(共62张PPT)
4.3 等比数列
4.3.3 等比数列的前 项和
第2课时 等比数列前 项和的性质及
应用
探究点一 等比数列的前项和的性质及应用
探究点二 等比数列前项和公式的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解等比数列前 项和的性质.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,抽象出等比数列
模型,并应用该模型解决相关问题.
知识点一 数列的前 项和的性质
性质1 若表示数列的前 项和,且
,则数列 是等比数列
性质2 若数列是公比不为或公比为且 为奇数的等比数
列,为其前项和,则,,, 仍构成等比
数列
性质3 若是公比为 的等比数列,则
性质4 若数列是公比为的等比数列,,分别是数列 的
所有偶数项之和与所有奇数项之和,则在等比数列 中,
①若项数为,则 ;
②若项数为,则 ;
③若项数为且,则
续表
知识点二 解答数列应用问题的方法
（1）判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列.
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
（2）提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量,,,, .
（3）根据要求利用公式或列出方程（组）求解问题.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知等比数列的前项和是,则,, 成等比数列.
( )
×
（2）已知等比数列的前项和是,则,, 成
等比数列.( )
×
（3）在等比数列 中,若前10项和是10,前20项和是30,则前30项和
是70.( )
√
（4）一个乒乓球从1米高的某处自由落下,反弹后的高度是原来的
,求六次着地时的总的路程是一个等比数列求和问题.( )
×
2.已知为等比数列，若，则，，，
成等比数列吗？
解：成等比数列.
探究点一 等比数列的前 项和的性质及应用
例1（1）［2025·湖南浏阳一中高二月考］已知等比数列的前
项和为，若，，则 ( )
A.360 B.480 C.510 D.580
[解析] 因为数列为等比数列，所以由等比数列前 项和的性质
知，，，， ，， 构成首项为 ，
公比的等比数列，且 是该等比数列的前8项和，
所以 .故选C.
√
（2）［2025·江苏南通中学高二月考］已知等比数列 共有32项，
其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有
项之和是( )
A.30 B.60 C.90 D.120
[解析] 设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 ,则
，
，
又，所以，解得,，故数列
的所有项之和是 .故选D.
√
变式（1）设各项都为正数的等比数列的前项和为 ，若
，则 的值为____.
91
[解析] 等比数列的公比,，， 成等比
数列，
,,，， 成等比数列，
，， .
（2）已知等比数列的前10项中，所有奇数项的和为 ，所有偶
数项的和为，则 的值为_____．
585
[解析] 设等比数列的公比为，并设等比数列 的前10项中，
所有奇数项的和为，所有偶数项的和为 ，则
，
所以，
又 ，所以 ，因此
.
［素养小结］
1.数列的前项和满足,,,, 成等
比数列（其中,,,, 均不为0）,这一性
质可直接应用.
2.进行与等比数列的前项和有关的运算时,常用到两种方法:①两
式相除法,即通过两式相除,构造方程（组）,进而求得数列的基本量,
然后代入求解;②整体代入法,即设而不求,整体代换的方法.两种方法
中都不要忽略对公比的讨论.
探究点二 等比数列前 项和公式的实际应用
例2 某地响应“绿水青山就是金山银山”的号召,投入资金进行生态环
境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,2025年投入1000万元,以后每
年投入的资金比上一年减少 ,当地预计2025年的旅游业收入为500万
元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后每年的旅游业收入会
比上一年增加 .
（1）设年内（2025年为第一年）旅游业总投入为 万元,总收入为
万元,写出, 的表达式;
解：由2025年的投入为1000万元,可得第 年的投入为
万元,所以 .
预计2025年的旅游业收入为500万元,第2年的收入为 万
元, ，第年的收入为 万元,所以
.
（2）至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入
（参考数据:,, ）
解：设经过 年旅游业的总收入超过总投入,
则有,即 ,化简得
,
设,代入上式并整理得,解得或
（舍去）.
所以,不等式两边取常用对数可得 ,则
,
所以 ,故至少到2029年，旅游业的总收入才能超过总投入.
变式 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2026年开始，每年
年初存入一笔专用存款，使这笔存款到2032年年底连本带利共有40
万元.如果每年的存款数额相同，依年利率为 并按复利计算，则每
年应存入多少万元？（参考数据：, ,答案
保留1位小数）
解：设每年存入 万元，则2026年年初存入的钱到2032年年底本利和
为 万元,2027年年初存入的钱到2032年年底本利和为
万元 年年初存入的钱到2032年年底本利和为
万元，
则 ，即
,解得 ，即每年应存入约5.3万元.
