(共55张PPT)
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的通项公式
第2课时 等比数列的性质与应用
探究点一 等比数列性质的应用
探究点二 构造等比数列
探究点三 等比数列单调性及应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性
质简化运算.
2.掌握简单的与等比数列有关的构造.
3.掌握等比数列单调性的简单应用.
知识点一 等比数列的性质
设为等比数列，公比为 ，则
（1）若，,,,，则 .
（2）若,,成等差数列，则,, 成等比数列.
（3）数列 为不等于零的常数仍是公比为 的等比数列；
数列是公比为 的等比数列；
数列是公比为 的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为 的
等比数列.
（4）在数列中，每隔 项取出一项，按原来的顺序排列，
所得数列仍为等比数列，且公比为 .
（5）在数列中，连续相邻项的和（或积）构成公比为
（或 ）的等比数列.
（6）若数列 是各项都为正数的等比数列，则数列
{且是公差为 的等差数列.
知识点二 等比数列的单调性
设等比数列的公比为 ，由指数函数的性质可知,
当,时,等比数列 是递增数列;
当,时,等比数列 是递增数列;
当,时,等比数列 是递减数列;
当,时,等比数列 是递减数列;
当时,等比数列 是摆动数列;
当时,等比数列 是常数列.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知数列对任意的且，满足 ，
且，，则数列的通项公式为 .( )
×
（2）已知数列是等比数列，，则 .( )
√
（3）已知在等比数列中,,,则数列 为递增
数列.( )
√
（4）已知数列是等比数列，且公比大于0，则“ ”是“数列
是递增数列”的充要条件.( )
×
2.若数列是等比数列，则 一定是等比数列吗？若
,都是等比数列,则 一定是等比数列吗？
解：若为1,,1,, ,则不是等比数列，若 为
,1,,1, ,则,都是等比数列,但为0,0,0,0, ,显
然不是等比数列.故不一定是等比数列， 不一定
是等比数列.
探究点一 等比数列性质的应用
例1（1）［2025·江苏镇江中学高二月考］已知等比数列 的公比
，且，则 ____．
[解析] 由等比数列的性质可知 ，
所以，
公比，， ．
（2）［2025·广东惠州中学高二质检］已知数列 是等差数列，数
列是等比数列，，且，则
_ __.
[解析] 数列是等差数列，且 ，
，可得 ，
则 .
数列是等比数列， ，
又，， ，
， .
变式 记等比数列的前项积为，若，则
( )
A.256 B.81 C.16 D.1
[解析] 因为数列为等比数列，且前项积为 ，所以
，所以 ，
故选C.
√
［素养小结］
等比数列项的性质应用
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若
，则
”，
可以减少运算量，提高解题速度．
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进
行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
探究点二 构造等比数列
例2（1）已知数列满足， ，设
，则 的通项公式为_____________.
[解析] 由得，又 ，所以数列
，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得 ，
所以 .
（2）［2025·湖南湘潭一中高二月考］已知数列 满足
,，则 的通项公式为____________.
[解析] 由得，而 ，
故是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，即
.
（3）已知数列满足，，则数列 的通
项公式为_____________.
[解析] 由两边同除以得 ，令
，则，
设，解得 ，
则，而， 数列是以 为
首项，为公比的等比数列，，得 .
（4）［2025·江苏靖江中学高二质检］已知数列 满足
，且，，则数列 的通项
公式为_____________.
[解析] 因为 ，所以
，
又因为 ，所以数列是以为首项， 为公比的等
比数列，所以 .
,所以数列 为常数列，
故，
可得，所以 .
变式 数列满足，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
，所以 ，
又，所以数列是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以 .故选A.
√
［素养小结］
构造等比数列的类型及方法：
1.在条件中出现形如
的关系式时，往
往构造数列，方法是把
与
对照，
求出
即可.
2.在条件中出现形如
的关系式时，若
为一次函数类型（即等差数列），设
，通过待定系数法确
定
，
的值，转化成以
为首项的等比数列
，
再利用等比数列的通项公式求出
的通项公式，整理可
得
.
