(共47张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
探究点一 用定义判断等比数列
探究点二 等比数列基本量的计算
探究点三 等比中项及其应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解等比数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述
等比数列的概念,能根据等比数列的定义判断已知数列是否是等比数
列或证明等比数列.
知识点一 等比数列的相关概念
文字 语言 一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的
________的____都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比
数列，这个常数叫作等比数列的______，公比通常用字母 表
示
符号 语言 在数列 中，如果
成
立，则称数列为等比数列，常数 称为等比数列的公比
递推 关系 或
二
前一项
比
公比
知识点二 等比中项与等差中项的对比
等差中项 等比中项
定义 若，，成等差数列，则 叫作与 的等差中项 若，， 成______数列，则
叫作与 的______中项
定义式
公式
等比
等比
等差中项 等比中项
个数 与 的等差中项唯一 与 的等比中项有两个，且
互为相反数
备注 任意两个数与 都有等差中 项 只有当时，与 才有
等比中项
常用结论：在等比数列 中,从第2项起,每一项都是相邻两项的等
比中项.特别地,等比数列中的某一项 是与该项等距离的两项
,的等比中项,即 .
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列满足,则 是等比数列.( )
×
（2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为
等比数列.( )
×
（3）等比数列的首项、公比均不能为零.( )
√
（4）是,, 成等比数列的充要条件.( )
×
2.一个等比数列中所有奇数项的符号都是相同的，所有偶数项的符号
也是相同的，这句话正确么？
解：正确.
探究点一 用定义判断等比数列
例1 已知为等比数列，其公比为 ．判断下列数列是否为等比数
列．如果是，求其公比；如果不是，请说明理由．
（1）数列 ；
解:为等比数列，其公比为，所以，
则 为常数，
故数列是首项为，公比为 的等比数列.
（2）数列 ．
解:当时，，故，
数列 不为等比数列；
当时， ，
，此时数列 是公
比为 的等比数列.
例1 已知为等比数列，其公比为 ．判断下列数列是否为等比数
列．如果是，求其公比；如果不是，请说明理由．
变式 将公比为的等比数列 依次取相邻两项的乘积组成的新数
列，，， ，则此数列____（填“是”或“不是”）等比
数列．
是
[解析] 由题意知，新数列为，则 ，
故新数列是公比为 的等比数列.
故填是.
［素养小结］
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且
等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
探究点二 等比数列基本量的计算
例2 求出下列等比数列中的未知项.
（1）2, ,8;
解：根据题意，得 ,
所以或 .
（2）,, .
解：根据题意，得解得
变式（1）等比数列中，若 ，则
的公比为( )
A.1 B.2 C. D.2或
[解析] 设等比数列的公比为 ，
因为 ，
所以，
又易知 ，所以，所以 .故选B.
√
（2）［2025·江苏常州一中高二质检］设四个数中前三个数依次成
等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，则该
数列为___________________．
25,,4,18或9,6,4,2
[解析] 根据后三个数成等差数列，和为12可设后三个数为 ,4,
，再根据前三个数成等比数列可得这四个数分别为, ,
4,，
则由前三个数和为19可列方程得 ，
整理得，解得或 ，故该数列为25,
,4,18或9,6,4,2.
［素养小结］
等比数列基本量运算要抓住基本量，，掌握好设未知数、列出方
程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
探究点三 等比中项及其应用
例3（1）［2025·江苏无锡一中高二月考］若等比数列的首项为4，
公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为( )
A.32 B. C. D.
[解析] 由题得，该等比数列为4,8,16,32， ，设第2项与第4项的等
比中项为，则，故 ，故选D.
√
（2）［2025·山东菏泽一中高二质检］已知等比数列 满足
，，则 __.
[解析] 因为等比数列满足，所以 ，
因为，所以 ，所以
，所以 .
变式（1）［2025·江苏苏州高二期中］在2和8之间插入3个实数,,
使得2，,,,8成等比数列，则 的值为( )
A. B. 或4 C.4 D.5
[解析] 2，,,,8成等比数列，则 ，
又由可知，所以 ．故选C.
√
（2）在等比数列中，,，则和 的等比中项
为____．
[解析] 设与的等比中项为，因为, ，
所以，所以 .
［素养小结］
1.只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，
它们互为相反数.
2.在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项.
3.与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方.
1.斐波那契数列与等比数列:意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量
为例,引入数列:1,1,2,3,5,8, ,该数列从第三项起,每一项都等于前两
项之和.在数学上,斐波那契数列定义如下: ,
,随着的增大, 越来越逼近黄金
分割比值 ,故此数列也称为黄金分割数列,其通项公式为
.