［素养小结］
求解数列应用题的具体步骤:
（1）认真审题,准确理解题意.
（2）恰当引入参数变量,将数量关系用数学式子表达,将实际问题抽
象为数学问题.
（3）求解数学问题,检验所得结果,并将符合要求的结果转化为实际
问题的结论.
阿基里斯悖论
悖论提出:
公元前5世纪,芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在
阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速
度是乌龟的10倍.比赛开始,当阿基里斯跑了1000米时,设所用的时间为
,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的
时间为 ,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用
的时间为 ,乌龟仍然领先他1米……芝诺认为,阿基里斯能够继续逼
近乌龟,但绝不可能追上它.
推翻悖论:
其实,我们根据无穷递减等比数列求和的知识,只需列一个方程就
可以轻而易举地推翻芝诺的悖论:阿基里斯在跑了
（米）时便
可赶上乌龟.
人们认为数列之和 是永远也不能穷尽的,这
只不过是一个错觉.
事实上阿基里斯能够追上乌龟的时间为
.
芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟,就隐藏着时间必须小于
这样一个条件.
由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的,对时间是没有限制的,时
间很容易突破这样一个条件.一旦突破 这个条件,阿基里斯就追
上了或超过了乌龟.
人们被数列之和 好像是永远也不能穷尽的假
象迷惑了,没有考虑到该式是很容易达到和超过的.
数列实际应用中的常见模型
（1）等差数列模型:若后一个量与前一个量的差是一个固定的数,则
该模型是等差数列模型,这个固定的数就是公差.
（2）等比数列模型:若后一个量与前一个量的比是一个固定的数,则
该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比.
（3）递推数列模型:若题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随
项的变化而变化,则应考查第项与第 项之间是否有递推关系或
前项和与前 项和之间是否有递推关系.
例1 如图，已知在扇形 中，半径
，，圆 内切于扇形
（圆和，，弧 均相切），作圆
与圆，，相切，再作圆与圆 ，
，相切，以此类推.设圆，圆， ，
圆的面积依次为，， ，，那么
__________．
[解析] 如图，设圆与弧相切于点，圆 ，
圆与分别切于点，，连接,, ，
则，.设圆，圆 ，圆
， ,圆的半径分别为,,, ,.
因为，所以 .
中，，则，即 ，解得
.在中，， ，
可得 ，解得 .
同理可得，， .
所以是以 为首项，
以为公比的等比数列.又圆的面积 ，所
以，，，， 构成一个以 为
首项，以 为公比的等比数列，则
.
例2 两个容器中分别盛有浓度为，的某种溶液 ，同
时从甲、乙两个容器中取出 溶液，将其倒入对方的容器并搅
匀，这称为一次调和．记，，经过
次调和后，甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为， ．
（1）试用，表示， ；
解：因为经过 次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分
别为, ，
所以 ，
.
（2）证明数列是等比数列，并求出， 的通项公式．
解：由（1）知， ，
，
可得 ，
所以数列 是等比数列.
因为，所以 ，
又因为 ，
所以联立①②得 ，
．
练习册
1.［2025·江苏徐州一中高二月考］已知等比数列的前 项和为
,,，则 ( )
A.12 B.16 C.18 D.20
[解析] 因为为等比数列，且公比,所以,,
也成等比数列，即4,4,成等比数列，则 ，故选A.
√
2.已知等比数列的前项和为，公比， ，则
( )
A.49 B.56 C.63 D.112
[解析] 因为等比数列的前项和为，公比， ，
所以,所以 .故选B.
√
3.若等比数列 共有奇数项，其首项为1，偶数项和为170，奇数项
和为341，则这个数列的公比为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为等比数列共有奇数项，所以 ，
则，解得 ，故选A.
√
4.［2025·山东菏泽一中高二月考］某景区管理处计划从2024年开始，
用5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年的
投入资金是上一年的 倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年
的旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资
金总额之差为( )
A.230万元 B.234万元 C.245万元 D.260万元
√
[解析] 根据题意可知，这五年投入的资金（单位：万元）依次构成
首项为80，公比为 的等比数列，所以这五年投入的资金总额是
（万元）；
这五年的旅游收入（单位：万元）依次构成首项为200，公差为30的等
差数列，所以这五年的旅游总收入是 (万元).