3.在条件中出现形如（其中，均为常数，, 不为
0且不为1）或（其中，，均为常数，,， 不
为0且不为1）的关系式时，要先在原递推公式两边同时除以 ，
得，引入辅助数列 ，得
，再应用类型1中方法解决．
探究点三 等比数列单调性及应用
例3（1）已知数列满足，，则数列 是
( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定单调性
[解析] 因为满足，所以数列是公比为 的等比数
列，所以，又因为，所以 是递增数列，故
选A.
√
（2）［2025·江苏盐城中学高二月考］已知 是递增的等比数列，
且，则其公比 满足( )
A. B. C. D.
[解析] 是等比数列，则，当时， 正数项、
负数项间隔出现,不满足为递增数列,故,显然 ，
由得，又是递增的等比数列，故 为递减
数列,由指数函数的单调性知 .故选D.
√
变式 在等比数列中，“”是“数列 递增”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 设的公比为，当时， ，若
，则，即，此时数列 是递增数列；
若，则，即，此时数列 也是递增数列.
反之，当数列是递增数列时，显然 .
故“”是“等比数列 递增”的充要条件．故选C.
√
［素养小结］
公比为
的等比数列
的单调性
当
或
时，
为递增数列；当
或
时，
为递减数列．
等差数列与等比数列的区分与联系
（1）如果数列是等差数列，那么数列总有意义 必成
等比数列．
（2）如果数列是等比数列，且 ，那么数列{
,且 必成等差数列．
（3）如果数列既是等差数列又是等比数列，那么数列 是非
零常数列．“数列 是常数列”仅是“数列既成等差数列又成等比数
列”的必要且不充分条件．
（4）如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，
那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，
探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
例 若各项均为正数的数列是公比为的等比数列，则
是( )
A.公比为 的等比数列 B.公比为3的等比数列
C.公差为 的等差数列 D.公差为3的等差数列
[解析] 因为各项均为正数的数列是公比为 的等比数列，所以
，且,
因为当 时,
，为常数，
所以 是公差为3的等差数列，故选D.
√
练习册
1.已知等比数列中，，，则 等于( )
A. B. C.6 D.不确定
[解析] 因为,所以,
因为 ,所以为的公比,所以 ,故选B.
√
2.已知等比数列为递增数列，若， ，则公
比 ( )
A. B.6 C. D.
[解析] 由,，
解得 或
数列是递增数列， .故选D.
√
3.［2025·江苏宿迁中学高二月考］已知等差数列 的公差不为0，
若，， 成等比数列，则这个等比数列的公比是( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 设等差数列的公差为，因为，， 成等比数列，所
以,所以，即 ,
又因为公差，所以，所以, ，则这个等
比数列的公比是 .故选B.
√
4.［2025·湖南湘潭一中高二质检］已知数列 是等比数列，满足
，，则
( )
A.55 B.45 C.16 D.32
√
[解析] 设等比数列的公比为 ，则
解得
所以 ，因此
.故选B.
5.［2025·江苏泰州中学高二调研］设是公比为 的等比数列，则
“”是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 若且，则，所以 ，
则，所以充分性不成立；
另一方面，取 ，则，但 ，
所以必要性不成立.
因此“”是“ ”的既不充分又不必要条件.故选D.
√
6.（多选题）［2025·浙江诸暨中学高二月考］ 已知等比数列 ，
则下面式子对任意正整数 都成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设的公比为.
对于A，当时， ，则不一定成立；
对于B， 一定成立；
对于C， 不一定成立；
对于D，一定成立.
故选 .
√
√
7.已知等比数列中，，，则 ___.
5
[解析] 是等比数列，， ．
8.在等比数列中，若,，则 ___.
4
[解析] 设等比数列的公比为，由题意可得
可得，所以 .
9.（13分）在等比数列中，，公比 ，且
，与的等比中项为2，求数列 的
通项公式.
解: 为等比数列，
, ,
由题意得 ,
即, ,
又,, .
与的等比中项为2, ,
,或， ，
又,,,,即 ,
.
10.［2025·安徽亳州一中高二调研］两个公比均不为1的等比数列
，，其前项的乘积分别为，.若，则 ( )
A.512 B.32 C.8 D.2
[解析] 因为， ，
所以 .故选A.
√
11.［2025·江苏泰州中学高二月考］在等比数列中， 且
，则使得的正整数 的最大值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
[解析] 设的公比为,因为，即 ，所以
，则.
因为，所以 各项均为正数且为递减数列,则 .
