(共63张PPT)
4.3 等比数列
4.3.3 等比数列的前 项和
第1课时 等比数列的前 项和
探究点一 等比数列的前项和公式的基本
运算
探究点二 分组求和法
探究点三 错位相减法求和
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能推导等比数列的前 项和公式.
2.能说明等比数列前项和公式的特征,能灵活运用前 项和公式解决
一些简单问题.
知识点一 等比数列的前 项和公式
设等比数列的公比为,其前项和为,则当时,
_____;当时, _ _______________.
知识点二 等比数列的前 项和公式的函数特征
（1）当时，是关于的正比例函数，点 是直线
上的一群孤立的点.
（2）当时，.记 ，则
是一个指数式与一个常数的和.当且 时，
是指数函数，此时，点是指数型函数 图
象上的一群孤立的点.
知识点三 错位相减法
已知，，则形如 的数
列求和可用错位相减法，其基本解题步骤如下：
第一步：由题可得 .
第二步：写出前项和的表达式 ，等式两边
同乘公比， .
第三步：由得 .
第四步：化简③可得 .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）求等比数列的前项和时,可直接套用公式 .
( )
×
（2）若首项为的数列既是等比数列又是等差数列,则其前 项和
.( )
√
（3）等比数列的前项和 不可能为0.( )
×
（4）若,则 .( )
×
2.当，时，是 为等比数列的充
要条件，此时 ，你能证明这个结论吗？
证明：一方面，若为等比数列，且公比 ,则
,令,得 .
另一方面，若，且 ,则
,当时， ,
易知当时，也成立，所以数列 的通项公式为
,所以对任意 ,都有
,所以是公比为 的等比数列.
探究点一 等比数列的前 项和公式的基本运算
例1 设等比数列的公比为,前项和为 .
（1）若,,求 ;
解： .
（2）若,,且,求和 ;
解：因为为等比数列且,,所以,即,
又，所以 ,
所以 .
（3）若,,求与 ;
解：由题意知解得或 所以
,或, .
（4）若,,,求和 .
解：易知,所以由题知解得
例1 设等比数列的公比为,前项和为 .
变式 ［2025·江苏金陵中学高二月考］ 已知数列 是等比数列，
,，则该数列的前10项和以及 依次为
( )
A.682， B.，
C.682，或 D.，或
√
[解析] 根据题意得解方程得
或则 ，或
.故选C.
［素养小结］
在等比数列
的五个量
,
,
,
,
中,
与
是最基本的,当条件与
结论间的联系不明显时,均可以用
与
表示
与
,从而列方程组求
解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思
想与整体思想在数列中的具体应用.
探究点二 分组求和法
例2 ［2025·江苏泰州高二期末］设为数列的前 项和，
．
（1）求数列 的通项公式；
解：因为 ，
所以当时， ，即
;
当时，，可得 .
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则 .
（2）记，求数列的前项和 ．
解：由（1）知 ,
则 .
例2 ［2025·江苏泰州高二期末］设为数列的前 项和，
．
变式（1）［2025·浙江金华十校高二期末］已知数列 满足
,且则该数列前20项和
______.
1078
[解析] 因为，所以数列 的
所有奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，数列 的所有
偶数项构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以
.
（2）公差不为零的等差数列的前4项和为28，且，， 成
等比数列．
①求数列 的通项公式；
解：因为公差不为零的等差数列的前4项和为28，且,, 成
等比数列，
所以,,即,则 ,
与联立得， ,
则 .
②设，求数列的前项和 ．
解： ,
可得数列的前 项和
.
（2）公差不为零的等差数列的前4项和为28，且，， 成
等比数列．
［素养小结］
分组求和法适用的题型
若
,其中数列
与
一个是等差数列，另一个是等比数
列，求数列
的前
项和时，可将
，
分别求和，再相加即可.
探究点三 错位相减法求和
例3 ［2025·山东莱芜一中高二月考］已知等差数列 满足
，，公比不为的等比数列满足 ，
.
（1）求与 的通项公式；
解:由题意可设等差数列的公差、等比数列的公比分别为, ，
所以 和
注意到,，所以分别解得和
所以与的通项公式分别为 ,
, .
（2）设，求的前项和 .
解:由（1）可知,, ，
所以, ，
则 ，
所以 ，
以上两式作差得
.
