(共63张PPT)
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的通项公式
探究点一 等比数列的通项公式及运用
探究点二 等比数列的判定与证明
探究点三 等比数列的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系,熟练掌握等比数列的判断方法.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的
问题.
知识点一 等比数列的通项公式
首项为,公比为的等比数列 的通项公式为____________.
知识点二 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
（1）在公比为的等比数列中,可改写成 ,
当且时,是一个______函数,此时等比数列 的图
象是函数 的图象上______________.
指数
一群孤立的点
（2）任给函数,为常数,,且 ,则
,, ,, 构成一个等比数列 ,
其首项为____,公比为___.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列为等比数列,,,则 .( )
×
（2）等比数列1,,,,…中,第10项为 .( )
√
（3）若一个常数列是等比数列，则公比为1.( )
√
（4）在等比数列中，，，则 等于32.( )
√
2.解等比数列实际应用问题的关键是什么？
解:关键是建立数学模型，即将实际应用问题转化成等比数列的问题，
解数学模型即解等比数列问题.
探究点一 等比数列的通项公式及运用
例1（1）［2025·江苏兴化中学高二月考］在等比数列 中，
，，则 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
[解析] 设该等比数列的公比为，因为 ，
所以由 ，
因此 ，故选A.
√
（2）［2025·山东济宁一中高二质检］一个各项均为正数的等比数
列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则此数列的公比
( )
A. B. C. D.
[解析] 设各项均为正数的等比数列为，且其公比为 ，则
，，因为 每一项都等于它后面的相邻两项之和，所
以，即，
所以 ，解得或 （舍去），故选C.
√
变式 设等比数列的公比为 ．
（1）若，，求 的通项公式；
解:因为，，所以 .
（2）若，，求并写出 的通项公式；
解:由题知，，解得 ,
所以 .
（3）若，，，求 ．
解:由题可知，，即 ,
所以，所以 .
［素养小结］
等比数列的通项公式共涉及，，，四个量，已知
其中三个量可求得第四个量.
探究点二 等比数列的判定与证明
例2 ［2025·安徽蚌埠一中高二月考］已知函数
为常数，且．下列条件中，哪些能使数列 为等比
数列？并说明理由.
（1）数列 是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）数列 是首项为4，公差为2的等差数列；
（3）数列 是首项为2，公差为2的等差数列的前1，2，3，
， 项和构成的数列．
解:对于条件（1），，即，得 ，
常数， 数列 不是等比数列；
对于条件（2）， ，即
，得，且 ，
，且为非零常数， 数列是以 为首
项、 为公比的等比数列；
对于条件（3）， ，即
，得，
常数， 数列 不是等比数列．
故条件（2）能使数列为等比数列，条件不能使数列
为等比数列.
变式 已知数列的前项和为，且对任意正整数 都有
，试判断数列 是否是等比数列.若是，请给出证明；
若不是，请说明理由.
解：数列 不是等比数列，
理由如下：，则 ，即
，若，则,，所以数列 不为等
比数列；
若，则数列是首项为 ，公比为2024的等比数列，
则 ，此时，
但 不满足上式，即数列 不为等比数列.
综上所述，数列 不是等比数列.
［素养小结］
等比数列的常用判定与证明方法
定义法 若为非零常数，或 为非零常
数且，，则 是等比数列
中项公 式法 若数列中，且 ，则
是等比数列
通项公 式法 若数列的通项公式可写成， 均为非零常
数，，则 是等比数列
探究点三 等比数列的实际应用
例3 某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获
得的利润为投资金额的 ，为了企业长远发展，每年年底需要从
利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设
经过年后，该项目的资金为 万元．
（1）求和 的值；
解:由题意知 ，
.
（2）求证：数列 为等比数列；
证明:由题意知 ，
即，所以 ，
又，所以是首项为1500，公比为 的等
比数列．
（3）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？
解:由（2）知数列的首项为1500，公比为 ，
所以，所以 ．
由，得 ，
两边取常用对数得 ，所以
，所以 ，
因为，所以 ，
即至少经过3年，该项目的资金达到翻一番．
变式 ［2025·江苏新海中学高二月考］ 已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，
第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找
回了4个伙伴……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢
后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A.只 B.只 C.只 D. 只
[解析] 第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有 （只）蜜
蜂……按照这个规律，每天的蜜蜂数构成首项为5，公比为5的等比
数列，
则第天的蜜蜂数 ，第20天蜜蜂都归巢后，
蜂巢中共有蜜蜂 （只）,故选B.