2.等比数列定义的注意点
（1）对给定的等比数列,其公比 一定是相邻两项后一项与前一项的
比,防止把相邻两项的比的顺序颠倒;
（2）定义中“从第2项起”是说必须从第2项起,才能保证数列中各项均
与其前面一项作比,如若不然,从第 项起作比,则势必
遗漏前面的若干项;
（3）定义中“每一项与它的前一项的比”的含义有两个,其一是强调作
比的顺序,即后面的项比前面的项,其二是强调这两项必须相邻;
（4）等比数列的首项可以是正数、负数,但不能为零.
3.等比中项的注意点
若是与的等比中项,则与的符号相同, ,即等比中项有
两个,且它们互为相反数.当,异号或有一个为零时,,, 没有
等比中项.
4.等比数列通项公式的特点
（1）不要把的通项公式错误地写成 ;
（2）公比 是任意非零常数,可正可负;
（3）隐含条件:且 ,即任意一项和公比均不为0;
（4）当时, 为常数列.
由递推关系式，为常数，且，求
时，由待定系数法设可得 ，这样就构造
了等比数列 .
例 在数列中，， ，若对于任意的
，恒成立，则实数 的最小值为___．
[解析] 由得 ，又
，故数列 是首项为3，公比为3的等比数
列，可得，
不等式 可化为，令，
当时， ；当时，．
故当 时，，
则 ，当时， ，
即.
综上所述，，可得实数 的最小值为．
练习册
1.等比数列中，，，则与 的等比中项为
( )
A.24 B. C. D.30
[解析] 等比数列中，，，
则与 的等比中项为 .故选C.
√
2.已知数列，，， 是等比数列，则实数 的取
值范围是( )
A. B.或 C. D.且
[解析] 由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，
且公比不为0，所以且,所以且 .故选D.
√
3.“”是“是, 的等比中项”的( )
A.既不充分又不必要条件 B.充分且不必要条件
C.必要且不充分条件 D.充要条件
[解析] 当时，满足，不满足是， 的等比
中项；
当是，的等比中项时，如,, ，但不满足，
故“”是“是， 的等比中项”的既不充分又不必要条件,故选A.
√
4.［2025·江苏南京一中高二质检］若1，，3成等差数列，1， ，4
成等比数列，则 的值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 因为1，，3成等差数列，所以.
因为1， ，4成等比数列，所以，所以，
所以 .故选D.
√
5.［2025·湖北黄冈中学高二月考］如果将20，50，100各加上同一个
常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为( )
A. B. C. D.
[解析] 设所加的常数为，则,, 成等比数列，
所以,, 均不为0，
且，解得 ，
所以这个数列的公比为 .故选A.
√
6.（多选题）若 是等比数列，则下列数列中是等比数列的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 设的公比为，则 .
A中，（常数），故A正确；
B中，若 ,则 （等比数列的各项不能为0）,故B错误；
C中， （常数），故C正确；
D中，（常数），故D正确.
故选 .
√
√
√
7.下列说法正确的是______．（填序号）
①数列图象上的点都在函数 的图象上；
②数列的图象与函数 的图象相同；
③函数图象上存在满足数列通项公式的点 ；
④数列图象上可能存在坐标不满足函数关系式 的点．
①③
[解析] 根据等比数列与指数函数的关系知，数列 图象上的点
都在函数的图象上，故①正确；
数列 的图象是一系列分散在函数的图象上的点，
所以函数 图象上存在满足数列通项公式的点 ，
故③正确，②④错误.故填①③.
8.［2025·江苏通州中学高二质检］已知等比数列 的各项均为正
数，且，则数列的前5项积 为_____．
[解析] 由题意得 ，
根据等比中项性质得,，
．
9.（13分）判断下列数列是否为等比数列：
（1）1,3,,, ,, ；
解：记数列为，则,, ,, ,
， 数列 为等比数列，且公比
为3.
（2）,1,2,4,8, ；
解：记数列为，则，，， ，
,,， 数列 不是等比数列．
（3）,,,, .
解：当时，数列为0,0,0,0, ,不是等比数列；
当时，因为 ，
数列,,,, 是等比数列，且公比为 .
综上所述，当时，数列,,,, 不是等比数列；
当时，数列,,,, 是等比数列.
9.（13分）判断下列数列是否为等比数列：
10.（13分）已知数列中，， ，证
明： 是等比数列.
证明:因为数列中，， ，
所以，且 ，
所以 是等比数列，其公比为2，首项为2.
11.［2025·湖南长沙一中高二月考］在递增等比数列 中，
，，则数列 的公比为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
√
[解析] 设等比数列的公比为，因为，所以 ，
解得，
又，所以有由 是递增等比数列，
解得所以 ，故选A.