因为 ，所以
，所以.又因为为正整数，故 .故选C.
√
12.（多选题）［2025·江苏常州中学高二质检］ 已知等比数列
的各项均为正数，公比为，且， ，记
的前项的乘积为 ，则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] ， ，
, 若,则,不符合不等式故 ，，
等比数列 的各项均为正数，
， ，
则， ，
故A，C中结论正确，B，D中结论错误．
故选 .
13.［2025·江苏盐城中学高二检测］在等比数列 中，若
，，则 ____.
[解析] ， ，
.
14.（15分）已知各项均为正数的数列是等比数列，,,
成等差数列， .
（1）求 的通项公式；
解:设数列的公比为，则 ，因为 ，
所以 ，解得或 （舍）.
因为,, 成等差数列，
所以 ，
即 ，
所以，故 .
（2）若恒成立，求实数 的取值范围.
解:不等式可化为，设 ，则
，
所以 为递减数列，
故当时，最大，且最大值为 ，
又不等式恒成立，所以 ,
故实数 的取值范围为 .
15.（多选题）已知等比数列满足，公比 ，且
， ，则( )
A.
B.当时， 最小
C.当时， 最小
D.存在，使得
√
√
[解析] 设的公比为.对A，，， ，又
，， ，
故A正确；
对B，C，由等比数列的性质得
，则， ，
， ,
，
, ,,,即,，
故当 时， 最小，故B错误，C正确；
对D，由题意得 是递增数列，
则,当时， ，
，故D错误.
故选 .
16.（15分）［2025·山东济宁一中高二质检］ 已知等比数列 满
足， ．
（1）求数列 的通项公式；
解:设的公比为，则 ，
若，则 ；
若，则，即 .
所以的公比的可能取值为， ,4，
所以的通项公式为或或 .
（2）若不是递增数列，，求 的最小值．
解:若不是递增数列，则或 .
当时， ，
①当为偶数时， ；
②当为奇数时， .
所以的最小值为 .
当时， .
①当为偶数时，，且随 的增大而增大，
所以 ；
②当为奇数时， ．
所以的最小值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.解：若
为1,
,1,
,
,则
不是等比数列，若
为
,1,
,1,
,则
,
都是等比数列,但
为0,0,0,0,
,显然不是等比数列.故
不一定是等比数列，
不一定是等比数列.
课中探究 例1 （1）
（2）
变式 C
例2 （1）
（2）
（3）
（4）
变式 A
例3 （1）A （2）D 变式 C
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.BD 7.5 8.4
9.
10.A 11.C 12.BD 13.
14.（1）
（2）
15.AC
16.（1）
或
或
（2）>第2课时 等比数列的性质与应用
【课前预习】
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.解:若{an}为1,-1,1,-1,…,则 {an+an+1}不是等比数列,若{bn}为-1,1,-1,1,…,则{an},{bn}都是等比数列,但{an+bn}为0,0,0,0,…,显然不是等比数列.故{an+an+1}不一定是等比数列,{an+bn}不一定是等比数列.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)220 (2) [解析] (1)由等比数列的性质可知a1·a30=a2·a29=…=a15·a16,所以a1·a2·a3·…·a30=(a15·a16)15=230,∴a15·a16=4.∵公比q=2,a3·a30=a6·a27=…=a15·a18,∴a3·a6·a9·…·a30=(a15·a18)5=(a16·a17)5=(2a15×2a16)5=165=220.
(2)∵数列{an}是等差数列,且a7+a9=, ∴a3+a13=2a8=a7+a9=,可得a8=,则a3+a8+a13=3a8=2π.∵数列{bn}是等比数列,∴b2b10=,又b2b6b10=8,∴b2b6b10==8,∴b6=2,∴b4b8-1=-1=4-1=3,∴=.
变式 C [解析] 因为数列{an}为等比数列,且前n项积为∏n,所以a4·a5=a3·a6=a2·a7=a1·a8=2,所以∏8=a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8=(a4·a5)·(a3·a6)·(a2·a7)·(a1·a8)=24=16,故选C.
探究点二
例2 (1)an=n·2n-1 (2)an=2n-1 (3) an=3n-2n (4)an=- [解析] (1)由nan+1=2(n+1)an得=2·,又=1,所以数列,即数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,可得=2n-1,所以an=n·2n-1.
