(共59张PPT)
4.2 等差数列
4.2.3 等差数列的前 项和
第2课时 等差数列前 项和的性质及
应用
探究点一 与等差数列前项和有关的最值
问题
探究点二 等差数列前项和的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.进一步理解等差数列前 项和的公式与性质.
2.会求等差数列前 项和的最值.
3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,抽象出等差数列
模型,并应用该模型解决相关问题.
知识点一 从函数的角度理解等差数列的前 项和公式
公式可化成关于的表达式: _______________.
当时,关于 的表达式是一个常数项为零的二次表达式,即
点在其相应的______函数的图象上,这就是说等差数列的前 项
和公式是关于的二次函数,它的图象是抛物线 上
横坐标为正整数的一群孤立的点.
二次
知识点二 等差数列前 项和的最值
（1）利用邻项变号法:
当,时,有______值,使取到最值的 可由不等式组
_ _________确定;
当,时,有______值,使取到最值的 可由不等式组
_ _________确定.
最大
最小
（2）利用二次函数的最值:
,,若 ,则从二次函数的角度看:当
时,有______值;当时,有______值.当 取最接近对称轴
的正整数时, 取到最值.
最小
最大
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）等差数列中，若,公差,则前项和 有最大值,
且最大值就是所有正数项之和.( )
×
（2）在数列中,若,,则前项和 取得最大
值时 的可能取值有两个.( )
√
（3）设等差数列的前项和为，若，则 .
( )
√
2.等差数列的前 项和都有最大值与最小值吗
解:若等差数列的公差,则该数列的前 项和有最小值,没有最大值;
若等差数列的公差,则该数列的前 项和有最大值,没有最小值.
所以等差数列的前 项和不是都有最大值与最小值.
探究点一 与等差数列前 项和有关的最值问题
例1（1）等差数列的前项和为,若,,则 的最
大值为_____.
169
[解析] 方法一:设等差数列的公差为 ,则由, ,
由二次函数的性质得,当时, 取得最大值169.
得,解得
，
方法二:先求出的公差 （同方法一）,
则 .
由 得
即,
又， 当时, 取得最大值,且最大值为
.
方法三:,,的公差 ,
的前项和公式为关于 的二次表达式,借助相
应的定义在 上的二次函数图象,如图所示,
则当时,取得最大值.
求出公差 （同方法一）,
.
方法四:,,的公差 ,
,
即,则,, 的最大值为 .
求出公差 （同方法一）,
.
（2）［2025·江苏金陵中学高二月考］已知等差数列的前 项和
为．若，且，则满足的正整数 的最大
值为____．
33
[解析] 因为 ，所以
，
因为 ，且，
所以， ，
故使的正整数 的最大值为33．
变式 ［2025·江苏新海中学高二月考］ 已知等差数列的前 项
和为，， ．
（1）求数列 的通项公式；
解:设等差数列的公差为 ，
由，，得， ，解得
，，所以 ．
（2）求的最小值及取得最小值时 的值．
解:方法一：由公差知是递增数列，当 时，；
当时， ．
所以 ，
所以当时，最小，最小值为 ．
方法二：因为 ，
又，所以当时，最小，最小值为 .
变式 ［2025·江苏新海中学高二月考］ 已知等差数列的前 项
和为，， ．
［素养小结］
求等差数列前项和最值的常用思路:
（1）利用等差数列的单调性,求出其正、负转折项,便可求得前项和
的最值;
（2）利用性质求出其正、负转折项,便可求得前项和的最值;
（3）利用等差数列的前项和,为常数,且为
关于正整数的二次函数,结合二次函数的性质求最值.
探究点二 等差数列前 项和的实际应用
例2 ［2025·安徽安庆一中高二月考］流感是由流感病毒引起的急性
呼吸道传染病，冬春季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现
象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感，据资料统
计，12月1日该市新增患者有20人，此后12月的某一段时间内，每天
的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此，该市医疗部门紧急采
取措施，有效控制了病毒传播.从12月的某天起，每天的新增患者比
前一天的新增患者少30人.设12月第 天，该市新增患者人数最多.
（1）求第天的新增患者人数（结果用 表示）；
解:12月 日，每天新增患者人数构成等差数列，其首项为20，
公差为50，故第天的新增患者人数为 且
.
（2）求前天的新增患者的总人数（结果用 表示）；
解:前 天的新增患者总人数为
且 .