√
［素养小结］
求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数
列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，
对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.
1.（1）在公差为（公比为）的等差（比）数列中,每隔 项取出一
项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等差（比）数列,公差为
（公比为 ）.若两个项数相同的数列分别成等差（比）
数列,则两数列对应项的和（积）构成等差（比）数列.
（2）已知等比数列的首项与公比 ,利用通项公式可以求等比
数列 的任何一项,但有时运算量较大.在准确掌握等比数列的定义
及通项公式的前提下,灵活运用等比数列的性质,可以提高解题速度与
准确率.
例1（1）对任意等比数列 ,下列说法正确的是( )
A.,,成等比数列 B.,, 成等比数列
C.,,成等比数列 D.,, 成等比数列
[解析] 等比数列中,若序号成等差数列,则对应的项成等比数列.
因为3,6,9成等差数列,所以,, 成等比数列.
√
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
A.若是等差数列,则 是等差数列
B.若是等比数列,则 是等比数列
C.若是等差数列,则 是等差数列
D.若是等比数列,则 是等比数列
√
√
[解析] 对于A，设的公差为 ,则
,故A正确;
对于B，当时,,故B错误;
对于C，设 的公差为,则,故C错误;
对于D，设 的公比为,显然,所以,故D正确.
故选 .
（3）在等比数列中,如果, ,那么
_____.
128
[解析] 设等比数列的公比为,则 ,
所以 .
2.等比数列的应用除了体现在实际生活中,在数学几何方面也有很多
情境是与等比数列相关的.
例2 ［2024·上海嘉定一中高二月考］某公司一下属企业从事某种高
科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元,并将其全部
投入生产,到当年年底资金增长了 ,预计以后每年资金年增长率与
第一年相同.公司要求该企业从第一年开始,每年年底上缴资金
万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 年年底企
业上缴资金后的剩余资金为 万元.
（1）判断 是否为等比数列,并说明理由;
解：由题意可得,, ,进
而可知 ,由此可得
,即 ,
当时,,故是以 为
首项, 为公比的等比数列.
当时,,故 不是等比数列.
（2）若,第（ 为正整数）年年底企业的剩余资金超过
21 000万元,求 的最小值.
解：当时,由（1）可知,是以3000为首项, 为公
比的等比数列,
则,所以 ,
由于第 年年底企业的剩余资金超过21 000万元,
即,易知 为递增数列,又
, ，
故 的最小值为6.
例3（1）科赫曲线因形似雪花,又被称为雪花曲线.其构成方式如下:
如图①,将线段等分为,,,以 为底向外作等边三角形
,并去掉线段 ,得到图②,在图②的各条线段上重复上述操作,当
对图①进行三次操作后可形成图③中的曲线.设线段 的长度为1,则
图③中曲线的长度为( )
A.2 B. C. D.3
√
[解析] 设进行次操作后所得曲线的长度为 ,依题意得
,数列是公比为的等比数列,则 ,所以题图
③中曲线的长度为 .
（2）如图给出的是一道典型的数学无字证明
问题:各矩形块中填写的数字构成一个无穷数
列,所有数字之和等于1.按照图示规律,由大到
小的第八个矩形块中应填的数字为____;按照
这个规律继续下去,第 个矩
形块中应填的数字是_____.
[解析] 设每个矩形块中的数字由大到小构成数列
,则可得是首项为,公比为 的等比数列,
, 由大到小的第八个矩形块
中应填的数字为 .
按照这个规律继续下去,
第个矩形块中应填的数字是 .
练习册
1.等比数列1,,,,， 的通项公式为 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题知等比数列的首项为1，公比为 ，
则等比数列的通项公式为 .故选D.
√
2.［2025·江苏淮阴中学高二期中］若在1和81之间插入3个数，使这5
个数成等比数列，则该等比数列的公比为( )
A.3 B. C. D.
[解析] 设这5个数组成的等比数列为，公比为，
则 ，.
由，即，解得 ，故选C.
√
3.若数列的通项公式为 ，则这个数列是一
个( )
A.以2为首项，3为公比的等比数列
B.以2为首项， 为公比的等比数列
C.以 为首项，3为公比的等比数列
D.以为首项， 为公比的等比数列
√
[解析] 根据题意，数列的通项公式为 ，
当时，，
当时， ，
故数列是以为首项， 为公比的等比数列.故选D.
