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微突破（六） 求数列通项公式的常用方法
方法一 由数列的前项和求通项公式
方法二 累加法
方法三 累乘法
方法四 构造法
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
方法一 由数列的前 项和求通项公式
已知或求 的解题步骤:
第一步,利用满足的条件,写出当时, 的表达式;
第二步,利用,求出或者转化为关于 的递推
公式的形式，进而求出时 的通项公式;
第三步,根据求出,并代入时 的通项公式进行验证,
若满足公式,则合并,若不满足,则写成分段形式.
例1（1）已知数列的前项和,则数列 的通项
公式为____________.
[解析] 数列的前项和, ,
当 时,
,
满足上式， .
（2）已知数列的前项和为,且满足 ,则
数列 的通项公式为__________.
[解析] 根据题意,当时,可得,所以 .
由,得当时, ,
所以,即 .
所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,故 .
（3）已知数列满足,则
的通项公式为________.
[解析] 当时,,, 当
时, ,
两式相减可得, ,
适合上式, .
变式 已知各项都是正数的数列的前项和为 ，
，，则数列 的通项公式为_________.
[解析] 因为，，所以当 时，
,可得;当时, , ，
两式相减并化简得,
其中 ，所以，
即 .
所以数列是首项，公差为的等差数列，所以 .
方法二 累加法
求形如的数列 的通项公式,可将原递推公式转化
为,再利用累加法求解,即由 ,
, , 相加可得
.
例2 设数列满足，，则数列
的通项公式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ， 当时， ，
， ， ，
将以上各式相加得 ，则
，即 ，
又也适合上式， ．故选B．
变式 已知数列满足， ，则下列结论
正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，,即 ，可
得，， ， ，
以上各式相加，可得
，即，
又, ,即.,故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选A.
方法三 累乘法
求形如的数列 的通项公式,可将原递推公式转化为
,再利用累乘法求解,即由,, ,
相乘可得
.
例3 设数列 是首项为1且各项都为正数的数列，满足
，则它的通项公式为 __.
[解析] 由 ，得
,
又数列 中的各项都为正数，
所以，即 ,所以
.
又满足上式，所以 .
变式 在数列中，若,,则 _______.
[解析]由,得,所以.
又满足上式，所以 .
方法四 构造法
角度1 型
一般形式,为常数，,, ，可以构造
一个等比数列，只要在每一项同时加上一个常数即可，且常数
，可得，令，则 为等比
数列，求出，再还原到，可得 .
例4 若数列满足，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 ，
又，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即，所以 .故选B.
√
变式 已知数列满足，，则数列 的通
项公式为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以,
又 ，所以，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即 .故选D.
角度2 型
1.若，即 ，累加即可.
2.若，即 ，求通项公式的方法有以下两种：
（1）两边同时除以，得，令 ，则
，然后用累加法求通项公式.
（2）两边同时除以，得，令 ，则可化为
，然后用适当的方法求通项公式即可.
例5 已知数列的首项，且满足 ，求数
列 的通项公式.
解：， ，
，
又， 是以2为首项，2为公比的等比数列，
，则 ．
变式 设数列的前项和为，且满足 ，
，求 .
解:因为 ,
所以,所以 ，
则,所以，
又，所以是首项为 ，公差为 的等差数列，
则，故 .
角度3 型
1.形如,为常数， 的数列，通过两边取“倒数”，
变形为，即 ，从而构造出新的等差数列
，先求出的通项公式，即可求得 的通项公式.
2.形如,为常数，，， 的数列，通
过两边取“倒数”，变形为，可通过 进行换元，
化为 ，再用适当的方法求通项公式.
例6（1）在数列中，已知，，则 等
于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，则 ，
则 .故选B.
√
（2）已知数列满足，，则 的前
项和为______________.
[解析] 数列满足,，则 ，
所以，
又，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以，
所以的前 项和 .
变式 已知数列满足，且，则 _____.
[解析] 由可得，所以数列 是等差数列，
且首项为2，公差为3，则，所以 .
练习册
1.若数列满足，，则 ( )
A.511 B.1023 C.1025 D.2047
[解析] 由题意知，则， ，
， ， ，以上各式相加可得
，
又 ，
所以 .
故选B.