变式 ［2025·湖南株洲一中高二月考］ 已知等比数列 是递增数
列，，,数列满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
解:设等比数列的公比为，因为， ，所
以，，解得, 或
, ，
又数列 是递增数列，所以, ，
所以数列的通项公式为，数列 的通项公式为
.
（2）求数列的前项和 ．
解:由（1）知，所以 ，
则 ，两式相减得
，所以 .
变式 ［2025·湖南株洲一中高二月考］ 已知等比数列 是递增数
列，，,数列满足 ．
［素养小结］
一般地，如果数列
是等差数列，
是等比数列且公比
，
求数列
的前
项和时，可采用错位相减法．
1.等比数列的前 项和公式的推导方法
方法一（错位相减法） .
在①式两边同乘，得 .
由，得 ，
所以当时， .
根据等比数列的通项公式 ，又可得到
.
显然，当时， .
方法二（定义法）：由等比数列的定义，得
.根据比例的性质，得
，
故.当时， .因
为满足上式，所以，显然当时， .
方法三（方程法）：由 ，
得 .所得结论同上.
方法四（累加法）
，
整理得 .所得结论同上.
2.错位相减法万能公式
通项公式为且的数列的前 项和
,其中,, ,证明如下:
,
,
得 ,
故 .
3.正确应用等比数列的前 项和公式
（1）若已知,,,则可用公式求和;若已知 ,
,,则可用公式 求和.
（2）在应用公式或 求和时,应注意公式的使
用条件为,当时应按常数列求和,即 .在解含参数的
等比数列求和问题时,应分别讨论与 两种情况.
4.无穷递缩等比数列的各项和公式
设无穷等比数列的公比为且 ,则其各项的和
且 .
1.基本量法:利用等比数列的通项公式和前 项和公式结合方程（组）
求等比数列的基本量.
例1（1）已知在等比数列中,,,求前4项和 ;
解：设公比为,由, ,
得,所以,所以 .
（2）已知在等比数列中,公比,前5项和,求, .
解：由,得,所以 .
例2 已知等比数列的前项和,,公比,求 和
的值.
解：在等比数列中,,公比 ,
,
则 ,
解得 ,
则 .
2.等比数列前项和公式的函数特征:若 是公比不等于1的等比数
列,则其前项和一定具有 的形式.
例3（1）已知等比数列的前项和为,若 ,则
( )
A.3 B. C.6 D.
[解析] 当 时,
,可得
,当时, ,
因为数列 为等比数列,所以,解得 .故选D.
√
（2）已知等比数列满足,其前 项和
,则( )
A.数列的公比为
B.数列 为递减数列
C.
D.当取最小值时,
√
[解析] ,当时, ,两式相减得
,即,当 时,
,所以.由是等比数列知公比为 ,所
以,则,所以 ,故A,C选项错误;
又,,所以公比为,所以数列 为递增数
列,故B选项错误;
,当且仅当 ,即时取等号,
此时公比为,所以数列 的通项公式为 ,
故D选项正确.
故选D.
练习册
1.已知数列是公比为正数的等比数列，是其前 项和，
，，则 ( )
A.15 B.31 C.63 D.7
[解析] 设等比数列的公比为，由， ，
，得，可得，所以 ，所以
，故选A.
√
2.［2025·江苏苏州中学高二月考］等比数列 的前4项和为30，
，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 设等比数列的公比为，若，则 ，与已
知条件矛盾，所以，则
解得所以 ．故选A.
√
3.已知等比数列的前项和，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得 ；
，则 ；
，则.
因为 ，所以，解得 .故选A.
√
4.［2025·湖北荆州中学高二质检］等比数列 的各项均为正数，
其前项和为，已知，，则 ( )
A. B.32 C.64 D.
[解析] 设等比数列的公比为，由题意知，因为 ，
，所以,，解得, ，
所以 .故选B.
√
5.［2025·江苏盐城中学高二调研］已知各项都为正数的等比数列
的前项和为，若，，则 ( )
A.5858 B.5948 C.6138 D.6658
[解析] 由题意得 ，
，所以 ，
，
因为 是各项都为正数的等比数列，所以 ，则
,故选C.
√
6.（多选题）设等比数列的前项和为,若 ,则下列
式子的值为定值的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得,, ,.
