数列,故A正确;
对于C,,, 成等差数列,,,
,, 成等差数列,故C正确;易知B,D错误.
故选 .
√
√
例2 在无穷等差数列中,,公差 ,依次取出序号能被3
除余2的项组成数列 .
（1）求和 ;
解：,公差, .
数列中序号能被3除余2的项是第2项,第5项,第8项, ,
, .
（2）求数列 的通项公式;
解：设数列中的第项是数列中的第项,即 ,则
,
,即数列 的通项
公式为 .
（3）数列中的第675项是 中的第几项
解：,
数列中的第675项是数列 中的第2024项.
例3 已知数列,都是等差数列,公差分别为,,数列 满足
.
（1）数列 是否是等差数列 若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.
解：数列 是等差数列,证明如下:
由题意得, ,
所以 ,
故数列 是等差数列.
（2）若,的公差都等于2,,求数列 的通项公式.
解：由（1）得, ,
故 .
练习册
1.在等差数列中，，则 ( )
A.0 B.1 C. D.3
[解析] 设等差数列的公差为,由 得
，即, ，
,故选A.
√
2.已知数列为等差数列，且 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为数列为等差数列，且 ,所以
，解得 ，所以
.故选C.
√
3.设是等差数列，则“”是“数列 是递增数列”的
( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 设等差数列的公差为，若 ，
则,所以数列 是递增数列,即充分性成立；
若数列是递增数列，则 ，即必要性成立.
所以“”是“数列 是递增数列”的充要条件.故选C.
√
4.已知等差数列中，，是 的两根，则
( )
A.248 B.60 C.12 D.4
[解析] 由方程，可得 ，
所以，则 ，
所以 .故选B.
√
5.已知等差数列递增且满足，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
[解析] 设的公差为，则,
，，，
，
， ．故选C.
√
6.（多选题）若,,,,均不为0 成等差数列，则下列说法正确的
是( )
A.，， 一定成等差数列
B.，， 可能成等差数列
C.，， 一定成等差数列
D.,, 可能成等差数列
√
√
√
[解析] 对于A，令，，，则， ，
,不满足,此时，， 不成等差数列,故A错误；
对于B，令,则，满足 ,故B正确；
对于C，,,成等差数列， ,
，即 ，
，一定成等差数列，故C正确；
对于D，令 ,则,满足,故D正确.
故选 .
7.在首项为31，公差为 的等差数列中，绝对值最小的项是____.
[解析] 设题中数列为,因为数列是首项为31，公差为 的等差数
列，所以数列的通项公式为.
当时 ；当时.
又， ，所以绝对值最小的项为 .
8.若等差数列满足，则 的取值范围为______________
_____.
[解析] 由等差数列的性质可得 ，
又，所以或，
故 的取值范围为 ．
9.（13分）首项为，公差为的等差数列 满足下列两
个条件：
；
②满足的 的最小值是15.
试求公差和首项 的值.
解：，,.令 ，即
，得 ，
满足的 的最小值是15，, ，
又,, .
10.（13分）已知数列的首项 ，且满足
，令 ．
（1）求证：数列 为等差数列；
证明：， ，
即．
又，是首项为 ，公差为1的等差数列．
（2）求数列 中的最小项．
解：由，得．
，， ，
当时，， 数列中的最小项为 ．
11.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五
尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何 ” 意思
是:现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重
四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤 根据已
知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为
( )
A.7斤 B.8斤 C.9斤 D.10斤
√
[解析] 由题意可知，金锤每尺的重量数成等差数列，设此数列为
,细的一端所截下的一尺的重量为 斤，则
， ，
根据等差数列的性质可知 ，
则中间三尺的重量为 （斤）.
12.［2025·江苏淮阴中学高二质检］已知数列 满足
,, ，则
等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] ， 是等差数列．
由等差数列的性质可得, ，
，， ．故选B.
√
13.（多选题）［2025·江苏扬州中学高二调研］ 已知递增等差数列
满足 ，则下列各式一定成立的有
( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设等差数列的公差为，易知， 等差数列 满
足 ，
且， ，,则 ，故B，D正确，A错误.
， ，
，故C错误.
故选 .
14.［2025·山东济宁一中高二月考］已知函数在 上单调，
且函数的图象关于直线对称，若数列 是公差
不为0的等差数列，且，则 等于____.
[解析] 由题意，函数的图象关于直线 对称，则函
数的图象关于直线对称，且在 上单调，
因为，且数列 是公差不为0的等差数列，所以
,所以 .