（3）若截至12月30日，该市30天内新增患者总共有8670人，求 的值.
解:由知，当时， ,不合题意.
当时， ,不合题意.
当时， ，不
合题意.
当时，12月 日，每日新增患者人数构成一个等
差数列，其首项为，公差为 ，
项数为 ，
第日新增患者总人数为 .
由题意得，整理得 ，解得
或（舍去）.综上可得 .
变式 ［2025·广东惠州中学高二月考］ 某公司技术部为了激发员工
的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票
产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，
发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2000元，前20名共发
放3500元，则前30名共发放( )
A.4000元 B.4500元 C.4800元 D.5000元
√
[解析] 设等差数列的前项和为，则 ,
，
因为,, 成等差数列，
所以 ，
所以，解得 ，
故选B.
［素养小结］
1.解决与等差数列前项和有关的应用题的关键是构造合适的等差数列.
2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,抽象出数列
的模型,并用有关知识解决相关的问题,是数学建模的核心素养的体现.
1.等差数列前 项和的最值
设等差数列的首项为,公差为,前项和为 ，则
（1）当,时,有最大值 ,无最小值;
（2）当,时,数列 只有前面的有限项为非负数,从某项
开始后面的项均为负数,所以 有最大值,无最小值;
（3）当,时,数列 只有前面的有限项为负数,从某项开
始后面的项均为非负数,所以 有最小值,无最大值;
（4）当,时,有最小值 ,无最大值;
（5）当时,数列为常数列，当时， 有最小值
,无最大值，当时，无最值，当时， 有最大
值 ，无最小值.
2.若数列的前项和公式为 ,
则当时,数列是一个以为首项, 为公差的等差数列;当
时,数列不是等差数列,但是从第二项起构成了以 为首
项,以 为公差的等差数列.
3.等差数列前 项和性质的补充
设等差数列的公差为，前项和为 .
（1） ,
,,且 .
特别地,若,则;若, ,则
.
（2）由公式,得 ,因
此数列是等差数列,其首项为,公差为等差数列的公差 的一半.
由等差数列的函数特性知,表示数列的各点 在同一
条直线上.
,
,,且 .
等差数列前 项和公式的实际应用:建立等差数列的模型求和时,要根
据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
例 某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥
部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现
有的参战军民连续奋战外,还需调用20辆同型号翻斗车,平均每辆车工
作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有1辆投入使用,其
他翻斗车每隔20分钟能有1辆到达,一共可调集25辆,那么在24小时内
能否构筑成第二道防线
解：从第1辆翻斗车投入工作算起,设各辆翻斗车工作的时间
（单位:小时）依次为,, , ,
由题意可知,此数列为等差数列,且,公差 ,则25辆翻斗车
在24小时内的总工作时间为
（小时）,
而构筑第二道防线需要的时间为 （小时）.
, 在24小时内能构筑成第二道防线.
练习册
1.等差数列的前项和为，已知，，则
( )
A.90 B.40 C.50 D.60
[解析] 为等差数列，,, 成等差数列，
，， ，
.故选D.
√
2.若无穷等差数列的首项，公差，数列的前 项
和为 ，则( )
A.为递减数列 B. 为递增数列
C.有最大值 D. 有最小值
[解析] 无穷等差数列的首项，公差， 是递
减数列，的前项和随的增大先增大，后减小， 有最
大值，且 不单调．故选C.
√
3.已知等差数列共有21项，若奇数项的和 ，则偶数项
的和 ( )
A.100 B.105 C.90 D.95
[解析] 由题意得，则 ，
又，所以偶数项的和为 ．
故选A.
√
4.［2025·江苏扬州中学高二月考］若数列为等差数列， 为数
列的前项和，，，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由等差数列性质可得，即 ，
又，所以，可得数列的公差 ，
且前6项均为负值，所以的最小值为的前6项和 ．故选B.
√
5.已知数列的前项和为，且, ，则当
取得最小值时， 的值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 由,可知数列 是等差数列，其公差
，
由，解得 ，
则,
故当 取得最小值时， 的值是6．故选A.
√
6.（多选题）［2025·湖北黄冈中学高二调研］ 已知公差为 的等差
数列是递减数列，为其前项和，且 ，则( )
A. B.
C. D.，均为 的最大值
[解析] 因为等差数列是递减数列，所以 ，所以
，故A错误；
因为，所以 ，故B正确；
，故C错误；
由题意得 所以，故D正确.