对于A, ;
对于B,;
对于C, ;
对于D,，与有关,不是定值.故选 .
√
√
√
7.已知数列的前项和为且，则
_____________________.
[解析] 因为 ，所以
①，
,，得,所以 .
8.前5项的和为31，且递减的等比数列的一个通项公式为
____________________．
（答案不唯一）
[解析] 不妨设，因为数列 是递减的等比数列，所以
，
取，所以 ，满足题意，
所以 （答案不唯一）.
9.（13分）［2025·江苏镇江中学高二检测］ 已知 是各项均为正
数的等比数列，， ．
（1）求 的通项公式；
解：因为是各项均为正数的等比数列，， ,
所以，,可得,所以 的通项公式为
.
（2）求数列的前项和 ．
解：数列的前项和 .
10.（13分）［2025·江苏宿迁中学高二月考］ 已知数列的前 项
和为，，点在直线 上.
（1）当实数为何值时，数列 是等比数列？
解：因为点在直线 上，
所以 ，
当时， ，
则，所以 ，
所以 .
对于式，当时，，所以 ，
所以当时，，此时数列 是等比数列.
（2）在（1）的结论下，设，， 是数列
的前项和，求 .
解：由（1）可得，则 ，
所以， ，
那么 .
10.（13分）［2025·江苏宿迁中学高二月考］ 已知数列的前 项
和为，，点在直线 上.
11.［2025·山东师大附中高二质检］已知数列 满足
，若数列的前5项和为31，则 的值为
( )
A.8 B.16 C.31 D.32
[解析] 令，则，所以，解得 .故选B.
√
12.［2025·江苏金陵中学高二质检］记为等比数列的前 项和，
已知,，则数列 ( )
A.无最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，无最小项 D.有最大项，有最小项
√
[解析] 设的公比为，则，所以 ，所以
.
当 为偶数时，，对应函数为减函数，
则 ；
当为奇数时， ，对应函数为增函数，
则.所以有最大项，最小项 ．故选D.
13.（多选题）［2025·安徽安庆一中高二质检］ 已知首项为1的数列
的前项和为， ，则下列说法正确的是
( )
A.数列是等比数列 B.数列 是递增数列
C. D.
√
√
√
[解析] 首项为1的数列的前项和为， ，
， ，
， ，
,又, ，，
数列 是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；
， 数列 为递增数列，故B正确；
，故C正确；
，
， ，故D错误．
故选 .
14.已知数列满足 ，记数列
的前项和为，则 _ ________________.
[解析] 因为，所以 ，当
时，有，
由 得，得，
因为 满足上式，所以.
.
15.［2025·江苏泰州中学高二调研］设无穷等比数列的前 项和
为，若 ，则( )
A.为递减数列 B. 为递增数列
C.数列有最大项 D.数列 有最小项
[解析] 设等比数列的公比为，由题意知，则 ，
由可得且 .
对于A，B选项，，若，则当为奇数时，
，此时，则；
√
，此时，
则 .所以当时数列 不单调，A，B错误.
对于C，D选项，，当时，为递增数列，
则 有最小项，无最大项.
当时，若为正奇数，则 ，则，
此时为递减数列，则；
若 为正偶数，则，则，此时 为递增数列，
则.
故当时， 的最大项为，最小项为.
综上所述， 有最小项，C错误，D正确.
故选D.
16.（15分）已知数列和满足， ，
.
（1）求证：数列 是等比数列；
证明：由，，，得 ，
整理得 ，
又 ，
所以数列是以为首项， 为公比的等比数列.
（2）求数列的前项和 .
解:由（1）知，所以 ，
所以， .
设，则 ，
两式相减得 ，
从而 ，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
【诊断分析】1.（1）× （2）√ （3）× （4）× 2.略
课中探究 例1 （1） （2）
（3）
,
或
,
（4） 变式 C
例2 （1）
（2）m>
变式 （1）1078 （2）①
②
例3 （1）, ,（2）
变式 （1）（2）
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.ABC 7. 8.（答案不唯一）
9.（1）（2）
10.（1）（2）
11.B 12.D 13.ABC 14. 15.D
16.（1）略（2）4.3.3 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
【课前预习】
知识点一
na1 =
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.证明:一方面,若{an}为等比数列,且公比q≠1,则Sn==-·qn,令k=,得Sn=k-k·qn.