15.（多选题）［2025·福建厦门一中高二质检］ 在等差数列 中
每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构
成一个新的等差数列.若是数列中的项，则 的值可能为
( )
A.1 B.3 C.5 D.7
√
√
√
[解析] 由题意得，插入个数，则， ，
，， ,所以等差数列 中的项在新的等差
数列中间隔排列，且各项序号依次成以1为首项， 为公差的
等差数列，所以.
因为是数列 中的项，所以令,, ，
则,,,当 时，解得
，当时，解得，当时，解得，故 的可
能取值为1,3,7，故选 .
16.［2025·江苏梁丰中学高二调研］已知等差数列 满足
，则
_ __．
[解析] 因为数列 是等差数列，所以
，解得 ,所以.
令 ，则
，故,解得 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二 1.（1）
（2）
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）× 2.解:仍然是等差数列.
课中探究 例1 （1）B （2）9 （3）24 变式 A
例2 （1）原数列的第12项为新数列的第45项
（2）新数列的第29项是原数列的第8项
变式 （1）
（2）故16是新数列
中的项,是第13项.
例3 （1）B （2）8 变式
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.BCD 7.
8.
9. ,
10.（1）略 （2） 数列
中的最小项为
11.C 12.B 13.BD 14.
15.ABD 16.
第2课时 等差数列的性质与应用
【课前预习】
知识点一
(n-m)d
知识点二
1.(1)d (2)cd
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.解:仍然是等差数列.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)9 (3)24 [解析] (1)方法一:由等差数列的性质可知a3+a9=a2+a10=4+a10=12,得a10=8.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a9=12,a2=4,∴
解得∴a10=+9×=8,故选B.
(2)方法一:∵{an}为等差数列,∴a3+a6+a20+a23=(a3+a23)+(a6+a20)=4a13=36,∴a13=9.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a6+a20+a23=36,∴a1+2d+a1+5d+a1+19d+a1+22d=36,即4a1+48d=36,∴a1+12d=9,即a13=9.
(3)设等差数列{an}的公差为d,∵a60=a15+(60-15)d,∴d==,∴a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
变式 A [解析] 设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9,因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.故选A.
探究点二
例2 解:(1)设新数列为{bn},则b1=a1=2,b5=a2=3,根据bn=b1+(n-1)d(d为{bn}的公差),有b5=b1+4d,即3=2+4d,所以d=,所以bn=2+(n-1)×=.
又因为an=a1+(n-1)×(a2-a1)=n+1=,所以an=b4n-3.
即原数列的第n项为新数列的第4n-3项.
当n=12时,4n-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项.
(2)由(1)得an=b4n-3,令4n-3=29,得n=8,即新数列的第29项是原数列的第8项.
变式 解:(1)依题意,得a1=-2,a3=1,设等差数列{an}的公差为d,则d=,故an=a1+(n-1)·d=n-.
(2)令an=16,即n-=16,得n=13∈N*,故16是新数列{an}中的项,是第13项.
探究点三
例3 (1)B (2)8 [解析] (1)对于等差数列{an},an+1-an=d>0,∴数列{an}是递增数列,故①是真命题.对于数列{nan},第n+1项与第n项的差等于(n+1)an+1-nan=nd+an+1,不一定是正实数,故②是假命题.对于数列,第n+1项与第n项的差等于,不一定是正实数,故③是假命题.对于数列{an+3nd},第n+1项与第n项的差等于 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d>0,∴数列{an+3nd}是递增数列,故④是真命题.故选B.
(2)因为a7+a8+a9=2a7+a10=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,所以a7>0,a8>0,a9<0,a10<0,故等差数列{an}是递减数列,所以使an>0的n的最大值为8.
变式 (-8,-7) [解析] 因为对任意的n∈N+,都有bn≥b8成立,且bn==1+,所以≥,又等差数列{an}的公差为1,所以数列{an}为递增数列,所以即解得-8
【学习目标】
1.理解等差数列的一些基本性质,并利用其解决一些简单问题.
2.能用等差数列的单调性解决一些简单问题.
◆ 知识点一 等差数列通项公式的推广与运算
性质
两项关系 多项关系(性质)
通项公式的推广: an=am+ (d为公差,m,n∈N*) 项的运算性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq. 简记:若下标和相等,则对应项的和相等. 特别地,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am+an=2ak
◆ 知识点二 由等差数列构造新数列
1.构造新数列的基本类型
(1)若{an}是公差为d的等差数列,则{c+an}(c为任意常数)是公差为 的等差数列;
(2)若{an}是公差为d的等差数列,则{c·an}(c为任意常数)是公差为 的等差数列;
(3)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,且它们的项数相同,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.