(2)由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),而a1+1=2,故{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,即an=2n-1.
(3)由an+1=2an+3n两边同除以3n+1得=·+,令bn=,则bn+1=bn+,设bn+1+λ=(bn+λ),解得λ=-1,则bn+1-1=(bn-1),而b1-1=-,∴数列{bn-1}是以-为首项,为公比的等比数列,∴bn-1=-,得an=3n-2n.
(4)因为an+1=an-an-1(n≥2),所以an+1-an=(an-an-1)(n≥2),又因为a2-a1=,所以数列{an+1-an}是以为首项,为公比的等比数列,所以an+1-an=×=①.因为an+1-an=an-an-1(n≥2),所以数列为常数列,故an+1-an=a2-a1=1-=②,②-①可得an=-,所以an=-.
变式 A [解析] 因为an=3an-1+1(n≥2),所以an+=3an-1+1+(n≥2),所以an+=3(n≥2),又a1+=,所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,所以an+=×3n-1=,所以an=.故选A.
探究点三
例3 (1)A (2)D [解析] (1)因为{an}满足an+1=an,所以数列{an}是公比为的等比数列,所以an=a1·,又因为a1<0,所以{an}是递增数列,故选A.
(2){an}是等比数列,则an=a1qn-1,当q<0时, {an}正数项、负数项间隔出现,不满足{an}为递增数列,故q>0,显然q≠1,由a2=a1q<0得a1<0,又{an}是递增的等比数列,故{qn-1}为递减数列,由指数函数的单调性知0
变式 C [解析] 设{an}的公比为q,当a10,则11,此时数列{an}是递增数列;若a1<0,则1>q>q2,即01.B [解析] 因为a3a7==36,所以a5=±6,因为a1<0,所以a5=a1q4<0(q为{an}的公比),所以a5=-6,故选B.
2.D [解析] 由a4+a5=5,a3·a6=a4·a5=6,解得或∵数列{an}是递增数列,∴∴q=.故选D.
3.B [解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a1,a3,a6成等比数列,所以=a1·a6,所以(a1+2d)2=a1·(a1+5d),即d(a1-4d)=0,又因为公差d≠0,所以a1=4d,所以a3=6d,a6=9d,则这个等比数列的公比是.故选B.
4.B [解析] 设等比数列{an}的公比为q,则解得
所以a10=1×29=29,因此log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a1a10)5=log2(29)5=45.故选B.
5.D [解析] 若q>1且a1<0,则an=a1qn-1<0,所以=q>1,则a2024>a2025,所以充分性不成立;另一方面,取an=(-2)n+1,则a2024<01”是“a20246.BD [解析] 设{an}的公比为q.对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,则ak·ak+1>0不一定成立;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0一定成立;对于C,ak·ak+1·ak+2=>0不一定成立;对于D,ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立.故选BD.
7.5 [解析] ∵{an}是等比数列,∴a3a13=a6a10=20,∴a10==5.
8.4 [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意可得可得q4=4,所以==q4=4.
9.解:∵{an}为等比数列,
∴a1a5=,a2a8=,
∴由题意得+2a3a5+=25,
即(a3+a5)2=25,∴a3+a5=±5,
又an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.
∵a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4,
∴a3=1,a5=4或a3=4,a5=1,
又q∈(0,1),∴a3=4,a5=1,q2=,即q=,∴an=a3qn-3=4==25-n.
10.A [解析] 因为a9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,所以==29=512.故选A.
11.C [解析] 设{an}的公比为q,因为=a9,即a9a5=a9>0,所以a5=1,则a1=q-4.因为a8>a9>0,所以{an}各项均为正数且为递减数列,则00,所以qn-9>1=q0,所以n<9.又因为n为正整数,故nmax=8.故选C.
12.BD [解析] ∵a5+a6>a5a6+1,∴(a5-1)(a6-1)<0(*),∵a1>1,∴若a5<1,则a6<1,不符合不等式(*),故a5>1,a6<1,∵等比数列{an}的各项均为正数,∴02,∴a5a6>1,则T10=a1a2a3…a10=(a5a6)5>1,T11=<1,故A,C中结论正确,B,D中结论错误.故选BD.