故选 .
√
√
7.一物体从1960米的高空降落,如果第1秒降落4.90米,以后每秒比前一
秒多降落9.80米,那么落到地面所需要的时间为____秒.
20
[解析] 物体在降落过程中,每一秒降落的距离（单位:米）依次构成首
项为,公差为9.80的等差数列.
设物体经过 秒后降落到地面,则,
可得 ,所以落到地面所需要的时间为20秒.
8.［2025·江苏泰州中学高二质检］已知被5除余3的正整数按照从小
到大的顺序排成一列，即3，8，13，18， 构成数列 ，记数列
的前项和为，则 的最小值为____．
21
[解析] 由题意可知，数列 是以3为首项，5为公差的等差数列，
则 ，
所以 ，
当且仅当，即时等号成立，故 的最小值为21．
9.（13分）已知等差数列的前项和为，， ．
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为，由， ，得
，，解得， ，所以
．
（2）求的最小值及取得最小值时 的值．
解：方法一：由知 是递增数列，
当时，；当时， ．
所以 ，
所以当时，最小，最小值为 ．
方法二： ，
，
所以当时，最小，最小值为 .
10.（13分）某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，从第二
年起，每年比上一年多植相同面积的林木，但由于自然环境和人为因
素的影响，每年都有相同面积的土地沙化，具体情况如下表所示：
2018年 2019年 2020年
新植林木面积（单位：公顷） 1000 1400 1800
荒沙地面积（单位：公顷） 25 200 24 000 22 400
而一旦植完，则不会被沙化．
（1）每年沙化的土地面积为多少？
解：依题意，从第二年起，每年比上一年多造林400公顷，其中2019
年新植林木面积为1400公顷，
故2019年原有荒沙地面积为 （公顷），实际
荒沙地面积为24 000公顷，
所以2019年沙化土地面积为 （公顷），
同理可得2020年沙化土地面积也为200公顷，
所以每年沙化的土地面积为200公顷.
（2）到哪一年可绿化完全部荒沙地？
解：设2020年及其以后各年的新植林木面积（单位：公顷）依次为
，，， ， ，
则 ，所以从2020年起，前
年新植林木的面积总和 （公顷），
由（1）知，每年沙化的土地面积为200公顷，
依题意，令，化简得 ，解得
（舍去）或， ,
故到2027年可绿化完全部荒沙地.
11.［2025·江苏盐城中学高二质检］已知等差数列的前 项和为
377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和 之
比为 ，则中间项为( )
A.28 B.29 C.30 D.32
[解析] 因为为奇数，所以, ,
则，解得，
所以 ，所以 ，
故所求的中间项为29．故选B.
√
12.［2025·江苏南通海安高二月考］设为等差数列的前 项和，
已知，，则 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
[解析] 由等差数列前项和的性质可知，，， ，
，，成等差数列，
设此数列为 ,由，，可知 的首项为4，公差为2，
所以 ．故选B.
√
13.［2025·江苏宿迁中学高二质检］设是等差数列的前 项
和，，，当取得最小值时， ( )
A.1 B.4 C.7 D.8
[解析] 设数列的公差为，由已知得 解得
则 ,
.
√
当时 ，当时，，所以当时，随的增大
而减小，当 时，随的增大而增大，
又，， ，所以，
所以当时， 最小．故选D.
14.［2025·江苏无锡一中高二质检］已知公差为的等差数列 ,
是其前项和，且.若对任意都有，则 的值
为( )
A.6 B.7 C.6或7 D.8
[解析] 设等差数列的公差为，则 ，
所以，解得 ，
所以 ，
又，所以当或时，最大，即或 ，
故若对任意都有，则 的值为6或7.故选C.
√
15.（多选题）［2025·江苏扬州中学高二质检］ 已知等差数列
的公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是
( )
A.当时, 最大
B.使成立的 的最小值为18
C.
D.中的最小项为
√
√
[解析] 因为所以又 为等差数列，
所以为递减数列，当时， 最大，故A错误;
由以上分析可得,,则
，，
，则当时，,当时,,所以使 成
立的的最小值为18，故B正确；
由,可得 ,所以,则
，又,所以 ，
故C错误；
当或时，，当时， ，由
,得 ，所以
中的最小项为，故D正确.