2.等差数列部分项的性质
若数列{an}为等差数列,则am,am+k,am+2k,am+3k,…(m,k∈N*)仍为等差数列.
◆ 知识点三 等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列{an}的单调性受公差d影响.
(1)当d>0时,数列为递增数列,如图①所示;
(2)当d<0时,数列为递减数列,如图②所示;
(3)当d=0时,数列为常数列,如图③所示.
因此,无论公差为何值,等差数列都不会是摆动数列.
① ② ③
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在等差数列{an}中,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…. ( )
(2)若等差数列{an}的公差为d,则数列{an+3}的公差为d+3. ( )
(3)在等差数列{an}中,a2+a4=a6. ( )
(4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3,…也是等差数列. ( )
2.在等差数列中每隔相同的项选出一项,按原来的顺序排成一列,仍然是一个等差数列吗
◆ 探究点一 等差数列性质的应用
例1 (1)在等差数列{an}中,已知a3+a9=12,a2=4,则a10= ( )
A.4 B.8
C.3 D.6
(2)在等差数列{an}中,若a3+a6+a20+a23=36,则a13= .
(3)在等差数列{an}中,a15=8,a60=20,则a75= .
变式 在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为 ( )
A.30 B.27
C.24 D.21
[素养小结]
1.灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d(d为等差数列{an}的公差),可以减少记忆负担.
2.等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法:根据已知条件,列出关于首项a1和公差d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.
◆ 探究点二 由等差数列构造新等差数列
例2 [2025·江苏海门中学高二月考] 已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,问:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项
(2)新数列的第29项是原数列的第几项
变式 已知等差数列-2,1,4,7,10,…,现在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an}.
(1)求新数列{an}的通项公式.
(2)16是新数列{an}中的项吗 若是,求出是第几项;若不是,说明理由.
[素养小结]
1.对于任何形式的构造数列,判断其是否为等差数列,一般从两个方面进行:(1)定义,即an-an-1(n≥2)是否为常数;(2)通项公式是否为关于n的一次函数.
2.注意新构成的数列的首项与公差.
◆ 探究点三 等差数列单调性的应用
例3 (1)已知等差数列{an}的公差d>0,给出下列四个命题:
①数列{an}是递增数列;②数列{nan}是递增数列;③数列是递增数列;④数列{an+3nd}是递增数列.
其中真命题的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)[2025·江苏南京一中高二质检] 设等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则使an>0的n的最大值是 .
变式 [2025·江苏南通中学高二质检] 已知数列{an}是首项为a,公差为1的等差数列,数列{bn}满足bn=.若对任意的n∈N+,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
等差数列{an}的公差为d,则d>0 {an}为递增数列;d<0 {an}为递减数列;d=0 {an}为常数列.第2课时 等差数列的性质与应用
1.在等差数列{an}中,a6=2a5,则a1+a7= ( )
A.0 B.1
C.-2 D.3
2.已知数列{an}为等差数列,且a1+a5+a9=4π,则tan(a3+a7)= ( )
A. B.-
C.- D.
3.设{an}是等差数列,则“a1A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.已知等差数列{an}中,a2,a8是2x2-16x-1=0的两根,则(a3+a7)2-a5= ( )
A.248 B.60
C.12 D.4
5.已知等差数列{an}递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是 ( )
A.(2,4) B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(4,+∞)
6.(多选题)若a,b,c(a,b,c均不为0)成等差数列,则下列说法正确的是 ( )
A.a2,b2,c2一定成等差数列
B.2a,2b,2c可能成等差数列
C.ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列
D.,,可能成等差数列
7.在首项为31,公差为-4的等差数列中,绝对值最小的项是 .
8.若等差数列{an}满足a3a5=4,则a4的取值范围为 .
9.(13分)首项为a1,公差为d(d∈N*)的等差数列{an}满足下列两个条件:
①a3+a5+a7=93;
②满足an>100的n的最小值是15.
试求公差d和首项a1的值.
10.(13分)已知数列{bn}的首项b1=3,且满足bn+1=bn+2n-1(n∈N*),令cn=.
(1)求证:数列{cn}为等差数列;
(2)求数列{bn}中的最小项.
11.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺.斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何 ” 意思是:现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤 根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的重量为 ( )
A.7斤 B.8斤
C.9斤 D.10斤
12.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a2+a5等于 ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
13.(多选题)[2025·江苏扬州中学高二调研] 已知递增等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0
B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0
D.a51=0
14.[2025·山东济宁一中高二月考] 已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于 .