所以这五年的旅游总收入与投入资金总额之差为 (万元)，
故选C.
5.［2025·江苏新海中学高二质检］若等比数列共有 项，其公
比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列 的所有项之和为
( )
A.200 B.300 C.400 D.500
[解析] 设等比数列的奇数项和为，偶数项和为 ，则
，
，
由题意可得，即，解得 ,则
，故数列的所有项之和是 .故选B.
√
6.（多选题）已知等比数列的公比为，前项和为 ，且满足
，则下列说法正确的是( )
A.为递增数列 B.
C.，，成等比数列 D.
√
√
[解析] 由，可得，则.当首项 时，可
得 为递减数列，故A错误；
，故B正确；
假设， ，成等比数列，可得，即
,则,即 ，
该等式不成立，则假设不成立，，， 不成等比数列，故C错误；
由是公比为的等比数列，可得 ,
故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏淮阴中学高二月考］中国古代某数学著作中有这样一
段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如
此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是___里（用数字作答）.
6
[解析] 将这个人每天行走的路程（单位：里）依次排成一列，得等
比数列，,，其公比，
设数列的前 项和为，则，因为，
所以 ，解得，
所以此人在第六天行走的路程是 （里）.
8.已知各项都为正数的等比数列的前项和为，若 ，
，则， 的等差中项为___.
[解析] 设，因为为等比数列，所以， ，
成等比数列.
因为，，所以 ，
解得或（舍去）.所以，的等差中项为 .
9.（13分）已知等比数列的前项和为,, .
（1）求等比数列的公比 ;
解：由,知 .
由等比数列前项和的性质知,, 成等比数列,且公比
为,故,所以 .
（2）求证: .
证明:由（1）得,所以,所以数列 是
首项为1,公比为 的等比数列,故
.
9.（13分）已知等比数列的前项和为,, .
10.（13分）某企业进行技术改造,有甲、乙两种方案，甲方案为一次
性贷款10万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加 的利
润;乙方案为每年年初贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年都比
前一年增加利润5000元.两种方案使用期都是十年,到期一次性还本付
息,且银行贷款利息均按年息 的复利计算.
（1）若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要偿还银行的本息和为
多少元？
解：若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要偿还银行的本息和为
（万元）.
（2）试比较甲、乙两种方案的优劣.
计算时精确到千元,,
解：甲方案十年共获利
（万元）,
由（1）知到期一次性需要偿还银行的本息和约为25.9万元,
所以甲方案十年的净收益约为 （万元）.
乙方案十年共获利
（万元）,
到期一次性需要还银行的本息和为
（万元）,
所以乙方案十年的净收益约为 （万元）.
因为 ,所以甲方案优于乙方案.
11.（多选题）［2025·湖南长沙一中高二调研］ 计算机病毒危害很
大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，
该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一
个数字为计算机病毒传染指数 ,即一个病毒文件在一分钟内平均所
传染的文件数，某计算机病毒的传染指数 ,已知一台计算机有
个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，
则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未
经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是( )
A.在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B.经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C.10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D.该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数构成公比为2的等比数列
√
√
√
[解析] 设计算机瘫痪之前第分钟之内新被感染的文件数为 ，
前分钟内新被感染的病毒文件数之和为，则 ，
且，
由可得 ，
两式相减得，所以,
当时，由式得,则 ，所以计算机瘫
痪之前每分钟内新被感染的病毒文件数构成以 为首项，3为公比
的等比数列，所以 ，在第3分钟内，该计算机新感染了
（个）文件，故选项A正确.
经过5分钟，该计算机共有
（个）病毒文件，故选项B正确.
经过10分钟，该计算机感染病毒的文件总数为
，所以10分钟后该计算机处于瘫痪状态，
故选项C正确.
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为3的等比数列，
故选项D不正确.
故选 .
12.（多选题）［2025·福建三明中学高二月考］ 已知等比数列
的公比为，前项和为，若，且对任意,
恒成立，则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为，对任意 恒成立，所以
对任意恒成立，则 对任意
恒成立，即对任意恒成立，则 ,
，解得 ，故B正确；
对于A， ，故A错误；
对于C，，所以 ，
故C正确；
对于D，，因为 ，所以，
所以,又因为，所以 ，故D错误.
故选 .