12.［2025·江苏镇江中学高二调研］若依次成等差数列的三个实数
，，之和为12，而，，又依次成等比数列，则 ( )
A.2 B.8 C.2或8 D.8或16
[解析] 由题意可得
可得，解得或 ，故选C.
√
13.［2025·山东菏泽一中高二质检］已知三角形的三边长构成等比数
列，它们的公比为，则 的取值范围为_____________.
[解析] 由题意可设三角形的三边长分别为，， .因
为三角形的两边之和大于第三边，所以①当时， ，
即，可得；
②当 时，，即,可得.
综上， 的取值范围是 .
14.［2025·安徽安庆一中高二调研］设数列是公比为 的等比数
列，．若数列的连续四项构成集合,,36, ，则
公比 ____.
[解析] 由题意得，等比数列的连续四项构成集合, ,36,
，则可知等比数列的项一定为正负相间，公比为负，
由于 ，
则连续四项中从第二项起每项绝对值大于前一项的绝对值，故集合
,,36,中的这四个数在数列中排列为,36, ,81，则
.
15.［2025·江苏苏州中学高二质检］各项均为正数的等比数列 的
公比为，前项积为，则“”是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 由题知,.
充分性：若 ，
则，则，即 ，充分性成立；
必要性：若，则，则 ，
则 ，必要性成立.
是充要条件，故选C.
16.（15分）设， 是公比不相等的两个等比数列，
，则数列 是不是等比数列？说明你的理由.
解：设，的公比分别为，， ，
因为 ，
，
所以 .
因为，所以 ，
又，，所以 ,
故 不是等比数列.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 二 前一项 比 公比
知识点二 等比 等比
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）× 2.解：正确.
课中探究 例1 （1）数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）当时，数列不为等比数列；
当时，数列是公比为的等比数列.
变式 是
例2 （1）或
（2） 变式 （1）B （2）25,,4,18或9,6,4,2
例3 （1）D （2） 变式 （1）C （2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.D 3.A 4.D 5.A 6.ACD 7.①③ 8.
9.（1） 数列为等比数列，且公比为3.
（2）数列不是等比数列．
（3）当时，数列,,,, 不是等比数列；
当时，数列,,,, 是等比数列.
10.略
11.A 12.C 13. 14. 15.C
16. 不是等比数列4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
【课前预习】
知识点一
二 前一项 比 公比
知识点二
等比 等比
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.解:正确.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1){an}为等比数列,其公比为q,所以an≠0,则==q为常数,故数列{2an}是首项为2a1,公比为q的等比数列.
(2)当q=-1时,an+1=-an,故an+an+1=0,数列{an+an+1}不为等比数列;
当q≠-1时,an+an+1≠0,===q,此时数列{an+an+1}是公比为q的等比数列.
变式 是 [解析] 由题意知,新数列为{anan+1},则=·=q2,故新数列是公比为q2的等比数列.故填是.
探究点二
例2 解:(1)根据题意,得=,所以a=4或a=-4.
(2)根据题意,得解得
变式 (1)B (2)25,-10,4,18或9,6,4,2
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),因为a1+a2+a3+a4=3(a1+a3),所以a1(1+q)+a3(1+q)=3(a1+a3),又易知a1+a3≠0,所以1+q=3,所以q=2.故选B.
(2)根据后三个数成等差数列,和为12可设后三个数为4-d,4,4+d,再根据前三个数成等比数列可得这四个数分别为,4-d,4,4+d,则由前三个数和为19可列方程得+4-d+4=19,整理得d2-12d-28=0,解得d=-2或d=14,故该数列为25,-10,4,18或9,6,4,2.
探究点三
例3 (1)D (2) [解析] (1)由题得,该等比数列为4,8,16,32,…,设第2项与第4项的等比中项为x,则x2=8×32=256,故x=±16,故选D.
(2)因为等比数列{an}满足a2=-,所以a1a3===,因为++=3,所以+=3-=3+2=5,所以=5,所以a1+a3=5a1a3=.
变式 (1)C (2)±8 [解析] (1)2,a,x,b,8成等比数列,则x2=2×8=16,又由a2=2x>0可知x>0,所以x=4.故选C.
(2)设a2与a10的等比中项为G,因为a2=4,a10=16,所以G2=4×16=64,所以G=±8.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
1.C [解析] 等比数列{an}中,a4=48,a6=12,则a4与a6的等比中项为±=±24.故选C.
2.D [解析] 由等比数列的定义知,数列中不能出现为0的项,且公比不为0,所以a≠0且1-a≠0,所以a≠0且a≠1.故选D.