4.［2025·天津一中高二期末］在等比数列中，若 ，
，则 ( )
A. B. C.16 D.32
[解析] 由，可得的公比满足 ，
故 ，故选D.
√
5.［2025·江苏南京一中高二月考］数列满足 ，
，若，则项数 为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 因为，，所以， ，
则是首项为,公比为的等比数列，
故，令 ，得 ，故选C.
√
6.（多选题）［2025·江苏盐城中学高二月考］ 设数列 为等比数
列，则下列数列一定为等比数列的是( )
A. B. C. D.{
√
√
[解析] 设数列的公比为．对于A， ，则
,所以数列是公比为 的等比数列；
对于B，，则,所以数列是公
比为 的等比数列；
对于C，，当 时， ，
不是一个非零常数，所以数列不是等比数列；
对于D，当时， ，
不是一个非零常数，所以数列{不是等比数列．
故选 .
7.［2025·广东中山中学高二月考］我国古代数学著作《九章算术》
中有如下问题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：
‘我羊食半马.’马主曰：‘我马食半牛.’今欲衰偿之，问各出几何？”其
意思是：现有羊、马、牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要
求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一
半.”马主人说：“我的马所吃禾苗数是牛吃的一半.”打算按此比率偿
还，牛、马、羊主人各应赔偿多少粟？则马主人应赔偿___斗粟.
[解析] 设羊主人应赔偿斗粟，马主人应赔偿 斗粟，牛主人应赔
偿斗粟，由题意得,, 构成公比为2的等比数列，且
,则，所以 ，所以马
主人应赔偿 （斗）粟.
8.［2025·山东青岛二中高二调研］在等比数列中，, ,0构成
等差数列，且，则数列 的通项公式为_____________．
[解析] 设等比数列的公比为，因为, ,0构成等差数列，所
以，即，所以，
又因为 ，所以，
解得 ，则 ．
9.（13分）在各项均为负数的等比数列中， ，且
.
（1）求数列 的通项公式.
解：因为，所以,数列是公比为 的等比数列,
又，所以 ,由于各项均为负数，
则，故 .
（2） 是否为该数列中的项？若是，为第几项？
解：设，则，即，解得 ，
所以 是该数列中的项,为第6项.
9.（13分）在各项均为负数的等比数列中， ，且
.
10.（13分）若数列满足，，对任意的 ，都有
.
（1）证明：数列 是等比数列；
证明：由 ，得
，且
，
所以数列 为等比数列，其首项为2，公比为3.
（2）求数列 的通项公式.
解：由（1）得 ，
等式左右两边同时除以可得，即 ，
又，所以数列为等差数列，其首项为，公差为 ，
所以 ，
所以 .
10.（13分）若数列满足，，对任意的 ，都有
.
11.［2025·江苏淮阴中学高二质检］数列中， ,
, ，则( )
A.为等差数列 B. 为等比数列
C.为等差数列 D. 为等比数列
√
[解析] 因为，所以当时， ，两
式相减可得 ，可得
，即.
又，当 时，，所以，
所以数列 的通项公式为故数列 既不是
等差数列也不是等比数列，所以A，B错误.
当时,,又 适合上式,所以
，则，所以数列 是公比为3的等比数列，故D正确，
C错误.
故选D.
12.已知各项均为正数的等比数列中，，则当 取最
小值时，数列 的通项公式为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设等比数列的公比为，因为 ，
,所以，且，所以，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，此时 ，所以
数列的通项公式为 ．故选B.
13.［2025·江苏扬州中学高二月考］若数列满足 ，
则称为“梦想数列”.已知数列 为“梦想数列”，且
，则 ____．
32
[解析] 由题意可知，若数列为“梦想数列”，则 ，可
得，所以“梦想数列”是公比为 的等比数列.
若各项均为正数的数列为“梦想数列”，则，所以 ，
即数列是公比为2的等比数列，
因为 ，所以 .
14.［2025·江苏徐州高二期末］若将公比不为1的等比数列， ，
调整顺序后为等差数列，则 的值为_________.