另一方面,若Sn=k-k·qn,且k=,则Sn=-·qn=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=[1-qn-(1-qn-1)]=(qn-1-qn)=a1qn-1,易知当n=1时,an=a1qn-1也成立,所以数列{an}的通项公式为an=a1qn-1,所以对任意n∈N*,都有==q(q≠0,q≠1),所以{an}是公比为q的等比数列.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)S10===×=.
(2)因为{an}为等比数列且a1=1,a5=16,所以a5=a1q4,即16=q4,
又q>0,所以q=2,
所以S7===127.
(3)由题意知解得或所以an=3n-1,Sn=×3n-或an=16×,Sn=.
(4)易知q≠1,所以由题知解得
变式 C [解析] 根据题意得解方程得
或则S10===682,或S10==682.故选C.
探究点二
例2 解:(1)因为Sn+2=2an,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2-2an-1+2,即an=2an-1;
当n=1时,S1+2=2a1,可得a1=2.
所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,则an=2n.
(2)由(1)知bn=an+log2an=2n+n,
则Tn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=+=2n+1+-2.
变式 (1)1078 [解析] 因为a1=a2=1,an+2=所以数列{an}的所有奇数项构成以1为首项,2为公比的等比数列,数列{an}的所有偶数项构成以1为首项,1为公差的等差数列,所以S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=+10+×1=1078.
(2)解:①因为公差d不为零的等差数列{an}的前4项和为28,且a1,a2,a7成等比数列,
所以4a1+6d=28,=a1a7,即(a1+d)2=a1(a1+6d),则d=4a1,
与4a1+6d=28联立得a1=1,d=4,
则an=1+4(n-1)=4n-3.
②bn=an+(-2)n=(4n-3)+(-2)n,
可得数列{bn}的前n项和Tn=n(1+4n-3)+=2n2-n-[1-(-2)n].
探究点三
例3 解:(1)由题意可设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d,q,
所以
和
注意到b1≠0,q≠-1,所以分别解得和
所以{an}与{bn}的通项公式分别为an=1+3(n-1)=3n-2,bn=1×2n-1=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)可知an=3n-2,bn=2n-1,n∈N*,
所以cn=anbn=(3n-2)·2n-1,n∈N*,
则Sn=1×20+4×21+…+(3n-5)×2n-2+(3n-2)×2n-1,
所以2Sn=1×21+4×22+…+(3n-5)×2n-1+(3n-2)×2n,
以上两式作差得Sn=-1-3×(21+22+…+2n-1)+(3n-2)2n =-1-3×+(3n-2)2n=-1+6-3×2n+(3n-2)2n=5+(3n-5)2n.
变式 解:(1)设等比数列{an}的公比为q,因为a2a5=32,a3+a4=12,所以(a1q)·(a1q4)=32,a1q2+a1q3=12,解得a1=1,q=2或a1=32,q=,
又数列{an}是递增数列,
所以a1=1,q=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=.
(2)由(1)知nbn=,所以Sn=+++…++,
则Sn=+++…++,两式相减得Sn=1+++…+-=-,所以Sn=4-.4.3.3 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
1.A [解析] 设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a2=2,a4=8,a4=a2q2,得8=2q2,可得q=2,所以a1==1,所以S4===15,故选A.
2.A [解析] 设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则a1-a5=0,与已知条件矛盾,所以q≠1,则
解得所以a7=a1q6=.故选A.
3.A [解析] 由题意可得S1=31-1-c=1-c=a1;S2=32-1-c=3-c=a1+a2,则a2=2;S3=33-1-c=9-c=a3+S2,则a3=6.因为=a1·a3,所以4=6(1-c),解得c=.故选A.
4.B [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠1,因为S3=,S6=,所以S3==,S6==,解得a1=,q=2,所以a8=a1·q7=×27=32.故选B.
5.C [解析] 由题意得S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=6,a7+a8+a9=a1q6(1+q+q2)=24,所以a1=,q6===4,因为{an}是各项都为正数的等比数列,所以q3=2,则S30==×===6138,故选C.