√
2.已知，，则数列的通项公式是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由，得 ，即
，则当时，，， ，
， ，
以上各式相乘可得，因为 ，所以，
因为满足上式，所以 ，故选C．
方法二：由，得 ，
即，所以 ，故选C.
3.已知数列的前项和为，若，且 ，
则( )
A.为等比数列 B. 为等差数列
C.为等比数列 D. 为等差数列
√
[解析] 由，得当时， ，两式相减得
，即，又当 时，
，所以所以数列 即不
是等比数列也不是等差数列，C，D错误；
当 时，，又符合上式，
所以 ，所以 为等比数列，A正确，B错误.
故选A.
4.［2025·江苏南京一中高二月考］数列满足, ，
则数列{ 的前8项和为( )
A.63 B.127 C.255 D.256
[解析] 由,，得, ，所
以数列{ 是首项为1，公比为2的等比数列，所以
,则数列{的前8项和为 .故选C.
√
5.（多选题）［2025·江苏泰州中学高二质检］ 在数列 中，已知
， ，则( )
A. B. 是等差数列
C. D. 是等比数列
√
√
√
[解析] 由，得 ，因为
，所以是以1为首项， 为公差的等差数列，则
，则.
可得 ，，，
所以 是首项为3，公比为1的等比数列，
所以A错误，B，C，D均正确.
故选 .
6.已知数列的前项和,则的通项公式为
_________.
[解析] 当时，,所以.
当 时，,所以.
所以数列 是首项为1，公比为的等比数列，故
7.数列满足，，则数列 的通项
公式为_________________.
[解析] 因为，所以 ，即
，所以是公差为3的等差数列，
又 ，所以，所以 ．
8.（13分）［2025·江苏金陵中学高二质检］ 已知数列 满足
， .
（1）求， ；
解：数列满足 ，
令，得 ，
又，所以 .
令，得，所以 .
（2）求数列 的通项公式.
解：将 两边同时除以
可得 ，
化简得 .
设，则 .
又，所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
从而 .
快速核答案（导学案）
例1 （1） （2） （3） 变式
例2 B 变式 A
例3 变式
例4 B 变式 D
例5
变式
例6 （1）B （2） 变式
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.A 4.C 5.BCD 6. 7.
8.（1），
（2）微突破(六) 求数列通项公式的常用方法
例1 (1)an=6n+5 (2)an=3n-1
(3)an= [解析] (1)∵数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,∴a1=S1=3+8=11,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+8n)-[3(n-1)2+8(n-1)]=6n+5,∵a1=11满足上式,∴an=6n+5.
(2)根据题意,当n=1时,可得3a1-2a1=1,所以a1=1.由3an-2Sn=1,得当n≥2时,3an-1-2Sn-1=1, 所以3an-3an-1-2(Sn-Sn-1)=0(n≥2),即an=3an-1(n≥2).所以数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,故an=3n-1.
(3)当n=1时,a1=,∵a1+2a2+…+2n-1an=,∴当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=,两式相减可得2n-1an=(n≥2),∴an=(n≥2),∵a1=适合上式,∴an=.
变式 an=n [解析] 因为an>0,Sn=+an,所以当n=1时,a1=+a1,可得a1=;当n≥2时,Sn=+an,Sn-1=+an-1,两式相减并化简得(an+an-1)=0(n≥2),其中an+an-1>0(n≥2),所以an-an-1-=0(n≥2),即an-an-1=(n≥2).所以数列{an}是首项a1=,公差为的等差数列,所以an=n.
例2 B [解析] ∵an+1-an=,∴当n≥2时,an-an-1=,an-1-an-2=,…,a2-a1=,将以上各式相加得an-a1=++…+(n≥2),则an-1==1-(n≥2),即an=2-(n≥2),又a1=1也适合上式,∴an=2-=2.故选B.
变式 A [解析] ∵an-an+1=nanan+1,∴=n,即-=n,可得-=1,-=2,…,-=n-1(n≥2),以上各式相加,可得-+-+…+-=1+2+…+n-1(n≥2),即-=(n≥2),又∵a1=1,∴=+1,即an=.a7==,故A正确;a8==,故B错误;a9==,故C错误;a10==,故D错误.故选A.
例3 [解析] 由(n+1)-n+an+1·an=0,得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,又数列{an}中的各项都为正数,所以(n+1)an+1-nan=0,即=,所以an=··…··a1=××…××1=(n≥2).又a1=1满足上式,所以an=.