15.(多选题)[2025·福建厦门一中高二质检] 在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}中的项,则k的值可能为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.7
16.[2025·江苏梁丰中学高二调研] 已知等差数列{an}满足a5+a2n-5=n(n∈N*,n≥3),则a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1= . 第2课时 等差数列的性质与应用
1.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由a6=2a5得a1+5d=2(a1+4d),即a1+3d=0,∴a4=0,∴a1+a7=2a4=0,故选A.
2.C [解析] 因为数列{an}为等差数列,且a1+a5+a9=4π,所以a1+a5+a9=3a5=4π,解得a5=,所以tan(a3+a7)=tan 2a5=tan=tan=-tan=-.故选C.
3.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d,若a10,所以数列{an}是递增数列,即充分性成立;若数列{an}是递增数列,则a14.B [解析] 由方程2x2-16x-1=0,可得a2+a8==8,所以2a5=a3+a7=a2+a8=8,则a5=4,所以(a3+a7)2-a5=82-4=60.故选B.
5.C [解析] 设{an}的公差为d,则d>0,∵a1+a10=4,∴2a1+9d=4,∴a1=2-d,∴a8=a1+7d=2+d,∵d>0,∴a8=2+d>2.故选C.
6.BCD [解析] 对于A,令a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9,不满足2b2=a2+c2,此时a2,b2,c2不成等差数列,故A错误;对于b,令a=b=c,则2a=2b=2c,满足2a+2c=2·2b,故B正确;对于C,∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),即ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列,故C正确;对于D,令a=b=c,则==,满足+=,故D正确.故选BCD.
7.-1 [解析] 设题中数列为{an},因为数列是首项为31,公差为-4的等差数列,所以数列的通项公式为an=35-4n.当n≤8时an>0;当n≥9时an<0.又a8=3,a9=-1,所以绝对值最小的项为a9=-1.
8.(-∞,-2]∪[2,+∞) [解析] 由等差数列的性质可得2a4=a3+a5,又4=a3a5≤=,所以a4≥2或a4≤-2,故a4的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).
9.解:∵a3+a5+a7=93,∴3a5=93,∴a5=31.令an>100,即a5+(n-5)d>100,得n>+5,
∵满足an>100的n的最小值是15,
∴14≤+5<15,∴又d∈N*,∴d=7,∴a1=a5-4d=3.
10.解:(1)证明:∵bn+1=bn+2n-1,∴=+1,即cn+1-cn=1.又c1==-3,∴{cn}是首项为-3,公差为1的等差数列.
(2)由cn==-3+(n-1)=n-4,得bn=(2n-3)(n-4).
∵b1=3,b2=-2,b3=-3,
当n≥4时,bn≥0,∴数列{bn}中的最小项为b3=-3.
11.C [解析] 由题意可知,金锤每尺的重量数成等差数列,设此数列为{an}(n∈N*,n≤5),细的一端所截下的一尺的重量为a1斤,则a1=2,a5=4,根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=6 a3=3,则中间三尺的重量为a2+a3+a4=3a3=9(斤).
12.B [解析] ∵2an=an-1+an+1(n≥2),∴{an}是等差数列.由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,∴a4=4,a3=3,∴a2+a5=a3+a4=3+4=7.故选B.
13.BD [解析] 设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,则a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.故选BD.
14.-2 [解析] 由题意,函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且在(-1,+∞)上单调,因为f(a50)=f(a51),且数列{an}是公差不为0的等差数列,所以a50+a51=-2,所以a1+a100=a50+a51=-2.
15.ABD [解析] 由题意得,插入k(k∈N*)个数,则a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列,且各项序号依次成以1为首项,k+1为公差的等差数列,所以an=b1+(n-1)(k+1).因为b9是数列{an}中的项,所以令1+(n-1)(k+1)=9,n∈N*,k∈N*,则(n-1)(k+1)=8=1×8=2×4,n∈N*,k∈N*,当n=2时,解得k=7,当n=3时,解得k=3,当n=5时,解得k=1,故k的可能取值为1,3,7,故选ABD.
16. [解析] 因为数列{an}是等差数列,所以a5+a2n-5=n=2an(n≥3),解得an=(n≥3),所以an=(n∈N*).令Tn=a1+a3+a5+a7+…+a2n-3+a2n-1,则Tn=a2n-1+a2n-3+a2n-5+…+a3+a1,故2Tn=(a1+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+(a2n-1+a1)=n×2an=n2,解得Tn=.