故选 .
16.（15分）如果项有穷数列满足，， ，
，即，则称有穷数列 为“对称
数列”.
（1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中,,, 成等差数
列，且,，依次写出数列 的每一项.
解：因为数列是项数为7的“对称数列”，所以 ，
又因为,,,成等差数列，其公差 ，
所以,, ,
所以数列 的7项依次为1，3，5，7，5，3，1.
（2）设数列是项数为且 的“对称数列”，且
满足，记为数列的前 项和.
①若，， ，构成递增数列，且.当 为何值时，
取得最大值
解： 由，， ，构成递增数列，数列是项数为
的“对称数列”且满足 ，
可知，， ，构成公差为2的等差数列，，， ，
构成公差为 的等差数列，
故 ，
所以当时， 取得最大值.
②若，且，求 的最小值.
解： 因为 ，
即 ，
所以，即 ，
于是（当且仅当, ,
,构成公差为 的等差数列时，等号同时成立）.
因为数列 是“对称数列”，
所以 ，
因为，所以 ，
解得或 ，
又,,所以， ,
所以 的最小值为2025.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 二次
知识点二 （1）最大 最小 （2）最小 最大
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ 2.略
课中探究 例1 （1）169 （2）33
变式 （1）（2）当时，最小，最小值为
例2 （1）且（2）且
（3）
变式 B
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.BD 7.20 8.21
9.（1） （2）当时，最小，最小值为
10.（1）200公顷（2）到2027年可绿化完全部荒沙地
11.B 12.B 13.D 14.C 15.BD
16.（1）1，3，5，7，5，3，1
（2）①当时，取得最大值 ②2025
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.D [解析] ∵{an}为等差数列,∴S6,S12-S6,S18-S12成等差数列,∵S6=10,S12-S6=20,∴S18-S12=2(S12-S6)-S6=30,∴S18=30+30=60.故选D.
2.C [解析] ∵无穷等差数列{an}的首项a1>0,公差d<0,∴{an}是递减数列,∴{an}的前n项和Sn随n的增大先增大,后减小,∴Sn有最大值,且{Sn}不单调.故选C.
3.A [解析] 由题意得S奇==11a11=110,则a11=10,又S偶==10a11,所以偶数项的和为10×10=100.故选A.
4.B [解析] 由等差数列性质可得S11==11a6<0,即a6<0,又a4+a9=a6+a7>0,所以a7>0,可得数列{an}的公差d>0,且前6项均为负值,所以Sn的最小值为{an}的前6项和S6.故选B.
5.A [解析] 由an+1=an+2,可知数列{an}是等差数列,其公差d=an+1-an=2,由S5=5a1+10d=-35,解得a1=-11,则Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当Sn取得最小值时,n的值是6.故选A.
6.BD [解析] 因为等差数列{an}是递减数列,所以an+1-an<0,所以d<0,故A错误;因为S7=S8,所以a8=S8-S7=0,故B正确;S15==15a8=0,故C错误;由题意得所以S7=S8≥Sn(n∈N*),故D正确.故选BD.
7.20 [解析] 物体在降落过程中,每一秒降落的距离(单位:米)依次构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.设物体经过t(t∈N*)秒后降落到地面,则4.90t+×9.80=1960,可得t=20,所以落到地面所需要的时间为20秒.
8.21 [解析] 由题意可知,数列{an}是以3为首项,5为公差的等差数列,则Sn=3n+×5=n2+n,所以==5n++1≥2+1=21,当且仅当5n=,即n=2时等号成立,故的最小值为21.
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14.
(2)方法一:由d=3知{an}是递增数列,
当n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0.
所以S1>S2>S3>S4所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26.
方法二:Sn=na1+d=n2-n=-,n∈N*,
所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=-26.
10.解:(1)依题意,从第二年起,每年比上一年多造林400公顷,其中2019年新植林木面积为1400公顷,
故2019年原有荒沙地面积为25 200-1400=23 800(公顷),实际荒沙地面积为24 000公顷,
所以2019年沙化土地面积为24 000-23 800=200(公顷),
同理可得2020年沙化土地面积也为200公顷,
所以每年沙化的土地面积为200公顷.