13.［2025·安徽合肥一中高二月考］某牧场今年初牛的存栏数为1200，
预计以后每年存栏数的增长率为 ，且在每年年底卖出100头牛.设
牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列,,, ，且满
足递推公式,为数列的前项和，则
______.，答案精确到1
9920
[解析] 由题知，， ，
，，由 得
，则
解得所以，则
是以为首项， 为公比的等比数列，
因为 ，
所以 .
14.［2025·江苏张家港中学高二月考］已知数列为等比数列，
为其前项和，若，，则 的值为____.
40
[解析] 因为，，所以 ，
，则等比数列的公比，所以， ，
也是等比数列，
所以 ，即，
解得或 ，又，所以 .
15.［2025·江苏苏州中学高二月考］已知 是各项都为正数的等比数
列的前项和，，则 的最小值为____．
[解析] 设的公比为.因为 ，
， ，所以
， ，所以
，
，所以，当时，取得最小值 .
16.（15分）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，
每次抛出时，抛沙包者等可能地将沙包抛给另外两个人中的任何一
个，设第次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，在丙手
中的方法数为 .
（1）求证数列为等比数列，并求出 的通项公式；
解：由题意知，第次抛沙包后的抛沙包方法数为 ，
第次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，若第 次抛沙包
后沙包在甲手中，则第 次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只
有第次抛沙包后沙包在乙或丙手中，第 次抛沙包后，沙包才
可能在甲手中，
所以，且 ，故
，
则 ，
所以数列 为等比数列.
由 ，得
，
所以 ，
，
， ，
，
以上各式相加得 ，
可得,又满足上式，所以 .
（2）求证：当为偶数时， .
证明：由题意知，第 次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等，
均为 ，
则 ，
因为当为偶数时， ，所以
，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）× 2.成等比数列.
课中探究 例1 （1）C （2）D 变式 （1）91 （2）585
例2 （1）m>，
（2）至少到2029年，旅游业的总收入才能超过总投入
变式 5.3万元
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.BD 7.6 8.
9.（1）（2）略
10.（1）（万元） （2）甲方案优于乙方案
11.ABC 12.BC 13.9920 14.40 15.
16.（1）（2）略第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
【课前预习】
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.解:成等比数列.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)D [解析] (1)因为数列{an}为等比数列,所以由等比数列前n项和的性质知,S3,S6-S3,S9-S6,…,S24-S21,…构成首项为S3=2,公比q===2的等比数列,且S24是该等比数列的前8项和,所以S24==510.故选C.
(2)设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1,又S1+60=S2,所以S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.故选D.
变式 (1)91 (2)585 [解析] (1)∵等比数列{an}的公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∵S4=10S2,∴S4-S2=9S2,∴S2,9S2,81S2成等比数列,∴S6-S4=81S2,∴S6=91S2,∴=91.
(2)设等比数列{an}的公比为q,并设等比数列{an}的前10项中,所有奇数项的和为S奇,所有偶数项的和为S偶,则S偶=a2+a4+a6+a8+a10=q(a1+a3+a5+a7+a9)=qS奇,所以q===2,又S奇===341a1=,所以a1=,因此S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2·=585.
探究点二
例2 解:(1)由2025年的投入为1000万元,可得第n年的投入为1000×万元,所以Sn=1000+1000×+…+1000×==5000×.
预计2025年的旅游业收入为500万元,第2年的收入为500×万元,…,第n年的收入为500×万元,所以Tn=500+500×+…+500×==2000×.
(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入,
则有Tn-Sn>0,即2000×-5000×>0,化简得5×+2×-7>0,
设x=,代入上式并整理得5x2-7x+2>0,解得x<或x>1(舍去).
所以<,不等式两边取常用对数可得nlg =≈4.1,
所以n≥5,故至少到2029年,旅游业的总收入才能超过总投入.
变式 解:设每年存入x万元,则2026年年初存入的钱到2032年年底本利和为x(1+2%)7万元,2027年年初存入的钱到2032年年底本利和为x(1+2%)6万元……2032年年初存入的钱到2032年年底本利和为x(1+2%)万元,则x(1+2%)+x(1+2%)2+…+x(1+2%)7=40,即=40,解得x≈5.3,即每年应存入约5.3万元.第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1.A [解析] 因为{an}为等比数列,且公比q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,即4,4,S6-8成等比数列,则S6=12,故选A.
2.B [解析] 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q=2,S3=7,所以=q3=8,所以a4+a5+a6=8S3=56.故选B.