或
[解析] 根据题意得,，3个数,, 调整顺序后为
等差数列，由 ，分三种情况讨论：①调整顺序后3个数依次为
，，或，，，则有 ，即
，可得，解得或 （舍）;
②调整顺序后3个数依次为，，或，， ，则
，即，可得，
解得 或（舍）;
③调整顺序后3个数依次为，， ，则
，即，可得,解得(舍).
综上可得或 .
15.（多选题）［2025·江苏锡山中学高二质检］ 在数列 中，若
为常数，则称 为“等差比数列”，下列说法错误
的是( )
A. 不可能为0 B.“等差比数列”中的项不可能为0
C.等差数列一定是“等差比数列” D.等比数列一定是“等差比数列”
√
√
√
[解析] 当时，根据“等差比数列”的定义，有 ，即
有,这与分母不为0矛盾, ,故选项A中说法正确；
当时，为常数， 数列
为“等差比数列”，且，故选项B中说法错误；
当数列 为非零常数列时，数列 既是等差数列又是等比数列，
但，此时数列 不是“等差比数列”，故选项C，D中说
法错误.
故选 .
16.（15分）已知数列中，， .
（1）求证是等比数列，并求 的通项公式；
解：由，可得 ，即
,所以是以 为首项，3为公比的
等比数列，
所以 ，
所以 .
（2）若不等式对任意 恒成立，求
实数 的最小值.
解：不等式对任意 恒成立，
即对任意 恒成立，
即对任意 恒成立.
设，由 ，
当时， ，
即 ，
即 ；
当时， ，
即 ，
即 .
所以 ，
所以，故 的最小值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二 （1）指数 一群孤立的点 （2）
【诊断分析】1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.解:关键是建立数学模型，即将实际应用问题转化成等比数列的问题，解数学
模型即解等比数列问题.
课中探究 例1 （1）A （2）C
变式 （1） （2）（3）
例2 条件（2）能使数列为等比数列,条件不能使数列为等比数列.
变式 数列不是等比数列
变式 数列不是等比数列
例3 （1），（2）略（3）3年
变式 B
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.D 4.D 5.C 6.AB 7. 8.
9.（1）（2）是该数列中的项,为第6项
10.（1）略（2）
11.D 12.B 13.32 14.或 15.BCD
16.（1）（2）4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的通项公式
【课前预习】
知识点一
an=a1qn-1
知识点二
(1)指数 一群孤立的点 (2)ka a
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.解:关键是建立数学模型,即将实际应用问题转化成等比数列的问题,解数学模型即解等比数列问题.
【课中探究】
探究点一
例1 (1) A (2)C [解析] (1)设该等比数列的公比为q,因为a1=1,所以由a2a3=8 1·q·1·q2=8 q3=8 q=2,因此===q3=23=8,故选A.
(2)设各项均为正数的等比数列为{an},且其公比为q,则q>0,an>0,因为{an}每一项都等于它后面的相邻两项之和,所以an=an+1+an+2,即an=anq+anq2,所以q2+q-1=0,解得q=或q=(舍去),故选C.
变式 解:(1)因为a1=-2,q=-,所以an=a1qn-1=-2×.
(2)由题知,a4=a1q3=-5q3=40,解得q=-2,
所以an=a1qn-1=-5×(-2)n-1.
(3)由题可知,an=a1qn-1=2×=,即==,所以n-1=4,所以n=5.
探究点二
例2 解:对于条件(1),f(an)=2n,即logkan=2n,得an=,
∵==≠常数,∴数列{an}不是等比数列;
对于条件(2),f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logkan=2n+2,得an=k2n+2,且a1=k4≠0,
∵==k2,且k2为非零常数,∴数列{an}是以k4为首项、k2为公比的等比数列;
对于条件(3),f(an)=2n+×2=n2+n,即logkan=n2+n,得an=kn(n+1),∵==k2(n+1)≠常数,∴数列{an}不是等比数列.
故条件(2)能使数列{an}为等比数列,条件(1)(3)不能使数列{an}为等比数列.
变式 解:数列{an}不是等比数列,
理由如下:an+1=2023Sn,则Sn+1-Sn=2023Sn,即Sn+1=2024Sn,若S1=0,则Sn=0,an=0,所以数列{an}不为等比数列;若S1≠0,则数列{Sn}是首项为S1,公比为2024的等比数列,则Sn=S1·2024n-1,此时an=Sn-Sn-1=2023S1·2024n-2(n≥2),但a1=S1不满足上式,即数列{an}不为等比数列.