6.ABC [解析] 由8a2+a5=0得8a2+a2q3=0,∵a2≠0,∴q3=-8,∴q=-2.对于A,=q2=4(n≥2);对于B,===;对于C,===;对于D,=,与n有关,不是定值.故选ABC.
7.(n-1)2n+1+2 [解析] 因为an=n·2n,所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n①,2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1②,①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Sn=(n-1)2n+1+2.
8.25-n(答案不唯一) [解析] 不妨设a1=16,因为数列{an}是递减的等比数列,所以09.解:(1)因为{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16,
所以q>0,2q2=2×2q+16,可得q=4,所以{an}的通项公式为an=a1qn-1=2×4n-1.
(2)数列{an}的前n项和Sn==(4n-1).
10.解:(1)因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,
所以an+1=3Sn+1(*),
当n≥2时,an=3Sn-1+1,
则an+1-an=3(Sn-Sn-1)(n≥2),所以an+1-an=3an(n≥2),所以an+1=4an(n≥2).
对于(*)式,当n=1时,a2=3S1+1,所以a2=3a1+1=3t+1,
所以当t=1时,a2=4a1,此时数列{an}是等比数列.
(2)由(1)可得an=4n-1,则an+1=4n,
所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n,
那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n)=+.
11.B [解析] 令m=1,则an+1=2an,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=a5+a5+a5+a5+a5=a5=a5×=31,解得a5=16.故选B.
12.D [解析] 设{an}的公比为q,则q3==-,所以q=-,所以Sn===-.当n为偶数时,Sn=-,对应函数为减函数,则S2>S4>S6>…>-;当n为奇数时,Sn=-,对应函数为增函数,则S113.ABC [解析] ∵首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,4anan+1=16n,∴==16,∴=16,∴===…==16,∵4anan+1=16n,∴4a1a2=16,又a1=1,∴a2=4,∴====…==4,∴数列{an}是首项为1,公比为4的等比数列,故A正确;Sn==,∴数列{Sn}为递增数列,故B正确;a5=1×44=256,故C正确;4an=4×1×4n-1=4n,3Sn+4n-1=3×+4n-1=5×4n-1-1,∴4an≠3Sn+4n-1,故D错误.故选ABC.
14.2n+1---2 [解析] 因为a1+a2+a3+…+an=n①,所以a1=1,当n≥2时,有a1+a2+a3+…+an-1=n-1②,由①-②得an=1(n≥2),得an=2n-1(n≥2),因为a1=1满足上式,所以an=2n-1.令2an-n=bn,所以bn=2n-n,所以Sn=(2-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n)=(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1-2--=2n+1---2.
15.D [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意知-a10,由-a10,此时Sn+1-Sn=an+1>0,则Sn+1>Sn.所以当-1,此时{Sn}为递减数列,则Sn≤S1=a1;若n为正偶数,则qn>0,则Sn=<,此时{Sn}为递增数列,则Sn≥S2=a1(1+q)=(1-q2).故当-116.解:(1)证明:由a1=2,-=1,an+1=2bn,得-=1,
整理得-1=,
又-1=-≠0,
所以数列是以-为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知-1=-=-,所以an=,
所以bn=an+1=,=n·=2n-.
设Sn=++…+,则Sn=++…+,
两式相减得Sn=++…+-=-=1-,从而Sn=2-,
所以Tn=-Sn=n2+n-2+.4.3.3 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
1.已知数列{an}是公比为正数的等比数列,Sn是其前n项和,a2=2,a4=8,则S4= ( )
A.15 B.31
C.63 D.7
2.[2025·江苏苏州中学高二月考] 等比数列{an}的前4项和为30,a1-a5=15,则a7= ( )
A. B.
C.1 D.2
3.已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n-1-c,则c= ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·湖北荆州中学高二质检] 等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8= ( )
A.-32 B.32
C.64 D.-64
5.[2025·江苏盐城中学高二调研] 已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,a7+a8+a9=24,则S30= ( )
A.5858 B.5948
C.6138 D.6658
6.(多选题)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子的值为定值的是 ( )
A.(n≥2) B.
C. D.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·2n,则Sn= .
8.前5项的和为31,且递减的等比数列{an}的一个通项公式为an= .
9.(13分)[2025·江苏镇江中学高二检测] 已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
10.(13分)[2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上.
(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列
(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.