3.A [解析] 当G=a=b=0时,满足G=,不满足G是a,b的等比中项;当G是a,b的等比中项时,如a=1,b=4,G=-2,但不满足G=,故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分又不必要条件,故选A.
4.D [解析] 因为1,a,3成等差数列,所以a==2.因为1,b,4成等比数列,所以b2=1×4,所以b=±2,所以==±1.故选D.
5.A [解析] 设所加的常数为x,则20+x,50+x,100+x成等比数列,所以20+x,50+x,100+x均不为0,且(50+x)2=(20+x)×(100+x),解得x=25,所以这个数列的公比为==.故选A.
6.ACD [解析] 设{an}的公比为q(q≠0),则=q.A中,==q(常数),故A正确;B中,若q=1,则an+1-an=0(等比数列的各项不能为0),故B错误;C中,==(常数),故C正确;D中,=·=q2(常数),故D正确.故选ACD.
7.①③ [解析] 根据等比数列与指数函数的关系知,数列an=4n图象上的点都在函数y=4x的图象上,故①正确;数列an=4n的图象是一系列分散在函数y=4x的图象上的点,所以函数y=4x图象上存在满足数列通项公式an=4n的点(n,an),故③正确,②④错误.故填①③.
8.4 [解析] 由题意得an>0,根据等比中项性质得a1a5=a2a4==2,∴a3=,∴T5==4.
9.解:(1)记数列为{an},则a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…,
∵==3(n≥2,n∈N+),∴数列{an}为等比数列,且公比为3.
(2)记数列为{bn},则b1=-1,b2=1,b3=2,…,
∵=-1,=2,∴≠,∴数列{bn}不是等比数列.
(3)当a=0时,数列为0,0,0,0,…,不是等比数列;
当a≠0时,因为==-1,
∴数列a,-a,a,-a,…是等比数列,且公比为-1.
综上所述,当a=0时,数列a,-a,a,-a,…不是等比数列;
当a≠0时,数列a,-a,a,-a,…是等比数列.
10.证明:因为数列{an}中,a1=,an+1=(n∈N*),
所以===2,且-1=3-1=2,
所以是等比数列,其公比为2,首项为2.
11.A [解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a1a2a3=1,所以=1,解得a2=1,又++=,所以有由{an}是递增等比数列,解得所以q==2,故选A.
12.C [解析] 由题意可得
可得a2-10a+16=0,解得a=2或a=8,故选C.
13. [解析] 由题意可设三角形的三边长分别为,a,aq(a>0,q>0).因为三角形的两边之和大于第三边,所以①当q≥1时,+a>aq,即q2-q-1<0,可得1≤q<;②当0,即q2+q-1>0,可得14.- [解析] 由题意得,等比数列{an}的连续四项构成集合{-24,-54,36,81},则可知等比数列的项一定为正负相间,公比为负,由于|q|>1,则连续四项中从第二项起每项绝对值大于前一项的绝对值,故集合{-24,-54,36,81}中的这四个数在数列中排列为-24,36,-54,81,则q==-.
15.C [解析] 由题知an>0,Tn>0.充分性:若T2021T2023>,则(T2022·a2023)>,则>1,即q>1,充分性成立;必要性:若q>1,则>1,则(T2021·a2023)>,则T2021T2023>,必要性成立.是充要条件,故选C.
16.解:设{an},{bn}的公比分别为p,q,p≠q,
因为=(a2+b2)2=(a1p+b1q)2=p2+q2+2a1b1pq,c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=p2+q2+a1b1(p2+q2),
所以-c1c3=2a1b1pq-a1b1(p2+q2)=-a1b1(p-q)2.
因为p≠q,所以p-q≠0,
又a1≠0,b1≠0,所以≠c1c3,
故{cn}不是等比数列.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
【学习目标】
理解等比数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述等比数列的概念,能根据等比数列的定义判断已知数列是否是等比数列或证明等比数列.