3.A [解析] 因为等比数列{an}共有奇数项,所以S奇=a1+qS偶,则341=1+170q,解得q=2,故选A.
4.C [解析] 根据题意可知,这五年投入的资金(单位:万元)依次构成首项为80,公比为的等比数列,所以这五年投入的资金总额是=1055(万元);这五年的旅游收入(单位:万元)依次构成首项为200,公差为30的等差数列,所以这五年的旅游总收入是5×200+×30=1300(万元).所以这五年的旅游总收入与投入资金总额之差为1300-1055=245(万元),故选C.
5.B [解析] 设等比数列{an}的奇数项和为S1,偶数项和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a2n-1,S2=a2+a4+a6+…+a2n=q(a1+a3+a5+…+a2n-1)=2S1,由题意可得S1+100=S2,即S1+100=2S1,解得S1=100,则S2=200,故数列{an}的所有项之和是100+200=300.故选B.
6.BD [解析] 由a6=8a3,可得q3a3=8a3,则q=2.当首项a1<0时,可得{an}为递减数列,故A错误;=·===9,故B正确;假设S3,S6,S9成等比数列,可得=S9×S3,即=·,则(1-q6)2=(1-q9)(1-q3),即(1-26)2=(1-23)(1-29),该等式不成立,则假设不成立,S3,S6,S9不成等比数列,故C错误;由{an}是公比为q的等比数列,可得Sn===2an-a1,故D正确.故选BD.
7.6 [解析] 将这个人每天行走的路程(单位:里)依次排成一列,得等比数列{an},n∈N*,n≤6,其公比q=,设数列{an}的前n项和为Sn,则S6=378,因为S6==,所以=378,解得a1=192,所以此人在第六天行走的路程是a6=a1×=6(里).
8. [解析] 设S6=x(x>0),因为{an}为等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.因为S3=4,S9=19,所以4(19-x)=(x-4)2,解得x=10或x=-6(舍去).所以S6,S9的等差中项为.
9.解:(1)由=,知=.
由等比数列前n项和的性质知S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,且公比为q7,故q7=,所以q=.
(2)证明:由(1)得an=(-1)×,所以=,所以数列{}是首项为1,公比为的等比数列,故++…+==<.
10.解:(1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要偿还银行的本息和为10×(1+10%)10≈25.9(万元).
(2)甲方案十年共获利1+1×(1+30%)+…+1×(1+30%)9=≈42.6(万元),
由(1)知到期一次性需要偿还银行的本息和约为25.9万元,
所以甲方案十年的净收益约为42.6-25.9=16.7(万元).
乙方案十年共获利1+1.5+…+(1+9×0.5)==32.5(万元),
到期一次性需要还银行的本息和为1×(1+10%)+…+1×(1+10%)10=≈17.5(万元),
所以乙方案十年的净收益约为32.5-17.5=15.0 (万元).
因为16.7>15.0,所以甲方案优于乙方案.
11.ABC [解析] 设计算机瘫痪之前第n+1分钟之内新被感染的文件数为an+1,前n分钟内新被感染的病毒文件数之和为Sn,则an+1=2(Sn+1),且a1=2,由an+1=2(Sn+1)(*)可得an=2(Sn-1+1)(n≥2),两式相减得an+1-an=2an(n≥2),所以an+1=3an(n≥2),当n=1时,由(*)式得a2=2(S1+1)=6,则a2=3a1,所以计算机瘫痪之前每分钟内新被感染的病毒文件数构成以a1=2为首项,3为公比的等比数列,所以an=2×3n-1,在第3分钟内,该计算机新感染了a3=2×33-1=18(个)文件,故选项A正确.经过5分钟,该计算机共有1+a1+a2+a3+a4+a5=1+=35=243(个)病毒文件,故选项B正确.经过10分钟,该计算机感染病毒的文件总数为1+a1+a2+…+a10=1+=310>×105,所以10分钟后该计算机处于瘫痪状态,故选项C正确.该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数构成公比为3的等比数列,故选项D不正确.故选ABC.
12.BC [解析] 因为S1=a1=-1,an+2>an对任意n∈N*恒成立,所以a1·qn+1>a1·qn-1对任意n∈N*恒成立,则-qn+1>-qn-1对任意n∈N*恒成立,即qn-1(q2-1)<0对任意n∈N*恒成立,则q>0,q2-1<0,解得00,所以an+1>an,故C正确;对于D,Sn==,因为0,故D错误.故选BC.