变式 [解析] 由an+1=2nan,得=2n-1(n≥2),所以an=··…··a1=2n-1×2n-2×…×2×1=21+2+…+(n-2)+(n-1)=(n≥2).又a1=1满足上式,所以an=.
例4 B [解析] 因为a1=1,=+1,所以+1=2,又+1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以+1=2n,即an=,所以a9=.故选B.
变式 D [解析] 因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),又a1=1,所以a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2×2n-1,即an=2n-1.故选D.
例5 解:∵an+1=4an-2n+1,∴=2·-1,∴-1=2,
又∵-1=2,∴是以2为首项,2为公比的等比数列,∴-1=2·2n-1=2n,则an=4n+2n.
变式 解:因为an+1=2Sn+3n(n∈N*),
所以Sn+1-Sn=2Sn+3n,所以Sn+1=3Sn+3n,
则=+,所以-=,又=,所以是首项为,公差为的等差数列,
则=+(n-1)=(n+1),故Sn=(n+1)·3n-1.
例6 (1)B (2)2n+2-3n-4
[解析] (1)因为an=(n≥2),所以=+(n≥2),又=,所以是以为首项,为公差的等差数列,则=n,则an=.故选B.
(2)数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则=+3,所以+3=2,又+3=4,所以是以4为首项,2为公比的等比数列, 所以+3=4·2n-1=2n+1,所以=2n+1-3,所以的前n项和Tn=-3n=2n+2-3n-4.
变式 [解析] 由an+1=可得=+3,所以数列是等差数列,且首项为2,公差为3,则=3n-1,所以an=.微突破(六) 求数列通项公式的常用方法
1.B [解析] 由题意知an+1-an=2n,则a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,…,a10-a9=29,以上各式相加可得a10-a1=21+22+23+…+29,又a1=1,所以a10=1+21+22+23+…+29==210-1=1023.故选B.
2.C [解析] 方法一:由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即=,则当n≥2时,=,=,=,…,=,以上各式相乘可得=n(n≥2),因为a1=2,所以an=2n(n≥2),因为a1=2满足上式,所以an=2n,故选C.
方法二:由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即==a1=2,所以an=2n,故选C.
3.A [解析] 由an+1=3Sn,得当n≥2时,an=3Sn-1,两式相减得an+1-an=3an(n≥2),即an+1=4an(n≥2),又当n=1时,a2=3S1=3a1=3,所以an=所以数列{an}即不是等比数列也不是等差数列,C,D错误;当n≥2时,Sn=1+=4n-1,又S1=1符合上式,所以Sn=4n-1,所以{Sn}为等比数列,A正确,B错误.故选A.
4.C [解析] 由an+1=,a1=2,得log2a1=1,log2an+1=2log2an,所以数列{log2an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以log2an=2n-1,则数列{log2an}的前8项和为=255.故选C.
5.BCD [解析] 由an=(n≥2),得=+(n≥2),因为a1=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列,则=1+(n-1)=,则an=.可得a16==,a100==,(2n+1)an=3,所以{(2n+1)an}是首项为3,公比为1的等比数列,所以A错误,B,C,D均正确.故选BCD.
6. [解析] 当n=1时,a1=S1=a1+,所以a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,所以=-.所以数列{an}是首项为1,公比为-的等比数列,故an=.
7.an=·5n [解析] 因为an+1=5an+3×5n+1,所以=+3,即-=3,所以是公差为3的等差数列,又=,所以=+3(n-1)=3n-,所以an=·5n.
8.解:(1)数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),
令n=1,得3a1=2a2-12,
又a1=2,所以a2=9.
令n=2,得4a2=3a3-24,所以a3=20.
(2)将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2)可得=,
化简得-=2.
设bn=,则bn+1-bn=2.
又b1=1,所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以bn=1+2(n-1)=2n-1,
从而an=(n+1)bn=(n+1)·(2n-1)=2n2+n-1.微突破(六) 求数列通项公式的常用方法
方法一 由数列的前n项和求通项公式
已知Sn=f(an)或Sn=f(n)求an的解题步骤:
第一步,利用Sn满足的条件,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;
第二步,利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为关于an的递推公式的形式,进而求出n≥2时{an}的通项公式;
第三步,根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时{an}的通项公式进行验证,若满足公式,则合并,若不满足,则写成分段形式.