11.[2025·山东师大附中高二质检] 已知数列{an}满足an+m=2man(n,m∈N*),若数列{an}的前5项和为31,则a5的值为 ( )
A.8 B.16
C.31 D.32
12.[2025·江苏金陵中学高二质检] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a1=-4,a4=,则数列{Sn} ( )
A.无最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,无最小项
D.有最大项,有最小项
13.(多选题)[2025·安徽安庆一中高二质检] 已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,4anan+1=16n,则下列说法正确的是 ( )
A.数列{an}是等比数列
B.数列{Sn}是递增数列
C.a5=256
D.4an=3Sn+4n-1
14.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n,记数列{2an-n}的前n项和为Sn,则Sn= .
15.[2025·江苏泰州中学高二调研] 设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,若-a1A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.数列{Sn}有最大项
D.数列{Sn}有最小项
16.(15分)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,-=1,an+1=2bn.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的前n项和Tn.4.3.3 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
【学习目标】
1.能推导等比数列的前n项和公式.
2.能说明等比数列前n项和公式的特征,能灵活运用前n项和公式解决一些简单问题.
◆ 知识点一 等比数列的前n项和公式
设等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,则当q=1时,Sn= ;当q≠1时,Sn= .
◆ 知识点二 等比数列的前n项和公式的函数
特征
(1)当q=1时,Sn=na1是关于n的正比例函数,点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点.
(2)当q≠1时,Sn==-qn.记A=,则Sn=-Aqn+A是一个指数式与一个常数的和.当q>0且q≠1时,y=qn是指数函数,此时,点(n,Sn)是指数型函数y=-Aqx+A图象上的一群孤立的点.
◆ 知识点三 错位相减法
已知an=kn+b,bn=qn,则形如{(kn+b)qn}(q≠0,q≠1)的数列求和可用错位相减法,其基本解题步骤如下:
第一步:由题可得an·bn=(kn+b)qn.
第二步:写出前n项和的表达式Tn=a1b1+…+anbn①,等式两边同乘公比q,q·Tn=a1b2+…+anbn+1②.
第三步:由①-②得(1-q)Tn=a1b1-anbn+1+③.
第四步:化简③可得Tn.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时,可直接套用公式Sn=. ( )
(2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列,则其前n项和Sn=na. ( )
(3)等比数列的前n项和Sn不可能为0. ( )
(4)若a∈R,则1+a+a2+…+an-1=(n∈N*). ( )
2.当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}为等比数列的充要条件,此时k=,你能证明这个结论吗
◆ 探究点一 等比数列的前n项和公式的基本运算
例1 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=2,q=-,求S10;
(2)若a1=1,a5=16,且q>0,求q和S7;
(3)若S2=4,S3=13,求an与Sn;
(4)若a1=1,an=81,Sn=121,求q和n.
变式 [2025·江苏金陵中学高二月考] 已知数列{an}是等比数列,a1+a2=2,a7+a8=128,则该数列的前10项和S10以及a1依次为 ( )
A.682, B.-682,-2
C.682,或-2 D.-682,或-2
[素养小结]
在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
◆ 探究点二 分组求和法
例2 [2025·江苏泰州高二期末] 设Sn为数列{an}的前n项和,Sn+2=2an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
变式 (1)[2025·浙江金华十校高二期末] 已知数列{an}满足a1=a2=1,且an+2=则该数列前20项和S20= .
(2)公差不为零的等差数列{an}的前4项和为28,且a1,a2,a7成等比数列.
①求数列{an}的通项公式;
②设bn=an+(-2)n,求数列{bn}的前n项和Tn.
[素养小结]
分组求和法适用的题型
若cn=an+bn,其中数列{an}与{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列,求数列{cn}的前n项和时,可将{an},{bn}分别求和,再相加即可.
◆ 探究点三 错位相减法求和
例3 [2025·山东莱芜一中高二月考] 已知等差数列{an}满足a2=4,2a4-a5=7,公比不为-1的等比数列{bn}满足b3=4,b4+b5=8(b1+b2).
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,求{cn}的前n项和Sn.
变式 [2025·湖南株洲一中高二月考] 已知等比数列{an}是递增数列,a2a5=32,a3+a4=12,数列{bn}满足bn=.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{nbn}的前n项和Sn.
[素养小结]
一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比q≠1,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.