综上所述,数列{an}不是等比数列.
探究点三
例3 解:(1)由题意知a1=2000(1+50%)-500=2500,
a2=2500(1+50%)-500=3250.
(2)证明:由题意知an=(1+50%)an-1-500(n≥2),
即an=an-1-500,所以an-1000=(an-1-1000)(n≥2),
又a1-1000=1500,所以{an-1000}是首项为1500,公比为的等比数列.
(3)由(2)知数列{an-1000}的首项为1500,公比为,
所以an-1000=1500·,所以an=1500·+1000.
由an≥4000,得≥2,
两边取常用对数得(n-1)lg ≥lg 2,所以n-1≥≈=1.5,所以n≥2.5,
因为n∈N*,所以n≥3,即至少经过3年,该项目的资金达到翻一番.
变式 B [解析] 第一天一共有5只蜜蜂,第二天一共有5×5=52(只)蜜蜂……按照这个规律,每天的蜜蜂数构成首项为5,公比为5的等比数列,则第n天的蜜蜂数an=5×5n-1=5n,第20天蜜蜂都归巢后,蜂巢中共有蜜蜂a20=520(只),故选B.4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的通项公式
1.D [解析] 由题知等比数列的首项为1,公比为-,则等比数列的通项公式为an==(-1)n+1.故选D.
2.C [解析] 设这5个数组成的等比数列为{an},公比为q,则a1=1,a5=81.由a5=a1·q4,即81=1×q4,解得q=±3,故选C.
3.D [解析] 根据题意,数列{an}的通项公式为an=2×3-n(n∈N*),当n=1时,a1=2×3-1=,当n≥2时,==,故数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.故选D.
4.D [解析] 由a5=4,a7=8可得{an}的公比q满足q2==2,故a11=a7q4=8×4=32,故选D.
5.C [解析] 因为an+1=an,a1=≠0,所以an≠0,=,则{an}是首项为,公比为的等比数列,故an=,令=,得n=5,故选C.
6.AB [解析] 设数列{an}的公比为q.对于A,2an=2a1qn-1,则=q,所以数列{2an}是公比为q的等比数列;对于B,=q2n-2=(q2)n-1,则=q2,所以数列{}是公比为q2的等比数列;对于C,=,当n≥2时,==,不是一个非零常数,所以数列{}不是等比数列;对于D,当n≥2时,=,不是一个非零常数,所以数列{log2|an|}不是等比数列.故选AB.
7. [解析] 设羊主人应赔偿a1斗粟,马主人应赔偿a2斗粟,牛主人应赔偿a3斗粟,由题意得a1,a2,a3构成公比为2的等比数列,且a1+a2+a3=5,则a1+2a1+4a1=7a1=5,所以a1=,所以马主人应赔偿2a1=(斗)粟.
8.an= [解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a3,4a6,0构成等差数列,所以8a6=a3,即=q3=,所以q=,又因为a7-a8=4,所以a1(q6-q7)=a1=4,解得a1=512,则an=a1qn-1=.
9.解:(1)因为2an=3an+1,所以=,数列{an}是公比为的等比数列,
又a2·a5=,所以=,由于各项均为负数,
则a1=-,故an=-.
(2)设an=-,则-=-,即=,解得n=6,
所以-是该数列中的项,为第6项.
10.解:(1)证明:由an+2=6an+1-9an,得an+2-3an+1=3an+1-9an=3(an+1-3an),且a2-3a1=5-3=2,
所以数列{an+1-3an}为等比数列,其首项为2,公比为3.
(2)由(1)得an+1-3an=2×3n-1,
等式左右两边同时除以3n+1可得-=,即-=,
又=,所以数列为等差数列,其首项为,公差为,
所以=+(n-1)×=,
所以an=×3n=(2n+1)×3n-2.
11.D [解析] 因为an+1=2Sn(n∈N*),所以当n≥2时,an=2Sn-1,两式相减可得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n≥2),可得an+1=3an(n≥2),即=3(n≥2).又a1=1,当n=1时,a2=2S1=2,所以=2,所以数列{an}的通项公式为an=故数列{an}既不是等差数列也不是等比数列,所以A,B错误.当n≥2时,Sn=an+1=3n-1,又S1=a1=1适合上式,所以Sn=3n-1(n∈N*),则=3,所以数列{Sn}是公比为3的等比数列,故D正确,C错误.故选D.