(2)设2020年及其以后各年的新植林木面积(单位:公顷)依次为a1,a2,a3,…,an,
则an=1800+(n-1)×400=400n+1400,所以从2020年起,前n年新植林木的面积总和Sn=1800n+×400(公顷),
由(1)知,每年沙化的土地面积为200公顷,
依题意,令Sn=24 000+200n,化简得n2+7n-120=0,解得n=-15(舍去)或n=8,2020+8-1=2027,
故到2027年可绿化完全部荒沙地.
11.B [解析] 因为n为奇数,所以S奇=,S偶=,则==,解得n=13,所以S13==13a7=377,所以a7=29,故所求的中间项为29.故选B.
12.B [解析] 由等差数列前n项和的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12,S18-S15成等差数列,设此数列为{bn},由S3=4,S6-S3=6,可知{bn}的首项为4,公差为2,所以a16+a17+a18=S18-S15=b6=4+5×2=14.故选B.
13.D [解析] 设数列{an}的公差为d,由已知得解得
则an=-10+3(n-1)=3n-13,Sn=-10n+×3==.当n≤4时an<0,当n≥5时,an>0,所以当n≤4时,Sn随n的增大而减小,当n≥5时,Sn随n的增大而增大,又S1=a1=-10,S7=-7,S8=4,所以|S1|>|S7|>|S8|,所以当n=8时,|Sn|最小.故选D.
14.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则d=-2,所以S3=3a1+×(-2)=30,解得a1=12,所以Sn=na1+×(-2)=-n2+13n=-+,又n∈N*,所以当n=6或n=7时,Sn最大,即Sn≤S6或Sn≤S7,故若对任意n∈N*都有Sn≤Sm,则m的值为6或7.故选C.
15.BD [解析] 因为所以又{an}为等差数列,所以{an}为递减数列,当n=9时,Sn最大,故A错误;由以上分析可得a1>0,d<0,则a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…,S17==17a9>0,S18==9(a9+a10)<0,则当1≤n≤17时,Sn>0,当n≥18时,Sn<0,所以使Sn<0成立的n的最小值为18,故B正确;由S100,当9a10>a11>…>a17,得S10>S11>S12>…>S17>0,所以中的最小项为,故D正确.故选BD.
16.解:(1)因为数列{bn}是项数为7的“对称数列”,所以b5=b3=5,
又因为b1,b2,b3,b4成等差数列,其公差d=b3-b2=2,
所以b1=b7=b2-d=1,b4=b3+d=7,b6=b2=3,
所以数列{bn}的7项依次为1,3,5,7,5,3,1.
(2)①由c1,c2,…,ck构成递增数列,数列{cn}是项数为2k-1的“对称数列”且满足|cn+1-cn|=2,
可知c1,c2,…,ck构成公差为2的等差数列,ck,ck+1,…,c2k-1构成公差为-2的等差数列,
故S2k-1=c1+c2+…+c2k-1=2(ck+ck+1+…+c2k-1)-ck=2-2023=-2k2+4048k-2023,
所以当k=-=1012时,S2k-1取得最大值.
②因为|cn+1-cn|=2,
即cn+1-cn=±2,
所以cn+1-cn≥-2,即cn+1≥cn-2,
于是ck≥ck-1-2≥ck-2-4≥…≥c1-2(k-1)(当且仅当c1,c2,…,ck构成公差为-2的等差数列时,等号同时成立).
因为数列{cn}是“对称数列”,
所以S2k-1=c1+c2+…+c2k-1=2(c1+c2+…+ck-1)+ck≥(2k-1)c1-2(k-2)(k-1)-2(k-1)=-2k2+4052k-2026,
因为S2k-1=2024,所以-2k2+4052k-2026≤2024,
解得k≤1或k≥2025,
又k≥2,k∈N*,所以k≥2025,k∈N*,
所以k的最小值为2025.第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
【学习目标】
1.进一步理解等差数列前n项和的公式与性质.
2.会求等差数列前n项和的最值.
3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,抽象出等差数列模型,并应用该模型解决相关问题.
◆ 知识点一 从函数的角度理解等差数列的
前n项和公式
公式Sn=na1+可化成关于n的表达式:Sn= .当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次表达式,即点(n,Sn)在其相应的 函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一群孤立的点.
◆ 知识点二 等差数列前n项和的最值
(1)利用邻项变号法:
当a1>0,d<0时,Sn有 值,使Sn取到最值的n可由不等式组 确定;
当a1<0,d>0时,Sn有 值,使Sn取到最值的n可由不等式组 确定.