◆ 知识点一 等比数列的相关概念
文字 语言 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 的 都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的 ,公比通常用字母q表示(q≠0)
符号 语言 在数列{an}中,如果=q(n≥2,n∈N*)(q≠0)成立,则称数列{an}为等比数列,常数q称为等比数列的公比
递推 关系 an=an-1·q(q≠0,n∈N*,n≥2,a1≠0)或an+1=an·q(q≠0,n∈N*,a1≠0)
◆ 知识点二 等比中项与等差中项的对比
等差中项 等比中项
定义 若a,A,b成等差数列,则A叫作a与b的等差中项 若a,G,b成 数列,则G叫作a与b的 中项
定义式 A-a=b-A =
公式 A= G=±
(续表)
等差中项 等比中项
个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个,且互为相反数
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab>0时,a与b才有等比中项
常用结论:在等比数列{an}中,从第2项起,每一项都是相邻两项的等比中项.特别地,等比数列{an}中的某一项ak是与该项等距离的两项ak-m,ak+m(k>m,k,m∈N*)的等比中项,即=ak-m·ak+m.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),则{an}是等比数列. ( )
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列. ( )
(3)等比数列的首项、公比均不能为零. ( )
(4)G2=ab是a,G,b成等比数列的充要条件.( )
2.一个等比数列中所有奇数项的符号都是相同的,所有偶数项的符号也是相同的,这句话正确么
◆ 探究点一 用定义判断等比数列
例1 已知{an}为等比数列,其公比为q.判断下列数列是否为等比数列.如果是,求其公比;如果不是,请说明理由.
(1)数列{2an};
(2)数列{an+an+1}.
变式 将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成的新数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列 (填“是”或“不是”)等比数列.
[素养小结]
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论.
◆ 探究点二 等比数列基本量的计算
例2 求出下列等比数列中的未知项.
(1)2,a,8;
(2)-4,b,c.
变式 (1)等比数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=3(a1+a3),则{an}的公比为 ( )
A.1 B.2
C. D.2或-2
(2)[2025·江苏常州一中高二质检] 设四个数中前三个数依次成等比数列,其和为19,后三个数依次成等差数列,其和为12,则该数列为 .
[素养小结]
等比数列基本量运算要抓住基本量a1,q,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算.
◆ 探究点三 等比中项及其应用
例3 (1)[2025·江苏无锡一中高二月考] 若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第2项与第4项的等比中项为 ( )
A.32 B.-16
C.±32 D.±16
(2)[2025·山东菏泽一中高二质检] 已知等比数列{an}满足a2=-,++=3,则a1+a3= .
变式 (1)[2025·江苏苏州高二期中] 在2和8之间插入3个实数a,x,b使得2,a,x,b,8成等比数列,则x的值为 ( )
A.-4 B.-4或4
C.4 D.5
(2)在等比数列{an}中,a2=4,a10=16,则a2和a10的等比中项为 .
[素养小结]
1.只有当两个数同号时,这两数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.在等比数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻两项的等比中项.
3.与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
1.等比数列{an}中,a4=48,a6=12,则a4与a6的等比中项为 ( )
A.24 B.-24
C.±24 D.30
2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≠1 B.a≠0或a≠1
C.a≠0 D.a≠0且a≠1
3.“G=”是“G是a,b的等比中项”的 ( )
A.既不充分又不必要条件
B.充分且不必要条件
C.必要且不充分条件
D.充要条件
4.[2025·江苏南京一中高二质检] 若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为 ( )
A.± B.
C.1 D.±1
5.[2025·湖北黄冈中学高二月考] 如果将20,50,100各加上同一个常数能组成一个等比数列,那么这个数列的公比为 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选题)若{an}是等比数列,则下列数列中是等比数列的是 ( )
A.{10an} B.{an-an+1}
C. D.{anan+1}
7.下列说法正确的是 .(填序号)
①数列an=4n图象上的点都在函数y=4x的图象上;
②数列an=4n的图象与函数y=4x的图象相同;
③函数y=4x图象上存在满足数列通项公式an=4n的点(n,an);
④数列an=4n图象上可能存在坐标不满足函数关系式y=4x的点.
8.[2025·江苏通州中学高二质检] 已知等比数列{an}的各项均为正数,且a2a4=2,则数列{an}的前5项积T5为 .
9.(13分)判断下列数列是否为等比数列:
(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a,-a,a,-a,….
10.(13分)已知数列{an}中,a1=,an+1=(n∈N*),证明:是等比数列.
11.[2025·湖南长沙一中高二月考] 在递增等比数列{an}中,a1a2a3=1,++=,则数列{an}的公比为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.8
12.[2025·江苏镇江中学高二调研] 若依次成等差数列的三个实数a,b,c之和为12,而a,b,c+2又依次成等比数列,则a= ( )
A.2 B.8
C.2或8 D.8或16
13.[2025·山东菏泽一中高二质检] 已知三角形的三边长构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围为 .
14.[2025·安徽安庆一中高二调研] 设数列{an}是公比为q的等比数列,|q|>1.若数列{an}的连续四项构成集合{-24,-54,36,81},则公比q= .
15.[2025·江苏苏州中学高二质检] 各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,则“T2021T2023>”是“q>1”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
16.(15分)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,则数列{cn}是不是等比数列 说明你的理由.