12.B [解析] 设等比数列{an}的公比为q(q>0),因为a2-a1=1>0,an>0,所以a1q-a1=1,且q>1,所以a1=,则a3=a1q2===q+1+=q-1++2≥2+2=4,当且仅当q-1=,即q=2时,等号成立,此时a1=1,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.故选B.
13.32 [解析] 由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”,则-=0,可得=,所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列.若各项均为正数的数列为“梦想数列”,则=,所以=2,即数列{bn}是公比为2的等比数列,因为b1+b2+b3=1,所以b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32.
14.-2或- [解析] 根据题意得a2=a1q,a3=a1q2,3个数a1,a2,a3调整顺序后为等差数列,由q≠1,分三种情况讨论:①调整顺序后3个数依次为a2,a3,a1或a1,a3,a2,则有a1+a2=2a3,即a1+a1q=2a1q2,可得1+q=2q2,解得q=-或q=1(舍);②调整顺序后3个数依次为a2,a1,a3或a3,a1,a2,则a2+a3=2a1,即a1q+a1q2=2a1,可得q+q2=2,解得q=-2或q=1(舍);③调整顺序后3个数依次为a3,a2,a1,则a1+a3=2a2,即a1+a1q2=2a1q,可得1+q2=2q,解得q=1(舍).综上可得q=-2或q=-.
15.BCD [解析] 当k=0时,根据“等差比数列”的定义,有=0,即有an+2-an+1=0,这与分母不为0矛盾,∴k≠0,故选项A中说法正确;当an=n-1时,==1为常数,∴数列{an}为“等差比数列”,且a1=0,故选项B中说法错误;当数列{an}为非零常数列时,数列{an}既是等差数列又是等比数列,但an+1-an=0,此时数列{an}不是“等差比数列”,故选项C,D中说法错误.故选BCD.
16.解:(1)由an+1=,可得==1+,即+=3,所以是以+=为首项,3为公比的等比数列,
所以+=×3n-1=,所以an=.
(2)不等式·λ≥(2n-7)(3n-1)对任意n∈N*恒成立,
即2n+1×·λ≥(2n-7)(3n-1)对任意n∈N*恒成立,
即λ≥对任意n∈N*恒成立.
设f(n)=(n∈N*),由f(n+1)-f(n)=-=,
当n≤4时,f(n+1)-f(n)>0,
即f(n+1)>f(n),
即f(1)当n≥5时,f(n+1)-f(n)<0,
即f(n+1)即f(5)>f(6)>f(7)>….
所以f(n)≤f(5)=,
所以λ≥,故λ的最小值为.4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的通项公式
【学习目标】
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系,熟练掌握等比数列的判断方法.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
◆ 知识点一 等比数列的通项公式
首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为 .
◆ 知识点二 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)在公比为q的等比数列{an}中,an=a1qn-1可改写成an=·qn,当q>0且q≠1时,y=qx是一个 函数,此时等比数列{an}的图象是函数y=·qx的图象上 .
(2)任给函数f(x)=kax(k, a为常数,k≠0, a>0且a≠1), 则f(1)=ka, f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列 {kan}, 其首项为 ,公比为 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}为等比数列,a1=2,a5=8,则a3=±4. ( )
(2)等比数列1,,,,…中,第10项为.( )
(3)若一个常数列是等比数列,则公比为1. ( )
(4)在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则a3等于32.( )
2.解等比数列实际应用问题的关键是什么
◆ 探究点一 等比数列的通项公式及运用
例1 (1)[2025·江苏兴化中学高二月考] 在等比数列{an}中,a1=1,a2a3=8,则= ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
(2)[2025·山东济宁一中高二质检] 一个各项均为正数的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则此数列的公比q= ( )
A. B.
C. D.
变式 设等比数列{an}的公比为q.
(1)若a1=-2,q=-,求{an}的通项公式;
(2)若a1=-5,a4=40,求q并写出{an}的通项公式;
(3)若a1=2,q=,an=,求n.
[素养小结]
等比数列的通项公式an=a1共涉及a1,q,n,an四个量,已知其中三个量可求得第四个量.
◆ 探究点二 等比数列的判定与证明
例2 [2025·安徽蚌埠一中高二月考] 已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,哪些能使数列{an}为等比数列 并说明理由.