(2)利用二次函数的最值:
Sn=n2+n,n∈N*,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有 值;当d<0时,Sn有 值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}中,若a1>0,公差d<0,则前n项和Sn有最大值,且最大值就是所有正数项之和. ( )
(2)在数列{an}中,若a1=32,an+1=an-4,则前n项和Sn取得最大值时n的可能取值有两个.( )
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a5=20,则S7=70. ( )
2.等差数列的前n项和都有最大值与最小值吗
◆ 探究点一 与等差数列前n项和有关的最值问题
例1 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=25,S17=S9,则Sn的最大值为 .
(2)[2025·江苏金陵中学高二月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a17>0,且a17+a18<0,则满足Sn>0的正整数n的最大值为 .
变式 [2025·江苏新海中学高二月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
[素养小结]
求等差数列前n项和最值的常用思路:
(1)利用等差数列的单调性,求出其正、负转折项,便可求得前n项和的最值;
(2)利用性质求出其正、负转折项,便可求得前n项和的最值;
(3)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数,且A≠0)为关于正整数n的二次函数,结合二次函数的性质求最值.
◆ 探究点二 等差数列前n项和的实际应用
例2 [2025·安徽安庆一中高二月考] 流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病,冬春季节是其高发期,其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感,据资料统计,12月1日该市新增患者有20人,此后12月的某一段时间内,每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此,该市医疗部门紧急采取措施,有效控制了病毒传播.从12月的某天起,每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天,该市新增患者人数最多.
(1)求第n天的新增患者人数(结果用n表示);
(2)求前n天的新增患者的总人数(结果用n表示);
(3)若截至12月30日,该市30天内新增患者总共有8670人,求n的值.
变式 [2025·广东惠州中学高二月考] 某公司技术部为了激发员工的工作积极性,准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”,投票产生“幸运奖”,按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次,发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2000元,前20名共发放3500元,则前30名共发放 ( )
A.4000元 B.4500元
C.4800元 D.5000元
[素养小结]
1.解决与等差数列前n项和有关的应用题的关键是构造合适的等差数列.
2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,抽象出数列的模型,并用有关知识解决相关的问题,是数学建模的核心素养的体现.第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S6=10,S12=30,则S18= ( )
A.90 B.40
C.50 D.60
2.若无穷等差数列{an}的首项a1>0,公差d<0,数列{an}的前n项和为Sn,则 ( )
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.Sn有最大值
D.Sn有最小值
3.已知等差数列{an}共有21项,若奇数项的和S奇=110,则偶数项的和S偶= ( )
A.100 B.105
C.90 D.95
4.[2025·江苏扬州中学高二月考] 若数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,a4+a9>0,S11<0,则Sn的最小值为 ( )
A.S5 B.S6
C.S7 D.S8
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=an+2,S5=-35,则当Sn取得最小值时,n的值是( )
A.6 B.7
C.8 D.9
6.(多选题)[2025·湖北黄冈中学高二调研] 已知公差为d的等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则 ( )
A.d>0
B.a8=0
C.S15>0
D.S7,S8均为Sn的最大值
7.一物体从1960米的高空降落,如果第1秒降落4.90米,以后每秒比前一秒多降落9.80米,那么落到地面所需要的时间为 秒.
8.[2025·江苏泰州中学高二质检] 已知被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列,即3,8,13,18,…构成数列{an},记数列{an}的前n项和为Sn,则的最小值为 .
9.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
10.(13分)某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,从第二年起,每年比上一年多植相同面积的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同面积的土地沙化,具体情况如下表所示:
2018年 2019年 2020年
新植林木面积(单位:公顷) 1000 1400 1800
荒沙地面积(单位:公顷) 25 200 24 000 22 400
而一旦植完,则不会被沙化.