13.9920 [解析] 由题知c1=1200,c2=1.05c1-100,c3=1.05c2-100,…,cn+1=1.05cn-100,由cn+1-k=r(cn-k)得cn+1=rcn-rk+k,则
解得所以cn+1-2000=1.05(cn-2000),则{cn-2000}是以-800为首项,1.05为公比的等比数列,因为c1-2000+c2-2000+…+c10-2000=≈-10 080,所以S10=c1+c2+…+c10≈20 000-10 080=9920.
14.40 [解析] 因为S30=13S10,S10+S30=140,所以S10=10,S30=130,则等比数列{an}的公比q≠-1,所以S10,S20-S10,S30-S20也是等比数列,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20),解得S20=40或S20=-30,又S20=S10(1+q10)>0,所以S20=40.
15.-5 [解析] 设{an}的公比为q.因为S30-S20=a21+a22+…+a30,S20-S10=a11+a12+…+a20,S10=a1+a2+…+a10,所以==q10,==q10,所以S20-S10=S10×q10=20q10,S30-S20=(S20-S10)×q10=S10×q20=20q20,所以S30-2S20+S10=S30-S20-(S20-S10)=20q20-20q10=20-5,当q10=时,S30-2S20+S10取得最小值-5.
16.解:(1)由题意知,第n次抛沙包后的抛沙包方法数为2n,
第n+1次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an+1,若第n次抛沙包后沙包在甲手中,则第n+1次抛沙包后,沙包不可能在甲手里,只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中,第n+1次抛沙包后,沙包才可能在甲手中,
所以an+1=an×0+(2n-an)×1=2n-an,且a1=0,故an+1+an=2n,
则=2(n≥2),
所以数列{an+1+an}为等比数列.
由an-1+an=2n-1(n≥2),得(-1)n-1an-1-(-1)nan=(-2)n-1(n≥2),
所以(-1)1a1-(-1)2a2=(-2)1,
(-1)2a2-(-1)3a3=(-2)2,
(-1)3a3-(-1)4a4=(-2)3,
…,
(-1)n-1an-1-(-1)nan=(-2)n-1(n≥2),
以上各式相加得(-1)1a1-(-1)nan=(n≥2),
可得an=(n≥2),又a1=0满足上式,所以an=.
(2)证明:由题意知,第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等,均为bn,
则an+2bn=2n,
因为当n为偶数时,an==>,所以bn=<,
所以an>bn.第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
【学习目标】
1.理解等比数列前n项和的性质.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,抽象出等比数列模型,并应用该模型解决相关问题.
◆ 知识点一 数列的前n项和的性质
性质1 若Sn表示数列{an}的前n项和,且Sn=A-Aqn(Aq≠0,q≠1),则数列{an}是等比数列
性质2 若数列{an}是公比不为-1或公比为-1且n为奇数的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列
性质3 若{an}是公比为q的等比数列,则=Sn+qnSm(n,m∈N*)
性质4 若数列{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列{an}的所有偶数项之和与所有奇数项之和,则在等比数列{an}中, ①若项数为2n(n∈N*),则=q; ②若项数为2n+1(n∈N*),则=q; ③若项数为2n+1(n∈N*)且q≠-1,则S奇-S偶=
◆ 知识点二 解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列.
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
(2)提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn.
(3)根据要求利用公式或列出方程(组)求解问题.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,则S2n,S4n,S6n成等比数列. ( )
(2)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,则S2n,S4n-S2n,S6n-S4n成等比数列. ( )
(3)在等比数列{an}中,若前10项和是10,前20项和是30,则前30项和是70. ( )
(4)一个乒乓球从1米高的某处自由落下,反弹后的高度是原来的60%,求六次着地时的总的路程是一个等比数列求和问题. ( )
2.已知{an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列吗
◆ 探究点一 等比数列的前n项和的性质及应用
例1 [2025·湖南浏阳一中高二月考] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=6,则S24= ( )
A.360 B.480
C.510 D.580
(2)[2025·江苏南通中学高二月考] 已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是( )
A.30 B.60
C.90 D.120
变式 (1)设各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10S2,则的值为 .
(2)已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项的和为,所有偶数项的和为,则S=a3+a6+a9+a12的值为 .
[素养小结]
1.数列{an}的前n项和Sn满足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…均不为0),这一性质可直接应用.