13.- [解析] ∵a7+a8+a9+a10=,a8a9=a7a10=-,
∴+++=
=
=
==-.
14.解:(1)设数列{an}的公比为q,则q>0,
因为a3=a2+6a1,
所以q2=q+6,
解得q=3或q=-2(舍).
因为a1,a2+6,a3成等差数列,
所以2(a2+6)=a1+a3,
即2(3a1+6)=a1+9a1,
所以a1=3,故an=3n.
(2)不等式λan≥4n+5可化为λ≥,设bn=,则bn+1-bn=-=<0,
所以{bn}为递减数列,
故当n=1时,bn最大,且最大值为b1=3,
又不等式λ≥恒成立,所以λ≥3,
故实数λ的取值范围为[3,+∞).
15.AC [解析] 设{an}的公比为q.对A,∵a1>0,q>1,∴an>0,又01,∴a2024>>1,故A正确;对B,C,由等比数列的性质得a1a2023=a2a2022=…=a1012a1012=,则a1a2…a2023=<1,∵a1012<1,∵a2a2024=a3a2023=…=a1013a1013=,a1a2…a2024>1,∴a2a3a4…a2024=>,∵a1a2…a2023<1,a1>0,q>1,∴01,∴a1013>1,故当n=1012时,a1a2…an最小,故B错误,C正确;对D,由题意得{an}是递增数列,则an16.解:(1)设{an}的公比为q,则4q2+4q3=q2(4+4q)=16(4+4q),
若4+4q=0,则q=-1;
若4+4q≠0,则q2=16,即q=±4.
所以{an}的公比的可能取值为-1,-4,4,
所以{an}的通项公式为an=(-1)n-1·4或an=(-1)n-1·4n或an=4n.
(2)若{an}不是递增数列,则an=(-1)n-1·4或an=(-1)n-1·4n.
(i)当an=(-1)n-1·4时,bn==2+=2+,
①当n为偶数时,bn=2-=;
②当n为奇数时,bn=2+=.
所以bn的最小值为.
(ii)当an=(-1)n-1·4n时,bn==2+=2+.
①当n为偶数时,bn=2-<2,且bn随n的增大而增大,
所以(bn)min=b2=;
②当n为奇数时,bn=2+>2>.
所以bn的最小值为.第2课时 等比数列的性质与应用
【学习目标】
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.
2.掌握简单的与等比数列有关的构造.
3.掌握等比数列单调性的简单应用.
◆ 知识点一 等比数列的性质
设{an}为等比数列,公比为q(q≠0),则
(1)若m+n=p+s,m,n,p,s∈N*,则aman=apas.
(2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.
(3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
数列{|an|}是公比为|q|的等比数列;
若数列{bn}是公比为q'的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(5)在数列{an}中,连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.
(6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列,则数列{logcan}(c>0且c≠1)是公差为logcq的等差数列.
◆ 知识点二 等比数列的单调性
设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由指数函数的性质可知,
当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递增数列;
当a1<0,0当a1>0,0当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递减数列;
当q<0时,等比数列{an}是摆动数列;
当q=1时,等比数列{an}是常数列.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*,满足=an-1an+1,且a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式为an=2n . ( )
(2)已知数列{an}是等比数列,a2a8a11=8,则a7=2. ( )
(3)已知在等比数列{an}中,a1>0,8a2-a5=0,则数列{an}为递增数列. ( )
(4)已知数列{an}是等比数列,且公比q大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的充要条件.( )
2.若数列{an}是等比数列,则{an+an+1}一定是等比数列吗 若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}一定是等比数列吗
◆ 探究点一 等比数列性质的应用
例1 (1)[2025·江苏镇江中学高二月考] 已知等比数列{an}的公比q=2,且a1a2a3…a30=230,则a3a6a9…a30= .
(2)[2025·广东惠州中学高二质检] 已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,a7+a9=,且b2b6b10=8,则= .
变式 记等比数列{an}的前n项积为∏n,若a4·a5=2,则∏8= ( )
A.256 B.81 C.16 D.1
[素养小结]
等比数列项的性质应用
1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+s(m,n,p,s∈N*),则am·an=ap·as”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
◆ 探究点二 构造等比数列
例2 (1)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=,则{an}的通项公式为 .