例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,则数列{an}的通项公式为 .
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足3an-2Sn=1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
(3)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=(n∈N*),则{an}的通项公式为 .
变式 已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn,Sn=+an,n∈N*,则数列{an}的通项公式为 .
方法二 累加法
求形如an+1=an+f(n)的数列{an}的通项公式,可将原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用累加法求解,即由a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)(n≥2)相加可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)(n≥2).
例2 设数列{an}满足a1=1,an+1-an=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 ( )
A.an=2(n∈N*)
B.an=2(n∈N*)
C.an=1-(n∈N*)
D.an=2-(n∈N*)
变式 已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1,则下列结论正确的是 ( )
A.a7= B.a8=
C.a9= D.a10=
方法三 累乘法
求形如an+1=f(n)an的数列{an}的通项公式,可将原递推公式转化为=f(n),再利用累乘法求解,即由=f(1),=f(2),…,=f(n-1)(n≥2)相乘可得=f(1)·f(2)·…·f(n-1)(n≥2).
例3 设数列{an}是首项为1且各项都为正数的数列,满足(n+1)-n+an+1·an=0,则它的通项公式为an= .
变式 在数列{an}中,若a1=1,an+1=2nan,则an= .
方法四 构造法
角度1 an+1=can+d型
一般形式an+1=can+d(c,d为常数,c≠0,c≠1,d≠0),可以构造一个等比数列,只要在每一项同时加上一个常数即可,且常数x=,可得an+1+x=c(an+x),令bn=an+x,则{bn}为等比数列,求出bn,再还原到an,可得an=·cn-1-.
例4 若数列{an}满足a1=1,=+1,则a9= ( )
A. B.
C.210-1 D.29-1
变式 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为 ( )
A.an=n B.an=n+1
C.an=2n D.an=2n-1
角度2 an+1=pan+qn型
1.若p=1,即an+1=an+qn,累加即可.
2.若p≠1,即an+1=pan+qn,求通项公式的方法有以下两种:
(1)两边同时除以pn+1,得=+·,令bn=,则bn+1-bn=·,然后用累加法求通项公式.
(2)两边同时除以qn+1,得=·+,令bn=,则可化为bn+1=bn+,然后用适当的方法求通项公式即可.
例5 已知数列{an}的首项a1=6,且满足an+1=4an-2n+1,求数列{an}的通项公式.
变式 设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,an+1=2Sn+3n(n∈N*),求Sn.
角度3 an+1=(tpq≠0)型
1.形如an+1=(p,q为常数,pq≠0)的数列,通过两边取“倒数”,变形为=+,即-=,从而构造出新的等差数列,先求出的通项公式,即可求得{an}的通项公式.
2.形如an+1=(p,q为常数,p≠0,q≠0,k≠0)的数列,通过两边取“倒数”,变形为=+,可通过bn=进行换元,化为bn+1=bn+,再用适当的方法求通项公式.
例6 (1)在数列{an}中,已知a1=2,an=(n≥2),则an等于 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则的前n项和为 .
变式 已知数列{an}满足a1=,且an+1=,则an= . 微突破(六) 求数列通项公式的常用方法
1.若数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则a10= ( )
A.511 B.1023
C.1025 D.2047
2.已知a1=2,an=n(an+1-an),则数列{an}的通项公式是an= ( )
A.n
B.n+1
C.2n
D.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且an+1=3Sn(n∈N*),则 ( )
A.{Sn}为等比数列
B.{Sn}为等差数列
C.{an}为等比数列
D.{an}为等差数列
4.[2025·江苏南京一中高二月考] 数列{an}满足an+1=,a1=2,则数列{log2an}的前8项和为 ( )
A.63 B.127
C.255 D.256
5.(多选题)[2025·江苏泰州中学高二质检] 在数列{an}中,已知a1=1,an=(n≥2),则 ( )
A.a16=
B.是等差数列
C.a100=
D.{(2n+1)an}是等比数列
6.已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式为an= .
7.数列{an}满足an+1=5an+3×5n+1,a1=6,则数列{an}的通项公式为 .
8.(13分)[2025·江苏金陵中学高二质检] 已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2).
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