(1)每年沙化的土地面积为多少
(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地
11.[2025·江苏盐城中学高二质检] 已知等差数列{an}的前n项和为377,项数n为奇数,且前n项中,奇数项的和S奇与偶数项的和S偶之比为7∶6,则中间项为 ( )
A.28 B.29
C.30 D.32
12.[2025·江苏南通海安高二月考] 设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=4,S6=10,则a16+a17+a18= ( )
A.12 B.14
C.16 D.18
13.[2025·江苏宿迁中学高二质检] 设Sn是等差数列{an}的前n项和,a2=-7,S5=2a1,当|Sn|取得最小值时,n= ( )
A.1 B.4
C.7 D.8
14.[2025·江苏无锡一中高二质检] 已知公差为-2的等差数列{an},Sn是其前n项和,且S3=30.若对任意n∈N*都有Sn≤Sm,则m的值为 ( )
A.6 B.7
C.6或7 D.8
15.(多选题)[2025·江苏扬州中学高二质检] 已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若S10A.当n=8时,Sn最大
B.使Sn<0成立的n的最小值为18
C.|a8+a9|>|a10+a11|
D.中的最小项为
16.(15分)如果n项有穷数列{an}满足a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),则称有穷数列{an}为“对称数列”.
(1)设数列{bn}是项数为7的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4成等差数列,且b2=3,b5=5,依次写出数列{bn}的每一项.
(2)设数列{cn}是项数为2k-1(k∈N*且k≥2)的“对称数列”,且满足|cn+1-cn|=2,记Sn为数列{cn}的前n项和.
①若c1,c2,…,ck构成递增数列,且ck=2023.当k为何值时,S2k-1取得最大值
②若c1=2024,且S2k-1=2024,求k的最小值.第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
【课前预习】
知识点一
n2+n 二次
知识点二
(1)最大 最小 (2)最小 最大
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√
2.解:若等差数列的公差d>0,则该数列的前n项和有最小值,没有最大值;若等差数列的公差d<0,则该数列的前n项和有最大值,没有最小值.所以等差数列的前n项和不是都有最大值与最小值.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)169 (2)33 [解析] (1)方法一:设等差数列{an}的公差为d,则由a1=25,S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2.∴Sn=25n+×(-2)=-(n-13)2+169,由二次函数的性质得,当n=13时,Sn取得最大值169.
方法二:先求出{an}的公差d=-2(同方法一),则an=25+(n-1)×(-2)=27-2n.由
得即12.5≤n≤13.5,又n∈N*,∴当n=13时,Sn取得最大值,且最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
方法三:∵a1=25,S17=S9,∴{an}的公差d<0,∴{an}的前n项和公式为关于n的二次表达式,借助相应的定义在R上的二次函数图象,如图所示,则当n==13时,Sn取得最大值S13.求出公差d=-2(同方法一),∴S13=13×25+×(-2)=169.
方法四:∵a1=25,S17=S9,∴{an}的公差d<0,S17-S9=a10+a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17=4(a13+a14)=0,即a13+a14=0,则a13>0,a14<0,∴Sn的最大值为S13.求出公差d=-2(同方法一),∴S13=13×25+×(-2)=169.
(2)因为a17+a18<0,所以S34==17(a17+a18)<0,因为a17>0,且a17+a18<0,所以a18<0,S33==33a17>0,故使Sn>0的正整数n的最大值为33.
变式 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14.
(2)方法一:由公差d=3知{an}是递增数列,当1≤n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0.
所以S1>S2>S3>S4所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26.
方法二:因为Sn=na1+d=n2-n=-,
又n∈N*,所以当n=4时,Sn最小,最小值为-26.
探究点二
例2 解:(1)12月1~n日,每天新增患者人数构成等差数列,其首项为20,公差为50,故第n天的新增患者人数为an=50n-30(n∈N+且1≤n≤30).
(2)前n天的新增患者总人数为Sn=20n+×50=25n2-5n(1≤n≤30且n∈N+).
(3)由(1)(2)知,当n=30时,Sn=S30=22 350≠8670,不合题意.
当n=29时,S29+a29-30=22 270≠8670,不合题意.
当n=28时,S28+a28-30+a28-30-30=22 110≠8670,不合题意.
当1≤n≤27时,12月n+1~30日,每日新增患者人数构成一个等差数列,其首项为20+(n-1)·50-30=50n-60,公差为-30,项数为(30-n),
∴第n+1~30日新增患者总人数为T30-n=(50n-60)(30-n)+·(-30)=-65n2+2445n-14 850.
由题意得Sn+T30-n=8670,整理得n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍去).综上可得n=12.
变式 B [解析] 设等差数列的前n项和为Sn(1≤n≤30),则S10=2000,S20=3500,因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以2×(3500-2000)=2000+(S30-3500),解得S30=4500,故选B.