(2)[2025·湖南湘潭一中高二月考] 已知数列{an}满足an+1=2an+1,a1=1,则{an}的通项公式为 .
(3)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式为 .
(4)[2025·江苏靖江中学高二质检] 已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),且a1=,a2=1,则数列{an}的通项公式为 .
变式 数列{an}满足a1=1,an=3an-1+1(n≥2),则an= ( )
A.- B.+
C.- D.+
[素养小结]
构造等比数列的类型及方法:
1.在条件中出现形如an+1=kan+b(kb(k-1)≠0)的关系式时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.
2.在条件中出现形如an+1=pan+f(n)(p≠1)的关系式时,若f(n)为一次函数类型(即等差数列),设an+An+B=p[an-1+A(n-1)+B](n≥2),通过待定系数法确定A,B的值,转化成以a1+A+B为首项的等比数列{an+An+B},再利用等比数列的通项公式求出{an+An+B}的通项公式,整理可得an.
3.在条件中出现形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,p,q不为0且不为1)或an+1=pan+rqn(其中p,q,r均为常数,p,q,r不为0且不为1)的关系式时,要先在原递推公式两边同时除以qn+1,得=·+,引入辅助数列{bn},得bn+1=bn+,再应用类型1中方法解决.
◆ 探究点三 等比数列单调性及应用
例3 (1)已知数列{an}满足a1<0,an+1=an,则数列{an}是 ( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定单调性
(2)[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知{an}是递增的等比数列,且a2<0,则其公比q满足 ( )
A.q<-1 B.-1C.q>1 D.0变式 在等比数列{an}中,“a1A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
[素养小结]
公比为q的等比数列{an}的单调性
当或时,{an}为递增数列;当或时,{an}为递减数列.第2课时 等比数列的性质与应用
1.已知等比数列{an}中,a1<0,a3a7=36,则a5等于 ( )
A.±6 B.-6
C.6 D.不确定
2.已知等比数列{an}为递增数列,若a3·a6=6,a4+a5=5,则公比q= ( )
A. B.6
C. D.
3.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知等差数列{an}的公差不为0,若a1,a3,a6成等比数列,则这个等比数列的公比是 ( )
A. B.
C.2 D.4
4.[2025·湖南湘潭一中高二质检] 已知数列{an}是等比数列,满足a2+a4=10,a3+a5=20,则log2a1+log2a2+…+log2a10= ( )
A.55 B.45
C.16 D.32
5.[2025·江苏泰州中学高二调研] 设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“a2024A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.(多选题)[2025·浙江诸暨中学高二月考] 已知等比数列{an},则下面式子对任意正整数k都成立的是 ( )
A.ak·ak+1>0
B.ak·ak+2>0
C.ak·ak+1·ak+2>0
D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0
7.已知等比数列{an}中,a3·a13=20,a6=4,则a10= .
8.在等比数列{an}中,若a3=2,a4a6=16,则= .
9.(13分)在等比数列{an}中,an>0 (n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2,求数列{an}的通项公式.
10.[2025·安徽亳州一中高二调研] 两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn.若=2,则= ( )
A.512 B.32
C.8 D.2
11.[2025·江苏泰州中学高二月考] 在等比数列{an}中,=a9且a8>a9,则使得an->0的正整数n的最大值为 ( )
A.10 B.9
C.8 D.7
12.(多选题)[2025·江苏常州中学高二质检] 已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a5+a6>a5a6+1>2,记{an}的前n项的乘积为Tn,则下列结论中错误的是 ( )
A.01
C.T10>1 D.T11>1
13.[2025·江苏盐城中学高二检测] 在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++= .
14.(15分)已知各项均为正数的数列{an}是等比数列,a1,a2+6,a3成等差数列,a3=a2+6a1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若λan≥4n+5恒成立,求实数λ的取值范围.
15.(多选题)已知等比数列{an}满足a1>0,公比q>1,且a1a2…a2023<1,a1a2…a2024>1,则( )
A.a2024>1
B.当n=2022时,a1a2…an最小
C.当n=1012时,a1a2…an最小
D.存在n<1012,使得anan+1=an+2
16.(15分)[2025·山东济宁一中高二质检] 已知等比数列{an}满足a1=4,a3+a4=16(a1+a2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若{an}不是递增数列,bn=,求bn的最小值.