2.进行与等比数列的前n项和Sn有关的运算时,常用到两种方法:①两式相除法,即通过两式相除,构造方程(组),进而求得数列的基本量,然后代入求解;②整体代入法,即设而不求,整体代换的方法.两种方法中都不要忽略对公比q的讨论.
◆ 探究点二 等比数列前n项和公式的实际应用
例2 某地响应“绿水青山就是金山银山”的号召,投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,2025年投入1000万元,以后每年投入的资金比上一年减少,当地预计2025年的旅游业收入为500万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后每年的旅游业收入会比上一年增加.
(1)设n年内(2025年为第一年)旅游业总投入为Sn万元,总收入为Tn万元,写出Sn,Tn的表达式;
(2)至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0)
变式 某家庭打算为子女储备“教育基金”,计划从2026年开始,每年年初存入一笔专用存款,使这笔存款到2032年年底连本带利共有40万元.如果每年的存款数额相同,依年利率为2%并按复利计算,则每年应存入多少万元 (参考数据:1.027≈1.149,1.028≈1.172,答案保留1位小数)
[素养小结]
求解数列应用题的具体步骤:
(1)认真审题,准确理解题意.
(2)恰当引入参数变量,将数量关系用数学式子表达,将实际问题抽象为数学问题.
(3)求解数学问题,检验所得结果,并将符合要求的结果转化为实际问题的结论.第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=4,S4=8,则S6=( )
A.12 B.16
C.18 D.20
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q=2,S3=7,则a4+a5+a6= ( )
A.49 B.56
C.63 D.112
3.若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
4.[2025·山东菏泽一中高二月考] 某景区管理处计划从2024年开始,用5年时间改善景区环境,预计第一年投入资金80万元,以后每年的投入资金是上一年的倍,第一年的旅游收入为200万元,以后每年的旅游收入比上一年增加30万元,则这五年的旅游总收入与投入资金总额之差为 ( )
A.230万元 B.234万元
C.245万元 D.260万元
5.[2025·江苏新海中学高二质检] 若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为 ( )
A.200 B.300
C.400 D.500
6.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是 ( )
A.{an}为递增数列
B.=9
C.S3,S6,S9成等比数列
D.Sn=2an-a1
7.[2025·江苏淮阴中学高二月考] 中国古代某数学著作中有这样一段记载:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是 里(用数字作答).
8.已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=4,S9=19,则S6,S9的等差中项为 .
9.(13分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,=.
(1)求等比数列{an}的公比q;
(2)求证:++…+<.
10.(13分)某企业进行技术改造,有甲、乙两种方案,甲方案为一次性贷款10万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案为每年年初贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年都比前一年增加利润5000元.两种方案使用期都是十年,到期一次性还本付息,且银行贷款利息均按年息10%的复利计算.
(1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要偿还银行的本息和为多少元
(2)试比较甲、乙两种方案的优劣.
(计算时精确到千元,1.110≈2.59,1.310≈13.79)
11.(多选题)[2025·湖南长沙一中高二调研] 计算机病毒危害很大,一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0,即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数C0=2,已知一台计算机有105个可能被感染的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中正确的是 ( )
A.在第3分钟内,该计算机新感染了18个文件
B.经过5分钟,该计算机共有243个病毒文件
C.10分钟后,该计算机处于瘫痪状态
D.该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数构成公比为2的等比数列
12.(多选题)[2025·福建三明中学高二月考] 已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若S1=-1,且对任意n∈N*,an+2>an恒成立,则 ( )
A.a2>0 B.0C.an+1>an D.Sn<
13.[2025·安徽合肥一中高二月考] 某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为5%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列c1,c2,c3,…,且满足递推公式cn+1-k=r(cn-k),Sn为数列{cn}的前n项和,则S10≈ .(1.0510≈1.63,答案精确到1)
14.[2025·江苏张家港中学高二月考] 已知数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,若S30=13S10,S10+S30=140,则S20的值为 .
15.[2025·江苏苏州中学高二月考] 已知Sn是各项都为正数的等比数列{an}的前n项和,S10=20,则S30-2S20+S10的最小值为 .
16.(15分)甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包,第一次由甲抛出,每次抛出时,抛沙包者等可能地将沙包抛给另外两个人中的任何一个,设第n(n∈N*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an,在丙手中的方法数为bn.
(1)求证数列{an+1+an}为等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)求证:当n为偶数时,an>bn.