(1)数列{f(an)}是首项为2,公比为2的等比数列;
(2)数列{f(an)}是首项为4,公差为2的等差数列;
(3)数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列的前1,2,3,…,n项和构成的数列.
变式 已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an+1=2023Sn,试判断数列{an}是否是等比数列.若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
[素养小结]
等比数列的常用判定与证明方法
定义法 若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列
中项 公式法 若数列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列
通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an=c·qn(c,q均为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列
◆ 探究点三 等比数列的实际应用
例3 某企业年初在一个项目上投资2000万元,据市场调查,每年获得的利润为投资金额的50%,为了企业长远发展,每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造,其余继续投入该项目.设经过n(n∈N*)年后,该项目的资金为an万元.
(1)求a1和a2的值;
(2)求证:数列{an-1000}为等比数列;
(3)若该项目的资金达到翻一番,至少经过几年 (log 3≈0.5,log 2≈0.3)
变式 [2025·江苏新海中学高二月考] 已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂 ( )
A.420只 B.520只
C. 只 D. 只
[素养小结]
求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题,在建立等比数列模型后,运算中往往要运用指数运算等,要注意运算的准确性,对于近似计算问题,答案要符合题设中实际问题的需要.4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的通项公式
1.等比数列1,-,,-,,…的通项公式为an= ( )
A. B.
C.(-1)n D.(-1)n+1
2.[2025·江苏淮阴中学高二期中] 若在1和81之间插入3个数,使这5个数成等比数列,则该等比数列的公比为 ( )
A.3 B.-3
C.±3 D.±9
3.若数列{an}的通项公式为an=2×3-n(n∈N*),则这个数列是一个 ( )
A.以2为首项,3为公比的等比数列
B.以2为首项,为公比的等比数列
C.以为首项,3为公比的等比数列
D.以为首项,为公比的等比数列
4.[2025·天津一中高二期末] 在等比数列{an}中,若a5=4,a7=8,则a11= ( )
A.-32 B.-16
C.16 D.32
5.[2025·江苏南京一中高二月考] 数列{an}满足an+1=an,a1=,若an=,则项数n为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(多选题)[2025·江苏盐城中学高二月考] 设数列{an}为等比数列,则下列数列一定为等比数列的是 ( )
A.{2an} B.{}
C.{} D.{log2|an|}
7.[2025·广东中山中学高二月考] 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:‘我羊食半马.’马主曰:‘我马食半牛.’今欲衰偿之,问各出几何 ”其意思是:现有羊、马、牛三畜,吃了人家田里的禾苗,禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半.”马主人说:“我的马所吃禾苗数是牛吃的一半.”打算按此比率偿还,牛、马、羊主人各应赔偿多少粟 则马主人应赔偿 斗粟.
8.[2025·山东青岛二中高二调研] 在等比数列{an}中,a3,4a6,0构成等差数列,且a7-a8=4,则数列{an}的通项公式为 .
9.(13分)在各项均为负数的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)-是否为该数列中的项 若是,为第几项
10.(13分)若数列{an}满足a1=1,a2=5,对任意的n∈N*,都有an+2=6an+1-9an.
(1)证明:数列{an+1-3an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
11.[2025·江苏淮阴中学高二质检] 数列{an}中,a1=1,Sn=a1+a2+…+an,an+1=2Sn(n∈N*),则 ( )
A.{an}为等差数列 B.{an}为等比数列
C.{Sn}为等差数列 D.{Sn}为等比数列
12.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2-a1=1,则当a3取最小值时,数列{an}的通项公式为( )
A.an= B.an=2n-1
C.an= D.an=2n
13.[2025·江苏扬州中学高二月考] 若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”.已知数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8= .
14.[2025·江苏徐州高二期末] 若将公比q不为1的等比数列a1,a2,a3调整顺序后为等差数列,则q的值为 .
15.(多选题)[2025·江苏锡山中学高二质检] 在数列{an}中,若=k(k为常数),则称{an}为“等差比数列”,下列说法错误的是 ( )
A.k不可能为0
B.“等差比数列”中的项不可能为0
C.等差数列一定是“等差比数列”
D.等比数列一定是“等差比数列”
16.(15分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=.
(1)求证是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)若不等式·λ≥(2n-7)(3n-1)对任意n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
